COURS D ANALYSE MATHEMATIQUE

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1 COURS D ANALYSE MATHEMATIQUE Chapitre 4 Equations différentielles Version 2009 Année scolaire Cours Auteurs de la Ressource Pédagogique Charnay Michel Dubois Gérard

2 Table des matières 1 Introduction 2 EDO du 1 er ordre 2.1 Solution analytique 2.2 EDO séparables 2.3 EDO et système différentiel planaire du 1 er ordre 3 Existence et unicité de la solution du problème de Cauchy pour une EDO du 1 er ordre 4 EDO du 2ème ordre 4.1 Définitions 4.2 Résultat d existence et d unicité 4.3 linéaire homogène à coefficients constants (I) 4.4 linéaire homogène à coefficients constants (II) 4.5 linéaire à coefficients constants avec 2d membre 4.6 Théorie générale 4.7 Oscillateur linéaire 5 Systèmes d équations différentielles du 1er ordre 6 Une méthode numérique performante 6.1 Le problème traité 6.2 La méthode numérique utilisée 6.3 Exemples d illustration

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4 ¾ ½ ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ ÔÖ Ø ÙÖ ÄÓØ ¹ÎÓÐØ ÖÖ Ø Ð Ù ¹ ÔÖ µº ÇÒ Ô ÖÐ ÐÓÖ Ý Ø Ñ ³ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ ÓÖ Ò Ö º Ö ØÙÖ Ø ÓÖ Ö ³ÙÒ Çº ijÓÖ Ö ³ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ Ø Ð³ÓÖ Ö Ð ÔÐÙ ÙØ Ö Ú ÕÙ ÔÔ Ö Ø Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒº Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ Ù 1 er ÓÖ Ö ÓÒØ ÒÒ ÒØ ÙÐ Ñ ÒØ y Ø Ô ÙÚ ÒØ ÓÒØ Ò Ö y Ø ÖØ Ò ÓÒØ ÓÒ ÓÒÒÙ Ð Ú Ö Ð t Ø ÓÒ Ø ÒØ ³Ó Ð ÙÖ Ö ØÙÖ Ò Ö Ð ÓÙ Ð ÓÖÑ F(t, y, y ) = 0 µ ÓÙ Ò ÓÙÚ ÒØ ÓÙ Ð ÓÖÑ ÒÓÖÑ Ð y = f(t, y) µ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½µ ¹ Ù Ø y = y г ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ³ÓÒ Ú ÒØ ÓÒ Ö Ö ÓÒØ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ Ù 1 er ÓÖ Ö º Ä ÕÙ Ø ÓÒ ¾µ Ø µ ÓÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ù ÓÒ Ø Ù 3ème ÓÖ Ö º ÉÙ ÒØ Ù ÑÓ Ð ÔÖÓ ¹ÔÖ Ø ÙÖ ÚÓÕÙ Ò Ð Ø Ð Ù ¹ ÔÖ Ð ³ Ø ³ÙÒ Ý Ø Ñ Ö ÒØ Ð ÓÖ Ò Ö Ù 1 er ÓÖ Ö Ø ÐÐ ¾ Ð Ý ¾ ÓÒØ ÓÒ ÒÓÒÒÙ Ø ¾ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ µº ÆÓÙ Ø ÐÐ ÖÓÒ ÔÐÙ Ø Ö Ø Ð Ý Ø Ñ Ø ÓÒÒ ÖÓÒ Ö ÙÐØ Ø ÓÒ ÖÒ ÒØ Ð ÙÖ ÓÐÙØ ÓÒ º Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ Ò Ð³ Ö ØÙÖ Ò Ö Ð ³ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ Ð ÓÒØ ÓÒ ÒÓÒ¹ ÒÙ Ø Ö Ú ÓÒØ Ö Ø Ò Ö Ö Ö Ò Ð Ú Ö Ð t ÐÓÖ ÕÙ ØØ Ú Ö Ð ÔÔ Ö Ø ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒØ ÓÒ ÓÒÒÙ ÒØ ÖÚ Ò ÒØ Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒº Ò Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½µ Ô Ö Ü ÑÔÐ Ð ÓÒØ ÓÒ ÒÓÒÒÙ y Ò³ ÒØ ÖÚ ÒØ ÕÙ³ ØÖ Ú Ö Ö Ú y Ð Ú Ö Ð Ø t Ø Ð ÙÐ ÓÒØ ÓÒ ÓÒÒ٠г ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ cos(t) Ø Ö Ø Ò ÜÔÐ Ø ÒØ Ð Ú Ö Ð º ÁÐ Ù Ö ³ ØÙ Ö ØØ ÒÓØ Ø ÓÒº ÆÓÙ ÚÓÒ Ó ÒÓØ Ö Ð Ú Ö Ð Ô Ö t Ð ÔÐ x Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ö ÙÓÙÔ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ð Ô Ý ÕÙ Ø Ð Ñ Ò ÕÙ ÓÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÑÔÓÖ Ð Ø Ô ÙÚ ÒØ ØÖ ÑÓ Ð Ô Ö Çº ÈÓÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ú Ö Ð t Ö ÔÖ ÒØ ÐÓÖ Ð Ø ÑÔ º ËÓÐÙØ ÓÒ ³ÙÒ Çº ÈÓÙÖ ÙÒ Ç Ù 1 er ÓÖ Ö ØÝÔ µ Ø µ ÓÒ ÔÔ ÐÐ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ y(t) = h(t) Ò Ò Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ö ÐÐ Ò ÙÖ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ I R Ö Ú Ð ÙÖ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ø ÐÐ ÕÙ F(t, h(t), h (t)) = 0 ou h (t) = f(t, h(t)) ÔÓÙÖ ØÓÙØ t Iº Ð Ø ÑÔÐ ÕÙ ÒØ ÕÙ t h(t) h (t)µ t I ÔÔ ÖØ ÒØ Ð³ Ò Ñ Ð Ò Ø ÓÒ F ÓÙ ÕÙ t h (t)µ t I ÔÔ ÖØ ÒØ ÐÙ f º ØØ ÒÓØ ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ ³ Ø Ò Ç ³ÓÖ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ÓÑÑ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ¾µ Ø µ ÓÙ Ý Ø Ñ º ÆÓÙ Ó ÖÚÓÒ ÕÙ³ÙÒ Ç Ô ÙØ ÚÓ Ö Ø Ò Ò Ö Ð ÔÐÙ ÙÖ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÑÑ ÒÓ٠г ÚÓÒ ÚÙ Ú Ð³ Ü ÑÔÐ y = yº Ò³ Ø Ô ÙÖÔÖ Ò ÒØ Ö ÒÓÙ ÚÓÒ ÔÙ Ð Ô ØÖ ÙÖ Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ø Ú Ø ÓÒ ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÒØ Ö ØÖ Ö º ÈÓÙÖ ÙÒ Ç Ù 1 er ÓÖ Ö ³ Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÕÙ ÓÙ ÖØ Ò ÝÔÓØ Ú ÑÔÐ ¹ ÕÙ Ö Ð³ÙÒ Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒº ØØ ÒØ ÓÒ Ä³ Ö ØÙÖ ÓÖÑ ÐÐ ³ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ Ò³ ÑÔÐ ÕÙ Ô ÓÖ Ñ ÒØ Ð³ Ü ¹ Ø Ò ³ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒº Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ñ ÑÔÐ Ô ÙÚ ÒØ Ò Ô ÚÓ Ö ÓÐÙ¹ Ø ÓÒ Ö ÐÐ ÓÑÑ y 2 = 1µ ÓÙ Ò³ ÚÓ Ö ÕÙ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ØÖ Ú Ð ÒÙÐÐ ÓÑÑ y + y = 0µº Ü ÑÔÐ ÓÒØ Ô Ò ÒØ Ü ÔØ ÓÒÒ Ð Ø Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ ÑÓ Ð ÙÒ Ô ¹ ÒÓÑ Ò Ô Ý ÕÙ Ø ÕÙ ØØ ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ø Ô ÖØ Ò ÒØ ÐÓÖ ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø ÒØ

