Partie 1 : de la notion de stabilité

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1 p. 1/21 Théorie de Lyapunov pour les Σ autonomes Partie 1 : de la notion de stabilité Vincent MAHOUT

2 Le coupable...sergei Milkhailovich Lyapunov p. 2/21 Mathématicien Russe ( ) Contemporain à H.Poincaré qui développa également beaucoup de théorie dans ce domaine

3 Le coupable...sergei Milkhailovich Lyapunov p. 2/21 Mathématicien Russe ( ) Contemporain à H.Poincaré qui développa également beaucoup de théorie dans ce domaine Nombreux travaux sur la notion de stabilité du mouvement

4 p. 3/21 La stabilité, c est quoi? Qu est ce qui est stable? : un point d équilibre, une trajectoire, un système dynamique... Peut on "réduire" la stabilité à la non-instabilité? Si le système n explose pas, il est stable? La stabilité est-elle liée à l immobilité? Lyapunov a proposé un cadre mathématique précis à la notion de stabilité : on parle alors de système stable au sens de Lyapunov.

5 p. 4/21 Stabilité d un PE : notion intuitive Un point d équilibre est stable si lorsque on écarte le système de ce point d équilibre il y revient "naturellement" A B

6 p. 5/21 Type de système étudié? Les outils et méthodes présentés dans ce cours ne s appliquent qu à des systèmes non linéaires décrits par des EDO : Ẋ = f(x,γ f,t)

7 p. 5/21 Type de système étudié? Les outils et méthodes présentés dans ce cours ne s appliquent qu à des systèmes non linéaires décrits par des EDO : Ẋ = f(x,γ f,t) f est un champs de vecteur de dimension n

8 p. 5/21 Type de système étudié? Les outils et méthodes présentés dans ce cours ne s appliquent qu à des systèmes non linéaires décrits par des EDO : Ẋ = f(x,γ f,t) f est un champs de vecteur de dimension n X est l état et Γ f les paramètres de f

9 p. 5/21 Type de système étudié? Les outils et méthodes présentés dans ce cours ne s appliquent qu à des systèmes non linéaires décrits par des EDO : Ẋ = f(x,γ f,t) f est un champs de vecteur de dimension n X est l état et Γ f les paramètres de f Hypothèse : On considère que f possède une solution unique sur [0, ] pour chaque condition initiale X 0 Cette solution, notée X(t,Γ f,x 0 ) s appelle la trajectoire de phase ou trajectoire d état du système.

10 p. 6/21 Restriction au système autonome Dans cette partie : uniquement étude du cas des systèmes autonomes.

11 p. 6/21 Restriction au système autonome Dans cette partie : uniquement étude du cas des systèmes autonomes. Définition 1.1 ( Système autonome) Le système Ẋ = f(x,γ) où x est l état et Γ le vecteur paramètre, est dit autonome lorsque la fonction f ne dépend pas explicitement du temps.

12 En ne s intéressant qu aux systèmes autonomes, il est alors impossible de pouvoir traiter de la stabilité d un système excité par un signal non constant (en boucle ouverte) ou décrivant une trajectoire de référence (en boucle fermée). vincent.mahout@insa-toulouse.fr p. 6/21 Restriction au système autonome Dans cette partie : uniquement étude du cas des systèmes autonomes. Définition 1.1 ( Système autonome) Le système Ẋ = f(x,γ) où x est l état et Γ le vecteur paramètre, est dit autonome lorsque la fonction f ne dépend pas explicitement du temps. Définition 1.2 (Système non autonome ) Le système ẋ = f(x,γ,t) est dit non autonome lorsque la fonction f dépend explicitement du temps t.

13 p. 7/21 Et la commande? Les équations précédentes ne font pas intervenir le commande... En automatique ce qui nous intéresse c est l étude des système qui font intervenir une commande U comme : Ẋ = f(x,u,γ f )

14 p. 7/21 Et la commande? Les équations précédentes ne font pas intervenir le commande... En automatique ce qui nous intéresse c est l étude des système qui font intervenir une commande U comme : Ẋ = f(x,u,γ f ) Dans ce cours, on ne s intéresse ici qu à l analyse.

15 p. 7/21 Et la commande? Les équations précédentes ne font pas intervenir le commande... En automatique ce qui nous intéresse c est l étude des système qui font intervenir une commande U comme : Ẋ = f(x,u,γ f ) Dans ce cours, on ne s intéresse ici qu à l analyse. Boucle ouverte U = G bo (t,γ g ) Ẋ = f(x,g bo(t,γ g ),Γ f )

16 p. 7/21 Et la commande? Les équations précédentes ne font pas intervenir le commande... En automatique ce qui nous intéresse c est l étude des système qui font intervenir une commande U comme : Ẋ = f(x,u,γ f ) Dans ce cours, on ne s intéresse ici qu à l analyse. Boucle ouverte U = G bo (t,γ g ) Ẋ = f(x,g bo(t,γ g ),Γ f ) Boucle fermée U = G bf (t,x,γ g ) Ẋ = f(x,g bf(t,x,γ g ),Γ f )

