Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui

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1 Chapitre 6 : CONTINUITE - DERIVATION 1. CONTINUITE 1. 1 Continuité en un point Définition Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I (distinct des bornes de I) f est continue en a si lim x a f(x) = f(a) Si f n est pas continue en a, on dit que f est discontinue en a Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui peut être tracée d un trait continu (sans lever le crayon de la feuille) de la borne inférieure à la borne supérieure de l intervalle. 1.2 Continuité à gauche de a - Continuité à droite de a f est continue à gauche de a si lim f(x) = f(a) x a f est continue à droite de a si lim f(x) = f(a) + x a Cas des fonctions définies en a et par des expressions différentes à gauche et à droite de a (on dit que f est définie par morceaux) Gérard Hirsch Maths54 1

2 f est continue en a si lim f(x) = lim f(x) = f(a) + x a x a ou Si l une des limites à gauche, ou à droite (ou encore les deux limites) n existent pas si lim f(x) lim f(x) alors f est discontinue en a x a + x a Exemple 1: La fonction f définie sur I = ] 0,+ [ par f(x) = 1 n est pas définie en a = 0, x elle n est pas continue a = 0, elle est discontinue à droite de a = 0 Exemple 2: La fonction partie entière E, notée E, définie par : x R, n Z, unique tel que n x < n + 1 n est appelée la partie entière de x, et notée E(x) et lim x 1 x 1 E(2,57) = 2, E(π) = E(3, ) = 3, E(4)= 4 et E( 0,54) = 1 E(x) = 0 E(1) = 1 lim x 1 + x 1 E(x) = 0 La fonction partie entière E est continue sur chacun des intervalles ] n,n+1[ (n Z) La fonction partie entière E n est continue pour aucune valeur n entier relatif (n Z) (elle est continue à droite pour n entier relatif (n Z)) on écrit E fonction partie entière est continue sur R Z Gérard Hirsch Maths54 2

3 La fonction partie entière E est une fonction en escalier 1.3 Continuité sur un intervalle f définie sur un intervalle ouvert I = ] a,b[ est continue sur I si f est continue en tout réel a de l intervalle I. f définie sur un intervalle fermé I = [ a,b] est continue sur I, si f est continue sur l intervalle ouvert ] a,b[, continue à droite de a et à gauche de b (soit lim f(x) = f(a) et lim f(x) = f(b) ) + x a x b 1.3 Continuité des fonctions usuelles Les propriétés des fonctions continues se déduisent des propriétés des limites Si f et g sont continues en a, il en est de même pour f+g et λf (λ R) Si f et g sont continues en a, il en est de même pour f g et si g(a) 0 pour f g Si f est continue en a, f l est aussi Si f est continue en a et si g est continue en f(a) alors gοf est continue en a En particulier les fonctions suivantes sont continues les fonctions x a x n (n N) sont continues sur R les fonctions polynômes sont continues sur R les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle où le dénominateur ne s annule pas Gérard Hirsch Maths54 3

4 la fonction x a x est continue sur 0,+ [ [ les fonctions x a sinx et x a cosx sont continues sur R la fonction x a tanx est continue sur π 2 + kπ, π 2 + kπ (k Z) 3x 5 si x< 2 Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x 2 3 si x 2 f est une fonction polynôme du premier degré sur ],2[, elle est donc continue sur ],2[ f est une fonction polynôme du deuxième degré sur l intervalle ] 2,+ [, elle est donc continue sur ] 2,+ [. Cette fonction est même continue à droite de 2 de par la définition de la fonction f est continue sur ],2[ ] 2,+ [ Démontrons que f est continue à gauche de 2 f(2) = =1 et lim x 2 x<2 f(x) = lim (3x 5) =1 et f est continue à gauche de 2 x 2 x<2 f est donc continue à droite et à gauche de 2 donc en 2 et f est continue sur R 2. PROLONGEMENT par CONTINUITE Lorsque la fonction f n est pas définie en a et possède une limite finie L en a, on définit une nouvelle fonction f ~ Gérard Hirsch Maths54 4

5 ~ f(x) si x I {} a f (x) = lim f(x)= L x a La fonction f ~ (lire f tilde) est appelée prolongement par continuité de f en a Exemple : Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x sin 1 x si x 0 pour x 0, x xsin 1 x x et en appliquant le théorème des gendarmes lim x sin 1 x 0 x = 0 x 0 alors le prolongement par continuité de f en 0 est la fonction ~ f avec ~ x sin 1 f (x) = x si x 0 0 si x= 0 3 FONCTIONS CONTINUES sur un INTERVALLE 3.1 Théorème des valeurs intermédiaires Si f est continue sur un intervalle I (borné ou non) alors f prend au moins une fois sur I toute valeur de l intervalle ] m,m[ où m = inf f(x) et M = sup f(x) x I x I Gérard Hirsch Maths54 5

