Math Total On interroge un élève au hasard. Les données précédentes sont à utiliser pour les trois questions suivantes.

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1 Lycée l'oiselet BOURGOIN JALLIEU TES Bac Blanc Mardi 4 Février 008: Epreuve de mathématiques SUJET NON SPECIALISTE Durée : heures La calculatrice est autorisée. Le sujet est à rendre avec la copie. NOM, Prénom :. Classe :.. Eercice :QCM ( 4,5 points ) Entourer la bonne réponse. Une réponse juste vaut 0,75 point ; une réponse fausse enlève 0,5 point et l absence de réponse n enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note sera ramenée à 0.. Une baisse de 5% est compensée par une hausse, arrondie à l'unité, de : Réponse A 0% Réponse B : 5% %. f est la fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; + [ par f( ) = +. La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonorrmal du plan admet pour asymptote la droite d'équation : Réponse A : y = 0 Réponse B : y = =. Le nombre A = ln e ln + ln 8 est égal à : e Réponse A : + 4 ln Réponse B : 4 ln ln Les élèves de deu classes de terminales ES ( désignées par TE et TE ) sont répartis selon leur spécialité (qui sont abrégées en SES, LV et Math ) de la façon suivante : TE TE Total SES Spécialité LV 4 6 Math Total 4 66 On interroge un élève au hasard. Les données précédentes sont à utiliser pour les trois questions suivantes. 4. La probabilité que l'élève interrogé appartienne à la TE est égale à : La probabilité que l'élève interrogé suive l'enseignement de spécialité Math ou appartienne à la TE est égale à : 5 6. La probabilité que l'élève interrogé suive l'enseignement de spécialité Math sachant qu'il appartient à la TE est égale à : 4 7 Eercice : (5 points) Le tableau ci dessous donne la production d'électricité d'origine nucléaire en France, eprimée en milliards de kwh, entre 979 et 004. Les rangs des années sont calculés par rapport à l'année 975. Année Rang de l année : i Production : y i 7,9, 97,9 58,8 95, 40, 46,5 40,7 47,7 Construire le nuage de points associé à la série statistique ( i ;y i ) dans un repère orthogonal. Les unités seront cm pour deu unités sur l ae des abscisses ; cm pour 0 unités sur l ae des ordonnées. Partie A Recherche d'un ajustement affine ) Donner une équation de la droite d ajustement (D) obtenue par la méthode des moindres carrés, à l'aide de la calculatrice (arrondir les coefficients au diième) puis tracer cette droite (D) dans le repère. ) a) D'après cet ajustement, quelle serait la production d'électricité nucléaire en France en 005? b) En réalité, en 005, la production d'électricité nucléaire a été de 40 kwh. Calculer le pourcentage d'erreur commise par rapport à la valeur réelle, arrondie à 0,% près, lorsqu'on utilise la valeur fournie par l'ajustement affine.

