Partie 1 : de la notion de stabilité

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Partie 1 : de la notion de stabilité"

Transcription

1 p. 1/21 Théorie de Lyapunov pour les Σ autonomes Partie 1 : de la notion de stabilité Vincent MAHOUT

2 Le coupable...sergei Milkhailovich Lyapunov p. 2/21 Mathématicien Russe ( ) Contemporain à H.Poincaré qui développa également beaucoup de théorie dans ce domaine

3 Le coupable...sergei Milkhailovich Lyapunov p. 2/21 Mathématicien Russe ( ) Contemporain à H.Poincaré qui développa également beaucoup de théorie dans ce domaine Nombreux travaux sur la notion de stabilité du mouvement

4 p. 3/21 La stabilité, c est quoi? Qu est ce qui est stable? : un point d équilibre, une trajectoire, un système dynamique... Peut on "réduire" la stabilité à la non-instabilité? Si le système n explose pas, il est stable? La stabilité est-elle liée à l immobilité? Lyapunov a proposé un cadre mathématique précis à la notion de stabilité : on parle alors de système stable au sens de Lyapunov.

5 p. 4/21 Stabilité d un PE : notion intuitive Un point d équilibre est stable si lorsque on écarte le système de ce point d équilibre il y revient "naturellement" A B

6 p. 5/21 Type de système étudié? Les outils et méthodes présentés dans ce cours ne s appliquent qu à des systèmes non linéaires décrits par des EDO : Ẋ = f(x,γ f,t)

7 p. 5/21 Type de système étudié? Les outils et méthodes présentés dans ce cours ne s appliquent qu à des systèmes non linéaires décrits par des EDO : Ẋ = f(x,γ f,t) f est un champs de vecteur de dimension n

8 p. 5/21 Type de système étudié? Les outils et méthodes présentés dans ce cours ne s appliquent qu à des systèmes non linéaires décrits par des EDO : Ẋ = f(x,γ f,t) f est un champs de vecteur de dimension n X est l état et Γ f les paramètres de f

9 p. 5/21 Type de système étudié? Les outils et méthodes présentés dans ce cours ne s appliquent qu à des systèmes non linéaires décrits par des EDO : Ẋ = f(x,γ f,t) f est un champs de vecteur de dimension n X est l état et Γ f les paramètres de f Hypothèse : On considère que f possède une solution unique sur [0, ] pour chaque condition initiale X 0 Cette solution, notée X(t,Γ f,x 0 ) s appelle la trajectoire de phase ou trajectoire d état du système.

10 p. 6/21 Restriction au système autonome Dans cette partie : uniquement étude du cas des systèmes autonomes.

11 p. 6/21 Restriction au système autonome Dans cette partie : uniquement étude du cas des systèmes autonomes. Définition 1.1 ( Système autonome) Le système Ẋ = f(x,γ) où x est l état et Γ le vecteur paramètre, est dit autonome lorsque la fonction f ne dépend pas explicitement du temps.

12 En ne s intéressant qu aux systèmes autonomes, il est alors impossible de pouvoir traiter de la stabilité d un système excité par un signal non constant (en boucle ouverte) ou décrivant une trajectoire de référence (en boucle fermée). p. 6/21 Restriction au système autonome Dans cette partie : uniquement étude du cas des systèmes autonomes. Définition 1.1 ( Système autonome) Le système Ẋ = f(x,γ) où x est l état et Γ le vecteur paramètre, est dit autonome lorsque la fonction f ne dépend pas explicitement du temps. Définition 1.2 (Système non autonome ) Le système ẋ = f(x,γ,t) est dit non autonome lorsque la fonction f dépend explicitement du temps t.

13 p. 7/21 Et la commande? Les équations précédentes ne font pas intervenir le commande... En automatique ce qui nous intéresse c est l étude des système qui font intervenir une commande U comme : Ẋ = f(x,u,γ f )

14 p. 7/21 Et la commande? Les équations précédentes ne font pas intervenir le commande... En automatique ce qui nous intéresse c est l étude des système qui font intervenir une commande U comme : Ẋ = f(x,u,γ f ) Dans ce cours, on ne s intéresse ici qu à l analyse.

15 p. 7/21 Et la commande? Les équations précédentes ne font pas intervenir le commande... En automatique ce qui nous intéresse c est l étude des système qui font intervenir une commande U comme : Ẋ = f(x,u,γ f ) Dans ce cours, on ne s intéresse ici qu à l analyse. Boucle ouverte U = G bo (t,γ g ) Ẋ = f(x,g bo(t,γ g ),Γ f )

16 p. 7/21 Et la commande? Les équations précédentes ne font pas intervenir le commande... En automatique ce qui nous intéresse c est l étude des système qui font intervenir une commande U comme : Ẋ = f(x,u,γ f ) Dans ce cours, on ne s intéresse ici qu à l analyse. Boucle ouverte U = G bo (t,γ g ) Ẋ = f(x,g bo(t,γ g ),Γ f ) Boucle fermée U = G bf (t,x,γ g ) Ẋ = f(x,g bf(t,x,γ g ),Γ f )

17 p. 7/21 Et la commande? Les équations précédentes ne font pas intervenir le commande... En automatique ce qui nous intéresse c est l étude des système qui font intervenir une commande U comme : Ẋ = f(x,u,γ f ) Dans ce cours, on ne s intéresse ici qu à l analyse. Boucle ouverte U = G bo (t,γ g ) Ẋ = f(x,g bo(t,γ g ),Γ f ) Boucle fermée U = G bf (t,x,γ g ) Ẋ = f(x,g bf(t,x,γ g ),Γ f ) Dans les deux cas on se ramène à un système où la commande disparaît, mais NON AUTONOME

18 p. 8/21 L endroit où toutes les vitesses s annulent. Point d équilibre Définition 1.3 (Point équilibre) Un état X est un point d équilibre (ou singularité ou point fixe ou point critique) d un système s il vérifie dans le cas autonome. f(x,γ) = 0

19 p. 8/21 L endroit où toutes les vitesses s annulent. Point d équilibre Définition 1.3 (Point équilibre) Un état X est un point d équilibre (ou singularité ou point fixe ou point critique) d un système s il vérifie dans le cas autonome. f(x,γ) = 0 Cas linéaire : Ẋ = AX= 0 l origine (A régulière) ou infinité de solutions (A singulière)