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7 ½ ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ ÈÖÓ Ð Ñ Ù Ý Ø ÓÐÚ ÙÖ ÒÙÑ Ö ÕÙ º ÈÓÙÖ ÙÒ Ç Ù 1 er ÓÖ Ö ÓÒ ÔÔ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ Ñ ÓÙ ÓÖÑ ÒÓÖÑ Ð Ð ÕÙ ÐÐ ÓÒ Ó ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ò Ø Ð y = f(t, y), y(t 0 ) = y 0. µ ÇÒ ÚÙ ÔÖ ÑÑ ÒØ Õ٠г Ç y = y Ñ Ø ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÙÒ ÕÙ ÙÖ ØÓÙØ R ÓÒ Ø ÓÒ ÐÙ Ó Ö ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ð º ËÓÙ ÖØ Ò ÝÔÓØ ÔÓÖØ ÒØ ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ f Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý µ Ú Ñ ØØÖ ÙÒ ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÙÖ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ I ÓÑÔÖ Ò ÒØ t 0 Ò ÓÒ ÒØ Ö ÙÖº ÇÒ ÑÓÒØÖ ÐÓÖ ÕÙ Ð ÔÐÙ Ö Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ I ÔÓ Ð Ø ÓÙÚ ÖØ Ø Ò Ò Ö Ð ÕÙ Ò³ Ø Ô R ØÓÙØ ÒØ Öº ³ Ø ØØ ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ð ÓÐÚ ÙÖ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÓÒØ ÒÙ Ò ØÓÙØ ÐÓ Ð ÐÙÐ ÒØ ÕÙ µ ÚÓÒØ ³ ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ò Öº Ò Ò Ö Ð Ð Ð ÓÒØ ÓÒ ØÓÙØ Ø Ð º ÆÓØÓÒ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý µ ³ Ø Ò Ý Ø Ñ ³ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ Ù 1 er ÓÖ Ö º È Ö Ü ÑÔÐ ÒÓÙ Ö ÔÖ ÒÓÒ Ð ÑÓ Ð ÔÖÓ ¹ÔÖ Ø ÙÖ ÄÓØ ¹ÎÓÐØ ÖÖ Ø ÒÓÙ ÑÔÓ ÓÒ ÙÒ Ú Ð ÙÖ Ò Ø Ð ÕÙ ÓÒØ ÓÒ ÒÓÒÒÙ y 1 (t 0 ) = y 10 y 2 (t 0 ) = y 20 µ ÒÓÙ ÓÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý Ø ÐÐ ¾ Ù Ú ÒØ y 1 = ay 1 + by 1 y 2, y 1 (t 0 ) = y 10 y 2 = ky 1 y 2 ly 2, y 2 (t 0 ) = y 20 ÕÙ³ÓÒ ÓÒÚ ÒØ ÒÓØ Ö Ú ØÓÖ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÙ Ð ÓÖÑ µ Ú y ] ] [ ] y10 [ ay1 + by 1 y 2 ky 1 y 2 ly 2 Ø y(t 0 ) df = [ y1 (t 0 ) y 2 (t 0 ) = y 20 = y 0 º df = [ y 1 y 2 ] f(t, y) df = ÍÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý ÓÒ ÖÒ ÙÒ Ç ÓÙ ÙÒ Ý Ø Ñ ³ Ç Ù 1 er ÓÖ Ö º ÉÙ³ Ò Ø¹ Ð ÐÓÖ Õ٠г ÕÙ Ø ÓÒ ÓÙ Ð Ý Ø Ñ ³ ÕÙ Ø ÓÒ ØÙ Ö Ø ³ÓÖ Ö ÔÐÙ Ð Ú ÇÒ Ö Ñ Ò ÐÓÖ ÙÒ Ý Ø Ñ Ù 1 er ÓÖ Ö Ò ÒØÖÓ Ù ÒØ ÓÒØ ÓÒ ÒÓÒÒÙ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö º È Ö Ü ÑÔРг Ç Ù 2 me ÓÖ Ö my + ky = 0 Ö Ú ÒØ Ð ÔÐ Ñ ÒØ y ³ÙÒ Ñ Ú Ö ÒØ ÓÙ ÙÒ Ö ÓÖØ Ô ÙØ ³ Ö Ö ÓÙ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ Ý Ø Ñ Ö ÒØ Ð Ù 1 er ÓÖ Ö Ø ÐÐ ¾º ÈÓ ÓÒ Ò Ø z 1 = y Ø z 2 = y ÐÓÖ z 1 = z 2 Ø z 2 = k m y = k m z 1º Ë ÒÓÙ ÑÔÓ ÓÒ Ù Ø ÑÔ Ò Ø Ð t 0 Ú Ð ÙÖ Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ø Ú Ø Ð Ñ Ú Ö ÒØ y(t 0 ) = y 0 y (t 0 ) = y 1 µ ÒÓÙ ÓÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý Ù Ú ÒØ z = f(t, z), z(t 0 ) = z 0. Ò ÔÖÓ Ð Ñ z = [ z 1 z 2 ] Ø Ð Ú Ø ÙÖ ÓÒØ ÓÒ ÒÓÒÒÙ z = [ z 1 Ø ÓÒ f(t, z) = [ z 2 k m z 1 ] Ú z 0 (t 0 ) = [ z 1(t 0 ) z 2 (t 0 ) ] = [ y 0 ] = z y 0 º 1 z 2 ] Ð Ú Ø ÙÖ Ö Ú ÍÒ ÓÐÚ ÙÖ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÐÙÐ Ø ØÖ ÙÒ Ú Ð ÙÖ ÔÔÖÓ Ð ÓÐÙØ ÓÒ y(t) Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý µ Ò ÒØ Ò ÔÓ ÒØ Ö ÒØ Ð Ú Ö Ð t ÔÙ ÓÒÒ Ø ÔÓ ÒØ ÙÖ Ð³ Ö Ò Ð³ÓÖ Ò Ø ÙÖ Ô Ö Ñ ÒØ ÖÓ Ø º Ä ÓÒ ÓÒØ Ö Ô ÔÔÖÓ Ð Ú Ö Ø Ð ÓÙÖ ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý µ Ô Ò Ð ÓÔ Ø Ø ÓÒ Ù ÓÐÚ ÙÖ ³ Ø Ö Ð Ñ Ø Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ ÙØ Ð º ij ØÙ Ø ÐÐ Ñ Ø Ó Ò³ Ø Ô ÒÚ Ð º ÉÙ ÐÐ ÕÙ Ó Ø Ð ÓÔ Ø Ø ÓÒ Ù ÓÐÚ ÙÖ ÒÓÙ Ò³ ÚÓÒ Ó Ò ÕÙ

8 ½ ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ Ô Ù ³ Ð Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ÓÑÑÙÒ ÕÙ Ö Ú ÐÙ º ³ ÓÖ Ð ÙØ Ñ ØØÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÒØ Ð ÓÙ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý µ ÔÙ Ð ÙØ ÓÒÒ Ö Ù ÓÐÚ ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ Ø Ú Ø µ f(t, y) Ø Ð ÔÓ ÒØ Ò Ø Ð (t 0, y 0 ) Ò Õ٠г ÒØ ÖÚ ÐÐ [t 0, t 1 ] ÙÖ Ð ÕÙ Ð Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÐÙÐ Ò ÓÙ Ð Ö ³ Ò ÕÙ Ö Ð ÔÖ ÓÒ ÐÙÐ º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý µ Ø Ø Ö ÓÐÙ Ò Ú ÒØ t 1 > t 0 Ø Ò ÖÖ Ö t 1 < t 0 º Ò ÒØ Ò Ù ÓÒ ÙÔÔÓ Õ٠г ÒØ ÖÚ ÐÐ ÐÙÐ [t 0, t 1 ] Ø ÓÒØ ÒÙ Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ I ÙÖ Ð ÕÙ Ð Ð Ý Ü Ø Ò Ø ÙÒ Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒº ÆÓÙ ÚÓÒ ÔÖ ÓÖ ÓÒ Ò Ò Ð ÓÐÚ ÙÖ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ð Ö ÒØ ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ô ØÖ º