2 Partie B Un autre modèle Compte tenu de l'allure du nuage de points, on choisit un ajustement logarithmique et on modélise la production d'électricité nucléaire par la fonction f définie pour tout de [ 4 ; + [ par f( ) = 97 ln 7. ) Calculer la production d'électricité nucléaire prévisible avec ce modèle pour l'année 005. Quelle conclusion peut on en tirer? ) a) Résoudre, dans [ 4 ; + [ l'inéquation f( ) 460. b) Avec ce modèle, en quelle année peut on prévoir que la production d'électricité nucléaire dépassera 460 milliards de kwh? Eercice : (5,5 points) Soit f la fonction définie sur ] ;+ [ par f() = ln( ) On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal. ) a) Calculer la limite de f en. Donner l'interprétation graphique du résultat obtenu. ln ( ) b) Déterminer la limite de f en +. ( On pourra utiliser lim = 0 ). ) a) On note f ' la dérivée de f sur ] ; + [. Démontrer que f '( ) = 5. b) Etudier le signe de f ' et dresser le tableau de variation de f. On donnera une valeur arrondie au diième du maimum de f sur ] ; + [. ) On se place dans l'intervalle [ 5 ; + [. Démontrer que dans cet intervalle, l'équation f( ) = 0 admet une solution unique notée 0. Donner une valeur approchée de 0 à 0 près. 4) Vérifier que la fonction F définie par F( ) = ² 4 8 ( ) ln ( ) est une primitive de f sur ] ; + [. Eercice 4 : (5 points) Une entreprise fabrique une quantité, comprise entre 0 et 0, d'un certain objet. Le coût total de production f, eprimé en euros, est représenté par la courbe (C) dans un repère d'origine O du graphique. La tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 4 est tracée sur le même graphique. ) a) Quel est le coût total de production de 0 objets? b) Quelle quantité maimale d'objets est il possible de produire pour un coût total inférieur à 50? ) Le coût marginal g est donné sur l'intervalle ] 0 ; 0 ] par la dérivée du coût total de production : g() = f '() pour appartenant à l'intervalle ] 0 ; 0 ]. a) En utilisant le graphique, déterminer la valeur du coût marginal pour = 4. b) En utilisant le graphique, comparer g(4) et g(9). c) Quelle est, parmi les trois courbes proposées sur le graphique, celle qui représente le coût marginal? Justifier la réponse. ) Le coût moyen h est donné sur l'intervalle ] 0 ; 0 ] par h() = f( ). a) Estimer h(5). b) Sur le graphique, placer le point S d'abscisse 5 situé sur la courbe (C) puis tracer la droite (OS). c) Une epression du coefficient directeur de la droite (OS) est f(5). Justifier cette epression. 5 d) Placer le point A sur la courbe (C) tel que la droite (OA) soit tangente à (C). On appelle a l'abscisse de A. e) Conjecturer les variations de h sur l'intervalle ] 0 ; 0 ], en utilisant les graphiques et. Graphique Graphique

3 Lycée l'oiselet BOURGOIN JALLIEU TES Bac Blanc Mardi 4 Février 008: Epreuve de mathématiques SUJET SPECIALITE Durée : heures La calculatrice est autorisée. Le sujet est à rendre avec la copie. NOM, Prénom :. Classe :.. Eercice :QCM ( 4,5 points ) Entourer la bonne réponse. Une réponse juste vaut 0,75 point ; une réponse fausse enlève 0,5 point et l absence de réponse n enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note sera ramenée à 0.. Une baisse de 5% est compensée par une hausse, arrondie à l'unité, de : Réponse A 0% Réponse B : 5% %. f est la fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; + [ par f( ) = +. La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonorrmal du plan admet pour asymptote la droite d'équation : Réponse A : y = 0 Réponse B : y = =. Le nombre A = ln e ln + ln 8 est égal à : e Réponse A : + 4 ln Réponse B : 4 ln ln Les élèves de deu classes de terminales ES ( désignées par TE et TE ) sont répartis selon leur spécialité (qui sont abrégées en SES, LV et Math ) de la façon suivante : TE TE Total SES Spécialité LV 4 6 Math Total 4 66 On interroge un élève au hasard. Les données précédentes sont à utiliser pour les trois questions suivantes. 4. La probabilité que l'élève interrogé appartienne à la TE est égale à : La probabilité que l'élève interrogé suive l'enseignement de spécialité Math ou appartienne à la TE est égale à : 5 6. La probabilité que l'élève interrogé suive l'enseignement de spécialité Math sachant qu'il appartient à la TE est égale à : 4 7 Eercice : (5 points) Le tableau ci dessous donne la production d'électricité d'origine nucléaire en France, eprimée en milliards de kwh, entre 979 et 004. Les rangs des années sont calculés par rapport à l'année 975. Année Rang de l année : i Production : y i 7,9, 97,9 58,8 95, 40, 46,5 40,7 47,7 Construire le nuage de points associé à la série statistique ( i ;y i ) dans un repère orthogonal. Les unités seront cm pour deu unités sur l ae des abscisses ; cm pour 0 unités sur l ae des ordonnées. Partie A Recherche d'un ajustement affine ) Donner une équation de la droite d ajustement (D) obtenue par la méthode des moindres carrés, à l'aide de la calculatrice (arrondir les coefficients au diième) puis tracer cette droite (D) dans le repère. ) a) D'après cet ajustement, quelle serait la production d'électricité nucléaire en France en 005? b) En réalité, en 005, la production d'électricité nucléaire a été de 40 kwh. Calculer le pourcentage d'erreur commise par rapport à la valeur réelle, arrondi à 0,% près, lorsqu'on utilise la valeur fournie par l'ajustement affine.

