DS5-2015_CORRIGE Partie A : «Réducteur de positionneur d antenne»

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Tiphaine Laviolette
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1 DS5-015_corrige.docx (version: 6/01/16) DS5-015_CORRIGE artie A : «Réducteur de positionneur d antenne» 1. résentation du mécanisme a figure 1 ci-dessous représente la cinématique d un réducteur à engrenages permettant de très fortes réductions de vitesse. Ce genre de dispositif est utilisé pour obtenir des vitesses de sorties très lentes, utilisées notamment pour positionner des antennes ou pour assurer le suivi du soleil ou d objets célestes. a roue Z1 est reliée au moteur électrique, le solide 1 constitue le solide d entrée. Il est constitué de parties réductrices : - Un réducteur à axes fixes (solides ) pour donner à la couronne 5 et au planétaire 3 des rotations inverses. - Un réducteur à train épicycloïdal (solides ). e mouvement de sortie de ce réducteur se fait sur le porte satellites 7. es nombres de dents sont les suivants : Z1 = Z = = Z4 = 1 Z1 = 36 Z31 = 48 Z41 = 4 Z51 = 96 = 54 Z6 = 1 Figure 1 : schéma cinématique du réducteur de positionneur d antenne (attention ce schéma n est pas à l échelle) S4 Z41 Z1 Z4 S5 S S1 Z Z51 Z6 S6 S7 Z1 S3 Z31 S0. Etude cinématique ω3 ω5 Question A-1 : Déterminer les rapports de transmission suivants : R13 = et R15 = ω 1 ω 1 ω ( 1) Z Z ω = = et ( 1) 3 Z Z Z ω1 Z 1 Z ω1 Z 1 Z 41 Z Question A- : En déduireω 1 si ω 3 =1 rd / s etω 5 3 rd / s. On vérifie que : ω 1 = 1 ω3 = 144 rd / s Et que : ω 1 48 ω5 = 144 rd / s Question A-3 : En appliquant la formule de Willis par rapport au porte satellites 7, déterminer la relation entre ω 7, ω 3 etω 5. ω3/ 7 1 Z 6 ω3/ 7 = ω3 ω7 = ( 1) avec ω5/ 7 Z6 ω5/ 7 = ω5 ω7 On en déduit : ω 3 ω7 ω5 + ω7 ω 3 Z 3 + ω5 = ω7 ( + ) C. Gabrion (janv.16) page 1/6

2 C. Gabrion / DS5-015_corrige.docx (version: 6/01/16) page /6 ω 7 Question A-4 : Calculer la valeur numérique du rapport de transmission de ce réducteur : R =. ω 1 En substituant ω 3 et ω 5 par les expressions trouvées en question D-1 dans l expression de la question D-4, on en déduit : R 13 ω 1 + R15 ω1 = ω7 ( + ) ω = ω1 7 R13 + R = , artie B : «Robot de chargement - déchargement» 1. résentation du mécanisme e schéma cinématique de la fig. représente l architecture d un robot de chargement déchargement. Ce mécanisme est constitué de trois solides principaux : - le bras S1 en liaison pivot d axe (O,Y0) par rapport à S0 et de repère R1(O,X1,Y0,Z1) - l avant-bras S en liaison pivot d axe (A,Z1) par rapport à S1 et de repère R(A,X,Y,Z1) - la coulisse S3 en liaison glissière d axe (A,Y) par rapport à S et de repère R3(B,X,Y,Z1) Trois moteurs permettent de commander les trois liaisons de ce robot. Il en résulte que les paramètres α, β et λ sont variables et indépendants. a géométrie du système est la suivante : r ax 1 OA = ; AB = by et BC = λy (a et b sont des constantes positives) r r Fig.. Etude cinématique Question B-1 : Calculer V (B, / 0). On peut calculer cette vitesse en dérivant le vecteur position : OB a. X1 b. Y V ( B, / 0) = = + Ω1/ 0 a. X1+ dt dt dt R0 R1 V ( B, / 0) = & α. Y0 a. X1+ (& α. Y 0 + & Z1) b. Y V ( B, / 0) a & α. Z1+ b & α.sin b & X ( ) + Ω / 0 by. Ou en utilisant une relation de champ des vecteurs vitesse ou encore une composition des vitesses : V ( B, / 0) = V ( A, / 0) + BA Ω/ 0 (& α. Y 0 & 1) V ( B, / 0) a & α. b. Y + Z V ( B, / 0) a & α. Z1+ b & α.sin b & X Question B- : Montrer que Γ ( B 1/ 0) = ( b.sin β a) & α Z1+ ( b.sin β a) & α ² X1 Cette accélération est délicate à calculer car le point B n appartient pas physiquement au solide 1. a méthode la plus sûre est de la calculer en appliquant la formule de champ des accélérations : Ω1/ 0 0) = Γ( A,1/ 0) + ( Ω1/ 0 BA) Ω1/ 0 + BA dt R0 R

