Biomécanique et analyse du mouvement

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1 Université Paul Sabatier F2SMH Année universitaire : 2014 / 2015 Licence 2 U.E.16 Biomécanique et analyse du mouvement LAURENS Pascale

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3 Table des matières Chapitre 1 : Rappels de L1 et compléments...5 I - Unités de mesures et dimensions utilisés en sport...5 A - Unités fondamentales...5 B - Unités secondaires... 5 II - Outils mathématiques...5 A - Trigonométrie... 5 B - Projection d'un vecteur : Produit scalaire...6 C - Moment de force, bras de levier : Produit vectoriel...6 D - Dérivées et primitives... 6 III - Repérage spatial...7 A - Vecteur unitaire... 7 B - Base orthonormé direct (BOND)...7 C - Repère orthonormé direct (ROND)...7 IV - Mouvement plan sur plan : Vecteur rotation...7 A - Exemple :... 7 B - L'observateur... 7 V - Formule de changement de référentiel...8 VI - Cinétique du point matériel...8 A - Système cartésien... 8 B - Système cylindrique... 8 C - Système intrinsèque / Base de Frenet...8 Chapitre 2 : Le corps humain, un système poli-articulaire...9 I - Introduction...9 II - Modèle idéal : solide rigide...9 III - Repérage du solide rigide...9 IV - Centre de masse...9 Chapitre 3 : Cinétique et cinétique pour un solide...11 I - Mouvement d'un solide...11 A - Mouvement complexe B - Translation d'un solide C - Rotation D - Vitesse d'un point M d'un solide (s)...11 II - Cinétique du solide liée à la translation...12 A - Quantité de mouvement B - Quantité d'accélération III - Cinétique du solide liée à la rotation...12 A - Moment cinétique d'un point matériel...12 B - Extension au solide C - Théorème des axes parallèles...12 D - Rayon de giration (Rg) E - Définition du moment d'inertie...13 F - Le moment cinétique pour un solide rigide (s)...13 G - Le moment dynamique... 13

4 IV - Mouvement d'un système poli-articulé...14 A - Chaîne articulé B - Articulation C - Ensemble du corps humain...14 Chapitre 4 : Forces ou effet et point d'application...15 I - Forces...15 A - Classification B - Propriété d'additivité des forces...15 C - Principe d'action réciproque (3ème loi de Newton)...15 D - Frottement visqueux E - Frottement secs ou lois COULOMB...16 II - Moment d'une force...16 A - Définition B - Lien entre les moments d'une force calculé en deux points différents A et B...16 C - Exemple d'application Chapitre 5 : Dynamique du solide rigide...17 I - Principe fondamental de la statique...17 II - Principe fondamental de la dynamique...18 III - Cas des mouvements de rotation autour d'un axe...19

5 Chapitre 1 : Rappels de L1 et compléments I - Unités de mesures et dimensions utilisés en sport A - Unités fondamentales Longueur : [L] est en m Masse : [M] est en kg Temps : [T] est en s Température : [ϴ] est en degrés kelvin B - Unités secondaires Vitesse : [L.T -1 ] en m.s -1 Accélération : [L.T -2 ] en m.s -2 Forces : [M.L.T -2 ] en kg.m.s -2 ou N (Newton) Pression : [M.L -1.T -2 ] en kg.m -1.s -2 ou P (Pascal) Énergie : [M.L 2.T -2 ] en kg.m 2.s -2 ou j (Joule) II - Outils mathématiques A - Trigonométrie 1 - Cercle trigonométrique coté adjacent cos(α)= hypoténuse coté opposé sin(α)= hypoténuse coté opposé tan (α)= coté adjacent 2 - Valeurs remarquable α 0 π 6 π 4 π 3 π 2 cos sin