4 Partie B Un autre modèle Compte tenu de l'allure du nuage de points, on choisit un ajustement logarithmique et on modélise la production d'électricité nucléaire par la fonction f définie pour tout de [ 4 ; + [ par f( ) = 97 ln 7. ) Calculer la production d'électricité nucléaire prévisible avec ce modèle pour l'année 005. Quelle conclusion peut on en tirer? ) a) Résoudre, dans [ 4 ; + [ l'inéquation f( ) 460. b) Avec ce modèle, en quelle année peut on prévoir que la production d'électricité nucléaire dépassera 460 milliards de kwh? Eercice : (5,5 points) Soit f la fonction définie sur ] ;+ [ par f() = ln( ) On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal. ) a) Calculer la limite de f en. Donner l'interprétation graphique du résultat obtenu. ln ( ) b) Déterminer la limite de f en +. ( On pourra utiliser lim = 0 ). ) a) On note f ' la dérivée de f sur ] ; + [. Démontrer que f '( ) = 5. b) Etudier le signe de f ' et dresser le tableau de variation de f. On donnera une valeur arrondie au diième du maimum de f sur ] ; + [. ) On se place dans l'intervalle [ 5 ; + [. Démontrer que dans cet intervalle, l'équation f( ) = 0 admet une solution unique notée 0. Donner une valeur approchée de 0 à 0 près. 4) Vérifier que la fonction F définie par F( ) = ² 4 8 ( ) ln ( ) est une primitive de f sur ] ; + [. Eercice 4 : (5 points) Partie A Le graphe suivant représente le plan d une ville. Les arêtes du graphe représentent ses avenues commerçantes et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues. ) Donner l ordre du graphe, puis le degré de chacun de ses sommets. ) Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue? Justifier votre réponse. Partie B Dans le graphe suivant, on a indiqué le sens de circulation dans les différentes avenues. ) Ecrire la matrice M associée à ce graphe. (on rangera les sommets dans l ordre alphabétique). ) a) Quel est le nombre de trajets de longueur reliant D à B? b) Comment pourrait-on obtenir ce résultat uniquement par le calcul à partir de la matrice M?

5 TES CORRECTION BAC BLANC Février 009 Eercice :QCM ( 4,5 points ). Une baisse de 5% est compensée par une hausse, arrondie à l'unité, de : A 0% B : 5% C :% Baisser de 5% revient à multiplier par 0,75. Donc on cherche tel que 0,75 = donc = /0,75, donc une augmentation de environ %.. f est la fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; + [ par f( ) = +. La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonorrmal du plan admet pour asymptote la droite d'équation : Réponse A : y = 0 Réponse B : y = = lim f() = + donc A est fausse; lim. Le nombre A = ln ( e 4 ) + 5 ln + ln ( 8 ) e f() = 7 donc C est fausse; lim ( f() ( ) ) = lim est égal à : A : + 4 ln B : 4 ln + C : + 6 ln = 0 donc B est juste. A = ln e ln + ln 8 e = ln(e) ln (4) + 5 ln() + ln(8) ln(e) = 4 ln() + 5 ln() + ln() = + 4 ln() Les élèves de deu classes de terminales ES ( désignées par TE et TE ) sont répartis selon leur spécialité (qui sont abrégées en SES, LV et Math ) de la façon suivante : TE TE Total SES Spécialité LV 4 6 Math Total 4 66 On interroge un élève au hasard. Les données précédentes sont à utiliser pour les trois questions suivantes. 4. La probabilité que l'élève interrogé appartienne à la TE est égale à : A : B : C : Il y a 4 élèves en TE sur les 66 TES de l'établissement donc p = 4 66 = 7 5. La probabilité que l'élève interrogé suive l'enseignement de spécialité Math ou appartienne à la TE est égale à : Réponse A : 5 Réponse B : Il y a 6 Spé Math et 4 élèves en TE dont 6 spé math donc il y a élève faisant spé math ou étant en TE donc p = = 6. La probabilité que l'élève interrogé suive l'enseignement de spécialité Math sachant qu'il appartient à la TE est égale à : Réponse A : Réponse B : 4 7 Il y a 6 spé math en TE donc p = 6 4 = 7. Eercice : (5 points) Le tableau ci dessous donne la production d'électricité d'origine nucléaire en France, eprimée en milliards de kwh, entre 979 et 004. Les rangs des années sont calculés par rapport à l'année 975. Année Rang de l année : i Production : y i 7,9, 97,9 58,8 95, 40, 46,5 40,7 47,7 Construire le nuage de points associé à la série statistique ( i ;y i) dans un repère orthogonal. Les unités seront cm pour deu unités sur l ae des abscisses ; cm pour 0 unités sur l ae des ordonnées. Partie A Recherche d'un ajustement affine ) Donner une équation de la droite d ajustement (D) obtenue par la méthode des moindres carrés, à l'aide de la calculatrice(arrondir les coefficients au diième) puis tracer cette droite (D) dans le repère. y = 4, 40,8. ) a) D'après cet ajustement, quelle serait la production d'électricité nucléaire en France en 005? 005 correspond à l'année de rang 0 donc = 0 et y = 4, ,8 = 46,8 La production d'énergie d'origine nucléaire en France en 005 sera de 46,8 milliards de kwh. b) En réalité, en 005, la production d'électricité nucléaire a été de 40 kwh. Calculer le pourcentage d'erreur commise par rapport à la valeur réelle, arrondi à 0,% près, lorsqu'on utilise la valeur fournie par l'ajustement affine. 46, ,9 % Le pourcentage d'erreur par rapport à la valeur réelle est d'environ 7,9. 40