20 p. 9/21 Exemple du pendule simple On considère le pendule libre de masse M, de longueur L et subissant un frottement b. Système mécanique à 1DDL Système dynamique ordre 2. La position x 1 = θ repère l angle avec la verticale et x 2 = θ est la vitesse angulaire. b L M

21 p. 9/21 Exemple du pendule simple On considère le pendule libre de masse M, de longueur L et subissant un frottement b. Système mécanique à 1DDL Système dynamique ordre 2. La position x 1 = θ repère l angle avec la verticale et x 2 = θ est la vitesse angulaire. b L Γ = d dt ( ) L θ L θ avec L = E c E p { ẋ1 = x 2 ẋ 2 = b ML 2 x 2 g L sin(x 1) M

22 p. 10/21 Modèle du pendule Energie potentielle : E p = 0 C(α)dα = 0 MLgsin(α)dα = θ θ [MgLcos(α)]0 θ E p = MgL(1 cos(θ)) Energie cinétique : E c = 1 2 Mv2 = 1 2 M (L θ) 2 (il vient de là le L 2 ) Lagrangien : L = E c E p = 1 2 ML2 θ2 MgL(1 cos(θ)) ( ) Equations du système : Γ = d L dt θ L θ ( b θ = d ML 2 θ ) (MgL( sin(θ))) dt θ = b ML 2 θ g L sin(θ)

23 p. 11/21 PE du pendule Pour le pendule ẋ = 0 { 0 = x2 0 = b ML 2 x 2 g L sin(x 1) Ce qui induit 2 familles de PE : (0[2π],0) (π[2π],0) Il n y a que deux positions mécaniques d équilibre mais une infinité mathématiquement parlant.

24 p. 12/21 Translation sur l origine On cherche à caractériser l équilibre (stable ou instable) Par facilité d écriture on ne s occupe que de la stabilité de l origine X = 0 Ce cas reste générique puisqu on peut toujours s y ramener par translation :

25 p. 12/21 Translation sur l origine On cherche à caractériser l équilibre (stable ou instable) Par facilité d écriture on ne s occupe que de la stabilité de l origine X = 0 Ce cas reste générique puisqu on peut toujours s y ramener par translation : Si X 0 est un PE pour le système f(x ) = 0 On pose : ξ = X X ξ = Ẋ = f(x) = f(ξ +X )

26 p. 12/21 Translation sur l origine On cherche à caractériser l équilibre (stable ou instable) Par facilité d écriture on ne s occupe que de la stabilité de l origine X = 0 Ce cas reste générique puisqu on peut toujours s y ramener par translation : Si X 0 est un PE pour le système f(x ) = 0 On pose : En notant g(ξ) = f(ξ +X ) ξ = X X ξ = Ẋ = f(x) = f(ξ +X )

27 p. 12/21 Translation sur l origine On cherche à caractériser l équilibre (stable ou instable) Par facilité d écriture on ne s occupe que de la stabilité de l origine X = 0 Ce cas reste générique puisqu on peut toujours s y ramener par translation : Si X 0 est un PE pour le système f(x ) = 0 On pose : En notant g(ξ) = f(ξ +X ) ξ = X X ξ = Ẋ = f(x) = f(ξ +X ) f(x ) = 0 est équivalent à étudier g(0) = 0, donc la stabilité de l origine

28 p. 13/21 Stabilité d une trajectoire Pas envisageable pour les systèmes autonomes Équivalent à une recherche de stabilité d un point d équilibre pour un système non autonome

29 p. 13/21 Stabilité d une trajectoire Pas envisageable pour les systèmes autonomes Équivalent à une recherche de stabilité d un point d équilibre pour un système non autonome En posant ε = X(t) X d (t) où X d (t) représente une trajectoire de référence à réaliser tq Ẋd = f(x d )

30 p. 13/21 Stabilité d une trajectoire Pas envisageable pour les systèmes autonomes Équivalent à une recherche de stabilité d un point d équilibre pour un système non autonome En posant ε = X(t) X d (t) où X d (t) représente une trajectoire de référence à réaliser tq Ẋd = f(x d ) On a pour le point initial X(0) = X d (0)+δ : ε = f(x d +ε,t) f(x d,t) = g(ε,t,x d (t))

31 p. 13/21 Stabilité d une trajectoire Pas envisageable pour les systèmes autonomes Équivalent à une recherche de stabilité d un point d équilibre pour un système non autonome En posant ε = X(t) X d (t) où X d (t) représente une trajectoire de référence à réaliser tq Ẋd = f(x d ) On a pour le point initial X(0) = X d (0)+δ : ε = f(x d +ε,t) f(x d,t) = g(ε,t,x d (t)) La recherche de stabilité du point d équilibre ε tq g(ε,t,x d (t) = 0 est équivalent à la recherche de stabilité en suivi de trajectoire. Si on vérifie que ε 0 quand t alors on vérifie que X(t) X d (t)

32 p. 14/21 Définition de la stabilité simple Définition 1.4 (Stabilité simple) Le point d équilibre x est simplement stable au sens de Lyapunov si ǫ 0, α > 0, x(0) x α x(t) x ǫ. Si le point d équilibre n est pas stable, alors il est instable.

33 p. 14/21 Définition de la stabilité simple Définition 1.4 (Stabilité simple) Le point d équilibre x est simplement stable au sens de Lyapunov si ǫ 0, α > 0, x(0) x α x(t) x ǫ. Si le point d équilibre n est pas stable, alors il est instable. Cette définition introduit la notion de norme (distance). On utilisera ici toujours des normes de type l p : X p = ( n i=1 x i p )1 p Application pour la norme Euclidienne (p = 2) : X = n i=1 x 2 i

34 p. 15/21 Définition de la stabilité simple Interprétation géométrique : Origine est simplement stable Origine est instable

35 p. 16/21 Stabilité simple vs instabilité Exemple de l oscillateur de Van Der Pol Van der Pol Equation XY Graph 1-u(1)^2 x 2 x 1 1/s 1/s x_ 1 Scope x_ 2

36 p. 17/21 Stabilité simple vs instabilité Plan de phase : existence d un cycle limite. On reste à proximité de l origine L origine n est pas simplement stable : si ǫ définie un cercle intérieur au cycle limite, il n existe pas α pour vérifier la condition de stabilité!! Attention!! Cela ne veut pas dire que le système est instable, mais que l origine n est pas simplement stable!