6 Corollaire Si f est continue sur [ a, b ] et si f(a) f(b) < 0 alors f s annule au moins une fois sur ] a, b [ Remarque : ce résultat reste valable si f est continue sur ] a, b[ intervalle borné ou non et si f(x) admet quand x tend vers a + et b des limites finies non nulles ou infinies de signes opposés 3. 2 Fonctions continues strictement monotones Si f est continue et strictement monotone sur m [ a,b], alors pour tout réel k compris entre et M avec m = inf f(x) et M = sup f(x), l équation f(x) = k admet une solution unique x I x I dans [ a,b] En particulier, si f est continue et strictement monotone sur [ a, b ] et si f(a) f(b)< 0 alors f s annule une fois et une seule sur ] a,b[ 3.3 Résolution d équations par dichotomie Le principe de la dichotomie consiste à couper en deux l intervalle [ a, b ] et à trouver l intervalle contenant la solution cherchée parmi les deux segments trouvés, et ainsi de suite jusqu à ce que nous obtenions un encadrement satisfaisant de la solution Soit α la solution de l équation f(x) = x avec la précision ε choisie (par exemple ε = ). On détermine c milieu de l intervalle [ a,b] donc c = a + b 2 si f(c) = 0 alors α =c et le problème est terminé Gérard Hirsch Maths54 6

7 si f(a) f(c) < 0, la solution α est entre a et c et l on remplace b par c si a b < ε alors a <α< b et le problème est terminé sinon si a b ε, on détermine le nouveau milieu c de poursuit l algorithme si f(a) f(c) > 0, la solution α est entre c et b et l on remplace a par c si a b < ε alors a <α< b et le problème est terminé [ a,b] et l on sinon si a b ε, on détermine le nouveau milieu c de [ a,b] et l on poursuit l algorithme Exemple : Chercher un encadrement à ε = de la solution α de x 3 + x 1 = 0 On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x 3 + x 1 On remarque facilement que f(0) = 1 < 0 d où et f(1)=1 > 0 et f est strictement croissante l unicité de la solution α f(0)< 0 f(1) > 0 0 <α<1 f(0,5) < 0 f(1) > 0 0,5<α<1 a = 0,5 f(0,5) < 0 f(0,75) > 0 0,5 <α<0,75 b = 0,75 f(0,625) < 0 f(0,75) > 0 0,625 <α<0,75 a = 0,625 f(0,625) < 0 f(0,6875) 0,625 <α<0,6875 b = 0,675 f(0,65625) f(0,6875) > 0 0, < α < 0, 6875 La longueur de l intervalle est 0,6875 0,65625 = 0, < et la condition est remplie puisque nous avons situé la solution dans un intervalle de longueur plus petite que la précision demandée Gérard Hirsch Maths54 7

8 En conclusion : il existe une solution unique α avec 0,65625 < α < 0, NOMBRE DERIVEE en un POINT 4.1 Nombre dérivé Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I (distinct des bornes de I) f est dérivable en a si lim x a f(x) f(a) x a existe et est fini Dans ce cas, la limite de ce quotient est alors notée f'(a) et est appelée le nombre dérivé de f en a : f'(a)= lim x a f(x) f(a) x a De manière évidente en posant x = a + h, f est dérivable en a si lim h 0 f(a + h) f(a) h existe et est fini et f'(a)= lim h 0 f(a + h) f(a) h 4.2 Interprétation graphique du nombre dérivé Si la fonction f admet un nombre dérivé f'(a) en a, sa représentation graphique admet au point A(a,f(a)) une tangente et la pente de la tangente est f'(a) L équation de la tangente en A est y = f' (a)(x a)+ f(a) Gérard Hirsch Maths54 8

9 4.3 Nombre dérivé à gauche, nombre dérivé à droite f(x) f(a) f(x) f(a) Il arrive parfois que lim et lim x a x a x a + x a différentes, ou que seule une des deux existe et soit fini. existent et soient finies, mais Par extension, on note f(x) f(a) f g '(a)= lim x a x a f(x) f(a) et f d '(a)= lim x a + x a Si f g '(a) et f d ' (a) existent et sont finies mais f g '(a) f d '(a), nous dirons alors que f admet une demi-tangente à gauche de A et une demi-tangente à droite de A, le point A est dit point anguleux Exemple : La fonction valeur absolue f définie sur R par f(x) = x admet un point anguleux en a = 0 Cette fonction est continue sur R, mais elle n est pas dérivable en 0 (f' g (0) = 1 et f' d (0) =1 ) la courbe représentative de f admet au point O(0,0) une demi-tangente à gauche de pente 1 la courbe représentative de f admet au point O(0,0) une demi-tangente à droite de pente 1 Théorème Si f est dérivable en a, alors f est continue en a Gérard Hirsch Maths54 9