6 3 - Approximation Si l'angle α est très petit alors on peut prendre : { cos(α)=1 sin (α)=0 B - Projection d'un vecteur : Produit scalaire 1 - Définition u. v = u v cos(α) = x u x v +y u y v +z u z v Où les coordonnés exprimés dans un même repère. u v u=(x y u v =(x y v z u)et v) z 2 - Utilisation : Projection Sur un plan défini par e x et e y orthogonaux et e x = e y = 1. Le vecteur que ( OM ; e x )=α OM tel OM = OM (cos(α). e x +sin (α). e y ) C - Moment de force, bras de levier : Produit vectoriel Définition u v = w et v u= w avec w u=0 et w v =0 w correspond à l'aire du parallélogramme définit par O, u, v et u+ v D - Dérivées et primitives dérivé a 0 at +b 1 2 a t 2 +bt +c at +b cos(wt) sin(wt) primitive a w sin(wt) w cos(wt) 6

7 III - Repérage spatial A - Vecteur unitaire e x = 1 B - Base orthonormé direct (BOND) e x = e y = e z e x e y = e y e z = e z. e x = 0 e x e y = e z C - Repère orthonormé direct (ROND) On rajoute une origine fixe au repère, O en (0 ; 0 ; 0) de coordonnés exprimé dans le système cartésien (x ; y ; z) z e z e x O e y y x Le système de coordonnés cylindrique : ρ = OH avec H le projeté orthogonal de OM sur le plan ( e x ; e y ) donc OM = ρ e φ +Z e z IV - Mouvement plan sur plan : Vecteur rotation A - Exemple : Mouvement d'une nacelle de la grande roue (mouvement de translation) Mouvement de rotation des avant bras autour du coude (contrainte physique) B - L'observateur Si on a une rotation, il faut repérer ce mouvement (axe de rotation et un angle) On utilise la vitesse angulaire : Ω(R /R obs ) = α e z (c'est la dérivé de l'angle selon l'axe qui permet la rotation) 7

8 V - Formule de changement de référentiel Soit un vecteur u quelconque, et soient les référentiels R et R 1 d u = d u d t R + Ω(R 1 /R) u VI - Cinétique du point matériel A - Système cartésien Soit le référentiel d'observation R associé au système cartésien (x ; y ; z) de repère orthonormé direct (0; e x ; e y ; e z ), et R est fixe. Vecteur position : OM (t ) =x (t). e x +y(t ). e y +z(t ). e z Vecteur vitesse : v (t ) =ẋ e x +ẏ e y +ż e z Vecteur accélération : a (t ) =ẍ e x +ÿ e y + z e z B - Système cylindrique Vecteur position : OM (t ) =ρ e ρ +z e z vecteur vitesse : v (t ) = d OM (t ) = ρ e ρ +ρ φ e φ +ż e z v (t ) Vecteur accélération : a (t ) = d =( ρ ρ φ 2 ) e ρ +(2 ρ φ+ρ φ) e φ + z e z C - Système intrinsèque / Base de Frenet Soit e t le vecteur unitaire tangent à la trajectoire où e t = v v a = d v e t + v 2 R c e x 8

9 Chapitre 2 : Le corps humain, un système poli- articulaire I - Introduction hypothèses : Le corps humain est un ensemble de tiges reliés entre elles. Un morceau du corps est une tige. Ces tiges sont homogènes au cours du mouvement. Cependant la tiges est rigide, mais l'os de la cuisse a une faible flexibilité. II - Modèle idéal : solide rigide Ce modèle donne de bons résultats. Pour deux points d'un solide, la distance entre ces deux points ne changent pas au cours du mouvement ou du temps. III - Repérage du solide rigide On utilise une origine, c'est à dire le centre de masse du solide et une base orthonormé directe (BOND), soit trois axes caractéristique du solide liées aux symétries du solide. IV - Centre de masse Pour un solide décomposé en x éléments simples, et une masse associé à chaque éléments. x m t. OG= Ex : i=1 x (m i. OM i ) ou 0= (m i. GM i ) i=1 m t. OG=m 1. OM 1 +m 2. OM 2 M 1 M2 9