9 2 EDO DU 1 ER ORDRE 2 Equations Différentielles Ordinaires (EDO) du premier ordre Les équations différentielles ordinaires du premier ordre que nous considérons ici sont de la forme générale suivante N(t, y)y + M(t, y) = 0 (1) dans laquelle y intervient explicitement. Comme nous l avons dit dans l introduction, y est une fonction inconnue (de la variable t parcourant un certain intervalle) à déterminer, de dérivée y. Parmi ces EDO de forme (1) il est une classe particulière qui s écrit : N(y)y + M(t) = 0 (2) et qu on appelle EDO séparable parce qu on peut isoler tout ce qui est lié à y de tout ce qui dépend explicitement de t. Une autre classe importante d EDO du premier ordre sont les équations linéaires qui s écrivent ou bien encore, sous forme normale : a(t)y + b(t)y = c(t) (3) y + p(t)y = q(t) (4) les fonctions a, b, c, p et q qui interviennent étant à valeurs réelles et définies sur des intervalles ou des réunions d intervalles. L équation (4) est dite linéaire dans la mesure où l expression F (y, y) = y + p(t)y, y et y R, située à gauche du signe égal, est linéaire c est dire vérifie les deux relations suivantes : F (y 1 + y 2, y 1 + y 2 ) = F (y 1, y 1 ) + F (y 2, y 2 ) F (αy, αy) = αf (y, y), α R. En général les expressions en y et y des équations (1) et (2) ne vérifient pas ces propriétés. Par exemple l EDO séparable y 2 y + t = 0 n est pas linéaire dans la mesure où y 2 y, le terme en y, y de l équation, ne vérifie pas les deux propriétés précédentes qui caractérisent la linéarité ; cela tient au fait que (y 1 + y 2 ) 2 = y y y 1 y 2 y y 2 2. Les solutions des équations (2), (3) et (4) vont, en général, pouvoir s exprimer sous forme analytique, c est à dire à l aide de fonctions classiques de l analyse mathématique. Nous n aurons donc pas besoin, en principe, d un solveur numérique pour calculer la solution du problème de Cauchy associé à chacune de ces équations. 2.1 Solution analytique pour une EDO linéaire du premier ordre Nous allons commencer par la situation la plus simple dans laquelle p(t), le coefficient de y dans (4), est nul. C est ce que nous nous voyons dans le théorème suivant. Théorème Supposons que Q(t) soit une primitive d une fonction q(t), définie et continue sur un intervalle I, à valeurs réelles. Alors toutes les solutions de l EDO y = q(t)

10 2.1 Solution analytique 2 EDO DU 1 ER ORDRE sont données, sur l intervalle I, par la formule où c est une constante réelle quelconque. y(t) = Q(t) + c Preuve. Pour voir ceci supposons que y(t) soit une solution de l équation y (t) = q(t) pour t I et que Q(t) soit une primitive de q sur I. Soit t 0 un point quelconque de l intervalle I. En intégrant de t 0 à t et en utilisant le Théorème fondamental du calcul intégral (cf Chapitre 2), nous avons y(t) y(t 0 ) = t t 0 y (s)ds = t t 0 q(s)ds = Q(t) Q(t 0 ) pour tout t I. Ainsi y(t) est de la forme Q(t) plus une constante (la constante c est ici y(t 0 ) Q(t 0 )). Réciproquement, si Q(t) est une primitive de q sur I, y(t) = Q(t) + c est solution de l EDO y (t) = q(t) pour n importe quelle valeur de la constante c. Ainsi avons nous explicité toutes les solutions de cette EDO sur l intervalle I. Exemple 1. Puisque sin (t) = cos t, t R, nous voyons grâce au théorème précédent que, pour l EDO y = cos t, toutes les solutions sont définies sur R et sont données par la formule y(t) = sin t + c avec c constante réelle quelconque. Cette formule impliquant une constante c est appelée solution générale de l équation différentielle y = cos t. Et si nous choisissons un c particulier nous obtenons une solution particulière de cette équation. La figure suivante montre deux d entre elles pour c = 0 et 2. 3 y 2 1 π 1 π 2 π 2π t Nous poursuivons par l étude des solutions d une EDO linéaire mise sous forme normale (4) en commençant par un exemple très simple.

11 2 EDO DU 1 ER ORDRE 2.1 Solution analytique Exemple 2. Considérons l EDO linéaire sous forme normale Toute solution de (5) est aussi solution de l équation y y = 0 (5) e t y e t y = 0 (6) obtenue à partir de (5) en multipliant chaque membre de cette equation par e t. Réciproquement toute solution de (6) est solution de (5) car, dans (6), on peut factoriser par e t qui est non nul quelle que soit la valeur de t. C est l équation (6) que nous allons résoudre. La règle de dérivation d un produit nous donne sur tout intervalle où y est dérivable : (e t y(t)) = e t y (t) + (e t ) y(t) = e t y (t) e t y(t) et l équation (6) peut donc s écrire sous la forme ( e t y(t) ) = 0 (7) dans laquelle la nouvelle fonction inconnue est e t y(t). Par application du Théorème on obtient toutes les solutions de (7) pour t R : e t y(t) = c où c est une constante réelle quelconque. D où l obtention de toutes les solutions de (5) en multipliant par e t : y(t) = ce t t R. Remarquons que la fonction e t a été choisie justement pour parvenir à l équation (7) afin d appliquer le Théorème Ce terme e t, qui n est pas choisi au hasard, s appelle un facteur intégrant. Nous allons utiliser cette technique pour expliciter les solutions de toute EDO linéaire du 1 er ordre mise sous forme normale. Remarque : Nous avons vu dans le Chapitre 3 que la fonction ϕ définie sur R par la série numérique ϕ(t) = df t n n 0 est dérivable et vérifie ϕ (t) = ϕ(t) t R. La fonction ϕ n! est donc une solution de l équation (5) et s écrit sous la forme ϕ(t) = ce t. Comme ϕ(0) = 1, on a nécessairement c = 1 et l égalité annoncée au Chapitre 3 : e t = t n n 0 t R. n! Soit maintenant l EDO du 1 er ordre sous forme normale (4) y + p(t)y = q(t) où le coefficient p(t) et l entrée (ou second membre) q(t) sont des fonctions continues sur un intervalle I. Si q(t) = 0 pour tout t I, alors l EDO (4) est dite sans second membre. Nous expliquons maintenant une approche qui va nous donner une formule décrivant toutes les solutions de (4) sur l intervalle I. Supposons que P (t) soit une primitive sur I du coefficient p(t) dans (4) c est à dire telle que P (t) = p(t) t I. La fonction exponentielle e P (t) est appelé un facteur intégrant pour l équation (4). En utilisant la

12 2.1 Solution analytique 2 EDO DU 1 ER ORDRE règle de dérivation des fonctions composées nous avons ( e P (t)) = e P (t) P (t) = e P (t) p(t) d où l identité, pour toute fonction y dérivable sur I : ( e P (t) y(t) ) = e P (t) y (t) + e P (t) P (t)y(t) = e P (t) y (t) + e P (t) p(t)y(t) = e P (t) (y (t) + p(t)y(t)). (8) Nous allons utiliser (8) pour résoudre (4). Supposons que y(t) soit solution de l EDO (4) sur l intervalle I. En multipliant l EDO (4) par le facteur intégrant e P (t) nous obtenons l égalité e P (t) (y (t) + p(t)y(t)) = e P (t) q(t) qui peut s écrire grâce à l identité (8) : ( e P (t) y(t) ) = e P (t) q(t). (9) En supposant que R(t) soit une primitive sur I de e P (t) q(t), par application du Théorème nous avons pour tout t I : e P (t) y(t) = R(t) + c où c est une constante quelconque. Après multiplication de chaque membre de cette égalité par e P (t) nous obtenons une formule pour la solution y de l EDO (4) y(t) = ce P (t) + e P (t) R(t) (10) avec t I et dans laquelle c est une constante quelconque. Réciproquement toute fonction y s écrivant sous la forme (10) est solution de (4). Pour le voir il suffit de remonter les trois étapes précédentes et remarquer qu on peut simplifier par e P (t) ( toujours différent de 0) pour obtenir la relation (4) vérifiée par y. Nous résumons tout ce qu on vient de montrer dans le théorème suivant. Théorème Soit l équation différentielle ordinaire sous forme normale : y + p(t)y = q(t) (4) dans laquelle p et q sont des fonctions définies et continues sur un intervalle I. Soit P (t) une primitive sur I de p(t) et R(t) une primitive sur I de e P (t) q(t). Alors la solution de l EDO (4) s écrit analytiquement, pour t I, sous la forme où c est une constante quelconque. y(t) = ce P (t) + e P (t) R(t) (10) Remarquons que, dans la formule (10), n importe quelle primitive P (t) de p(t) convient ; idem pour R(t) avec e P (t) q(t). Puisque la formule (10) exprime toutes les solutions de l EDO (4), elle est appelée solution générale de l EDO. Comme la constante c dans la solution générale (10) est arbitraire, nous voyons que l EDO (4) a une infinité de solution, une pour chaque valeur de la constante c. Des valeurs différentes de c dans (10) donnent des courbes solution qui ne se rencontrent jamais sur l intervalle I. Pour le voir, prenons