37 Stabilité simple vs instabilité p. 18/21

38 p. 19/21 Définition de la stabilité asymptotique Définition 1.5 (Stabilité asymptotique ) Le point d équilibre x est asymptotiquement stable s il est stable et si on peut choisir α tel que : x(0) x α lim t + x(t) = x

39 p. 19/21 Définition de la stabilité asymptotique Définition 1.5 (Stabilité asymptotique ) Le point d équilibre x est asymptotiquement stable s il est stable et si on peut choisir α tel que : x(0) x α lim t + x(t) = x Origine est stable asymptotiquement

40 p. 19/21 Définition de la stabilité asymptotique Définition 1.5 (Stabilité asymptotique ) Le point d équilibre x est asymptotiquement stable s il est stable et si on peut choisir α tel que : x(0) x α lim t + x(t) = x Origine est stable asymptotiquement Stabilité asymptotique = Stabilité + CONVERGENCE

41 p. 20/21 Définition de la stabilité exponentielle Définition 1.6 (Stabilité exponentielle) Le point d équilibre x est exponentiellement stable s il est asymptotiquement stable et s il existe 2 réels positifs ǫ et λ tels que x(0) x α x(t) x ǫ x(0) x e λt, t 0 λ est appelé taux de convergence. On impose une rapidité de convergence au système. Très difficile à trouver ou à prouver dans le cas général.

42 p. 21/21 Locale ou globale? Les définitions précédentes correspondent à des comportements locaux autour des points d équilibre La stabilité globale implique que toutes les trajectoires de phase convergent vers ce PE

43 p. 21/21 Locale ou globale? Les définitions précédentes correspondent à des comportements locaux autour des points d équilibre La stabilité globale implique que toutes les trajectoires de phase convergent vers ce PE Définition 1.7 (Stabilité globale) Si la condition de stabilité asymptotique (resp. exponentielle) est vérifiée dans tout R n (cad ǫ), le point d équilibre est globalement asymptotiquement (resp. exponentiellement) stable.

44 p. 21/21 Locale ou globale? Les définitions précédentes correspondent à des comportements locaux autour des points d équilibre La stabilité globale implique que toutes les trajectoires de phase convergent vers ce PE Définition 1.7 (Stabilité globale) Si la condition de stabilité asymptotique (resp. exponentielle) est vérifiée dans tout R n (cad ǫ), le point d équilibre est globalement asymptotiquement (resp. exponentiellement) stable. Un PE globalement asymptotiquement stable est obligatoirement unique.

... quelques éléments

... quelques éléments vincent.mahout@insa-toulouse.fr p. 1/25 Théorie de Lyapunov pour les Σ non linéaires non autonome... quelques éléments Vincent MAHOUT vincent.mahout@insa-toulouse.fr p. 2/25 Où est le problème? Que se

Plus en détail

Représentation et analyse des systèmes linéaires Cours 3 Stabilité des systèmes dynamiques

Représentation et analyse des systèmes linéaires Cours 3 Stabilité des systèmes dynamiques Représentation et analyse des systèmes linéaires Cours 3 Stabilité des systèmes dynamiques Stabilité des systèmes dynamiques 2 ➊ Concept crucial pour la commande des systèmes dynamiques Stabilité des systèmes

Plus en détail

Plan Général du Cours Stabilité des structures

Plan Général du Cours Stabilité des structures 1 Plan Général du Cours Stabilité des structures Définition de la stabilité, bifurcation Système à un degré de liberté Système à nombre fini de ddls Extension au continu (interface fluide,...) Applications

Plus en détail

Corrigé 4. Points fixes, linéarisation

Corrigé 4. Points fixes, linéarisation Corrigé 4. Points fixes, linéarisation Exercice 6. Systèmes dynamiques linéaires Soit le système dynamique linéaire ẋ = Ax, A. = [ ] 0 0 et x = (x, y) La solution de condition initiale x 0 est x(t) = e

Plus en détail

Énergie potentielle - Énergie

Énergie potentielle - Énergie MPSI - 2006/2007 - Mécanique I - Énergie potentielle - Énergie mécanique - Problèmes à un degré de liberté page 1/6 Énergie potentielle - Énergie mécanique - Problèmes à un degré de liberté Dans le chapitre

Plus en détail

Étude de fonction et de courbes dans le plan

Étude de fonction et de courbes dans le plan Chapitre Étude de fonction et de courbes dans le plan Dans ce chapitre on étudie le problème suivant : étant donne une fonction donné par f) y, comment tracer approimativement la courbe représentative

Plus en détail

Analyse Numérique Equations différentielles ordinaires

Analyse Numérique Equations différentielles ordinaires 1 Master Mathématiques et Applications 1ère année Aix-Marseille Université Année 2010-2011 Analyse Numérique Equations différentielles ordinaires Exercice 1 Résoudre les équations différentielles suivantes

Plus en détail

G x n+1. = y n, = y n+1.

G x n+1. = y n, = y n+1. Phénomènes Non-Linéaires et Chaos I Exercices 2008 Série 1. Fonctions Génératrices Exercice 1. Billard (Stade de Bunimovich) Soit une application T : (x n,y n ) (x n+1,y n+1 ). On appelle fonction génératrice

Plus en détail

Systèmes Linéaires: Analyse moderne des systèmes dynamiques 5: Stabilité des systèmes dynamiques. Antoine Drouin. October 2013

Systèmes Linéaires: Analyse moderne des systèmes dynamiques 5: Stabilité des systèmes dynamiques. Antoine Drouin. October 2013 Systèmes Linéaires: Analyse moderne des systèmes dynamiques 5: Stabilité des systèmes dynamiques Antoine Drouin (drouin@recherche.enac.fr) ENAC/MAIAA October 2013 Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires

Plus en détail

Cours de mécanique. M13-Oscillateurs

Cours de mécanique. M13-Oscillateurs Cours de mécanique M13-Oscillateurs 1 Introduction Nous étudierons dans ce chapitre en premier lieu l oscillateur harmonique solide-ressort horizontale, nous introduirons donc la force de rappel du ressort

Plus en détail

Courbes planes parametrées et polaires

Courbes planes parametrées et polaires CPGE My Youssef, Rabat Õæ k QË@ á Ô g QË@ é

Plus en détail

La valeur positive extrême (ou maximale) prise par l abscisse angulaire est appelée amplitude de l oscillation.