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11 Chapitre 3 : Cinétique et cinétique pour un solide I - Mouvement d'un solide A - Mouvement complexe Principe : Décomposer en mouvements simples (ou élémentaires). Ces éléments simples sont soumis à 1 translation et 3 rotations. B - Translation d'un solide Tous les points du solide auront la même vitesse. C - Rotation Ce qui est commun à tous les points d'un solide : vitesse de rotation autour d'un axe ou vitesse angulaire. Si on tourne d'un angle α(t) autour d'un axe (Δ) de vecteur unitaire e α alors Ω = α. e α S'il y a plusieurs mouvement de rotation on les additionnes. Remarque : Le vecteur rotation Ω est toujours perpendiculaire à l'avancement de l'objet. L'axe instantané de rotation (A.I.R.) est l'axe où tous les points de cet axe ont leur vitesse parallèle à Ω. Le centre instantané de rotation est le point qui appartient à l'axe instantané de rotation tel que sa vitesse est nulle. D - Vitesse d'un point M d'un solide (s) Relation d'anti-symétrie : V (B s /R) = V ( A s /R)+ BA Ω(s /R) (pour tous points A et B du solide (s) ) Ex : M appartient au solide pour lequel on connaît la vitesse V G V M = V G + MG Ω 11

12 II - Cinétique du solide liée à la translation A - Quantité de mouvement 1 - Pour un point matériel P (M /R) = m V (M /R) 2 - Pour un solide rigide P (s/r) = m s V (G/R) avec G le centre de masse du solide. B - Quantité d'accélération 1 - Pour un point matériel D(M /R) = m a(m /R) 2 - Pour un solide rigide D(M /R) = m s a(g /R) Remarque : si la masse est constante alors D = d P R III - Cinétique du solide liée à la rotation A - Moment cinétique d'un point matériel L A (M /R) = AM m. v (G/R) B - Extension au solide Notion de répartition géométrique / spatiale de la masse. Caractérisé par les moments d'inertie selon les axes de rotation possibles. Ces moments caractérisent la résistance de l'objet étudié à la rotation. Des table d'anthropophagie donnent les moments principaux pour un corps humain autour des trois axes passant par le centre de masse G. C - Théorème des axes parallèles (Δ G) d Soient I Δ G le moment d'inertie parallèle à l'axe (Δ G ) qui passe par le centre de masse G et I Δ A le moment d'inertie parallèle à l'axe (Δ A ) qui passe par le point A. I Δ A =I ΔG +m s. d 2 G A (Δ A) 12

13 D - Rayon de giration (Rg) C'est le rayon d'un cylindre creux ayant même axe de rotation Δ, même masse m et même moment d'inertie que le solide étudié avec Rg tel que : Rg= I Δ m E - Définition du moment d'inertie AM m. v(m /R obs ) = L A (M /R obs ) L A d A v AM M v Plan F - Le moment cinétique pour un solide rigide (s) L A (s/r obs ) = I Δ A. Ω ou Ω est la vitesse de rotation autours de l'axe (Δ A ) G - Le moment dynamique K A (S/R obs ) = d L A Robs = I Δ A. d Ω Robs Remarque : Le moment dynamique pour un point matériel ou pour un solide est dérivé du moment cinétique sachant que le point A est un point fixe du R obs. À retenir : (Δ A ) : axe fixe autour duquel on a la rotation. On l'appelle A.I.R. Théorème des axes parallèles. LA (s /R obs ) = I Δ A. Ω K A (s/r obs ) = I ΔA. d Ω Dimension d'un mouvement d'inertie [(I Δ ) ] = M.L 2 kg.m² E k (s/r obs ) = 1 2 m+v 2 g+ 1 2.I Δ A.Ω2 13

14 IV - Mouvement d'un système poli-articulé A - Chaîne articulé Ensemble de solide rigides reliées par des articulation (= liaison) B - Articulation Degrés de liberté (DDL) : 3 maximum C - Ensemble du corps humain On aura a effectuer des sommes : L A (segment) et de même pour le moment dynamique k. 14

15 Chapitre 4 : Forces ou effet et point d'application I - Forces Une force est défini par un vecteur avec : une intensité une direction un sens A - Classification 1 - Forces volumiques / surfaciques Ex : poids réaction 2 - Forces connues / inconnues 3 - Forces extérieures / intérieures Celles-ci dépendent de la définition du solide étudié. B - Propriété d'additivité des forces Si sur un solide (s) s'exerce un ensemble de forces F1, F 2,... alors cela revient à exercer sur (s) une force F max tel que F = F i. i =1 C - Principe d'action réciproque (3 ème loi de Newton) F 1 /2 = F 2 /1 D - Frottement visqueux Soit V la vitesse de l'objet étudié. Si V <180km/h : F f = α. V avec α =coefficient de frottement Si 180km/h < V <700km/h : F f = ( 1 2.ρ.v2.S.C x). v v ρ = masse volumique S = surface en contact du solide C x = coefficient de pénétrabilité dans le fluide 15