3 C. Gabrion / DS5-015_corrige.docx (version: 6/01/16) page 3/6 Γ( B,1/ 0) a& α a & α ² X1+ (& α. Y 0 ( b) Y ) 0) a& α a & α ² X1+ b.sin && α Z1+ b.sin & α ² X1 En factorisant les termes, on obtient : Γ ( B 1/ 0) = b.sin β a & α Z1+ b.sin β a & α ² X ( ) ( ) 1 & α. Y0 & α. Y 0 b. Y dt Mais on peut également éviter ce calcul, en remarquant que pour la rotation de S1/S0, le rayon de rotation du point B est ( a b.sin β ) et que l axe de rotation (O,Y0) est contenu dans le plan (O, A, B). On en déduit que ce vecteur accélération est analogue à Γ (A,1/ 0), il suffit de remplacer le rayon de rotation (a) par (a-b.sinβ), on obtient directement : 0) ( a b.sin β )& α ( a b.sin R0 Question B-3 : En déduire Γ (B, / 0). Il suffit d appliquer la formule de composition des accélérations : Γ ( B, / 0) = Γ( B, /1) + Γ( B,1/ 0) + Ω1/ 0 V ( B,/1) Avec : Γ ( B, /1) b& β. X b & β ². Y 0) ( a b.sin β )& α ( a b.sin Ω1/ 0 V ( B,/1) = & α. Y 0 ( b & β ). X = b.sin( π β ). Z1 On obtient : Γ ( B,/ 0) b & β. X b & β ². Y ( a b.sin β )&& α ( a b.sin + b..cos Z1 Question B-4 : Donner une méthode de calcul pour Γ (C,3/ 0). Il est évidemment possible de calculer la vitesse et de la dériver. Cette méthode n est pas forcément la plus longue mais la méthode la plus rapide est d utiliser une relation de composition des accélérations : Γ ( C,3/ 0) = Γ( C,3/ ) + Γ( C, / 0) + Ω / 0 V ( C,3/ ) Cette méthode est judicieuse si on remarque qu il est simple d obtenir Γ (C,/ 0) en remplaçant (b) par (b+λ) dans Γ (B,/ 0) : Γ( B,/ 0) ( b + λ) & β. X ( b + λ) & β ². Y ( a ( b + λ).sin β )&& α ( a ( b + λ).sin + ( b + λ)..cos Z1 es deux autres termes se calculent sans difficulté : Γ( C,3/ ) = && λ. Y Ω/ 0 V ( C,3/ ) = ( & α. Y 0 + & Z1) & λ. Y = & αλ&.sin & βλ&. X On en déduit : ( a ( b + λ).sin β )&& α ( a ( b + λ).sin ( b + λ) && X ( b + λ) & β ². Y Γ ( C,3/ 0) = && λ. Y + ( b + λ)..cos Z1+ & αλ&.sin & βλ&. X

