Limites et continuité

Transcription

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2 Contenu de la section Limites et continuité Dérivabilité

3 Remarque Comme dans le cas des fonctions de R dans R, nous allons définir divers niveaux de régularité : continuité dérivabilité (dans une direction) différentiabilité Les fonctions différentiables seront les plus «agréables» des droits, et ce seront les fonctions qui retiendront notre attention.

4 Limites Contenu de la section Limites et continuité Limites Continuité

5 Limites Remarque Contrairement au cas des fonctions d une variable réelle à valeurs vectorielles, on ne peut pas se ramener à la notion de limite déjà vue pour les fonctions réelles. Exemple Pour la fonction donnée par D une part x2 f : R 2 \ {(0,0)} R : (x,y) x 2 + y 2 x 2 lim lim x 0 y 0 x 2 + y 2 = lim x 0 x 2 = lim 1 = 1 x 0 D autre part lim lim x 2 y 0 x 0 x 2 + y 2 = lim 0 y 0 y 2 = lim 0 = 0. y 0 Alors quelle est la bonne réponse? x 2

6 Limites Définition Un point a R n est adhérent à un sous-ensemble A R n si pour tout δ strictement positif, il existe x A tel que a x < δ. On note adha l ensemble des points adhérents à A. Définition Considérons f : A R n R m, un point a adha, et un point L R m ; on dit que la limite de f en a est L sinn ɛ > 0, δ > 0 : x A, x a < δ} f(x) L < ɛ. Cette situation est notée lim x a f(x) = L.

7 Limites Exemple Si f(x,y) = x3, alors lim x 2 +y 2 (x,y) 0 f(x,y) = 0. Démonstration. Nous voulons montrer que pour tout ɛ > 0, δ > 0 : (x,y) R 2 \ {(0,0)}, (x,y) (0,0) < δ} f(x,y) 0 < ɛ c est-à-dire ɛ > 0, δ > 0 : (x,y) R 2, x 2 + y 2 < δ x 3 x 2 + y 2 < ɛ Or x 3 = x x 2 x x 2 + x y 2 = x (x 2 + y 2 ).Similairement, x = x 2 x 2 + y 2. Dès lors, f(x,y) 0 = x 3 x 2 + y 2 x = x 2 x 2 + y 2 = (x,y). Nous concluons que si ɛ > 0 est fixé, alors il existe δ > 0, par exemple défini par δ ɛ, tel que si (x,y) < δ, alors f(x,y) (x,y) < ɛ, ce que nous voulions voir.

8 Continuité Contenu de la section Limites et continuité Limites Continuité

9 Continuité Définition Une application f : A R n R m est dite continue au point a si lim f(x) = f(a). x a Globalement, f est dite continue si elle est continue en tout point de son domaine. Remarque Pour n = 1, ces définitions se ramènent exactement aux définitions déjà données dans les chapitres précédents.

10 Continuité Exemple L application (x,y) x est continue sur R 2. Considérons (a,b) R 2. Si ɛ > 0, prenons δ = ɛ et remarquons lorsque (x,y) (a,b) < δ alors (par calcul) (x a) 2 + (y b) 2 < δ et donc : f(x,y) f(a,b) = x a = (x a) 2 < (x a) 2 + (y b) 2 < δ = ɛ ce que nous voulions démontrer.

11 Continuité Résultat (Règles de calcul) Soient f,g : R n R m deux fonctions continues en a, alors f + g, f g, fg sont continues en a; si g(a) 0, alors f/g est continue en a. Par ailleurs, si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g f est continue en a. Remarque Ceci prouve que toutes les fonctions pour lesquelles nous avons une formule en terme des fonctions élémentaires (polynomiales, racines, trigonométriques, logarithmes) sont continues sur leur domaine. Pour trouver des foctions non-continues, il faut regarder du côté des fonctions données «par morceaux».

12 Continuité Exemple La fonction f : R 2 \ {(0,0)} R : (x,y) x 2 + y 2 est continue sur son domaine, mais g : R 2 x 2 si (x,y) (0,0) R : (x,y) x 2 +y 2 0 si (x,y) = (0,0) n est pas continue. Exemple La fonction f : R 2 \ {(0,0)} R : (x,y) x 2 + y 2 est continue sur son domaine, et g : R 2 x 3 si (x,y) (0,0) R : (x,y) x 2 +y 2 0 si (x,y) = (0,0) également. x2 x3

13 Continuité En particulier, le résultat sur la composée des applications continues fournit le résultat suivant : Corollaire Si f : A R n R m admet une limite L en a, alors pour toute courbe paramétrée γ : I R R n telle que γ(t 0 ) = a, il faut lim t t0 f(γ(t)) = L. Remarque Ce résultat dit que si la limite existe, alors elle vaut la même valeur quelle que soit la façon dont on approche le point a.

14 Continuité Exemple Une «fonction en colimaçon» autour de l axe des z n est pas continue en (0,0) :

15 Continuité Exemple Considérons f(x,y) = xy étendue par 0 en l origine, c est-à-dire x 2 +y 2 f : R 2 0 si (x,y) = (0,0), R : (x,y) xy sinon. x 2 +y 2 Prenons d abord γ(t) = (t,0) de sorte que f(γ(t)) = t 0 = 0 pour x tout t 0. Bien sûr lim t 0 f(γ(t)) = lim t 0 0 = 0. Prenons maintenant γ(t) = (t,t), de sorte que f(γ(t)) = 1 2 pour tout t 0. La limite est désormais différente, donc f n admet pas de limite en (0,0). Par contre, f est continue partout ailleurs par application des règles de calcul. Si nous notons enfin γ(t) = (r cos(t),r sin(t)). alors la fonction s écrit simplement : f(γ(t)) = cos(t)sin(t) = 1 2 sin(2t).

16 Dérivabilité Contenu de la section Limites et continuité Dérivabilité

17 Dérivabilité Remarque Si f : A R n R m, la notion de dérivée définie via f(x + δ) n a pas de sens, car ici x R n et δ R. Définition Soit f : A R n R m une application, a A et v R n. La dérivée directionnelle de f au point a dans la direction v, si elle existe, est l élément de R m donné par f f(a + t v ) f(a) (a) lim. v t 0 t Si v = e i pour un i entre 1 et n, on parle de la i e dérivée partielle en a. On la note parfois i f(a) ou, f (a) ou, x i f x f (a) (pour la première dérivée partielle), ou (a) (pour la y seconde dérivée partielle), etc.

18 Dérivabilité Interprétation de la dérivée directionnelle Pour interpréter f (a), considérons la fonction d une variable réelle v g(t) f(a + t v ). La fonction g n est autre que la trace de f dans le plan vertical dans la direction v. Si γ(t) = a + t v, alors γ(t) = (γ(t),f(γ(t))) est un point du graphe de f. Le vecteur vitesse de γ en t = 0 est γ (0) = ( v, f v (a)).

19 Dérivabilité

20 Dérivabilité Calcul des dérivées partielles Les dérivées partielles se calculent simplement : pour la dérivée partielle de f(x,y,z) par rapport à y, il suffit de considérer x et z constantes, et de dériver «normalement». Exemple Notons f(x,y,z) = xy + x 2 + zy. Les dérivées partielles sont : f f (x,y,z) = y + 2x x y (x,y,z) = x + z f z (x,y,z) = y