16 E - Frottement secs ou lois COULOMB Objet en mouvement : R T = f. R n Objet immobile : R T = f. R n R T Toujours opposé à la vitesse (frein) avec f, le coefficient de frottement II - Moment d'une force A - Définition Le moment d'une force qui s'exerce en M, en un autre point A est définit par : Μ A ( F M )= AM F m Remarque : Μ A ( F M )= L A = AM F m Il y a une équivalence sur le schéma de L A B - Lien entre les moments d'une force R calculé en deux points différents A et B Μ B = M A + BA R C - Exemple d'application Le module ci contre est en équilibre. R O + F A + P G = 0 M O (R O )+ M O ( F A )+ M O (R G ) = OA F A + OG PG = 0 OG F A = PG OA F A = mg b a F A a R n b G P 16

17 Chapitre 5 : Dynamique du solide rigide I - Principe fondamental de la statique { F = 0 Μ O ( F )= 0 D'où le théorème des actions réciproques (action / réaction) : F 1 2 = F 2 1 pour un solide : Μ A ( F 1 2 )= Μ A ( F 2 1 ) Application directe : Mesure d'un centre de masse avec la planche. x y F 1 A 1,7 m G d P = m. g R O F 1 tel que la planche reste horizontale F 1 =310N M g =65 kg g =10 m.s 1 L = 2 m F = F 1 + P+ R = 0 ( R O ). e x = 0 R = 340N M O ( F ) = 0 M O ( F 1 )+ M O ( P)+ M O ( R) = 0 avec R= 0 2 e y 310 e x +d. e y ( 650) e x = 0 ( d) e y e x = 0 d = = 0,95m 17

18 II - Principe fondamental de la dynamique { F (s/r obs )=m s. a(g/r obs ) Μ A ( F /R obs )= k A (s/r obs ) Illustration : La plate forme de force permet l'enregistrement des actions mécaniques, c'est à dire, les forces et les moments transmises entre le sol et le sujet. Cet appareil permet : la détection de pathologies locomotrices, la détection les forces, la détection les moments de forces, de déterminer les points / les centre de pression (le points ou le moment est nul). Cas particulier : un solide en rotation autour d'un axe fixe (Δ A ). (Δ A) Ω Μ A ( F (s ) ) = I Δ A. d Ω avec Ω le vectur de rotation autour de (Δ A ) Remarque : Si on a un ensemble de solides on effectue des sommes (cas du corps humain) Application : A Déterminer le moment d'inertie (I Δ A ) de l'avant-bras. F A F (Δ O ) O d. Ω Donc Μ O ( F 1 ) = I Δ 0. d Ω d F 1 = I Δ 0. d Ω I Δ 0 = d. F 1 d Ω 18

19 III - Cas des mouvements de rotation autour d'un axe On a toujours le moment dynamique K A = 0 et K A = dl A. Donc L A = cte. Dans le cas d'un mouvements de rotation autour d'un axe (ou d'un points) on a conservation du moment cinétique : L A = I ΔA. Ω = cte. z Illustration : Cas du double salto arrière. Quand il quitte le sol, la vitesse angulaire Ω s = 7rad.s 1 I = 30 kg.m 2. avec un moment d'inertie Quand il groupe les jambes, il a I = 20kg.m 2. Quelle est la vitesse de rotation pendant d'un salto? L avant salto = L pendant I s.ω s = I salto.ω salto Ω salto = I s.ω s I salto = = 21 2 =10.5 rad.s 1 Quelle est la duré d'exécution d'un double salto en considérant la vitesse ci-dessus? La vitesse d'une rotation pour un salto est de 10.5 rad.s-1 On sait qu'un tour correspond à 2π t tour = 2 π Ω salto = 2 π s Donc un tour dure 0.6 secondes, et par conséquent deux tours durent 2 x 0.6 = 1.2 secondes. 19