13 2 EDO DU 1 ER ORDRE 2.1 Solution analytique deux constantes différentes c 1 et c 2 dans la formule (10) afin d obtenir deux solutions y 1 (t) et y 2 (t). En soustrayant nous avons y 1 (t) y 2 (t) = (c 1 c 2 )e P (t). La fonction exponentielle ne s annulant jamais et les constantes c 1 et c 2 étant distinctes, les solutions y 1 (t) et y 2 (t) ne peuvent être égales en aucun point t de I. Les deux courbes solution ne se touchent donc pas. Par ailleurs si on impose à l EDO (4) une condition initiale, alors la solution du problème de Cauchy correspondant est unique. C est ce que nous voyons dans le théorème suivant. Théorème Soient p(t) et q(t) des fonctions définies et continues sur un intervalle I. Soit t 0 un point quelconque de I. Pour n importe quelle valeur y 0, le problème de Cauchy suivant y + p(t)y = q(t), y(t 0 ) = y 0 (11) a une unique solution définie sur tout l intervalle I. Preuve. Selon le Théorème la solution générale de l EDO du problème (11) est y(t) = ce P (t) + e P (t) R(t), t I avec c une constante arbitraire. Pour satisfaire la condition y(t 0 ) = y 0 nous remplaçons t par t 0 et y(t) par y 0 dans la formule précédente pour obtenir y 0 = ce P (t0) + e P (t0) R(t 0 ). Cette équation a une solution unique en c à savoir c = y 0 e P (t0) R(t 0 ). Ce qui signifie que le problème de Cauchy (11) a une unique solution. Commentaire : Nous avons vu que l EDO du 1 er ordre (4) a une solution générale exprimée sous forme analytique par la formule (10). Donc tout semble être pour le mieux, mais il y a une ombre au tableau : nous ne savons pas forcément trouver les primitives entrant dans l expression de la solution générale. Du coup la formule (10) n est pas toujours très utile. Cependant nous avons toujours l option d utiliser un solveur numérique pour calculer et grapher une courbe approchée du problème (11). Ce n est pas le cas dans le problème de Cauchy de l exemple suivant où tout est calculable à la main. Exemple 3. Soit le problème de Cauchy suivant, de forme (11), dans lequel p(t) = 2 et q(t) = 3e t, t R, avec t 0 = 0 et y(0) = 3 : y + 2y = 3e t, y(0) = 3 (12) Une primitive de p(t) est, par exemple, P (t) = 2t et pour e P (t) q(t) = 3e 2t e t = 3e 3t, une primitive est R(t) = e 3t. D où la solution générale de l EDO du problème (12) selon la formule (10) : y(t) = ce P (t) + e P (t) R(t) = ce 2t + e t, t R. Pour obtenir la solution de (12) nous déterminons la constante c en utilisant la condition initiale y(0) = 3 dans l équation précédente : y(0) = 3 = c + 1 d où c = 4 et la solution du problème (12) : y(t) = 4e 2t + e t, t R.

14 2.1 Solution analytique 2 EDO DU 1 ER ORDRE En résumé voici les étapes à suivre pour déterminer la formule (10) solution d une EDO linéaire du premier ordre : 1. Ecrire l EDO sous la forme normale y (t)+p(t)y = q(t) et identifier le coefficient p(t), le second membre q(t) ainsi que l intervalle I sur lequel ces fonctions sont définies et continues. 2. Trouver une primitive P (t) de p(t) sur I ; n importe laquelle convient. 3. Trouver une primitive R(t) de e P (t) q(t) sur I ; n importe laquelle convient. 4. Ecrire la solution générale de l EDO dans laquelle c est une constante réelle quelconque : y(t) = ce P (t) + e P (t) R(t) (10) Nous donnons ci-après une table de primitives usuelles concernant des fonctions définies sur tout R. Dans cette table le symbole f(t)dt se lit primitive de f(t) Pour tout a R on a : e at dt = 1 a eat te at dt = eat (at 1) a2 t 2 e at dt = eat a 3 (a2 t 2 2at + 2) 1 t sin(at)dt = a t cos(at) + 1 a sin(at) 1 2 t cos(at)dt = a t sin(at) + 1 a cos(at) 2 Pour toutes constantes réelles a et b non nulles simultanément on a : e at cos(bt)dt = eat (a cos(bt) + b sin(bt)) a 2 + b2 e at sin(bt)dt = eat (a sin(bt) b cos(bt)) a 2 + b2 Table de primitives usuelles Exemple 4. Soit l équation différentielle y y = t 2 (13) Cette EDO linéaire est déjà écrite sous forme normale avec p(t) = 1 et q(t) = t 2 et ces fonctions sont continues sur tout R. Une primitive de p(t) est P (t) = t, et une primitive de q(t)e P (t) = t 2 e t est R(t) = e t (t 2 + 2t + 2) selon la table de primitives précédente. Par application du Théorème 2.1.2, la solution générale de l EDO (13) est y(t) = ce t + t 2 + 2t + 2, t R avec c constante réelle quelconque.

15 2 EDO DU 1 ER ORDRE 2.1 Solution analytique Solution analytique pour une EDO linéaire du 1 er ordre : autre approche Il existe une autre voie pour déterminer une forme analytique des solutions d une EDO linéaire du 1 er ordre sans utiliser complètement la démarche précédente. Voici le résultat sur lequel on s appuie et qui justifie cette approche alternative pratiquée par les ingénieurs. Théorème On suppose que p(t) et q(t) sont des fonctions définies et continues sur un intervalle I. Alors la solution générale y(t) de l EDO linéaire avec second membre est donnée par y + p(t)y = q(t), (4) y(t) = y h (t) + y p (t) t I (14) où y h est la solution générale de l EDO linéaire sans second membre (ou homogène) sur I : y + p(t)y = 0 t I (15) et y p est une solution particulière de l équation (4) avec second membre sur l intervalle I. Preuve. Soit y p une solution particulière de l équation (4) ; n importe laquelle convient. Nous montrons maintenant que y est solution de l EDO (4) si et seulement si la fonction w = y y p est solution de l équation homogène (15). Ceci résulte du calcul suivant w + p(t)w = (y y p ) + p(t)(y y p ) = y + p(t)y (y p + p(t)y p ) = y + p(t)y q(t) Donc si y est solution de (4) on a w + p(t)w = 0. Réciproquement si w est solution de (15) alors y = w +y p vérifie (4) : y +p(t)y = w +p(t)w +y p +p(t)y p = 0+q(t) et w s écrit bien y y p. Ainsi toute solution y de (4) s écrit y = y h + y p où y h est la solution générale de l EDO homogène (15). Nous avons vu précédemment qu une telle fonction s écrit y h (t) = ce P (t) où c est une constante et P (t) une primitive de p(t) (dans la formule (10) on fait q(t) = 0 d où R(t) = cte et la forme indiquée pour y h ). Dans l exemple suivant on utilise le Théorème pour déterminer la solution générale d une EDO linéaire sous forme normale. Exemple 5. Soit l EDO linéaire du 1 er ordre y + y = 17 sin(4t) (16) dans laquelle p(t) = 1 et q(t) = 17 sin(4t). L équation homogène associée à cette EDO est y + y = 0 dont la solution générale est y h (t) = ce P (t) = ce t, t R, selon la formule (10). Ainsi la solution générale de (16) a donc la forme y(t) = ce t + y p (t)

