Baccalauréat STI L intégrale de mars à novembre 2011

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1 Baccalauréat STI 2011 L intégrale de mars à novembre 2011 Pour un accès direct cliquez sur les liens bleus Antilles Guyane Arts appliqués juin Métropole Arts appliqués juin Métropole arts appliqués septembre Nouvelle-Calédonie Génie civil mars Antilles Guyane Génie civil juin Métropole Génie civil juin Polynésie Génie civil juin Métropole Génie civil septembre Polynésie Génie civil septembre Nouvelle-Calédonie Génie civil nov Antilles Guyane Génie électronique juin La Réunion Génie électronique juin Métropole Génie électronique juin Polynésie Génie électronique juin Métropole Génie électronique septembre Nouvelle-Calédonie génie électronique nov Métropole Génie des matériaux juin Métropole Génie des matériaux septembre

2 2 L intégrale 2011

3 Baccalauréat STI Arts appliqués Antilles-Guyane 20 juin 2011 EXERCICE 1 8 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple QCM). Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse. 1. Le nombre de solutions réelles distinctes de l équation 2x 2 + 4x = x+ 1 est : a. 0 b. 2 c Soit f la fonction définie sur l ensemble R par f x)= x 2 +3x 2. Une équation de la tangente à la représentation graphique de la fonction f en son point d abscisse 0 est : a. y = 3x 2 b. y = 2x+ 3 c. y = 3x. 3. Soit f la fonction définie sur l intervalle ] 2 ; + [ par f x) = lnx + 2). Alors sa dérivée est la fonction f définie sur l intervalle ] 2 ; + [ par : a. f x)= 1 x+ 2 b. f x)= 1 x c. f x)= 1 x Une solution dans l intervalle ]0 ; + [ de l équation lnx)=4 est : a. ln 4 b. 4 c. e 4 5. Soit f la fonction définie sur l intervalle ]- 4 ; + [ par f x)=2+ 3 x+ 4. Alors la limite de la fonction f en 4 est : a. 2 b. c Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère l ellipse C d équation 4x 2 + 9y 2 = 36. Alors un de ses sommets a pour coordonnées : a. 0 ; 3) b. 3 ; 0) c. 2 ; 0). 7. Une urne contient 2 boules rouges et 2 boules jaunes indiscernables au toucher. On en tire deux boules au hasard, l une après l autre, sans les remettre dans l urne. La probabilité d obtenir les deux boules rouges est : a. 1 2 b. 1 6 c Parmi les 32 employés d une entreprise, il y a 24 hommes dont 14 ont plus de 40 ans. Parmi les femmes, 3 ont plus de 40 ans. On interroge une femme. La probabilité qu elle ait moins de 40 ans est égale à : a. 5 8 b c. 32

4 EXERCICE 2 12 points Partie A Soit f la fonction définie sur l intervalle [0 ; 4] par f x)= x 2 + 4x+ 3. On a représenté en annexe à joindre à la copie) la courbe C f représentative de la fonction f dans un repère orthonormal d unité graphique 2 centimètres. 1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de f. 2. Calculer la valeur exacte de l intégrale I = Partie B Soit g la fonction définie sur l intervalle [0 ; 4] par 4 g x)=e 0,5x 2x f x) dx. 1. Recopier et compléter le tableau suivant on arrondira éventuellement les résultats au centième) : x g x) 1,39 2. On note g la fonction dérivée de la fonction g. a. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Partie C Le signe de g x) est donné dans le tableau suivant : Justifier les renseignements indiqués dans ce tableau. b. Construire le tableau des variations de la fonction g. x 0 2ln 4 4 g x) 0 + On précisera la valeur exacte et la valeur arrondie au centième de l extremum. c. Tracer la représentation graphique C g de la fonction g dans le même repère que C f unité graphique : 2 cm). d. On considère la fonction G définie sur l intervalle [0 ; 4] par Gx)=2e 0,5x x 2 + 2x. Vérifier que G est une primitive de la fonction g sur l intervalle [0 ; 4]. e. On pose J = 4 0 g x) dx. Vérifier que J = 2e a. Tracer en pointillés la droite D d équation x = 4 dans le même repère que C f et C g. Antilles-Guyane 4 20 juin 2011

5 b. On admet que l aire, exprimée en unités d aire, de la partie du plan délimitée par les courbes C f et C g et les droites d équations x= 0 et x = 4 est égale à I J. Calculer cette aire en cm 2, arrondie à l unité. C et C les courbes symétriques de C f et C g par rapport à la droite D. La partie du plan délimitée par les courbes C f, C g, C et C représente la maquette d un logo publicitaire. Compléter cette maquette de logo en traçant C et C et calculer son aire en centimètres carrés, arrondie à l unité. Antilles-Guyane 5 20 juin 2011

6 Feuille annexe à l exercice 2 - À joindre à la copie y C f O x Antilles-Guyane 6 20 juin 2011

7 Baccalauréat STI Arts appliqués Métropole La Réunion 21 juin 2011 EXERCICE 1 8 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple QCM). Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse. 1. Les 32 employés d une entreprise se répartissent de la façon suivante : 18 ouvriers, 6 cadres et 8 techniciens. 14 employés ont plus de 40 ans. Parmi les techniciens, 3 ont plus de 40 ans. On interroge au hasard un technicien. La probabilité qu il ait moins de 40 ans est égale à : a. 5 8 b On interroge au hasard un employé de l entreprise considérée à la question 1. La probabilité que ce ne soit ni un technicien, ni une personne de plus de quarante ans est égale à : a. 3 8 b c c y Dans les questions 3. et 4., on considère l ellipse E) représentée ci-contre dans le plan rapporté au repère orthonormal O, ı, ) j. 1 j O ı 1 x 3. L ellipse E) a pour équation : a. 25x 2 + 9y 2 = 1 b. x y 2 9 = 1 c. x y 2 4. Un des foyers de l ellipse E) a pour coordonnées : a. 4 ; 0) b. 2 ; 0) c. 0 ; 4) 3 = 1 5. Soit S l ensemble des solutions dans l intervalle ]0 ; + [ de l équation ln x = 2, alors : { } 1 a. S = 0 b. S = { 2} c. S = 6. L équation 0,5e x = 4 a pour solution : a. ln 8 b. 2ln 4 c. e 8 7. Une primitive de la fonction h : x x définie sur R est la fonction H définie sur R par : e 2 a. Hx) = 2x b. x x+ 1 c. x3 + 2x