10 La réciproque est fausse, comme le montre l exemple précédent (fonction valeur absolue) 4.4 Limite et nombre dérivé Dans certains exemples, on peut lever une indétermination en utilisant le nombre dérivé Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I, si on peut écrire, pour tout x suffisamment proche de a, f(x) = g(x) g(a) x a où g est une fonction dérivable en a, alors lim f = g'(a) x a sin x Exemple 1 : Déterminer lim x 0 x On est en présence de la forme indéterminée " 0 0 " Soit la fonction g(x) = sin x en a = 0 alors g'(x)= cosx et g' (0) = cos0 = 1 sin x et lim = lim x 0 x x 0 sinx sin0 x 0 Le même raisonnement donne = g' (0) = 1 lim x 0 1 cosx x cosx cos0 = lim = cos' (0) = ( sin0) = 0 x 0 x 0 et lim x 0 tanx x = lim tan x tan0 1 = tan' (0) = x 0 x 0 cos 2 0 = 1 Gérard Hirsch Maths54 10

11 sin(x + π Exemple 2 : Déterminer lim 3 ) 1 x π x π 6 6 On est en présence de la forme indéterminée " 0 0 " Soit la fonction g(x) = sin(x + π 3 ) en a = π 6 alors g' (x) = cos(x + π 3 )et g'(π 6 ) = cos π 2 = 0 sin(x + π et lim 3 ) 1 g(x) g( π x π x π = lim 6 ) x π x π = g'( π 6 ) = FONCTION DERIVEE 5.1 Dérivation sur un intervalle Lorsque la fonction f est dérivable en tout point de l intervalle I, on dit que f est dérivable sur I Définition f est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction dérivée de f sur I est la fonction f' qui à tout a dans I associe f'(a) Par abus de langage nous parlerons de la dérivée de f à la place de la fonction déivee de f 5.2 Dérivée des fonctions usuelles k désigne un nombre réel (k R ) Gérard Hirsch Maths54 11

12 la fonction sa dérivée D f D f' x a k x a 0 R R x a x n (n N ) x a nx n-1 R R x a 1 x n (n N n ) x a - x n+1 R R x a x x a 1 2 x [ 0,+ [ ] 0,+ [ x a sinx x a cosx R R x a cos x x a sinx R R x a tanx x a 1 cos 2 x =1 + tan 2 π x 2 + nπ, π 2 + nπ π 2 + nπ, π 2 + nπ n Z n Z 5.3 Dérivée et opérations k désigne un nombre réel (k R ) u et v sont deux fonctions dérivables la fonction sa dérivée remarque x ku(x) xa ku'(x) x a (u + v)(x) x a (u' +v' )(x) x a (u v)(x) x a (u' v)(x)+ (uv')(x) x a 1 v(x) v' (x) x a v 2 (x) là où g ne s' annule pas x a u(x) v(x) u' (x)v(x) u(x)v' (x) x a v 2 (x) là où g ne s' annule pas Exemple 1 : Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x 3 cosx Expliciter sa fonction dérivée f est le produit de deux fonctions dérivables sur R et Gérard Hirsch Maths54 12

13 u: xa x 3 u' : x a 3x 2 v: xa cosx v' : x a sinx x R f'(x)= 3x 2 (cos x) + 2x 3 ( sin x) = x 3 sinx + 3x 2 cosx Exemple 2 : Soit la fonction f définie sur R {} 1 par f(x) = 3x2 + 4x 1 x Expliciter sa fonction dérivée f est une fonction rationnelle (quotient de deux fonctions polynômes) définie et dérivable sur R {} 1 f est de la forme u v u: xa 3x 2 + 4x u' : x a 6x + 4 v: xa 1 x v' : x a 1 x R {} 1 f'(x)= (6x + 4)(1 x) (3x2 + 4x)( 1) (1 x) 2 x R {} 1 f'(x)= 3x2 + 6x 4 (1 x) 2 Exemple 3 : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x 3 + 3x 2 3 et C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal. On note A le point de C d abscisse 1. Déterminer une équation de la tangente T A à C au point A. Préciser la position de la courbe C par rapport à la droite T A. Gérard Hirsch Maths54 13