17 p. 7/21 Et la commande? Les équations précédentes ne font pas intervenir le commande... En automatique ce qui nous intéresse c est l étude des système qui font intervenir une commande U comme : Ẋ = f(x,u,γ f ) Dans ce cours, on ne s intéresse ici qu à l analyse. Boucle ouverte U = G bo (t,γ g ) Ẋ = f(x,g bo(t,γ g ),Γ f ) Boucle fermée U = G bf (t,x,γ g ) Ẋ = f(x,g bf(t,x,γ g ),Γ f ) Dans les deux cas on se ramène à un système où la commande disparaît, mais NON AUTONOME

18 p. 8/21 L endroit où toutes les vitesses s annulent. Point d équilibre Définition 1.3 (Point équilibre) Un état X est un point d équilibre (ou singularité ou point fixe ou point critique) d un système s il vérifie dans le cas autonome. f(x,γ) = 0

19 p. 8/21 L endroit où toutes les vitesses s annulent. Point d équilibre Définition 1.3 (Point équilibre) Un état X est un point d équilibre (ou singularité ou point fixe ou point critique) d un système s il vérifie dans le cas autonome. f(x,γ) = 0 Cas linéaire : Ẋ = AX= 0 l origine (A régulière) ou infinité de solutions (A singulière)

20 p. 9/21 Exemple du pendule simple On considère le pendule libre de masse M, de longueur L et subissant un frottement b. Système mécanique à 1DDL Système dynamique ordre 2. La position x 1 = θ repère l angle avec la verticale et x 2 = θ est la vitesse angulaire. b L M

21 p. 9/21 Exemple du pendule simple On considère le pendule libre de masse M, de longueur L et subissant un frottement b. Système mécanique à 1DDL Système dynamique ordre 2. La position x 1 = θ repère l angle avec la verticale et x 2 = θ est la vitesse angulaire. b L Γ = d dt ( ) L θ L θ avec L = E c E p { ẋ1 = x 2 ẋ 2 = b ML 2 x 2 g L sin(x 1) M

22 p. 10/21 Modèle du pendule Energie potentielle : E p = 0 C(α)dα = 0 MLgsin(α)dα = θ θ [MgLcos(α)]0 θ E p = MgL(1 cos(θ)) Energie cinétique : E c = 1 2 Mv2 = 1 2 M (L θ) 2 (il vient de là le L 2 ) Lagrangien : L = E c E p = 1 2 ML2 θ2 MgL(1 cos(θ)) ( ) Equations du système : Γ = d L dt θ L θ ( b θ = d ML 2 θ ) (MgL( sin(θ))) dt θ = b ML 2 θ g L sin(θ)

23 p. 11/21 PE du pendule Pour le pendule ẋ = 0 { 0 = x2 0 = b ML 2 x 2 g L sin(x 1) Ce qui induit 2 familles de PE : (0[2π],0) (π[2π],0) Il n y a que deux positions mécaniques d équilibre mais une infinité mathématiquement parlant.

24 p. 12/21 Translation sur l origine On cherche à caractériser l équilibre (stable ou instable) Par facilité d écriture on ne s occupe que de la stabilité de l origine X = 0 Ce cas reste générique puisqu on peut toujours s y ramener par translation :

25 p. 12/21 Translation sur l origine On cherche à caractériser l équilibre (stable ou instable) Par facilité d écriture on ne s occupe que de la stabilité de l origine X = 0 Ce cas reste générique puisqu on peut toujours s y ramener par translation : Si X 0 est un PE pour le système f(x ) = 0 On pose : ξ = X X ξ = Ẋ = f(x) = f(ξ +X )

26 p. 12/21 Translation sur l origine On cherche à caractériser l équilibre (stable ou instable) Par facilité d écriture on ne s occupe que de la stabilité de l origine X = 0 Ce cas reste générique puisqu on peut toujours s y ramener par translation : Si X 0 est un PE pour le système f(x ) = 0 On pose : En notant g(ξ) = f(ξ +X ) ξ = X X ξ = Ẋ = f(x) = f(ξ +X )

27 p. 12/21 Translation sur l origine On cherche à caractériser l équilibre (stable ou instable) Par facilité d écriture on ne s occupe que de la stabilité de l origine X = 0 Ce cas reste générique puisqu on peut toujours s y ramener par translation : Si X 0 est un PE pour le système f(x ) = 0 On pose : En notant g(ξ) = f(ξ +X ) ξ = X X ξ = Ẋ = f(x) = f(ξ +X ) f(x ) = 0 est équivalent à étudier g(0) = 0, donc la stabilité de l origine

28 p. 13/21 Stabilité d une trajectoire Pas envisageable pour les systèmes autonomes Équivalent à une recherche de stabilité d un point d équilibre pour un système non autonome

29 p. 13/21 Stabilité d une trajectoire Pas envisageable pour les systèmes autonomes Équivalent à une recherche de stabilité d un point d équilibre pour un système non autonome En posant ε = X(t) X d (t) où X d (t) représente une trajectoire de référence à réaliser tq Ẋd = f(x d )