8 8. Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par f x) = 2x Sa courbe représentative dans un repère du plan admet pour asymptote en+, la droite x d équation : a. x = 1 b. y = 0 c. y = 2x+ 1 EXERCICE 2 Partie 1 12 points La courbe C ) donnée en annexe à rendre avec la copie) est la représentation graphique d une fonction f définie sur l intervalle [1 ; 3] dans le plan muni d un repère orthonormé d origine O et d unité graphique 5 cm. On suppose que la fonction f est dérivable sur l intervalle [1 ; 3] et on désigne par f sa fonction dérivée. Les données sont les suivantes : 1) : La courbe C ) passe par les points A, B et D d abscisses respectives 1, 2 et 3. Les points A, A, B et D ont des coordonnées entières. 2) : La droite BE), parallèle à l axe des abscisses, est tangente en B à la courbe C ). 3) : La droite AB ) est tangente en A à la courbe C ). On répondra aux questions ci-dessous par une lecture graphique. De ce fait, certains résultats seront arrondis au dixième. 1. Déterminer f 1), f 2) et f 3). 2. a. Déterminer une équation de la droite AB ). b. Déterminer f 1) et f 2). 3. Dresser le tableau des variations de la fonction f et préciser le signe de sa dérivée f. 4. Déterminer l aire du triangle AA B en unités d aires. Partie 2 1. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Vérifier que la fonction f définie sur l intervalle [1 ; 3] par f x) = x 2ln x ln désigne la fonction logarithme népérien) satisfait au données 2) et 3) de la partie 1. On suppose désormais que la fonction f représentée en annexe est la fonction définie pour tout réel x de l intervalle [1 ; 3] par : f x)= x 2ln x. 2. Soit F la fonction définie sur [1 ; 3] par : F x)= x2 + 2x 2x ln x. Vérifier que 2 F est une primitive de f sur l intervalle [1 ; 3]. 3. On pose I = 3 f x)dx. Calculer la valeur exacte de I et en donner une interprétation graphique Soit P ) la partie du plan limitée par la courbe C ), l axe des abscisses, la droite AB ) et la droite DD ). a. Hachurer P ) et calculer son aire en unités d aire. b. Le domaine P ) représente la maquette à l échelle 1 du logo d une société. Calculer l aire en cm 2 de ce logo, arrondie à 3 l unité. Métropole La Réunion 8 21 juin 2011

9 Annexe à l exercice 2 - À joindre à la copie y 1 + A + D E + + B C ) O + A B D x Métropole La Réunion 9 21 juin 2011

10 Baccalauréat STI Arts appliqués Métropole septembre 2011 EXERCICE 1 8 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple QCM). Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse. 1. Soit f la fonction définie sur R par f x)= x 2 + 2x 3 et Γ sa courbe représentative dans un repère du plan. Alors, un des points d intersection de Γ avec l axe des abscisses a pour coordonnées : a. 2 ; 0) b. 3 ; 0) c. 0 ; - 3). 2. Soit g la fonction définie sur R par : g x)= x x2 + x. On note g la fonction dérivée de la fonction g. Alors g est définie sur R par : a. g x)=3x 2 + 2x+ 1 b. g x)= 3x2 2 +6x+1 c. g x)= x x Soit h la fonction définie sur l intervalle I= [1 ; + [ par : hx)= 7 2x+ 1. Une primitive sur I de la fonction h est la fonction H définie sur I par : a. Hx)= 7x x 2 + x b. HX )= 14 2x+ 1) 2 c. Hx) = 7 2 ln2x + 1) L équation e x+3 = 5 a pour solution réelle : a. ln 2 b. ln 5 3 c. e 5 3 Dans les questions 5 et 6, on considère la conique C d équation cartésienne 4x 2 + 9y 2 = 36 dans un plan rapporté à un repère orthonormal. 5. La conique C est une a. parabole b. ellipse c. hyperbole. 6. Un des foyers de la conique est le point de coordonnées : ) ) ) a. 5 ; 0 b. 0 ; 5 c. 13 ; Dans une classe de terminale de 30 élèves, 16 suivent une option cinémaaudio-visuel, 12 suivent une option arts plastiques et 8 suivent ces deux options. On choisit un élève au hasard dans cette classe. La probabilité de l évènement «l élève suit au moins une de ces deux options» est : a b c

11 8. On lance deux fois de suite un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On fait la somme des numéros apparaissant sur la face supérieure. Sachant que cette somme est 6, la probabilité que les deux numéros soient égaux est égale à : a EXERCICE 2 Partie A Soit g la fonction définie sur l intervalle [0 ; 3] par 12 points g x)= 1 2 x2 2x+ 5 2 La courbe représentative de cette fonction est une partie P de la parabole représentée en annexe dans un repère orthogonal du plan. Unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées. 1. Déterminer une primitive G de la fonction g sur l intervalle [0, 3]. 2. Calculer l intégrale I = Partie B 3 0 g x) dx. On considère la fonction h définie sur l intervalle [3 ; 6] par hx)=3ln x 3ln 3+1 et Γ sa courbe représentative dans le même repère que celui de la partie A. 1. a. On désigne par h la dérivée de la fonction h. Vérifier que : Pour tout réel x de l intervalle [3 ; 6], h x)= 3 x. b. Quel est le sens de variation de h sur l intervalle [3, 6]? c. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Γ au point d abscisse 3. On admettra que T est également tangente à la courbe P au même point. 2. Compléter le tableau de valeurs suivant. Les résultats seront arrondis au centième. x 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 hx) Tracer la courbe Γ et la droite T dans le repère joint en annexe. 3. Soit H la fonction définie sur l intervalle [3 ; 6] par Hx)=3x ln x 3ln 3+2)x. a. Vérifier que H est une primitive de la fonction h sur l intervalle [3 ; 6]. b. On appelle J l aire en unités d aires) de la partie du plan limitée par la courbe Γ, l axe des abscisses et les droites d équations respectives x = 3 et x = 6. Déterminer la valeur arrondie de J au centième. Partie C Métropole 11 septembre 2011

