Exercice corrigé application de la dérivée. 1 er décembre 2010

Transcription

1 application de la dérivée 1 er décembre 2010

2 Enoncé On considère la fonction f définie sur R par : f : x 6x 3 3x x Étudier les variations de f. 2 Justifier que l équation f(x) = 0 admet une unique solution α. 3 Montrer que α ] 2; 1[. 4 Déterminer un encadrement de α d amplitude En déduire les variations de la fonction g définie sur R par : g : x 3 2 x4 x x2 + 24x 10

3 Expression de la dérivée Signe de la dérivée Tableau de variations Résolution de l équation f(x) = 0 Application de l étude

4 1. Expression de la dérivée de la fonction Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 6x 3 3x x + 24

5 1. Expression de la dérivée de la fonction Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 6x 3 3x x + 24 Expression de la dérivée de la fonction f

6 1. Expression de la dérivée de la fonction Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 6x 3 3x x + 24 Expression de la dérivée de la fonction f on a f (x) = 18x 2 6x + 1 2

7 2. Signe de la fonction dérivée on sait que f (x) = 18x 2 6x + 1 2

8 2. Signe de la fonction dérivée on sait que f (x) = 18x 2 6x Signe de la fonction dérivée f est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient du monôme de plus haut degré est positif

9 2. Signe de la fonction dérivée on sait que f (x) = 18x 2 6x Signe de la fonction dérivée f est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient du monôme de plus haut degré est positif sa courbe représentative est donc une parabole tournée vers le haut

10 2. Signe de la fonction dérivée on sait que f (x) = 18x 2 6x Signe de la fonction dérivée f est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient du monôme de plus haut degré est positif sa courbe représentative est donc une parabole tournée vers le haut la forme factorisée (recherche des racines) nous donnera le signe de f.

11 2. Signe de la fonction dérivée on sait que f (x) = 18x 2 6x Signe de la fonction dérivée f est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient du monôme de plus haut degré est positif sa courbe représentative est donc une parabole tournée vers le haut la forme factorisée (recherche des racines) nous donnera le signe de f. Factorisation on a f (x) = 1 2 (36x2 12x + 1)

12 2. Signe de la fonction dérivée on sait que f (x) = 18x 2 6x Signe de la fonction dérivée f est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient du monôme de plus haut degré est positif sa courbe représentative est donc une parabole tournée vers le haut la forme factorisée (recherche des racines) nous donnera le signe de f. Factorisation on a f (x) = 1 2 (36x2 12x + 1) finalement, f (x) = 1 (6x 1)2 2

13 2. Signe de la fonction dérivée on sait que f (x) = 18x 2 6x Signe de la fonction dérivée f est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient du monôme de plus haut degré est positif sa courbe représentative est donc une parabole tournée vers le haut la forme factorisée (recherche des racines) nous donnera le signe de f. Factorisation on a f (x) = 1 2 (36x2 12x + 1) finalement, f (x) = 1 (6x 1)2 2 Conclusion la fonction f est toujours positive et s annule en 1 6

14 3. Tableau de variations f (x) = 1 (6x 1)2 2 Tableau de variation x f (x) f(x)

15 représentation graphique de la fonction f y O 1 2 x C f 30

16 Antécédent de 0 par la fonction f La fonction f sur R est

17 Antécédent de 0 par la fonction f La fonction f sur R est continue

18 Antécédent de 0 par la fonction f La fonction f sur R est continue strictement croissante

19 Antécédent de 0 par la fonction f La fonction f sur R est continue strictement croissante et à valeurs dans R

20 Antécédent de 0 par la fonction f La fonction f sur R est continue strictement croissante et à valeurs dans R donc 0 admet par la fonction f un unique antécédent α

21 Antécédent de 0 par la fonction f La fonction f sur R est continue strictement croissante et à valeurs dans R donc 0 admet par la fonction f un unique antécédent α de plus f( 2) = 37 et f( 1) = 14, 5

22 Antécédent de 0 par la fonction f La fonction f sur R est continue strictement croissante et à valeurs dans R donc 0 admet par la fonction f un unique antécédent α de plus f( 2) = 37 et f( 1) = 14, 5 Conclusion La fonction f admet une seule racine α

23 Antécédent de 0 par la fonction f La fonction f sur R est continue strictement croissante et à valeurs dans R donc 0 admet par la fonction f un unique antécédent α de plus f( 2) = 37 et f( 1) = 14, 5 Conclusion La fonction f admet une seule racine α et 2 < α < 1

24 Antécédent de 0 par la fonction f La fonction f sur R est continue strictement croissante et à valeurs dans R donc 0 admet par la fonction f un unique antécédent α de plus f( 2) = 37 et f( 1) = 14, 5 Conclusion La fonction f admet une seule racine α et 2 < α < 1 Tableau de valeurs arrondies au centième x 1, 423 1, 422 1, 421 1, 420 f(x) 0, 08 0, 03 0, 02 0, 06

25 Antécédent de 0 par la fonction f La fonction f sur R est continue strictement croissante et à valeurs dans R donc 0 admet par la fonction f un unique antécédent α de plus f( 2) = 37 et f( 1) = 14, 5 Conclusion La fonction f admet une seule racine α et 2 < α < 1 Tableau de valeurs arrondies au centième x 1, 423 1, 422 1, 421 1, 420 f(x) 0, 08 0, 03 0, 02 0, 06 Avec plus de précision 1,422 < α < 1,421