La valeur positive extrême (ou maximale) prise par l abscisse angulaire est appelée amplitude de l oscillation. Terminale S Chapitre 12 Les systèmes mécaniques oscillants. Lycée J-B Schwilgué - SELESTAT I. Exemples de systèmes oscillants. 1. L oscillateur. On appelle oscillateur (ou système oscillant) un système

Plus en détail

Oscillateurs. Une oscillation est le mouvement effectué par le système entre deux passages consécutifs à la même position et dans le même sens.

Oscillateurs. Une oscillation est le mouvement effectué par le système entre deux passages consécutifs à la même position et dans le même sens. I - Systèmes oscillants et mouvement sinusoïdal 1) Système mécanique oscillant Oscillateurs On appelle système mécanique oscillant un système matériel pouvant évoluer de part et d'autre d'une position

Plus en détail

Par Jean-Christophe Yoccoz

Par Jean-Christophe Yoccoz Une erreur féconde du mathématicien Henri Poincaré, Par Jean-Christophe Yoccoz UPJV, Amiens, le 8 février 2012 Préconférence par Véronique Martin, Samuel Petite, Emmanuelle Sebert, Barbara Schapira, Gabriel

Plus en détail

Représentation d'état:

Représentation d'état: Représentation d'état: Analyse moderne des systèmes dynamiques 4: Stabilité des systèmes dynamiques Antoine Drouin (drouin@recherche.enac.fr) ENAC/MAIAA Octobre 2014 Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Représentation

Plus en détail

UGA 2016/17 Feuille d exercices 1 : courbes mat307

UGA 2016/17 Feuille d exercices 1 : courbes mat307 UGA 2016/17 Feuille d exercices 1 : courbes mat307 Exercice 0, rappels de géométrie analytique, complexes et trigonométrie 1. Déterminer la pente, le vecteur directeur et l équation cartésienne de la tangente

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. Soit IP le plan vectoriel IR 2 muni du produit scalaire usuel et orienté par la base

MATHÉMATIQUES II. Soit IP le plan vectoriel IR 2 muni du produit scalaire usuel et orienté par la base MATHÉMATIQUES II Soit IP le plan vectoriel IR 2 muni du produit scalaire usuel et orienté par la base canonique (, ij) On notera o = (,) 00 l origine du plan Tout élément ( xy, ) de IP peut s interpréter

Plus en détail

ENSTA - COURS MS 204 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS

ENSTA - COURS MS 204 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS ENSTA - COURS MS 204 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS Amphi 6 RAPPEL Mise en ligne des documents : PC 5 : Les fichiers.m matlab dont le corrigé : TD5d.m: http://www.ensta-paristech.fr/

Plus en détail

Dérivation : Exercices. , et M le point du cercle. ( h)

Dérivation : Exercices. , et M le point du cercle. ( h) Amerinsa - Ecole d été Dérivation : Eercices Eercice : Nombre dérivé de fonctions de base Soit 0 un réel. Pour chacune des fonctions suivantes, préciser à quel intervalle doit appartenir 0 pour que la

Plus en détail

FX 24 - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

FX 24 - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Lycée Thiers FX 24 - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES EDL - 1 Soit n N. Résoudre sur ], + [ l équation différentielle 2t + = t n. Résoudre sur R l équation différentielle ch (t) + sh (t) = 1 1 + t 2. Soit I un

Plus en détail

Etude du mouvement du pendule couplé

Etude du mouvement du pendule couplé Etude du mouvement du pendule couplé Matthieu Schaller matthieu.schaller@epfl.ch 12 novembre 2007 Table des matières 1 Introduction 2 2 Equations du mouvement 2 2.1 Formalisme de Lagrange.....................

Plus en détail

Corrections. Fig. 1: La cycloïde ; l intervalle t ( π, π] se trouve au centre (gras, bleu)

Corrections. Fig. 1: La cycloïde ; l intervalle t ( π, π] se trouve au centre (gras, bleu) Corrections 1 Paramétrage Cartésien Correction de l exercice 1.1 (La cycloïde) Soit (Γ) la courbe définie par la représentation x(t) = 3(t sin(t)), y(t) = 3(1 cos(t)). 1. x(t) et y(t) sont bien définies

Plus en détail

Examen de Mécanique Analytique. Professeur: P. De Los Rios. Epreuve du 20 février Durée: 4 heures - Sans document

Examen de Mécanique Analytique. Professeur: P. De Los Rios. Epreuve du 20 février Durée: 4 heures - Sans document Examen de Mécanique Analytique Professeur: P. De Los Rios Epreuve du 2 février 27 - Durée: 4 heures - Sans document Exercice 1 Plan incliné (6 points On considère une masse m glissant sans frottement sur

Plus en détail

Un exemple de problème à résoudre. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. p.4/27. La démarche de l ingénieur mathématicien

Un exemple de problème à résoudre. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. p.4/27. La démarche de l ingénieur mathématicien Un exemple de problème à résoudre. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. Patrick Joly INRIA-Rocquencourt Exemple: la conduction de la chaleur. Soit un domaine de R N (N =,, 3)

Plus en détail

1 Équations cartésiennes, équations polaires d un ensemble de points

1 Équations cartésiennes, équations polaires d un ensemble de points Plans, cercles, droites et sphères Ce chapitre aborde les objets fondamentaux utilisés en géométrie : droites et cercles dans le plan, plans, droites et sphères dans l espace. Les objectifs du chapitre

Plus en détail

Mécanique Chapitre 1 : Cinématique du point matériel

Mécanique Chapitre 1 : Cinématique du point matériel Lycée François Arago Perpignan M.P.S.I. 2012-2013 Mécanique Chapitre 1 : Cinématique du point matériel On se place dans le cadre de la mécanique classique (newtonienne) qui convient très bien pour expliquer

Plus en détail

Introduction à la théorie des systèmes dynamiques à temps discret

Introduction à la théorie des systèmes dynamiques à temps discret Introduction à la théorie des systèmes dynamiques à temps discret Anna Désilles 24 septembre 2003 Table des matières 1 Notions générales de la théorie des systèmes dynamiques 5 1 Introduction............................