12 1. On appelle C la réunion des courbes P et Γ. Construire sur le graphique la courbe C symétrique de C par rapport à l axe des abscisses. 2. On veut connaître l aire d un logo dont le contour est formé par C, C et les droites d équations respectives x = 0 et x = 6. Justifier que l aire de ce logo est égale, en cm 2, à 4I + J). En donner la valeur arrondie à l unité. Métropole 12 septembre 2011

13 Annexe à l exercice 2 à compléter et à rendre avec la copie) 7 y P 1 O Métropole 13 septembre 2011

14 Durée : 4 heures Baccalauréat STI mars 2011 Nouvelle-Calédonie Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil EXERCICE 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct graphique est 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d argument π 2. O, u, v 1. Dans l ensemble des nombres complexes, on considère l équation E) : z ) 3 z ) 3 z 8=0. a. Vérifier que le nombre 2 est une solution de l équation E). 5 points ). L unité b. En déduire qu il existe deux nombres réels α et β, que l on déterminera, tels que l équation E) soit équivalente à l équation : z 2) z 2 + αz+ β ) = 0. c. Résoudre l équation z 2 + αz+ β=0, puis déterminer le module et un argument de chacune de ses solutions. On désigne par A et B les points du plan complexe d affixes respectives : a= 2e i π 6 et b= 2. On désigne par C le milieu du segment [AB], et on note c l affixe du point C. π 2. On se propose dans cette question de déterminer la valeur exacte de sin. 12) a. Placer les points A, B, C dans le repère O, u, ) v et démontrer que le triangle OAB est isocèle. b. Déterminer une mesure en radians de l angle OB ; OC ). c. Déterminer l écriture algébrique du nombre complexe c d. Calculer le module de c et démontrer que c =. 2 π 6 2 e. Démontrer que sin =. 12) 4 EXERCICE 2 On note f la fonction définie sur l intervalle [ 0 ; π ] par : 2 5 points f x)=cos x+ 2sin x.

15 La courbe C représentative de la fonction f est tracée ci-contre, dans un repère orthogonal O, ı, ) j. On note D le domaine plan délimité par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équations x = 0 et x= π 2. Le but de cet exercice est de déterminer la mesure V, exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation de D autour de l axe O ; ı ). 2,0 1,5 1,0 0,5 1. Calcul de deux intégrales On note I et J les deux intégrales : I = 0 π ,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 π 2 π cos 2 2 x dx et J = sin 2 x dx. 0 a. En simplifiant l écriture de I + J, démontrer que I + J = π 2. b. Démontrer de même que I J = 0. c. Déduire des questions a. et b. les valeurs de I et J. 2. On rappelle que le volume V cherché est donné par la formule : V = π a. Démontrer que f 2 x)=cos 2 x+ 2sin 2x+ 4sin 2 x. b. Déduire des questions précédentes, la valeur exacte de V. π 2 0 f 2 x)dx. PROBLÈME 10 points Partie A : Étude d une équation différentielle On considère l équation différentielle E) : y y = e x. 1. Résoudre l équation différentielle : y y = Vérifier que toute fonction u définie sur l ensemble R des nombres réels par ux) = xe x + Ce x, où C est une constante, est une solution de l équation différentielle E). 3. Parmi ces solutions, déterminer celle qui vérifie la condition initiale : u0) = 2. Partie B : Étude d une fonction On note f la fonction définie sur l ensemble R des nombres réels par : f x)=2 x)e x. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O, ı, ) j. L unité graphique est 2 cm. 1. Étude des limites de la fonction f a. Déterminer les limites de la fonction f en+ et en. Nouvelle-Calédonie 15 mars 2011

16 b. Justifier que la courbe C admet une asymptote horizontale et en donner une équation. 2. Étude des variations de la fonction f sur R a. Déterminer l expression de la fonction dérivée f de la fonction f. b. Étudier le signe de f x) sur R et dresser le tableau des variations de la fonction f. 3. Tracé de la courbe C a. Déterminer l équation de la tangente T 0 à la courbe C en son point d abscisse 0. b. Déterminer les coordonnées des points d intersection de la courbe C avec les axes du repère. c. Tracer, dans le repère O, ı, ) j, la droite T 0 et la courbe C. Partie C : Calcul d une aire plane 1. Démontrer que la fonction F définie sur R par : F x)=3 x)e x, est une primitive de f sur R. 2. Soit α un nombre réel strictement inférieur à 2. On note A α) l aire, exprimée en unités d aire du domaine plan délimité par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équations x= α et x= 2. a. Calculer A α) en fonction de α. b. Déterminer la limite éventuelle de A α) lorsque α tend vers. Nouvelle-Calédonie 16 mars 2011

17 Durée : 4 heures Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Antilles Guyane 20 juin 2011 L utilisation d une calculatrice est autorisée. EXERCICE 1 Dans tout ce qui suit, on désigne par : Z l ensemble des entiers relatifs ; R l ensemble des nombres réels ; Z l ensemble des nombres complexes. EXERCICE 1 5 points 4,5 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification. Chaque réponse juste rapporte 0, 75 point ; une réponse fausse enlève 0, 25poi nt ; une absence de réponse ne rapporte ni n enlève de point. Si le total des points est négatif, il est ramené à zéro. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u, ) v. On note i le nombre complexe de module 1 et d argument π 2. On considère les nombres complexes z 1 = 1 i 3 et z 2 = 3+i d images respectives A et B. Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Le module de z 1 et un argument de z 1 sont respectivement : La forme algébrique de z 1 est : z 2 Un argument de z 2 z 1 est : L ensemble des points M du plan, d affixe z, tels que z z 1 =2est : L ensemble des points M du plan, d affixe z, tels que : argz) = π 3 + 2kπ, k Z est : On considère dans C l équation d inconnue z : z 2 4z+ 7= 0 Réponse a Réponse b Réponse c 2 et π 3 1 i 3 3+ i 5π 6 La droite AB) Une droite L équation n a pas de solution 2 et π 3 2 et π i π 6 Un cercle de centre A Un cercle de centre O Les solutions sont 2 3 et 2+ 3 π 2 Une demi-droite d origine A Une demi-droite privée de son origine. Les solutions sont 2 i 3 et 2+i 3 EXERCICE 2 On désigne par E) l équation différentielle : 5,5 points y"+ y = 0 où y est une fonction inconnue deux fois dérivable sur R.