14 La fonction f est une fonction polynomiale (3 ème degré) définie sur R et dérivable sur R x R f'(x) = 3x 2 + 6x puisque f( 1) = 1 et f'( 1) = 3 la tangente T A au point A( 1, 1) a pour équation y = 3( x +1) 1 soit T A : y = 3x 4 On étudie le signe de la différence d(x) = f(x) ( 3x 4) = x 3 + 3x 2 + 3x +1 = (x+ 1) 3 Si x = 1 alors d( 1) = 0, la courbe C et T A se coupent au point A( 1, 1) Si x < 1 alors d( 1) < 0, la courbe C est en dessous de la tangente T A Si x > 1 alors d( 1) > 0, la courbe C est au dessus de la tangente T A 6. APPLCATION à l ETUDE des VARIATIONS d une FONCTION. 6.1 Fonction constante sur un intervalle Théorème Une fonction définie sur un intervalle et dérivable, est constante si et seulement si sa dérivée est identiquement nulle sur cet intervalle. Remarque : il est important que ce soit sur un intervalle. En effet prenons la fonction f définie sur [ 1, 2] [ 3,4] par f(x) = [ ] [ ] 1 si x 1,2 2 si x 3,4 Cette fonction n est pas constante sur son ensemble de définition (puisqu elle prend deux Gérard Hirsch Maths54 14

15 valeurs distinctes), cependant, elle est dérivable, de dérivée nulle. 6.2 Fonction strictement monotone Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f est de signe constant sur I alors f est monotone; plus précisément : i) Si f ' (x) 0 x I, alors f est croissante sur I ii) Si f' (x) 0 x I, alors f est décroissante sur I On peut préciser les variations de f. En effet dire par exemple que f est strictement croissante sur I, c est-à-dire qu elle est croissante sur I et qu il n existe pas d intervalle I (inclus dans I) sur lequel f est constante ou encore sur lequel f est nulle. La dernière condition n interdit pas à la dérivée de s annuler en des points isolés. Autre théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f est de signe constant sur I et ne s annule qu en des points isolés alors f est strictement monotone; plus précisément : i) Si f ' (x) 0 x I et ne s annule qu en des points isolés, alors f est strictement croissante sur I ii) Si f' (x) 0 x I et ne s annule qu en des points isolés, alors f est strictement décroissante sur I Exemple La fonction «cube» x a x 3 admet comme dérivée x a 3x 2 qui s annule en 0, pourtant la fonction cube est strictement croissante sur R. Cet exemple montre que le fait que la dérivée Gérard Hirsch Maths54 15

16 s annule en point isolé n affecte en rien la monotonie. Remarque 1 : L étude des variations d une fonction revient donc à l étude du signe de sa dérivée lorsque celle-ci existe. Ces résultats sont essentiels à l étude des variations d une fonction. Remarque 2 : Nous avons montré l équivalence suivante : si f est strictement décroissante et dérivable sur un intervalle I alors sa dérivée est négative et ne s annule qu en des points isolés de f. 6.3 Recherche des extrêma d une fonction On dit que f admet un maximum (local ou relatif) en a si et seulement si: pour tout x appartenant à un voisinage de a : f(x) f(a) On dit que f admet un minimum (local ou relatif) en a si et seulement si: pour tout x appartenant à un voisinage de a : f(x) f(a) On dit que f admet en a un extrémum (local ou relatif) si et seulement si f admet en a un maximum local ou un minimum local Il faut chercher les extréma d une fonction parmi les points qui annulent la dérivée. Mais attention, comme le montre la fonction «cube» en 0, le fait que la dérivée s annule ne suffit pas pour avoir un extremum. Théorème 1. Si f possède en x 0 un extréma alors f ' (x 0 ) = 0 2. Si f ' (x 0 ) = 0 et si f change de signe au voisinage de x 0 (f' g (x 0 )f' d (x 0 ) < 0 ) la fonction f possède un extrémun en x 0 Quand f s annule en x 0 sans changer de signe, x 0 est appelé point d inflexion Gérard Hirsch Maths54 16

17 Remarque : il y a donc parmi les points qui annulent la dérivée les extréma et les points d inflexion. 7.NOTATION DIFFERENTIELLE Dans le plan muni d un repère orthonormé, soit C la courbe d équation y = f(x), où f est une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit T la tangente à C au point M d abscisse x. Une petite variation h = x de la variable x provoque une petite variation des images y = f(x + h) f(x) = HM. Comme f'(x)= lim h 0 on a : f(x + h) f(x) f(x+ h) f(x), en posant ε(h) = f'(x) h h f(x+ h) f(x) =f'(h)h+h ε(h) avec lim ε(h) = 0 h 0 que l on peut écrire : y = f'(x) x+ x ε( x) Ainsi, lorsque x est voisin de 0, y ~ f'(x) x, avec une erreur négligeable devant x et l on utilise alors la notation différentielle dy = f'(x) ou encore dy = f'(x)dx avec dy = HP dx Gérard Hirsch Maths54 17