16 2.1 Solution analytique 2 EDO DU 1 ER ORDRE où c est une constante quelconque et y p une solution particulière quelconque de (16). Au vu de la forme du second membre de l équation (16) nous choisissons de prendre comme solution particulière une combinaison linéaire des fonctions sin(4t) et cos(4t) : y p (t) = A sin(4t) + B cos(4t) (17) où A et B sont des constantes à déterminer. Pour ce faire on injecte cette forme de y p dans la partie gauche de l équation (16) pour obtenir y p + y p = 4A cos(4t) 4B sin(4t) + A sin(4t) + B cos(4t) = (A 4B) sin(4t) + (4A + B) cos(4t). Pour que y p donné par (17) représente une solution de (16) on doit avoir (A 4B) sin(4t) + (4A + B) cos(4t) = 17 sin(4t). La seule voie possible pour que cette égalité ait lieu t R est que A et B vérifient les équations (résultat admis) : A 4B = 17, 4A + B = 0 En multipliant la seconde équation par 4 et en additionnant les deux équations résultantes, on voit que A = 1 d où la valeur B = 4. La solution particulière s écrit donc en tenant compte de ces valeurs : y p (t) = sin(4t) 4 cos(4t). La solution générale de (16) est alors pour tout t R : y(t) = ce t + sin(4t) 4 cos(4t) avec c constante réelle quelconque. Exemple 6 (Circuit électrique L, R). Soit le circuit électrique ci-dessous, formant une boucle ou maille, constitué par une inductance L, une résistance R et alimenté par un générateur de force électromotrice E(t) variant avec le temps t. On veut calculer l intensité I(t) du courant qui parcourt ce circuit. Le courant obéit à la loi des mailles de Kirchoff et à la loi d Ohm ce qui conduit à la relation : ce qui s écrit encore LI (t) + RI(t) = E(t). L di (t) + RI(t) = E(t) dt L E(t) I(t) R

17 2 EDO DU 1 ER ORDRE 2.1 Solution analytique On a donc à étudier l équation différentielle linéaire du 1 er ordre que l on écrit sous forme normale : I + R L I = 1 E(t) (18) L dans laquelle L et R sont des constantes. Il s agit de déterminer la solution générale de cette équation. L équation homogène de cette EDO est I + R I = 0 dont la solution L générale est I h = ce R L t avec Rt représentant une primitive sur R de R. Pour résoudre L L l équation complète (18) il faut calculer une solution particukière I p de cette équation pour obtenir, selon le Théorème 2.1.4, la solution générale sous la forme I = I h + I p. Pour déterminer I p nous utilisons la méthode dite de variation de la constante : on cherche I p (t) sous la forme c(t)e R L t, la fonction c(t), suffisamment régulière, étant à déterminer. En injectant I p (t) = c(t)e R L t dans (18) on a R ( e L t c (t) + c(t) R ) R e L t + R R L L c(t)e L t = 1 L E(t) d où e R L t c (t) = 1 L E(t) c (t) = 1 L e R L t E(t) et ceci t R. La fonction c(t) s écrit donc en primitivisant R 1 c(t) = L e L t E(t)dt + k avec k constante réelle quelconque. La solution particulière de (18) s écrit donc I p (t) = e R L t 1 L e R L t E(t)dt + ke R L t d où la solution générale de (18) : I(t) = I p (t) + I h (t) = ce R L t + e R L t 1 L e(r/l)t E(t)dt avec c constante réelle quelconque, le symbole dt signifiant primitive de. Nous particularisons maintenant notre problème en prenant une force électromotrice E(t) alternative soit E(t) = E 0 sin(ωt) (E 0 > 0 force électromotrice maximale et w > 0 pulsation de cette force). Dans cette situation la solution générale s écrit I(t) = ce R L t + E 0 L e R L t e (R/L)t sin(ωt)dt. Pour expliciter cette solution générale il nous reste à calculer la primitive e (R/L)t sin(ωt)dt. Pour ce faire on peut utiliser la table des primitives donnée précédemment ou bien faire un calcul direct en utilisant l intégration par partie (basée sur la formule (u(x)v(x)) = v(x)u (x) + u(x)v (x)). On a en effet e R L t sin(ωt)dt = L R e R L t sin(ωt) L R e R L t ω cos(ωt)dt = L R e R L t sin(ωt) { L 2 e R R 2 L t ω cos(ωt) } ω L2 e R R 2 L t ( ω sin(ωt)dt = L R e R L t sin(ωt) ω L2 R 2 e R L t cos(ωt) ω 2 L2 R 2 e R L t sin(ωt)dt.

18 2.1 Solution analytique 2 EDO DU 1 ER ORDRE D où en factorisant ) (1 + ω 2 L2 (sin(ωt) ωlr cos(ωt) ) R 2 e (R/L)t sin(ωt)dt = e (R/L)t L R puis e (R/L)t L sin(ωt)dt = R 2 + ω 2 L 2 e(r/l)t (R sin(ωt) ωl cos(ωt)). Finalement la solution générale s écrit R I(t) = ce L t E 0 + (R sin(ωt) ωl cos(ωt)). R 2 + ω 2 L2 Nous allons maintenant écrire autrement ce résultat et l interpréter physiquement. Nous remarquons d abord que 0 < α df = R R 2 +ω 2 L 2 < 1. Il existe donc une valeur (un angle) ϕ ]0, π[ telle que α = cos(ϕ). En posant β = df ωl 2 R nous avons aussi 0 < β < 1 avec 2 +ω 2 L 2 la relation α 2 + β 2 = 1. Il en découle l égalité β = sin(ϕ). La solution générale I(t) s écrit alors I(t) = ce R L t + E 0 (cos(ϕ) sin(ωt) sin(ϕ) cos(ωt)) R2 + ω 2 L2 R = ce L t + E 0 sin(ωt ϕ) Z La quantité Z = df R 2 + ω 2 L 2 est appelée impédance du circuit L, R et l angle ϕ (exprimé en radian) donne le déphasage. Si le circuit vérifie la condition initiale I(0) = I 0 au temps t = 0, la constante c est parfaitement déterminée et l on a I 0 = c E 0 sin(ϕ) d où Z c = I 0 + E 0 sin(ϕ) = I Z 0 + E 0ωL. La solution du problème (18) avec la condition initiale R 2 +ω 2 L 2 I(0) = I 0 est alors : I(t) = ( I 0 + E ) R 0ωL e L t + R 2 + ω 2 L 2 E 0 sin(ωt ϕ). R2 + ω 2 L2 Le premier terme de cette expression tend vers zéro quand le temps t s écoule et est appelé régime transitoire. Le second terme est appelé régime permanent ; il est d amplitude et déphasé de l angle ϕ relativement à la tension d entrée E(t). E 0 R 2 +ω 2 L 2 Dans l exemple qui suit, l EDO y + p(t)y = q(t) à résoudre possède un second membre q continu sur l intervalle I sauf en un point t à l intérieur de l intervalle. Pour ce point t, q représente une discontinuité de 1ère espèce : la limite à gauche q (t ) df = lim t t,t<t q(t) existe, comme la limite à droite q + (t ) = df lim t t,t>t q(t) et ces limites sont différentes. On va mettre en évidence une solution dite faible de cette équation, continue sur I. Exemple 6 bis (Circuit éléctrique RC attaqué par un créneau). Soit le circuit R, C formé par une résistance et une capacité en série. Si E(t) est la tension d entrée du circuit,