18 1. Résoudre l équation différentielle E). 2. Déterminer la solution f de E) vérifiant les conditions f 0)= 1 2π 2 et f Vérifier que pour tout nombre réel x, f x) = cos x+ π ). 3 On rappelle que pour tous nombres réels a et b, on a : ) = cosa+ b)=cos a cosb sin a sin b. 4. On considère l équation cos x+ π ) = 0 d inconnue réelle x. 3 a. Résoudre cette équation dans R. b. Préciser les solutions appartenant à l intervalle ] π ; π]. c. Placer sur le cercle trigonométrique les points dont les affixes ont pour argument une solution de cette équation. PROBLÈME 10 points Partie A On considère la fonction f définie sur R par f x)=e x + ax+ be x où a et b sont des nombres réels que l on se propose de déterminer dans cette partie. Dans le plan muni d un repère O, ı, ) j, on a représenté ci-dessous la courbe C, représentative de la fonction f, et T la tangente à la courbe C au point d abscisse 0. On note f la fonction dérivée de la fonction f. 1. Par lecture graphique, donner f 0) et f 0). 2. a. Exprimer f 0) en fonction de b. b. En déduire la valeur de b. 3. a. Donner, pour tout réel x, l expression de f x). b. Exprimer f 0) en fonction de a et b. c. En utilisant les questions précédentes, déterminer a, puis en déduire l expression de f x). Antilles Guyane juin 2011

19 8 7 6 T 5 C Partie B 1. Questions préliminaires : a. Vérifier que pour tout réel x, on a : e 2x e x 2=e x 2)e x + 1). b. Résoudre dans R l inéquation d inconnue x : e 2x e x 2=0. On admet que la fonction f est définie sur R par f x)=e x x+ 2e x. 2. Déterminer la limite de f en. e x 3. a. Vérifier que pour tout réel x non nul, on a : f x)= x b. En déduire la limite de f en+. x 1+ 2 xe x c. Calculer la valeur exacte de f ln 2) puis en donner une valeur approchée à 10 1 près. 4. a. Montrer que pour tout réel x, f x)= e2x e x 2 e x. b. Déterminer le signe de f à l aide des questions préliminaires. c. Dresser le tableau de variation de la fonction f. ). Antilles Guyane juin 2011

20 Partie C 1. Calculer la valeur exacte de 1 0 f x) dx. 2. a. Tracer sur la figure en annexe la droite D d équation y = 4. b. Hachurer sur la figure en annexe qui sera à rendre avec la copie, le domaine S du plan délimité par la courbe C, la droite D et les droites d équations x = 0 et x= 1. c. Calculer, en unités d aire, la valeur exacte de l aire du domaine S. Antilles Guyane juin 2011

21 ANNEXE à rendre avec la copie 4,5 4,0 3,5 3,0 C 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,5 0,5 1,0 1,5 2,0 Antilles Guyane juin 2011

22 Durée : 4 heures Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole 21 juin 2011 EXERCICE 1 5 points Au libre-service d un restaurant d entreprise, un repas est composé obligatoirement d une entrée, d un plat et d un dessert. Pour chaque repas, un employé choisit au hasard : une entrée parmi trois : Crudités C), Salade S) ou Quiche Q), un plat parmi deux : Poisson P) ou Viande V) un dessert parmi trois : Glace G), Fruits F) ou Laitage L). 1. Sur l annexe fournie à rendre avec la copie), compléter l arbre des repas. 2. En déduire le nombre de repas que peut composer un employé. 3. On appelle : A l évènement : «le repas composé contient le plat de poisson», B l évènement : «le repas composé contient des fruits au dessert». On note pa) la probabilité de l évènement A. Calculer pa), pb), pa B) et en déduire pa B). 4. Le tableau suivant donne en kcal le bilan calorique des mets proposés : Entrées Crudités C) : 300 Salade composée S) : 300 Quiche Q) : 400 Plats Viande V) : 900 Poisson P) : 600 Desserts Glace G) : 300 Laitage L) : 100 Fruits F) : 100 Compléter, sur l annexe, le bilan calorique de chaque repas. 5. On appelle R la variable aléatoire qui à chaque repas associe son bilan calorique. a. Donner l ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire R. b. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire R. c. Montrer que le bilan calorique moyen d un repas est kcal. EXERCICE 2 5 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l absence de réponse n apporte ni n enlève de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante. 1. Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x par f x) = 3e 2x. On note C f sa courbe représentative dans un repère donné. Une équation de la tangente à la courbe C f au point de la courbe d abscisse 0 est : A. y = 3x+ 3 B. y = 6x+ 6 C. y = 3x+ 6 D. y = 6x+ 3