Plus en détail

TD 3: Suites réelles

TD 3: Suites réelles Université Pierre et Marie Curie Année 2011/2012 LM115 TD 3: Suites réelles MIME Convergence des suites : Par définition, une suite (u n ) converge vers un réel l si : Pour tout ɛ réel strictement positif,

Plus en détail

Mathématiques - département MP, S2

Mathématiques - département MP, S2 Mathématiques - département MP, S 11 mars 006 Table des matières 1 Courbes paramétrées 1.1 Équation cartésienne, équation paramétrique, équation polaire 1.1.1 La droite.......................... 4 1.1.

Plus en détail

oscillateurs et ondes progressive

oscillateurs et ondes progressive oscillateurs et ondes progressive Ce cours reprend le cours de madame Grenier de 2007, il constitue une aide et en aucun cas une référence pour le concours! C est un résumé du cours de madame Grenier,

Plus en détail

Cinématique du point

Cinématique du point Notes de Cours PS 91 Cinématique du point La cinématique du point est l étude du mouvement d un point matériel indépendamment des causes de ce mouvement. En pratique l approximation du point matériel peut

Plus en détail

CHAPITRE I Oscillations libres non amorties Système à un degré de liberté CHAPITRE I

CHAPITRE I Oscillations libres non amorties Système à un degré de liberté CHAPITRE I Page1 CHAPITRE I Oscillations libres non amorties : Système à un degré de liberté I.1 Généralités sur les vibrations I.1.1 Mouvement périodique : Définition : C est un mouvement qui se répète à intervalles

Plus en détail

Exercices sur les Coniques

Exercices sur les Coniques Exercices sur les Coniques Christian CYRILLE 5 novembre 008 Racontez l odyssée d une jeune conique en mal d excentricité qui, échappée de ses foyers, y est ramenée par une amie de la directrice grâce à

Plus en détail

( ) ( ) Terminale S Chapitre 10 «Nombres complexes 2 ème partie» Page 1 sur 9. I) Forme exponentielle. 1) Argument du produit

( ) ( ) Terminale S Chapitre 10 «Nombres complexes 2 ème partie» Page 1 sur 9. I) Forme exponentielle. 1) Argument du produit Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page sur 9 I) Forme exponentielle ) Argument du produit Propriété : Soient deux nombres complexes et d'arguments respectifs θ et θ. A B A B Alors un

Plus en détail

Matière : Physique Classe : SG.

Matière : Physique Classe : SG. Matière : Physique Classe : SG. Premier exercice (7pts) : étude énergétique Un jouet d'enfant est formé d'un rail placé dans un plan vertical comme indique la figure ci-dessous. La partie ABC est un trajet

Plus en détail

Chapitre II Oscillations libres amorties des systèmes à un seul degré

Chapitre II Oscillations libres amorties des systèmes à un seul degré Chapitre II Oscillations libres amorties des systèmes à un seul degré de liberté 1. Introduction : Oscillations libres amortis des mouvements oscillatoires dont l amplitude diminue au cours du temps jusqu

Plus en détail

Équations différentielles - Cours no 2 Résultats Généraux sur les équations différentielles

Équations différentielles - Cours no 2 Résultats Généraux sur les équations différentielles Équations différentielles - Cours no 2 Résultats Généraux sur les équations différentielles 1 Problème de Cauchy Cadre : I intervalle ouvert de R, Ω ouvert connexe d un espace de Banach E, f application

Plus en détail

CORRIGE SERIE 11 : OSCILLATIONS MECANIQUES EXERCICE 1 PARTIE

CORRIGE SERIE 11 : OSCILLATIONS MECANIQUES EXERCICE 1 PARTIE CORRIGE SERIE 11 : OSCILLATIONS MECANIQUES EXERCICE 1 PARTIE 1 1 ) «Evoluer de façon alternative et périodique» signifie osciller entre une valeur maximale et une valeur minimale en répétant le phénomène

Plus en détail

Exercice 1 (11 points)

Exercice 1 (11 points) 1 Examen de Mécanique Analytique Professeur: P. De Los Rios Epreuve du 22 janvier 28 - Durée: 4 heures - Sans document Exercice 1 (11 points) g θ r m 1 y x k, l m 2 Deux billes sont reliées par un ressort

Plus en détail

Dossier n 51 : Exemples d étude de situations issues de la géométrie, de la mécanique ou de la physique, conduisant à des courbes paramétrées

Dossier n 51 : Exemples d étude de situations issues de la géométrie, de la mécanique ou de la physique, conduisant à des courbes paramétrées Dossier n 51 : Exemples d étude de situations issues de la géométrie, de la mécanique ou de la physique, conduisant à des courbes paramétrées Rédigé par Cécile COURTOIS, le cecile-courtois@wanadoo.fr I

Plus en détail

2/19. Hayate Khennouf. Bouclage. fonctionnel. Laplace. Fonction de transfert. Associations 4/19. Hayate Khennouf. Bouclage. fonctionnel.

2/19. Hayate Khennouf. Bouclage. fonctionnel. Laplace. Fonction de transfert. Associations 4/19. Hayate Khennouf. Bouclage. fonctionnel. /9 2/9 Chapitre I : des systèmes un système est une boîte noire qui possède des entrées sur lesquelles nous allons pouvoir agir les actions et des sorties qui nous permettent d observer les réactions induites

Plus en détail

Feuille TD n 1 : Calcul approché

Feuille TD n 1 : Calcul approché Feuille TD n : Calcul approché Exercice. Convertir (.) 2 en hexadécimal, octal et décimal. Exercice 2. Proposer une méthode pour éviter la perte de précision dans les calculs suivants :. e x sin(x) cos(x)

Plus en détail

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6.

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6. Exercice 1 : Dire en justifiant si les suites (u n ) définies ci-dessous sont arithmétiques, géométriques ou ni l'un ni l'autre. Dans le cas où elles sont arithmétiques ou géométriques, préciser le premier

Plus en détail

COURS MA103. Introduction aux équations aux dérivées partielles hyperboliques et à leur discrétisation par différences finies.