6 Partie B Un autre modèle Compte tenu de l'allure du nuage de points, on choisit un ajustement logarithmique et on modélise la production d'électricité nucléaire par la fonction f définie pour tout de [ 4 ; + [ par f( ) = 97 ln 7. ) Calculer la production d'électricité nucléaire prévisible avec ce modèle pour l'année 005. Quelle conclusion peut on en tirer? = 0 f(0) = 97 ln(0) 7 4. On constate que la prévision faite avec ce modèle est meilleure que celle obtenue avec l'ajustement affine. ) a) Résoudre, dans [ 4 ; + [ l'inéquation f( ) ln ln ln ln ln e97 e97 S = [ e97 ; + [ b) Avec ce modèle, en quelle année peut on prévoir que la production d'électricité nucléaire dépassera 460 milliards de kwh? e97 4,4 donc à partir de l'année 5, c'est à dire l'année 00, la production d'électricité nucléaire dépassera 460 milliards de kwh. Eercice : (5,5 points) Soit f la fonction définie sur ] ;+ [ par f() = ln( ) On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal. ) a) Calculer la limite de f en. Donner l'interprétation graphique du résultat obtenu. lim 4 = 7 par somme, > lim f() = On en déduit donc que la droite d'équation =, > est asymptote verticale à la courbe. lim 8 ln( ) =, > b) Déterminer la limite de f en +. ( On pourra utiliser lim lim + 4 = par somme lim 8 ln ( ) = 0 lim lim = + ln ( ) ln ( ) = = 0 ). f() = ( ln ( ) ) par produit lim f() = ) a) On note f ' la dérivée de f sur ] ; + [. Démontrer que f '( ) = 5. f '() = + 8 = + 8 = 5 b) Etudier le signe de f ' et dresser le tableau de variation de f. On donnera une valeur arrondie au diième du maimum de f sur ] ; + [. sur ] ; + [ > 0 donc f '() est du signe de 5. 5 > 0 < 5 5 f '() ln( 8 ) f () f( 5 ) = + 8ln(8 ) 6,8 f atteint son maimum en 5. Ce maimum vaut environ 6,8. ) On se place dans l'intervalle [ 5 ; + [. Démontrer que dans cet intervalle, l'équation f( ) = 0 admet une solution unique notée 0. Donner une valeur approchée de 0 à 0 près. Sur [ 5 ; + [, f est continue et strictement décroissante. f(5 ) > 0 et lim f() = donc 0 ] ; 5 [ D'après le théorème de la valeur intermédiaire, il eiste un unique réel 0 dans [ 5 ; + [ tel que f( 0 ) = ,8. 4) Vérifier que la fonction F définie par F( ) = ² 4 8 ( ) ln ( ) est une primitive de f sur ] ; + [. F '() = [ ln( ) + ( ) ] = ln( ) + 8 = ln( ) = f() donc F est une primitive de f sur ] ; + [.