23 2. Pour tout nombre réel a, on définit le nombre I = est : A. I = 0,5e 2a 0,5 B. I = 0,5e 2a 0,5 C. I = 0,5 e 2a D. I = 0,5 0,5e 2a a 0 e 2x dx. La valeur de I 3. Soit l équation différentielle y + 1 y = 0 où y désigne une fonction dérivable 2 de la variable réelle x. Trouver parmi ces fonctions dérivables sur l ensemble des nombres réels R, une solution de l équation proposée. A. f x)=40e 0,5x B. g x)= 10cos0,5x)+12sin0,5x) C. hx)=120e 0,5x D. i x)= 0,5x 4. Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe z = i 2 est : A. z = 3e i π 3 B. z = 3e i 2π 3 C. z = 3e i 5π 6 D. z = 3e i 2π 3 5. Le plan complexe est muni d un repère orthonormé. On considère le point Ω d affixe 3 i et le cercle C de centre Ω et de rayon 2 2. Trouver parmi les points proposés un point du cercle C. A. M d affixe 1 3i B. N d affixe 2+i 3 C. P d affixe 2 2i 3 D. Q d affixe 0 PROBLÈME 10 points Objectif : Le but de ce problème est de comparer, sur un exemple, deux méthodes de calcul de volumes. On considère la fonction f définie pour tout nombre réel x de l intervalle [1 ; 10] par f x)= x ln x+ 2x. 1. Montrer que la fonction dérivée f de la fonction f est définie pour tout nombre réel x de l intervalle [1 ; 10] par : f x)= ln x a. Étudier le signe de f x) en fonction des valeurs du nombre réel x de l intervalle [1 ; 10]. b. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l intervalle [1 ; 10]. 3. On appelle C la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé du plan unités : 1 cm en abscisses, 1 cm en ordonnées). Représenter graphiquement C dans ce repère. 4. On considère l équation E) : f x) = 0 sur l intervalle [1 ; 10]. a. Déterminer le nombre de solutions de l équation E). b. Pour chacune des solutions trouvées, donner une valeur approchée à 10 2 près, en explicitant votre méthode. Métropole juin 2011

24 5. On considère la fonction F, définie pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle [1 ; 10], par F x)= x ln x ). a. Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l intervalle [1 ; 10]. b. Sur la représentation graphique réalisée précédemment, hachurer la portion S du plan comprise entre C, l axe des abscisses et les droites d équations x = 1 et x= 7. c. À l aide de la représentation graphique, évaluer en unités d aire) l aire de la portion S. Justifier la méthode utilisée. d. Calculer la valeur exacte de cette aire en unités d aire. 6. On veut déterminer le volume V s du solide engendré par la rotation de la partie hachurée autour de l axe des abscisses. a. Méthode par calcul formel : À l aide d un logiciel de calcul formel on obtient : 343ln 7) 2 V s = π ln ) unités de volume. 9 3 En déduire une valeur approchée de V s à 10 2 près. b. Méthode des trois niveaux : La méthode, dite des trois niveaux, permet d estimer le volume d un solide. A 0 A 1 A 2 h Par cette méthode, le volume estimé d un solide de révolution de hauteur h est égale à V e = 1 6 h A 0+ 4A 1 + A 2 ) où A 0 est l aire de la section gauche, A 1 l aire de la section intermédiaire et A 2 l aire de la section droite. Compléter, par des valeurs approchées au centième, le tableau des surfaces figurant en annexe. En déduire une valeur approchée à 10 2 près de V e. h 2 Métropole juin 2011

25 c. On considère que la méthode des trois niveaux est acceptable si le rapport V e V s est compris entre 0,95 et 1,05. Peut-on affirmer que cette méthode des trois niveaux est acceptable pour cet exemple? Métropole juin 2011

26 ANNEXE à rendre avec la copie) Exercice 1 : arbre des repas C V P G kcal L kcal F S Q Problème : tableau des surfaces Surface Section gauche Section intermédiaire Section droite Rayons f 4)= 4ln4)+8 2,45 Aires 12,57 Métropole juin 2011

27 Durée : 4 heures Baccalauréat STI Polynésie juin 2011 Génie mécanique, énergétique, civil EXERCICE 1 Le plan est muni d un repère orthonormal O, u, ) v. 5 points On note i le nombre complexe de module 1 et d argument π. On considère les points 2 A, B et C d affixes respectives : a= 1+i, b= a 2e i π 3 et c = 3+i a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes a, b et c. b. Vérifier que b= 1 3 ) + i 1+ 3 ). ) 7π c. En déduire que : cos = d. Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère graphique 2 cm. 2. a. Démontrer que le triangle OAB est un triangle rectangle. O, u, ) v d unité b. Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle OAB et construire ce cercle. 3. Déterminer la nature du quadrilatère OABC et prouver que le point C appartient au cercle circonscrit au triangle OAB. EXERCICE 2 4 points On fixe à l extrémité d un ressort horizontal un objet M, qui peut coulisser sans frottement sur un plan. Le point A, où est accrochée l autre extrémité du ressort, est fixe. Après avoir été écarté de sa position d équilibre, l objet est lâché avec une vitesse initiale. On repère l objet par son abscisse X qui est fonction du temps t et qui mesure l écart entre la position à un instant t et sa position initiale. On admet qu à un instant t, la fonction X est solution de l équation différentielle E) : X + 100X = 0. A M Position initiale X t) 1. Résoudre l équation différentielle E).

28 2. Déterminer l expression de la solution particulière X de E) qui vérifie les conditions : X 0)=10 1 et X 0)=1. 3. Montrer que pour tout nombre réel t de l intervalle [0 ; + [, on a : X t)=10 1 2cos 10t π ) Vérifier que l énergie mécanique W du système, définie pour tout nombre réel t de l intervalle [0 ; + [ par : est constante. W t)=10 1 [X t)] [X t)] 2, 5. Déterminer la valeur moyenne de la fonction X sur l intervalle 10 On rappelle que la valeur moyenne d une fonction sur l intervalle [a ; b] est donnée par : 1 b a b a f x) dx. [ 0 ; π [. PROBLÈME 11 points Sur la feuille annexe, on a représenté, dans le plan muni d un repère orthogonal O, ı, ) j la courbe représentative C d une fonction f définie sur l ensemble R des nombres réels. La courbe C passe par les points A0 ; 1), B1 ; 1) et C2 ; 1). Partie A : détermination de la fonction f 1. Donner les valeurs de f 0), f 1) et f 2). 2. On suppose que pour tout nombre réel x, f x) s écrit : f x)= ax+ bx 2) e x+2) + c, où les lettres a, b et c désignent trois nombres réels. En utilisant la question 1., déterminer la valeur des nombres a, b et c. Partie B : étude de la fonction f Dans toute la suite du problème, on admettra que : f x)= x x 2) e x+2) Déterminer la limite de la fonction f en. a. Établir que pour tout nombre réel x, f x)=e 2 xe x x 2 e x) + 1. b. En déduire la limite de la fonction f en+. c. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. 2. Montrer que la fonction dérivée f de la fonction f est définie pour tout nombre réel x par : f x)= x 2 3x+ 1 ) e x+2). 3. Étudier le signe de f x) sur R, puis établir le sens de variation de la fonction f sur R. Polynésie 28 juin 2011