19 2 EDO DU 1 ER ORDRE 2.1 Solution analytique R E(t) C V (t) la différence de potentiel V (t) aux bornes de la capacité est solution de l équation différentielle RCV (t) + V (t) = E(t) d où la forme normale de l équation V (t) + 1 E(t) V (t) = RC RC On suppose que E(t) = V 0 (constante > 0) si 0 t < t et E(t) = 0 si t t. On suppose connue la condition initiale pour V en 0 : V (0) = 0. Résolvons sur l intervalle [0, t [ le problème à condition initiale : (E q ), V (0) = 0. Ici p(t) = 1 de primitive P (t) = RC t, q(t) = V 0 d où RC RC ep (t) q(t) = e t/(rc) V 0 avec R(t) = e t/(rc) V 0 dt = V RC RC 0e t/(rc) comme fonction primitive. Selon le Théorème 2.1.2, la solution générale de (E q ) sur [0, t [ est (E q ) V (t) = ce P (t) + e P (t) R(t) = ce t/(rc) + e t/(rc) V 0 e t/(rc) = V 0 + ce t/(rc) avec c R. On détermine la constante c en tenant compte de la condition initiale du problème : V (0) = 0 = V 0 + c. D où la solution du problème sur [0, t [ qu on note V : V (t) = V 0 ( 1 e t/(rc) ). Résolvons maintenant ( sur l intervalle [t, + ) l autre problème à condition initiale : (E q ), V (t ) = V ) 0 1 e t /(RC). On a toujours p(t) = 1 avec une primitive P (t) = t ; mais, RC RC ici, q(t) = 0 donc e P (t) q(t) = 0 et une primitive de cette fonction est R(t) = k avec k constante. La solution générale de (E q ) sur [t, + ) est donc : V (t) = ce P (t) + e P (t) R(t) = ce t RC + ke RC t t = ce RC avec c constante réelle quelconque. La condition initiale en t (V (t ) = V 0 ( 1 e t /(RC) ) = ce t /(RC) ) permet d expliquer la constante c (c = V 0 ( e +t /(RC) 1 ) ) d où la solution du second problème à condition initiale qu on note V + : ( V + (t) = V 0 e +t /(RC) 1 ) t e RC Notons V (t) df = V (t) si 0 t < t et V (t) = V + (t) si t t. Par construction, cette fonction V est continue sur tout [0, + ) et elle est solution du problème de Cauchy : V (t) + 1 E(t) V (t) = R RC, V (0) = 0 (PbC)

20 2.2 EDO séparables 2 EDO DU 1 ER ORDRE en tout point t de R +, sauf en t. Pour cette valeur t, V n est pas dérivable car V (t ) = ( lim t t V (t) = V 0 /(RC) RC e t V (t +) = V + (t ) = V 0 RC e +t /(RC) 1 ) e t RC ( = ) V 0 RC 1 e t /(RC) = V 0 /(RC) RC e t V 0 (en RC t les dérivées à gauche et à droite de V sont différentes). On remarque que la différence V (t +) V (t ) = V 0 est égale au saut RC de discontinuité de la fonction q(t) = E(t) au point RC t. On dit que V, ainsi définie, est solution faible de (P bc) sur l intervalle [0, + ). V (t) E(t) V 0 V 0 (1 e t /(RC) ) V + V t E(t) t 2.2 Equations différentielles du 1 er ordre séparables Dans cette partie nous étudions les EDO du 1 er ordre séparables qui s écrivent, comme nous l avons dit, sous la forme : N(y)y + M(t) = 0 (2) dans laquelle les termes en y et y sont séparés des termes en t. On suppose que les fonctions N(y) et M(t) sont définies et continues sur les intervalles J et I respectivement. Cette équation (2) est non linéaire (elle n a pas la forme d une EDO linéaire) sauf dans le cas très particulier où N(y) est une constante. Soit G(y) une primitive quelconque de N(y) sur l intervalle J et F (t) une primitive quelconque de M(t) sur l intervalle I. Considérons y(t) une solution quelconque de l EDO (2) dont la courbe solution (c est à dire l ensemble {t, y(t); t I 0 } avec I 0 intervalle ) reste dans le rectangle I J. Notons que y est de classe C 1 car y (t) = M(t) est une fonction continue par hypothèse (quotient N(y(t)) de deux fonctions continues). L équation (2) devient alors N(y(t))y (t) + M(t) = (G(y(t)) + F (t)) = 0 (19) à cause de la règle de dérivation des fonctions composées qui implique l égalité d dt G(y(t)) = G (y(t))y (t) = N(y(t))y (t) pour tout t appartenant à l intervalle de définition I 0 de la solution y. En primitivant (19) et puisqu on se trouve sur l intervalle I 0, intervalle contenu dans I, on a donc G(y(t)) + F (t) = c (20) quel que soit t I 0 et avec c constante quelconque. Réciproquement, supposons que y soit une fonction de classe C 1 sur un intervalle I 0 dont

21 2 EDO DU 1 ER ORDRE 2.2 EDO séparables le graphe reste dans le rectangle I J, avec y satisfaisant (20) pour une constante c quelconque. La dérivation de (20), via le théorème de dérivation des fonctions composées, montre que y est une solution de l EDO (2). Ainsi l équation (20) peut-elle être regardée comme une équation définissant implicitement la solution générale de (2), équation dépendant d une constante c quelconque. Exemple 7. Soit l EDO sous forme séparable yy + t = 0 On a alors N(y) = df y et M(t) = df t et les primitives de N et M sont ici respectivement G(y) = y2 et F (t) = t2 sur R tout entier. En utilisant la formule (20), la solution générale 2 2 de l EDO est donnée implicitement par y(t) t2 2 = c où c est une constante positive quelconque (voir pourquoi plus loin). Pour n importe quelle valeur c > 0 on peut résoudre l équation précédente en y(t). Il y a deux solutions y(t) = ± 2c t 2 chacune définie et de classe C 1 sur l intervalle ouvert I 0 défini par l égalité t < 2c. Une substitution dans l EDO initiale montre bien que y(t) est solution de cette équation car y (t) = ± 1 2 ( 2t) t I 2c t 2 0 d où y (t)y(t) = t sur I 0. La constante c ne peut être 0 dès lors que nous cherchons des solutions de l EDO à valeurs réelles (une somme de réels non tous nuls, et au carré, ne peut être 0). y(t) = 2c t 2 2c 2c 2c t Définitions. La fonction H(t, y) df = G(y) + F (t), avec (t, y) appartenant au rectangle R df = I J et G et F les primitives définies précédemment, est une intégrale de l EDO (2). Pour une constante c particulère, l ensemble des points de R satisfaisant H(t, y) = c est une courbe intégrale de l EDO. Si c est une constante quelconque alors H(t, y) = c est la solution générale implicite de l EDO (2).

22 2.2 EDO séparables 2 EDO DU 1 ER ORDRE Exemple 8. Soit l EDO séparable d ordre 1 à condition initiale yy t = 0, y(2) = 1 (21) Nous avons ici N(y) = y et M(t) = t et les primitives de N et M sont respectivement y 2 /2 et t 2 /2 sur l axe réel tout entier. La fonction H(t, y) df = y 2 /2 t 2 /2 est une intégrale de l EDO. La solution générale implicite de l EDO s écrit H(t, y) = c avec c constante quelconque. Pour que la condition initiale soit respectée il faut imposer pour c la valeur ( 1) 2 /2 2 2 /2 = 3/2 d où la solution implicite de notre problème (21) : y 2 2 t2 2 = 3 2 qui définit une hyperbole passant par le point initial (2, 1). La solution explicite est donnée par y(t) = (t 2 3) 1/2, t > 3 qui définit l arc d hyperbole passant par le point (2, 1). La courbe intégrale hyperbolique définie par (22) contient trois autres courbes solutions pour l EDO yy t = 0 : y(t) = (t 2 3) 1/2, t > 3, (graphique en haut à droite) et y(t) = ±(t 2 3) 1/2, t < 3, (graphique haut et bas à gauche). Notons que, pour les deux courbes solutions de l EDO situées à droite du graphique, le point ( 3, 0) est exclu car, en ce point, la dérivée y (t) = t t 2 3 serait infinie. Idem pour le point ( 3, 0) avec les deux courbes solutions à gauche du graphique. y (22) y 2 t 2 = 3 y 2 t 2 = 3 X X t -1 y = t 2 3, t > 3 Quelquefois il n est pas facile de déterminer y explicitement en fonction de t, à partir de la solution implicite (20) de l EDO (2), comme on va le voir dans l exemple suivant.