COURS MA103. Introduction aux équations aux dérivées partielles hyperboliques et à leur discrétisation par différences finies. COURS MA103 Introduction aux équations aux dérivées partielles hyperboliques et à leur discrétisation par différences finies Patrick Joly 1 Equation aux dérivées partielles : équation dont l inconnue est

Plus en détail

Exercice I.1 Montrer que la somme de vecteurs et le produit d un vecteur par un nombre réel donnent à IR 3 une structure d espace vectoriel sur IR.

Exercice I.1 Montrer que la somme de vecteurs et le produit d un vecteur par un nombre réel donnent à IR 3 une structure d espace vectoriel sur IR. Exercices avec corrigé succinct du chapitre 1 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qui apparaissent dans ce texte sont bien définis dans la version

Plus en détail

Le pendule pesant. 1. Schéma. 2. Etude du mouvement du pendule pesant. par Gilbert Gastebois

Le pendule pesant. 1. Schéma. 2. Etude du mouvement du pendule pesant. par Gilbert Gastebois 1. Schéma Le pendule pesant par Gilbert Gastebois L 0 Longueur du pendule = distance entre l'axe et le centre de gravité du pendule. m Masse du pendule J Moment d'inertie du pendule par rapport à son axe.

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. 2 2 à coefficients réels dont l élément nul est noté 0, et S 2 formé des matrices symétriques.

MATHÉMATIQUES II. 2 2 à coefficients réels dont l élément nul est noté 0, et S 2 formé des matrices symétriques. MATHÉMATIQUES II Dans tout le problème, M désigne le IR -espace vectoriel des matrices carrées à coefficients réels dont l élément nul est noté 0, et S le sous-espace vectoriel de M formé des matrices

Plus en détail

Sous-variétés de R n. Chapitre 9

Sous-variétés de R n. Chapitre 9 Chapitre 9 Sous-variétés de R n Après avoir considéré des fonctions définies sur des intervalles de R (autrement dit des morceaux de droites) puis sur des morceaux de plans ou d espaces de dimensions quelconques,

Plus en détail

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R, x 0 R, f est une fonction définie sur son domaine de définition D f à valeurs réelles. C f désigne

Plus en détail

1. Sur un schéma représentez la force gravitationnelle exercée par la Terre (masse M T ) sur un satellite S (masse m S ) situé à la distance r de son

1. Sur un schéma représentez la force gravitationnelle exercée par la Terre (masse M T ) sur un satellite S (masse m S ) situé à la distance r de son Physique TC 1 Correction 1. Sur un schéma représentez la force gravitationnelle exercée par la Terre (masse M T ) sur un satellite S (masse m S ) situé à la distance r de son centre. 2. Proposer une expression

Plus en détail

Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec

Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec 1/Les Nombres Complexes Chapitre 4 Les Nombres Complexes. I. Définitions Objectif : On veut «construire» un ensemble de nombres contenant l ensemble des nombres réels, muni de deux opérations qui généralisent

Plus en détail

Simulation numérique, contexte

Simulation numérique, contexte Introduction à la Simulation Numérique Jérémie Gressier Septembre 21 1 / 41 Plan 1 Présentation 2 Différences Finies 3 Intégration d un problème de Cauchy 4 Conclusion 2 / 41 Simulation numérique, contexte

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL Chapitre 15 : FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/2014 1 Objets du calcul différentiel du premier ordre 2 1.1 Dérivées partielles et gradient..................................

Plus en détail

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1 Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com Calculer avec la fonction exponentielle Simplifier les expressions suivantes où x est un réel quelconque : a) e1+x

Plus en détail

Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007

Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007 Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007 Corrigé en janvier 2009 Rapidité de convergence d une suite réelle L objectif de ce texte est de se donner des outils pour «mesurer» la rapidité

Plus en détail

Fonction exponentielle TD Année

Fonction exponentielle TD Année Fonction exponentielle TD Année 009-010 Exercice 1 Sans l aide de la calculatrice, simplifier les nombres suivants : 1. ln(e 5 ) 3. ln( 5. eln+ln3. e ln7 4. e ln4 1 ) e 3 Exercice En utilisant notamment

Plus en détail

Courbes en coordonnées polaires

Courbes en coordonnées polaires [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 Courbes en coordonnées polaires Exercice 1 [ 00597 ] [correction] Etudier la courbe d équation polaire Exercice 2 [ 00592 ] [correction]

Plus en détail

Pour démarrer la classe de terminale S. Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S. Paul Milan

Pour démarrer la classe de terminale S. Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S. Paul Milan Pour démarrer la classe de terminale S Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S Paul Milan 8 novembre 015 Table des matières 1 Second degré 7 1 Forme canonique............................. 7 Racines du

Plus en détail

A- MOUVEMENT CIRCULAIRE

A- MOUVEMENT CIRCULAIRE CHAPITRE 3 MOUVEMENTS PARTICULIERS A- Mouvement circulaire B- Mouvement oscillatoire Pr. M. ABD-LEFDIL Université Mohammed V- Agdal Département de Physique Année universitaire 5-6 SVI-STU A- MOUVEMENT

Plus en détail

Dans tout ce qui suit, on se place dans un espace vectoriel euclidien E de dimension 2.

Dans tout ce qui suit, on se place dans un espace vectoriel euclidien E de dimension 2. Chapitre 3 Les angles 3.1 Angles orientés de vecteurs du plan 3.1.1 Groupe des rotations Dans tout ce qui suit, on se place dans un espace vectoriel euclidien E de dimension 2. Définition 3.1 On appelle

Plus en détail

Recherche des extremums d une fonction

Recherche des extremums d une fonction DOCUMENT 32 Recherche des etremums d une fonction 1. Introduction De nombreuses situations issues des mathématiques, des sciences epérimentales ou de la vie économique et sociale conduisent à la recherche

Plus en détail

Outils mathématiques. TD1 Exercices de logique

Outils mathématiques. TD1 Exercices de logique TD1 Exercices de logique Exercice 1. Considérons les deux affirmations suivantes P 1 : «Les basketteurs de ce tournoi mesurent tous au moins deux mètres de haut.» P 2 : «Un au moins de ces basketteurs

Plus en détail

Exo7. Courbes planes. 1 Courbes d équation y = f (x) 2 Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes. Fiche de Léa Blanc-Centi.