29 4. a. Déterminer les coordonnées des points d intersection de la courbe C et de la droite d équation y = 1. b. Étudier les positions relatives de la courbe C et de la droite. 5. a. Montrer que sur l intervalle [ 1 ; 0], la courbe C coupe l axe des abscisses en un unique point. On notera α l abscisse de ce point. b. À l aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de α d amplitude Partie C : calcul d une aire 1. On considère la fonction G définie sur R p ar : Gx)= x 2 + x+ 1 ) e x+2). On note G la fonction dérivée de la fonction G sur R. Établir que pour tout nombre réel x, G x)= x x 2) e x+2). 2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Calculer l aire du domaine D du plan délimité par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équations respectives x = 0 et x = 1. Le résultat dont on donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au dixième, sera exprimé en unité d aire. Polynésie 29 juin 2011

30 Annexe problème) 2 C 1 1 O Polynésie 30 juin 2011

31 Durée : 4 heures Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole 16 septembre 2011 L utilisation d une calculatrice est autorisée pour cette épreuve. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. EXERCICE 1 On appelle C l ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct O, u, ) v d unité graphique 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d argument π 2. 5 points 1. Déterminer les nombres complexes z 1 et z 2 vérifiant le système suivant : { 3z1 + z 2 = 4 z 1 3z 2 = 4i 2. Soit M 1 et M 2 les points d affixes respectives z 1 = 3+i et z 2 = 1 i 3. Écrire z 1 et z 2 sous forme trigonométrique. 3. Placer de façon précise les points M 1 et M 2 dans le repère orthonormé défini précédemment. On laissera apparents les traits de construction.) 4. Calculer le module du nombre complexe z 2 z 1. O, u, ) v a. Construire le cercle de diamètre [M 1 M 2 ]. On laissera apparents les traits de construction.) b. Montrer, par deux méthodes différentes, que le point O appartient au cercle de diamètre [M 1 M 2 ]. EXERCICE 2 5 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte. Le barème est le suivant : 1 point pour une bonne réponse et 0 point pour une réponse fausse ou une absence de réponse. On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie. Une entreprise possède deux usines U 1 et U 2 produisant un même type de disque informatique à haute capacité. On a prélevé unités sortant de l usine U 1 et de l usine U 2. Ces disques peuvent présenter deux types de défauts : un défaut de diamètre noté D et un défaut d esthétique noté E. La répartition des différentes configurations est donnée dans le tableau ci-dessous : D seul E seul D et E ni D ni E total usine U usine U total Chaque disque ayant la même chance d être choisi, on choisit au hasard un disque parmi les prélevés.

32 1. La probabilité que le disque choisi soit fabriqué par l usine U 1 est a. 1,600 b. 0,667 c. 0,625 d. 0, La probabilité que le disque choisi présente au moins le défaut D est : a b c d La probabilité que le disque choisi présente le défaut D ou le défaut E est : a b c d On sait que le disque choisi provient de l usine U 2 La probabilité qu il présente uniquement le défaut D est : a b c d L entreprise décide de commercialiser les disques prélevés : les disques présentant les deux défauts sont invendables et sont détruits coûtant ainsi 0,50 euro chacun ; les disques présentant uniquement un défaut de diamètre D sont bradés au prix de 1,50 euros chacun : ceux présentant uniquement un défaut d esthétique E sont soldés au prix de 3 euros chacun enfin les disques sans défaut sont vendus au prix de 10 euros chacun. Sachant que le coût de fabrication d un disque est de 2 euros, on considère le bénéfice exprimé en euros réalisé par l entreprise sur la commercialisation de l ensemble des disques. L entreprise peut espérer un bénéfice, exprimé en euros, de : a b c d PROBLÈME 10 points Lors d un usinage, la partie active d un outil, en mouvement relatif par rapport à la pièce travaillée et aux copeaux que l on désire produire, est soumise à des sollicitations mécaniques et thermiques très importantes. On usine ici des barres cylindriques en alliage d aluminium). Le volume V, exprimé en centimètres cubes, de copeaux obtenus avant la mort de l outil est modélisé par la relation : V = e 0,002v e 0,004v) où v désigne la vitesse de coupe, exprimée en mètres par minute m.min 1). Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l une de l autre. Partie A L objectif de cette partie est de déterminer la vitesse de coupe conduisant à une production maximale de copeaux avant la mort de l outil. 1. Calculs préliminaires. Métropole septembre 2011

33 a. Calculer le volume, en cm 3, de copeaux obtenus avant la mort de l outil lorsque la vitesse de coupe est de mètres par minute ; on donnera la valeur approchée arrondie au cm 3. b. Calculer V lorsque v égale 0 m.min 1 ; pouvait-on prévoir ce résultat? 2. Étude de fonction numérique On considère la fonction numérique f, définie pour tout réel x de l intervalle [0 ; 1 200] par f x)=36000 e 0,002x e 0,004x). On note f la fonction dérivée de la fonction f, définie pour tout réel x de l intervalle [0 ; 1 200]. a. Vérifier que f x)=72e 0,002x 2e 0,002x 1 ) pour tout réel x de l intervalle [0 ; 1 200]. Soit g la fonction numérique, définie pour tout réel x de l intervalle [0 ; 1 200] par : 3. Bilan. g x)=2e 0,002x 1. La courbe représentative de la fonction g est donnée en annexe. b. Vérifier que la fonction g s annule en 500ln2). c. À l aide de la question b. et du graphique réalisé, déterminer le signe de g x) sur l intervalle [0 ; 1 200]. d. En déduire le signe de f x) sur cet intervalle. e. Dresser alors le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [0 ; 1 200]. f. On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal du plan unités : 1 cm pour 100 unités en abscisses et 1 cm pour unités en ordonnées). Tracer la courbe C dans ce repère orthogonal. a. Déduire de l étude précédente le volume maximal, en centimètres cubes, de copeaux que l on peut obtenir lors de l usinage d une pièce, avant la mort de l outil. b. Donner alors une valeur approchée, arrondie au mètre par minute, de la vitesse de coupe correspondante. Partie B L objectif de cette partie est, à vitesse de coupe donnée, de déterminer le nombre d outils nécessaires à l obtention de cm 3 de copeaux. 1. On considère désormais que la vitesse de coupe v est de 350 mètres par minute, et que la section d usinage s est de 0,004 centimètres carrés. a. Le temps d usinage T 0 exprimé en minutes), nécessaire pour obtenir cm 3 de copeaux est donné par la relation : T 0 = v 100 s = 100 v s où v désigne la vitesse de coupe, exprimée en mètres par minute m.min 1) et s est la section d usinage exprimée en centimètres carrés. Déterminer une valeur approchée par excès à la minute près) de ce temps d usinage T 0. Métropole septembre 2011