23 2 EDO DU 1 ER ORDRE 2.2 EDO séparables Exemple 9. Soit l EDO sous la forme séparable (y 2 4)y + t 2 = 0 (23) Elle a comme intégrale H(t, y) = y3 4y + t3, t R, y R, et comme solution générale 3 3 implicite y 3 3 4y + t3 3 = c (24) avec c constante quelconque. Il n est pas simple de résoudre (24) pour y en fonction de t et c. Supposons que nous désirions trouver la courbe intégrale passant par le point (0, 0) En prenant t = 0 et y = 0 dans la formule (24) on voit que c = 0. La solution y(t) du problème à condition initiale est donc définie, implicitement, par la formule (y 2 4)y + t 2 = 0, y(0) = 0 (25) y 3 3 4y + t3 3 = 0 (26) La figure ci-dessous représente la courbe intégrale définie par (26). La partie de cette courbe en trait plein est le graphe de la solution du problème (25) étendue au voisinage de t = 0 aussi loin que possible au delà et en deçà de 0. y 2 161/3 0 t 161/3-2

24 2.2 EDO séparables 2 EDO DU 1 ER ORDRE Pour trouver le plus grand intervalle sur lequel la solution y(t) est définie, on remarque que y est infini quand y = ±2 car y (t) =. En posant y = ±2 dans l équation (26) t2 y(t) 2 4 on obtient t 3 = 16 et t 3 = 16. Ainsi 16 1/3 et 16 1/3 sont des bornes pour le plus grand intervalle en t sur lequel la solution de (25) est définie. Il reste une question : comment la courbe intégrale ci-dessus est-elle calculée? Nous y répondons au paragraphe 2.3. Les deux exemples précédents illustrent la puissance des courbes intégrales pour nous aider à visualiser les courbes solutions d une EDO de type (2). Dans l exemple suivant nous résolvons une EDO de ce type qui reviendra souvent par la suite. Exemple 10. Soit l EDO du 1 er ordre y = y 2 que nous mettons sous forme séparable y y 2 1 = 0 (27) Ici N(y) = 1 est définie sur R et l intervalle J dont il a été question plus haut est soit y 2 J = (, 0[ soit J =]0, + ). Par ailleurs on a M(t) = 1 fonction définie sur tout R, la droite réelle représentant l intervalle I. Les solutions à cette EDO (27) auront donc leur graphe dans le rectangle I J c est à dire soit dans R (, 0[ soit dans R ]0, ). La primitive de N(y) sur J est G(y) = 1 et celle de M(t) sur I est t. D où la solution y générale implicite de (27) : 1 y t = c (28) avec t R, y J et c constante quelconque. Il est facile de résoudre (28) c est à dire de trouver une fonction y(t) définie sur un intervalle I 0 I = R, à valeurs dans J, qui soit de classe C 1 et vérifie (28) : comme 1 t = c 1 = t c pour (t, y) R J, la y y solution cherchée est soit si on choisit J =]0, + ), soit y(t) = 1 t + c, t (, c[ y(t) = 1 t + c, t ] c, + ) si J = (, 0[. La constante c étant quelconque, il y a donc une infinité de solutions à l EDO proposée : deux pour chaque constante c particulière. Maintenant si nous imposons à l EDO une condition initiale, par exemple y(0) = 1, la solution générale implicite (28) fixe la valeur de c. En effet si dans (28) on pose t = 0 et y = 1 on obtient 1 = c. Dans ce cas l intervalle J est nécessairement ]0, + ) et la solution du problème à valeur initiale y = y 2, y(0) = 1 s écrit : y(t) = 1 t 1 = 1, t (, 1[ 1 t

25 2 EDO DU 1 ER ORDRE 2.3 EDO et système différentiel planaire du 1 er ordre y(t) 1 1 t En résumé voici les étapes à suivre pour déterminer la solution générale d une EDO du 1 er ordre séparable : 1. Ecrire l EDO sous la forme séparée N(y)y + M(t) = 0 (2) et identifier les fonctions N(y) et M(t) ainsi que les intervalles sur lesquels elles sont définies et continues : J pour N et I pour M. 2. Trouver une primitive G(y) de N(y) sur J ; n importe laquelle convient. 3. Trouver une primitive F (t) de M(t) sur I ; n importe laquelle convient. 4. Ecrire la solution générale implicite de l EDO (2) : G(y) + F (t) = c (20) dans laquelle c est une constante réelle quelconque. 5. Les solutions correspondantes de (2) sont alors constituées par toute fonction y(t), définie sur I 0, dont le graphe reste dans I J, de classe C 1 sur I 0, et qui vérifie l équation (20) sur I 0 : G(y(t)) + F (t) = c t I 0. On peut dire d une façon équivalente que tout arc de la courbe intégrale de (20), contenu dans I J et ne présentant pas de tangente verticale, est le graphe d une solution de (2). Solution d une EDO du 1 er ordre séparable 2.3 Liens entre EDO et système différentiel planaire du 1 er ordre Un système différentiel du 1 er ordre de taille 2 (ou planaire) est une paire d équations faisant intervenir deux fonctions (dites variables d état) x(t) et y(t), dépendant de la

26 2.3 EDO et système différentiel planaire du 1 er ordre 2 EDO DU 1 ER ORDRE variable t, et deux lois de comportement sur les dérivées de x et y : dx dt = x = f(t, x, y), dy dt = y = g(t, x, y) (29) Le plan des x, y (c est à dire R 2 = {(x, y), x R, y R}) est appelé espace des phases. Quand les fonctions vitesse f et g ne dépendent pas de t mais seulement de x et y, le système (29) est dit autonome. Définitions. Les fonctions x(t) et y(t) définissent une solution du système (29) s il existe un intervalle I de R sur lequel ces fonctions sont dérivables et vérifient les égalités x (t) = f(t, x(t), y(t)) et y (t) = g(t, x(t), y(t)) t I. La courbe paramétrique {(x(t), y(t)), t I} dans le plan des x, y est appelée l orbite de la solution. Les graphes de x(t) et y(t) sont les courbes composantes de la solution. Tout ceci étant posé, voyons le lien entre EDO du 1 er ordre et le système planaire (29). Soit l EDO du premier ordre écrite sous la forme la plus générale envisagée ici, la variable étant exceptionnellement notée x à la place de t : N(x, y)y + M(x, y) = 0 (1) Ici les fonctions N et M sont supposées continues sur un ensemble ouvert de R 2 (cf 3). Les courbes solution de l EDO (1) peuvent être obtenues en graphant les orbites du système différentiel du 1 er ordre de taille 2, autonome, suivant : x (t) = N(x, y), y (t) = M(x, y) (30) dans lequel la variable est maintenant t, x et y représentant deux variables d état dépendant de t. On peut expliquer ceci par le raisonnement suivant. Dans l espace des phases la courbe paramétrique d une solution du système (30) {(x(t), y(t)), t I} est une orbite de ce système. En un point (x, y) la pente dy M(x,y) de l orbite est puisque dx N(x,y) dy = dy / dx = M dy. Ainsi les courbes solution de l EDO (1), donc de = M, sont les arcs dx dt dt N dx N des orbites du système (30) qui ne contiennent pas de tangente verticale ( car pour toute solution de (1) sa dérivée est bornée sur l intervalle de définition). L EDO dy = M(x,y) dx N(x,y) peut être difficile à résoudre numériquement dans les régions où le dénominateur N(x, y) s annule. La technique décrite ci-dessus contourne ce problème de l annulation du dénominateur mais elle a un coût : l introduction d une variable d état supplémentaire.