30 p. 13/21 Stabilité d une trajectoire Pas envisageable pour les systèmes autonomes Équivalent à une recherche de stabilité d un point d équilibre pour un système non autonome En posant ε = X(t) X d (t) où X d (t) représente une trajectoire de référence à réaliser tq Ẋd = f(x d ) On a pour le point initial X(0) = X d (0)+δ : ε = f(x d +ε,t) f(x d,t) = g(ε,t,x d (t))

31 p. 13/21 Stabilité d une trajectoire Pas envisageable pour les systèmes autonomes Équivalent à une recherche de stabilité d un point d équilibre pour un système non autonome En posant ε = X(t) X d (t) où X d (t) représente une trajectoire de référence à réaliser tq Ẋd = f(x d ) On a pour le point initial X(0) = X d (0)+δ : ε = f(x d +ε,t) f(x d,t) = g(ε,t,x d (t)) La recherche de stabilité du point d équilibre ε tq g(ε,t,x d (t) = 0 est équivalent à la recherche de stabilité en suivi de trajectoire. Si on vérifie que ε 0 quand t alors on vérifie que X(t) X d (t)

32 p. 14/21 Définition de la stabilité simple Définition 1.4 (Stabilité simple) Le point d équilibre x est simplement stable au sens de Lyapunov si ǫ 0, α > 0, x(0) x α x(t) x ǫ. Si le point d équilibre n est pas stable, alors il est instable.

33 p. 14/21 Définition de la stabilité simple Définition 1.4 (Stabilité simple) Le point d équilibre x est simplement stable au sens de Lyapunov si ǫ 0, α > 0, x(0) x α x(t) x ǫ. Si le point d équilibre n est pas stable, alors il est instable. Cette définition introduit la notion de norme (distance). On utilisera ici toujours des normes de type l p : X p = ( n i=1 x i p )1 p Application pour la norme Euclidienne (p = 2) : X = n i=1 x 2 i

34 p. 15/21 Définition de la stabilité simple Interprétation géométrique : Origine est simplement stable Origine est instable

35 p. 16/21 Stabilité simple vs instabilité Exemple de l oscillateur de Van Der Pol Van der Pol Equation XY Graph 1-u(1)^2 x 2 x 1 1/s 1/s x_ 1 Scope x_ 2

36 p. 17/21 Stabilité simple vs instabilité Plan de phase : existence d un cycle limite. On reste à proximité de l origine L origine n est pas simplement stable : si ǫ définie un cercle intérieur au cycle limite, il n existe pas α pour vérifier la condition de stabilité!! Attention!! Cela ne veut pas dire que le système est instable, mais que l origine n est pas simplement stable!

37 Stabilité simple vs instabilité p. 18/21

38 p. 19/21 Définition de la stabilité asymptotique Définition 1.5 (Stabilité asymptotique ) Le point d équilibre x est asymptotiquement stable s il est stable et si on peut choisir α tel que : x(0) x α lim t + x(t) = x

39 p. 19/21 Définition de la stabilité asymptotique Définition 1.5 (Stabilité asymptotique ) Le point d équilibre x est asymptotiquement stable s il est stable et si on peut choisir α tel que : x(0) x α lim t + x(t) = x Origine est stable asymptotiquement

40 p. 19/21 Définition de la stabilité asymptotique Définition 1.5 (Stabilité asymptotique ) Le point d équilibre x est asymptotiquement stable s il est stable et si on peut choisir α tel que : x(0) x α lim t + x(t) = x Origine est stable asymptotiquement Stabilité asymptotique = Stabilité + CONVERGENCE

41 p. 20/21 Définition de la stabilité exponentielle Définition 1.6 (Stabilité exponentielle) Le point d équilibre x est exponentiellement stable s il est asymptotiquement stable et s il existe 2 réels positifs ǫ et λ tels que x(0) x α x(t) x ǫ x(0) x e λt, t 0 λ est appelé taux de convergence. On impose une rapidité de convergence au système. Très difficile à trouver ou à prouver dans le cas général.

42 p. 21/21 Locale ou globale? Les définitions précédentes correspondent à des comportements locaux autour des points d équilibre La stabilité globale implique que toutes les trajectoires de phase convergent vers ce PE

43 p. 21/21 Locale ou globale? Les définitions précédentes correspondent à des comportements locaux autour des points d équilibre La stabilité globale implique que toutes les trajectoires de phase convergent vers ce PE Définition 1.7 (Stabilité globale) Si la condition de stabilité asymptotique (resp. exponentielle) est vérifiée dans tout R n (cad ǫ), le point d équilibre est globalement asymptotiquement (resp. exponentiellement) stable.

44 p. 21/21 Locale ou globale? Les définitions précédentes correspondent à des comportements locaux autour des points d équilibre La stabilité globale implique que toutes les trajectoires de phase convergent vers ce PE Définition 1.7 (Stabilité globale) Si la condition de stabilité asymptotique (resp. exponentielle) est vérifiée dans tout R n (cad ǫ), le point d équilibre est globalement asymptotiquement (resp. exponentiellement) stable. Un PE globalement asymptotiquement stable est obligatoirement unique.