34 b. Le temps effectif de coupe d un outil exprimé en minutes), est donné par la relation T eff = C x n où x désigne la vitesse de coupe exprimée en mètres par minute. Dans le cas d une usure maximale possible de 0,3 millimètre, on obtient expérimentalement les valeurs suivantes : C 1, et n 2, 25. Déterminer une valeur approchée par défaut à la minute près) de ce temps effectif de coupe d un outil, noté T eff pour une vitesse de coupe de 350 mètres par minute. c. En déduire le nombre d outils nécessaires à l obtention de cm 3 de copeaux. d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte. L exposant négatif dans la relation T eff = 1, x 2,25 obtenue expérimentalement paraît-il conforme à l intuition? Justifier votre réponse. Métropole septembre 2011

35 ANNEXE : courbe représentative de g y 1 0 O x 1 Métropole septembre 2011

36 Durée : 4 heures Baccalauréat STI Polynésie septembre 2011 Génie mécanique, énergétique, civil EXERCICE 1 4 points Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct O, u, ) v. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d argument π 2. On considère les points A, B, C et D d affixes respectives. a= 2 3 2i, b= 2 2i 3, c = 4 et d = 4i 1. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes a et b. b. Placer les points A, B, C et D dans le plan muni du repère O, u, ) v d unité graphique 1 cm. 2. a. Montrer que les points A, B, C et D sont un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon. b. Vérifier que d a= 3c b). c. Calculer les distances AB et CD. d. Déduire des questions 2. b. et 2. c. que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle. EXERCICE 2 On considère l équation différentielle notée E) : 5 points y y = 0, où y désigne une fonction de la variable réelle définie et deux fois dérivable sur l ensemble R des nombres réels et où y désigne sa dérivée seconde. 1. Résoudre l équation différentielle E). 2. Déterminer l expression de la fonction ) f solution de l équation différentielle 3π E) qui vérifie les conditions f = 1 et f 3π)= On considère la fonction g définie sur l ensemble R des nombres réels par : g x)= ) 1 2cos 3 x. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction g, dans un repère orthogonal du plan. On note K la partie du plan comprise entre la courbe représentative de la fonction g, l axe des abscisses et les droites d équations respectives x = 0 et x =π.

37 1 K ) 2 a. Justifier que pour tout nombre réel x, [g x)] 2 = 1+cos 3 x. b. On considère le solide S engendré par La rotation de la partie K autour de l axe des abscisses. Calculer la valeur exacte, en unité de volume, du volume V du solide S. On rappelle que : V = π π 0 [g x)] 2 dx. PROBLÈME 11 points Partie A : exploitation d un graphique Le plan est muni d un repère orthogonal O, ı, ) j. La courbe C ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie sur l ensemble R des nombres réels par : f x)= xe x + ax 2 + bx+ c, où a, b et c désignent trois nombres réels. On note f la fonction dérivée de f sur R. Cette courbe C passe par les points A0 ; 2) et B 1 ; 3 e 1). Au point B, la tangente à la courbe C est parallèle à l axe des abscisses. La parabole P représente la fonction g définie sur l ensemble R des nombres réels par : g x)= x 2 2x+ 2. Polynésie 37 septembre 2011

38 C P a. Donner la valeur de f 0). En déduire la valeur de c. b. Donner la valeur de f 1). En déduire une relation entre a et b. 2. a. Donner la valeur de f 1). b. Exprimer f x) en fonction de a et de b. En déduire une deuxième relation entre a et b. 3. À l aide des questions 1. b. et 2. b., déterminer les valeurs de a et de b Dans la suite, on admettra que pour tout nombre réel x, f x) s exprime par : f x)= xe x x 2 2x+ 2. Partie B 1. a. Vérifier que f x) peut se mettre sous la forme x e x x 2)+ 2. b. Déterminer la limite de la fonction f en. Polynésie 38 septembre 2011

39 c. Déterminer, lorsque x tend vers, la limite de f x) g x). Interpréter graphiquement le résultat. d. Étudier les positions relatives des courbes C et P. e 2. a. Vérifier que f x) peut se mettre sous la forme x 2 x x 2 ) x b. Déterminer la limite de la fonction f en a. Établir que pour tout nombre réel x, f x)=x+ 1)e x 2). b. Résoudre dans l ensemble R des nombres réels l inéquation : e x 2>0. c. Déterminer le signe de f x) suivant les valeurs du nombre réel x. d. Dresser le tableau de variation de la fonction f. On donnera la valeur exacte de f ln2). Partie C : calcul d aire On considère les fonctions H et h définies sur l ensemble R des nombres réels par : Hx)=x 1)e x et hx)= xe x. 1. Montrer que la fonction H est une primitive de la fonction h sur R. 2. Calculer l aire du domaine du plan délimité par la courbe C, la parabole P et les droites d équations respectives x = 0 et x = ln 2. Le résultat sera exprimé en unité d aire. Polynésie 39 septembre 2011

