Sujets de bac : Complexes

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1 Sujets de bac : Complexes Sujet n 1 : extrait d Asie juin ) Dans le plan complexe ; ;, on considère quatre points,, et d affixes respectives 3 ; 4 ; 2 3 et 1. Placer les points,, et dans un plan. 2) On considère les équations dans et a. Montrer que l équation admet une solution réelle et l équation une solution imaginaire pure. b. Développer puis 4 1. c. En déduire les solutions de l équation d. On note la solution dont la partie imaginaire est strictement négative. Donner la forme trigonométrique de. e. Déterminer les entiers naturels tels que les points d affixe soient sur la droite d équation. 3) On note l application qui au point d affixe, associe le point d affixe telle que a. On pose avec, et avec,. Exprimer et en fonction de et. b. Déterminer une équation de l ensemble des points pour lesquels appartient à l axe des ordonnées. Sujet n 2 : extrait de Centres étrangers juin 2006 Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration de la réponse indiquée. Dans le cas d une proposition fausse, la démonstration consistera en un contre-exemple. 1) Si alors est un nombre réel. 2) Si 0 alors 0. 3) Si 0 alors ou. 4) Si 1 et si 1 alors 0 Sujet n 3 : France septembre 2007 Soit les nombres complexes : 2 6, 2 2 et. 1) Écrire sous forme algébrique. 2) Donner les modules et arguments de, et. 3) En déduire cos et sin 4) Le plan est muni d un repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique. On désigne par, et les points d affixes respectives, et. Placer le point, puis placer les points et en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents). 5) Écrire sous forme algébrique le nombre complexe. Sujet n 4 : extrait de Nouvelle Calédonie novembre 2005 On considère le plan complexe ; ; d unité graphique 3. A tout point d affixe, on associe le point d affixe par l application telle que ) On considère les points, et d affixes respectives 1 2 ; 1 et 3. Déterminer les affixes des points, et images respectives de, et par. Placer,,,, et. 2) On considère avec,. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de en fonction de et. 3) Montrer que l ensemble des points invariants par est la droite d équation. Tracer. Quelle remarque peut-on faire?

2 4) On considère un point quelconque et son image par. Montrer que appartient à. 5) Montrer que pour tout complexe, 6 3 En déduire que est réel. Sujet n 5 : extrait de France juin 2007 On considère l équation : où. 1) Démontrer que le nombre complexe est solution de l équation. Ou : Déterminer une solution de imaginaire pur. 2) Déterminer les nombres réels, et tels que pour tout, ) En déduire les solutions de. Sujet n 6 : Antilles Guyane juin 2004 QCM : On considère le nombre complexe ) La forme algébrique de est ) s écrit sous forme exponentielle ) s écrit sous forme exponentielle ) et sont les cosinus et les sinus de

3 Correction Sujet n 1 : extrait d Asie juin ) Voir la figure 2) a. On cherche un réel solution de : ou Donc 3 est la solution réelle de. On cherche une solution de de la forme avec : ou Donc 4 est la solution imaginaire pure de. b. Pour : c ou ou ou23 ou 4 ou 1 Donc 3;23;4;1 d. On a donc donc arg -2 C B à l aide d un cercle trigonométrique 0 1 D A 2 3 Finalement 2 e. Pour : arg 4 arg Or on veut que 0 donc car est un entier. Donc les solutions sont 41 ; 3) a par identification des parties réelles et imaginaires. b. ; Sujet n 2 : extrait de Centres étrangers juin ) de est. donc cos arg 4arg4 3 2 donc est bien un réel. 2) : en effet, si alors 0 et pourtant 0. 3) 0 10 et 0 ou donc et sin 4) : si on prend 1 et 2, on a 1 et 12 1 et pourtant 0. donc un argument

4 Sujet n 3 : France septembre ) ) donc 2 2 En notant l argument de : cos et sin donc donc 2 2 En notant l argument de : cos et sin donc donc arg arg arg arg ) cos en notant arg donc : cos sin donc sin 4) Pour placer : On trace un cercle de centre passant par. Son rayon est donc 2 2. Ce cercle coupe l axe des réels en deux points. Si on note le point d abscisses positives, on trace ensuite l arc de cercle de centre et de rayon 2 2 pour placer. Pour placer : on reporte l écart entre et, grâce au compas, à partir du point. On obtient ainsi un point tel que ;. On trace ensuite le cercle de centre et de rayon 1. Il ne reste plus qu à placer à l intersection de ce cercle et de la demi-droite. 3 2 A B C O 0 1 E D ) cos sin cos2007 sin2007 Or Donc cos2007 cos cos Finalement et sin2007 sin Sujet n 4 : extrait de Nouvelle Calédonie novembre )

5 ) 3) On considère un point invariant par. On a alors et donc La droite passe par les points, et. 4) : on peut donc remarquer que : et donc. 5) Par ailleurs et donc 2 et 2 et donc 2. est donc une somme de deux réels et est réel. Sujet n 5 : extrait de France juin ) On considère un nombre imaginaire pur donc de la forme avec. solution de ou Seule la solution 1 convient également pour la seconde équation donc le nombre est solution de. 2) Pour tout complexe, donc ) ou Pour la seconde équation : Δ donc l équation a deux solutions complexes conjuguées : 2 3 et 2 3. Finalement ; 2 3; 2 3 Sujet n 6 : Antilles Guyane juin ) donc réponse 2) et en notant un argument de : cos sin donc à l aide d un cercle trigonométrique, 2 donc 4 et réponse

6 3) car 0. arg 4 22arg 4 2arg 8 Concrètement, il y a deux possibilités pour l argument de : et. Or la partie réelle de est négative, ce qui ne peut pas être le cas pour donc arg 2 et 2 et donc réponse cos cos et de même sin donc réponse