4 C. Gabrion / DS5-015_corrige.docx (version: 6/01/16) page 4/6 artie C : «Mât de charge» 1. résentation du mécanisme Un mât de charge, utilisé pour décharger les navires, se compose d'un mât principal vertical 1 (AB), lié en A (liaison rotule) au pont 0 du bateau et maintenu en B par deux câbles 5 (BC) et 6 (BD). a charge à lever 3 ( = dan) est fixée en E sur un deuxième mât (EF) pouvant tourner (pivot d'axe F, z) autour de AB. Un angle de 60 est maintenu entre les deux mats à l aide du câble 4. es poids des mâts et des câbles sont négligés. es dimensions du système sont les suivantes : AB = EF = = 6m ; AF = EG = h = m r r r r AC = a. x b. y ; AD a. x b. y = avec a = 3m et b = 4m. Travail demandé Question C-1 : En isolant le câble 5, déterminer les relations permettant de traduire la direction des efforts au point C. On isole le câble 5, ce solide est en équilibre sous glisseurs. Ces deux forces sont donc directement opposées : R et R // BC 05 R On en déduit directement : X 05 Y 05 Z05 = = a b b. X 05. X 05 b. Z05 a. Y05 a. Z05 = Y. 05 éq.1 éq. éq.3 Question C- : Appliquer la même méthode pour déterminer la direction des efforts au point D. On isole le câble 6, ce solide est en équilibre sous glisseurs. Ces deux forces sont donc directement opposées : R et R // BD 06 R On en déduit directement : X 06 Y06 = = a b b. X 06 = a. Y 06. X 06 = a. b. = Y. 06 éq.4 éq.5 éq.6

5 C. Gabrion / DS5-015_corrige.docx (version: 6/01/16) page 5/6 Question C-3 : Isoler l ensemble de ce mât ( ) et appliquer le FS au point A pour déterminer la tension dans les câbles en fonction de l angle α. On isole l ensemble ( ), cet ensemble est en équilibre sous l action de 4 actions mécaniques extérieures : bz05 a X 05 bz05 { T0 5} = Y 05 0 = Y 05 az05 car AC R05 = b Y 05 = az05 Z05 0 Z05 ay05 + bx 05 C A 0 Z05 ay05 + bx b a X 06 b { T0 6} = Y06 0 = Y 06 a car AD R06 = b Y06 = a 0 ay 06 + bx 06 D A 0 ay 06 + bx { T0 1} = Y01 0 Z01 0 A { T } = = sin 60cosα..sin 60sinα. 0 g 3 G A En appliquant le FS au point A, on obtient : X 05 + X 06 + X 01 = 0 éq.7 Y05 + Y06 + Y 01 = 0 éq.8 Z Z01 = 0 éq.9 bz05 b.sin 60cosα. = 0 éq.10 az05 + a.sin 60sinα. = 0 éq.11 ay 05 + bx 05 ay06 + bx 06 = 0 éq.1 car.sin 60sinα 0.sin 60cosα AG =.sin 60cosα 0 =.sin 60sinα? 0 Résolution :.sin 60sinα éq. 11 Z05 = a.sin 60sinα En substituant dans éq. 10 b b.sin 60sinα. = 0 a b +.sin 60sinα = 0 a = +.sin 60sinα ab b a Z05 = +.sin 60sinα ab a b + a éq. X 05 = Z05 X 05 = sin 60sinα b b b + a éq. 3 Y 05 = Z 05 Y 05 sin 60sinα a a éq. 5 X 06 = X 06 = sin 60sinα b

6 C. Gabrion / DS5-015_corrige.docx (version: 6/01/16) page 6/6 b éq. 6 Y 06 = Y 06 = sin 60sinα a es composantes de l action mécanique de 01 ne sont pas nécessaires, on aurait pu les obtenir avec les trois équations non utilisées : ab +.sin 60sinα( b a b a) ab +.sin 60sinα( a) éq.9 Z01 = = ab ab b.sin 60sinα Z01 = b éq. 7 X 01 X 05 X 06 X 01 sin 60sinα. éq. 8 Y01 Y 05 Y 06 Y 01 = sin 60sinα. A partir des différentes composantes il est assez simple de calculer les tensions dans les câbles 5 et 6 : ( b a) T 6 = R06 = XO6² + YO6² + ² = sin 60sinα. + + b a ab

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