40 Durée : 4 heures Baccalauréat STI Novembre 2011 Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil Nouvelle-Calédonie EXERCICE 1 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct O, u, ) v. 5 points Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 et dont un argument est π Résoudre, dans l ensemble des nombres complexes ; l équation d inconnue z on donnera les solutions sous forme algébrique) : z 2 2i) iz+ ) 3 3i = On note A, B et C les trois points du plan complexe d affixes respectives : a= 3+ 3i, b= 2+2i et c = 2e i π 3. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes a et b. b. Exprimer le nombre complexe c sous forme algébrique. c. Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère prendra 2 cm comme unité graphique. d. Démontrer que le triangle OCA est un triangle isocèle. O, u, v ). On 3. Justifier brièvement le fait que la droite AC) est parallèle à l axe des abscisses. En déduire la valeur exacte de l aire du triangle OCA. 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. La droite OB) est-elle une bissectrice du triangle OCA? EXERCICE 2 4 points Une société commercialise des appareils de deux types A et B. Pour chaque appareil vendu le client a le choix entre deux formules de paiement : immédiat ou fractionné. La société a vendu 200 appareils en La répartition des appareils vendus, selon le type et la formule de paiement, est détaillée dans le tableau suivant. Type A Type B Total Paiement immédiat Paiement fractionné Total Pour fidéliser sa clientèle, la société envisage de récompenser par un chèque cadeau l un de ses clients ayant acheté en 2010 un appareil de type A ou B. Pour cela, elle réalise un tirage aléatoire parmi les fiches des 200 appareils vendus. Le client correspondant sera récompensé. Pour cette expérience aléatoire, on note : A l évènement «la fiche tirée correspond à la vente d un appareil du type A» ; B l évènement «la fiche tirée correspond à la vente d un appareil du type B» ;

41 I l évènement «la fiche tirée correspond à la vente d un appareil avec paiement immédiat» ; F l évènement «la fiche tirée correspond à la vente d un appareil avec paiement fractionné». a. Déterminer la probabilité des évènements A et I. b. Calculer la probabilité que la fiche tirée corresponde à la vente d un appareil du type A et à un paiement fractionné. c. Calculer la probabilité que la fiche tirée corresponde à la vente d un appareil du type A ou à un paiement fractionné. 2. La société décide de moduler le montant du chèque cadeau correspondant à la fiche tirée au sort, selon le type d appareil et la formule de paiement. Ce montant est détaillé dans le tableau suivant. Type A Type B Paiement immédiat Chèque cadeau de 100e Chèque cadeau de 60e Paiement fractionné Chèque cadeau de 60e Chèque cadeau de 30e Le montant du chèque cadeau, exprimé en euro, est une variable aléatoire notée X prenant les trois valeurs 30, 60, 100. a. Quelle est la probabilité de l évènement X = 60)? b. Donner dans un tableau la loi de la variable aléatoire X c. Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire X 3. À titre incitatif, la société est à prête à augmenter le montant du chèque cadeau uniquement dans le cas où le tirage correspond à un appareil du type A réglé avec paiement immédiat. Le montant reste inchangé dans les autres cas. La société souhaite cependant que le montant moyen du chèque cadeau ne dépasse pas 55 e. Quel est le montant maximal du chèque cadeau que peut offrir la société, pour un tirage correspondant à un appareil du type A réglé avec paiement immédiat? PROBLÈME 11 points Une suspension, sur laquelle est placée une charge de masse M, est composée d un ressort vertical et, éventuellement, d un amortisseur schématisés ci-contre). Pour tout nombre réel t appartenant à l intervalle [0; + [. on désigne par yt) l amplitude du ressort à l instant t. On démontre en mécanique que l amplitude y du ressort, qui est une fonction supposée deux fois dérivable est solution de l équation différentielle : Ressort M Amortisseur E) y + c y + 4y = d, où c et d sont des constantes liées au système. Partie A - Système sans amortissement On suppose, dans cette partie uniquement, que c = 0 et d = 0. Nouvelle-Calédonie 41 novembre 2011

42 1. Résoudre l équation différentielle E), qui s écrit alors y + 4y = Déterminer la solution particulière de l équation différentielle E) vérifiant les égalités : y0)=1 et y 0)= 1. Partie B - Système amorti On suppose maintenant, après avoir modifié les paramètres du système, que l on a : c = 4 et d = 8. On admet qu une solution particulière de l équation différentielle E) est définie sur l intervalle [0 ; + [ par : f t)= At+ B)e 2t + 2, où A et B sont deux constantes réelles que l on va déterminer. 1. Détermination des constantes A et B On donne dans le plan muni d un repère orthogonal O, ı, ) j la représentation graphique Γ de la fonction f. 4 3 Γ 2 1 j O On précise que : ı la courbe Γ passe par le point de coordonnées 0 ; 4) ; la courbe Γ admet une tangente parallèle à l axe des abscisses en son point d abscisse 1. a. Déterminer à partir de ces renseignements la valeur de f 0). En déduire la valeur de la constante B. b. Exprimer f t) en fonction de A et de B. c. À partir des renseignements précédents, déterminer la valeur de f 1). En déduire la valeur de la constante A. 2. Étude de la fonction f On admet désormais que pour tout nombre réel t appartenant à l intervalle [0 ; + [ : f t)= 4t+ 2)e 2t + 2. a. En remarquant que, pour tout nombre réel t de l intervalle [0 ; + [ f t)= 4te 2t + 2e 2t + 2, déterminer lim f t). t + En déduire l existence d une asymptote à Γ dont on précisera une équation. b. Vérifier que la fonction dérivée f de la fonction f s exprime, pour tout nombre réel t appartenant à l intervalle [0 ; + [, par : f t) = 8t 1)e 2t. Nouvelle-Calédonie 42 novembre 2011

43 c. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [0 ; + [. Dresser le tableau de variations sur ce même intervalle. d. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Γ au point d abscisse Un calcul d intégrale Afin de mesurer les sollicitations de cet amortisseur, l une des données à recueillir est l amplitude moyenne du ressort sur l intervalle [0 ; 10] donnée par la relation : µ= f t) dt. a. Montrer que la fonction G définie sur l intervalle [0 ; + [ par Gt) = 2te 2t, est une primitive de la fonction g définie sur l intervalle [0 ; + [ par : g t)= 4t+ 2)e 2t. b. En déduire la valeur exacte de l amplitude moyenne µ du ressort puis la valeur approchée arrondie à l entier le plus proche. Nouvelle-Calédonie 43 novembre 2011