Exo7. Courbes planes. 1 Courbes d équation y = f (x) 2 Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes. Fiche de Léa Blanc-Centi. Eo7 Courbes planes Fiche de Léa Blanc-Centi. Courbes d équation = f () Eercice Représenter les courbes d équation cartésienne = f (), donner l équation de leur tangente au point d abscisse = et la position

Plus en détail

TP Oscillateur de torsion

TP Oscillateur de torsion TP Oscillateur de torsion Objectif : étude des oscillations libres et forcées d un pendule de torsion 1 Principe général 1.1 Définition Un pendule de torsion est constitué par un fil large (métallique)

Plus en détail

Cours de Mathématiques Continuité, dérivabilité, convexité

Cours de Mathématiques Continuité, dérivabilité, convexité Table des matières I Continuité....................................... 2 I.1 Continuité en un point............................ 2 I.2 Propriétés................................... 3 I.3 Continuité sur

Plus en détail

MAT 1200: Introduction à l algèbre linéaire

MAT 1200: Introduction à l algèbre linéaire MAT 1200: Introduction à l algèbre linéaire Saïd EL MORCHID Département de Mathématiques et de Statistique Chapitre 6: Les transformations géométriques Références Cas de dimension 2 La translation La rotation

Plus en détail

Chapitre 2 Développements limités. Etude locale d une fonction.

Chapitre 2 Développements limités. Etude locale d une fonction. hapitre 2 Développements limités. Etude locale d une fonction. I Introduction : le cas de la fonction eponentielle A Approimation affine de ep au voisinage de 0 n notera f la fonction eponentielle f :

Plus en détail

Oscillateur harmonique - Régime libre

Oscillateur harmonique - Régime libre Mécanique 2 - Oscillations libres page 1/9 Oscillateur harmonique - Régime libre Table des matières 1 Oscillateur harmonique 1 2 Oscillations libres 2 2.1 Pulsation propre - Isochronisme des oscillations........

Plus en détail

UFR des Sciences, Département EEA. M2 EEAII Parcours ViRob. Fabio MORBIDI

UFR des Sciences, Département EEA. M2 EEAII Parcours ViRob. Fabio MORBIDI UFR des Sciences, Département EEA M2 EEAII Parcours ViRob Fabio MORBIDI Laboratoire MIS! Équipe Perception et Robotique! E-mail: fabio.morbidi@u-picardie.fr! Semestre 9, 2014/2015 Plan du cours 1ère partie:

Plus en détail

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ Chapitre 8 : COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2015/2016 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles 2 1.1 Généralités.............................................

Plus en détail

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S I Notion de continuité 1) Fonctions continues Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Remarques : On dit que f est continue en a si lim f(x) = f(a) On dit que f est

Plus en détail

Géométrie dans les espaces préhilbertiens

Géométrie dans les espaces préhilbertiens 13 Géométrie dans les espaces préhilbertiens Pour ce chapitre (E, ) est un espace préhilbertien et est la norme associée. 13.1 Mesures de l angle non orienté de deux vecteurs non nuls L inégalité de Cauchy-Schwarz

Plus en détail

Tronc commun scientifique Mahdade Allal année scolaire Énergie cinétique et travail : activités

Tronc commun scientifique Mahdade Allal année scolaire Énergie cinétique et travail : activités Énergie cinétique et travail : activités Application 1 a. Calculer l énergie cinétique : d une voiture de masse 1, 0tonnes roulant à 90km/h d un camion de masse 30tonnes roulant à 90km/h b. Calculer la

Plus en détail

x 1 0 et que, sur l intervalle ; 2 4

x 1 0 et que, sur l intervalle ; 2 4 Polynésie septembre 015 EXERCICE 1 7 points Commun à tous les candidats Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante. On rappelle que la partie réelle d un nombre complexe z est notée

Plus en détail

Les fonctions réciproques

Les fonctions réciproques DOCUMENT 28 Les fonctions réciproques 1. Introduction et définition Pour tout ensemble E, il existe une loi de composition naturelle sur l ensemble des applications de E dans E qui est la composition des

Plus en détail

ENSEMBLES ET APPLICATIONS

ENSEMBLES ET APPLICATIONS ENSEMBLES ET APPLICATIONS 1 Applications : définitions ensemblistes Définition 1.1 Application Soient E et F deux ensembles. On appelle application de E dans F un objet { mathématique f qui à tout élément

Plus en détail

Vincent Pilaud Kholles de mathématiques 8 novembre 2005 MP* - Lycée Charlemagne - Paris a 0 a 1...,a n V (a 0,...

Vincent Pilaud Kholles de mathématiques 8 novembre 2005 MP* - Lycée Charlemagne - Paris a 0 a 1...,a n V (a 0,... Vincent Pilaud Kholles de mathématiques 8 novembre 2005 MP* - Lycée Charlemagne - Paris Algèbre linéaire 1 Déterminants Exercice [Van Der Monde] 1 Soient a 0,,a n K Calculer 1 1 1 a 0 a 1,a n V (a 0,,a

Plus en détail

1.2 Plan d étude et exemples types.

1.2 Plan d étude et exemples types. Université de Rennes Licence Biologie Mathématiques Année 2008-2009.2 Plan d étude et exemples types..2. But Le but de ce chapitre est d étudier les fonctions comme celles données dans les exemples précédents.

Plus en détail

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Lycée Paul Doumer 0-04 TS Cours Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Contents Équation du second degré. Racines carrées..................................... Équation du second degré à

Plus en détail

TD Correction des SLCI

TD Correction des SLCI TD Correction des SLCI Compétences travaillées : Déterminer la précision en régime permanent, Quantifier les performances d un SLCI : o calculer rapidement l erreur, caractérisant la précision, o appliquer

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Sommaire Sommaire I Applications continûment différentiables............... 2 I.1 Applications coordonnées......................... 2 I.2 Applications partielles........................... 2 I.3 Continuité..................................