27 2 EDO DU 1 ER ORDRE 2.3 EDO et système différentiel planaire du 1 er ordre y y = h(x) y(t) + y df = y(t + t) y(t) P(t) P(t + t) x(t) x x(t + t) df = x(t) + x h y (x) = lim x 0 x = lim x 0 = y 1 (t) x (t) y t t x = lim y t 0 t lim t 0 ( x 0 avec t) dérivée d une courbe y = h(x) définie de façon paramétrique dans le plan des x, y par {P (t) df = (x(t), y(t)), t I} avec x(t) et y(t) fonctions dérivables sur I. t x Exemple 11. Nous prenons l EDO à condition initiale de l Exemple 8 en notant la variable x au lieu de t : yy x = 0, y(2) = 1 (21) Dans cet exemple on a N(x, y) = df y et M(x, y) = df x pour tout x et y R. Le système différentiel à condition initiale, autonome, correspondant s écrit donc { x (t) = N(x, y) = y, y (t) = M(x, y) = x (31) x(0) = 2, y(0) = 1 si on convient que la condition initiale y(2) = 1 est atteinte pour t = 0 dans le problème (31). On a vu dans l Exemple 8 que la solution implicite de (21) est y 2 x 2 = 3 et que cette dernière équation est celle d une hyperbole dont on ne retiendra que la branche passant par le point initial (2, 1). Une telle branche d hyperbole peut être paramétrée par (cf Chapitre 1 10) : x(t) = 3cosh(t t 0 ), y(t) = 3sinh(t t 0 ), t R (32) la valeur t 0 était choisie pour que les conditions initiales x(0) = 3cosh( t 0 ) = 3cosh(t 0 ) et y(0) = 3sinh( t 0 ) soient vérifiées. Pour cela on prend t 0 = arcosh( 2 3 ) et on a bien, d abord, 3cosh(t 0 ) = = 2, puis, 3sinh( t 0 ) = 3( 1)sinh(t 0 ) =

28 2.3 EDO et système différentiel planaire du 1 er ordre 2 EDO DU 1 ER ORDRE 3 cosh 2 (t 0 ) 1 = 3 (cosh(t 0 ) 1)(cosh(t 0 ) + 1) = 3 ( 2 3 1)( ) = 3( 2 3 1)( ) = (2 3)(2 + 3) = 4 3 = 1. Les fonctions données par (32) représentent donc la solution du problème (31), sur tout R, car on a bien x (t) = 3sinh(t t 0 ) = y(t) et y (t) = 3cosh(t t 0 ) = x(t) quelle que soit la valeur réelle de t. Dans le graphique ci-dessous nous représentons l orbite de la solution de (31) dont l arc situé dans le 4ème quadrant (x > 0, y < 0) représente la solution du problème (21). y y 2 x 2 = 3 P(t) = ( 3cosh(t t 0 ), 3sinh(t t 0 )), t R 3 2 x y = x -1 Dans l Exemple 11 tout est calculable à la main et il n est pas nécessaire d utiliser un solveur numérique pour résoudre (31) et tracer son orbite, afin d obtenir le graphe de la solution de (21). Il n en sera pas de même dans l exemple suivant. Exemple 12. Revenons sur l EDO de l Exemple 9 avec la condition initiale y(0) = 0 : (y 2 4)y + x 2 = 0, y(0) = 0 (25) Nous allons déterminer la courbe solution de ce problème (25) en traçant l orbite de la solution du système planaire à conditions initiales (c est encore un problème de Cauchy ; voir le 5 pour l existence et l unicité de la solution d un tel problème) : dx dt = N(x, y) = y2 4, x(0) = 0 (33) dy dt = M(x, y) = x2, y(0) = 0

29 2 EDO DU 1 ER ORDRE 2.3 EDO et système différentiel planaire du 1 er ordre Cela est fait en utilisant un solveur numérique et en laissant la variable t courir en deçà et au delà de la valeur t = 0 mais en la limitant pour que l orbite reste dans le rectangle x 3 et y 4. L orbite est la courbe donnée dans l Exemple 9. On peut reconstituer cette orbite en réunissant les deux graphes ci-dessous ; l un représente l orbite du problème (33) avec des valeurs négatives pour t, l autre représente l orbite pour des valeurs positives de la variable t. Quant à la courbe solution du problème (25) c est le plus long arc de l orbite contenant le point (0,0) et qui n a pas de tangente verticale. Elles est représentée par la courbe en trait plein dans le graphe de l Exemple 9. Remarquons que l intervalle maximal sur lequel la solution de (25) est définie est l intervalle ouvert ] 16 1/3, 16 1/3 [. 4 y 3 2 t [0, 1] /3 16 1/3 x 1 2 t [0,1]

30 3 EXISTENCE ET UNICITÉ POUR UNE EDO DU 1 ER ORDRE 3 Existence et unicité de la solution du problème de Cauchy pour une EDO du 1 er ordre Définition de la fonction dérivée partielle f et continuité d une fonction de y deux variables. Soit la fonction de deux variables f(t, y) définie sur le rectangle fermé R = df [a, b] [c, d] et à valeurs réelles. Pour t 0 [a, b] considérons la fonction g 0 (y) = df f(t 0, y), y [c, d]. Si cette fonction g 0 est dérivable sur l intervalle [c, d], on note sa dérivée g 0(y) = df f (t y 0, y). Si pour tout t [a, b], la fonction g(y) = df f(t, y) est dérivable sur l intervalle [c, d], on note sa dérivée g (y) = df f f (t, y). La fonction ainsi définie sur le y y rectangle R est la fonction dérivée partielle de f en y ; elle représente la dérivée de f par rapport à la variable y, à t fixé. Nous aurons besoin par la suite de faire l hypothèse de continuité des fonctions f et f sur le rectangle R. Qu est-ce que cela signifie? On dira y qu une fonction de deux variables h : (t, y) R h(t, y) R est continue en un point (t 0, y 0 ) du rectangle R de définition si on a la propriété suivante : ɛ > 0, δ > 0, (t, y) R [t 0 δ, t 0 + δ] [y 0 δ, y 0 + δ] h(t, y) h(t 0, y 0 ) ɛ En d autres termes h est continue en (t 0, y 0 ) si pour tout ɛ > 0 il existe un rectangle (en fait un carré) centré en (t 0, y 0 ) dont l image par h est contenue dans l intervalle [h(t 0, y 0 ) ɛ, h(t 0, y 0 ) + ɛ]. Remarquons que, pour définir la continuité de h en (t 0, y 0 ), nous aurions pu prendre de façon équivalente, à la place du carré [t 0 δ, t 0 + δ] [y 0 δ, y 0 + δ], le disque fermé D centré en (t 0, y 0 ) et de rayon δ : D df = {(t, y) R 2 / (t t 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 δ}. Cette fonction h sera dite continue sur R si elle est continue en tout point du rectangle R. d δ δ y 0 y D h h c a δ t 0 t δ b h(t, y) h(t 0, y 0 ) ɛ ɛ Illustration de la continuité de h

31 3 EXISTENCE ET UNICITÉ POUR UNE EDO DU 1 ER ORDRE On définit de la même façon la continuité d une fonction de deux variables t et y sur une partie ouverte Ω R 2. On dit que l ensemble Ω de R 2 est ouvert si pour tout point de Ω, il existe un rectangle fermé R centré en ce point, aussi petit soit-il, entièrement contenu dans Ω. Par exemple l ensemble Ω df = {(t, y); t > 0, y > 0} est ouvert. y Ω R y 0 t 0 t Existence et unicité. L essentiel du paragraphe 2 a concerné la recherche de solutions analytiques pour les EDO du premier ordre de formes variées. Mais comment peut-on décrire une solution et son comportement quand il n y a pas de solutions exprimable avec des formules? Comment savoir si le problème de Cauchy y = f(t, y), y(t 0 ) = y 0 a une solution si nous ne savons pas écrire la solution générale de l EDO? Dans cette partie nous commençons à donner des réponses appropriées pour le problème de Cauchy évoqué ci-dessus dans lequel f est une fonction de deux variables définie sur une partie Ω R 2, en général ouverte. Théorème 3.1 (Théorème d existence et d unicité).. On suppose que les fonctions f(t, y) et f (t, y) sont définies et continues sur un rectangle fermé R du plan des t, y et y que (t 0, y 0 ) est un point intérieur de R. Alors le problème de Cauchy : y = f(t, y), y(t 0 ) = y 0 (1) a localement une unique solution y, de classe C 1, sur un certain intervalle [t 0 T, t 0 + T ], T > 0, le graphe de cette solution restant dans R. De plus cette solution locale peut être prolongée, en avant et en arrière, de façon unique jusqu à ce que son graphe, toujours contenu dans R, atteigne le bord du rectangle.