7 Eercice 4 : (5 points) Une entreprise fabrique une quantité, comprise entre 0 et 0, d'un certain objet. Le coût total de production f, eprimé en euros, est représenté par la courbe (C) dans un repère d'origine O du graphique. La tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 4 est tracée sur le même graphique. ) a) Quel est le coût total de production de 0 objets? On lit 60. b) Quelle quantité maimale d'objets est il possible de produire pour un coût total inférieur à 50? On lit 8. ) Le coût marginal g est donné sur l'intervalle ] 0 ; 0 ] par la dérivée du coût total de production : g() = f '() pour appartenant à l'intervalle ] 0 ; 0 ]. a) En utilisant le graphique, déterminer la valeur du coût marginal pour = 4. On lit 60 soit 0. 6 b) En utilisant le graphique, comparer g(4) et g(9). La tangente en 9 a une pente plus importante que celle en 4 donc g(9) > g(4). c) Quelle est, parmi les trois courbes proposées sur le graphique, celle qui représente le coût marginal? Justifier la réponse. g(4) = 0. De plus g(9) > g(4) donc c'est la courbe ( C ). ) Le coût moyen h est donné sur l'intervalle ] 0 ; 0 ] par h() = f( ). a) Estimer h(5). h(5) = f(5) 5 = 40 5 = 8. b) Sur le graphique, placer le point S d'abscisse 5 situé sur la courbe (C) puis tracer la droite (OS). c) Une epression du coefficient directeur de la droite (OS) est f(5). Justifier cette epression. 5 Le coefficient directeur de la droite (OS) est donné par y S y O f(5) f(0) = = f(5) S O d) Placer le point A sur la courbe (C) tel que la droite (OA) soit tangente à (C). On appelle a l'abscisse de A. e) Conjecturer graphiquement les variations de h sur l'intervalle ] 0 ; 0 ]. Posons M un point de la courbe (C ) d'abscisse m. Lorsque m varie de 0 à a, la pente de la droite ( OM) diminue. Quand M est confondu avec A, la droite (OM) est tangente à la courbe. Sa pente est la plus faible. Puis quand m dépasse a, la pente de la droite (OM) augmente. 0 a + h() h(a) A S Graphique Graphique

8 Eercice 4 ( spé) : (5 points) Partie A. L'ordre d'un graphe est le nombre de ses sommets, donc l'ordre du graphe est 6. Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes qui partent de ce sommet ou qui arrivent à ce sommet. Donc: le degré de A est 4 ; le degré de B est ; le degré de C est 4 ; le degré de D est ; le degré de E est et le degré de F est.. La question revient à chercher si le graphe possède ou non une chaîne eulérienne. Le graphe est connee (on peut aller d'un sommet à un autre en suivant des arêtes, c'est-à-dire sans lever le crayon), mais il possède quatre sommets de degré impair. Or, d'après le théorème d'euler : «un graphe connee possède une chaîne eulérienne s'il possède 0 sommet de degré impair (dans ce cas il s'agit d'un cycle, c'est-à-dire d'une chaîne eulérienne d'etrémités confondues) ou deu sommets et deu seulement de degré impair (les etrémités de la chaîne eulérienne sont les sommets de degré impair).» Partie B Le graphe proposé ne possède donc pas de chaîne eulérienne, le piéton ne peut donc pas parcourir toutes les avenues sans emprunter deu fois la même avenue.. Dans la matrice M, chaque terme a i indique le nombre d'arêtes qui partent du sommet i pour aller vers le sommet j. On obtient : M = a) On cherche les trajets de D à B comportant deu arêtes : on trouve «DAB» ou «DCB». Il y a donc trajets de D à B de longueur. b) On calcule M² et on retrouve le nombre de trajets de D à B de longueur avec le terme b 4 de cette matrice. ( b 4 = a 4 a + a 4 a + a 4 a + a 44 a 4 + a 45 a 5 + a 46 a 6 )

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