Plus en détail

8 v 7.1 Oscillations 1

8 v 7.1 Oscillations 1 8 Oscillations v 7.1 Mouvement oscillatoire exemples d'oscillations : pendule de Galilée corde d'une guitare, air dans une flûte, dans un tuyau d'orgue propagation du son dans la matière vibrations des

Plus en détail

PLAN DE LECON DYNAMIQUE

PLAN DE LECON DYNAMIQUE PLAN DE LECON DYNAMIQUE Objectifs spécifiques : A la fin de la séance l étudiant doit être capable de : Déterminer le torseur Dynamique d un solide en mouvement par rapport à un repère. Appliquer le principe

Plus en détail

analyse dimensionnelle

analyse dimensionnelle analyse dimensionnelle La physique cherche à décrire les phénomènes de manière qualitative et quantitative. Elle doit donc les caractériser par des grandeurs susceptibles d être mesurées. 1. définitions

Plus en détail

Introduction. Plan de phase. Introduction. Introduction

Introduction. Plan de phase. Introduction. Introduction Introduction Plan de phase Guy Gauthier École de technologie supérieure Département de génie de la production automatisée 4 septembre 202 Dans mon jeune temps (a very long time ago!!!) lors de mon premier

Plus en détail

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions 1 Les suites numériques (rappel de première)... 4 1.1 Généralités... 4 1.2 Plusieurs méthodes pour générer une suite... 4 2 Exemples d algorithmes

Plus en détail

Un corrigé du dossier 55

Un corrigé du dossier 55 Un corrigé du dossier 55 Daniel PERRIN Introduction Je donne exceptionnellement un corrigé du dossier 1 55 sur le thème fonctions de référence : f + λ, λf, etc. La raison de cette exception est que la

Plus en détail

CONCOURS ESIM FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. + (puisque α n est pas entier) απ α 2 n 2 cos(nx). Maintenant, g est de classe C 1 par morceaux.

CONCOURS ESIM FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. + (puisque α n est pas entier) απ α 2 n 2 cos(nx). Maintenant, g est de classe C 1 par morceaux. SESSION CONCOURS ESIM FILIERE MP MATHEMATIQUES Préliminaire - Quand t tend vers, ft) t t t =. Par suite, f est prolongeable par continuité en. f étant d autre part continue / sur ], ], f est intégrable

Plus en détail

Formules de Taylor. Applications.

Formules de Taylor. Applications. CAPES 27 Décembre 27 Oral Analyse Formules de Taylor. Applications. Remarques Le niveau naturel de cette leçon est celui du Deug. Pré-requis. Continuité, dérivabilité, inégalité des accroissements finis,

Plus en détail

Systèmes dynamiques. Luc Pastur. Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28

Systèmes dynamiques. Luc Pastur. Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques / 28 Systèmes dynamiques Luc Pastur Master 1 PAM (P-PAM-308A) Systèmes dynamiques 2010-2011 1 / 28 La découverte du Chaos Edward Lorenz Conférence AAAS, 1972 Predictability: Does the Flap of a Butterfly s Wing

Plus en détail

Introduction et notations

Introduction et notations CONCOURS D ADMISSION 4 ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES C (ULCR (Durée : 4 heures L utilisation des calculatrices n est pas autorisée pour cette épreuve. Si le candidat

Plus en détail

Chapitre 1 : Introduction à la commande optimale

Chapitre 1 : Introduction à la commande optimale Chapitre 1 : Introduction à la commande optimale 1- Objet de la commande optimale Pour introduire la notion de commande optimale, considérons l exemple suivant : Pour arrêter la rotation d un rotor tournant

Plus en détail

Chapitre 1 Mécanique du point matériel

Chapitre 1 Mécanique du point matériel Chapitre 1 Mécanique du point matériel Exercices d entraînement Page 1 / 63 1. du point matériel Page 2 / 63 Trajectoire parabolique Enoncé Les coordonnées cartésiennes d un point sont données, en fonction

Plus en détail

Comprendre-cours 3 TS - programme Travail et énergie

Comprendre-cours 3 TS - programme Travail et énergie Comprendrecours 3 TS programme 2012 Introduction : Travail et énergie L énergétique est la partie de la mécanique qui étudie les travaux et les puissances mises en oeuvres dans les déplacements des solides.

Plus en détail

Résumé de cours: Calcul différentiel. 13 novembre 2009

Résumé de cours: Calcul différentiel. 13 novembre 2009 CPGE My Youssef, Rabat «Å ««É ««É ««««º««È ««ö ««««É ««Å ««««««Â «Å ««««««ã : 13 novembre 2009 Blague du jour Pendant une conférence de presse tenue à la Maison Blanche, le président George W.Bush accuse

Plus en détail

Méthodes itératives de résolution des

Méthodes itératives de résolution des Chapitre 4 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires 4.1 Généralités On se donne une matrice inversible A et un système linéaire Au = b. (4.1) On désire transformer (4.1) en un système équivalent

Plus en détail

Chapitre 6. Fonctions trigonométriques

Chapitre 6. Fonctions trigonométriques Chapitre 6 Fonctions trigonométriques Corrigés des exercices-tests Vrai La hauteur issue de M dans le triangle OIM est également médiane Donc le triangle OIM est isocèle en M Étant aussi isocèle en O,

Plus en détail

Performances des SLCI

Performances des SLCI Fichier : _SLCI_performances. Définitions.. Stabilité Il existe plusieurs définition de la stabilité : Pour une entrée e(t) constante, la sortie s(t) du système doit tendre vers une constante. Un système

Plus en détail

Le mouvement & vitesse Situation problème Durant un voyage en train, un voyageur assis est-il en mouvement ou immobile?

Le mouvement & vitesse Situation problème Durant un voyage en train, un voyageur assis est-il en mouvement ou immobile? Le mouvement & vitesse Situation problème Durant un voyage en train, un voyageur assis est-il en mouvement ou immobile? Bilan: les deux! Cela dépend du point de vue de l observateur : pour un autre voyageur

Plus en détail

Documents mis à disposition m.v2 et de l énergie potentielle de

Documents mis à disposition m.v2 et de l énergie potentielle de Sujet ECE 2 : Physique Mouvement d'un projectile Contexte du sujet Un élève lance à la main une balle dans l air. Une vidéo du lancer «Chute parabolique» et le logiciel «Atelier scientifique» permettent

Plus en détail