Projet 1 : Résolution de l équation instationnaire de la chaleur 1D

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1 Université Pierre et Marie Curie Paris 6 Projet Informatique scientifique en C++ Soutenance : 9 Mars 25 Nicoas Lantos Juie Panchon. Projet : Résoution de équation instationnaire de a chaeur D Probème physique et modéisation Considérons e probème d un mur d épaisseur, qui se trouve initiaement à une température uniforme θ (température de a chambre. À instant t =, a température extérieure (en x = monte brusquement à θ s > θ, vaeur maintenue constante par une source de chaeur. On suppose que a température à x = est gardée à sa vaeur initiae θ. La propagation de a chaeur dans e mur (de diffusivité thermique κ sera décrite par équation de a chaeur : t u κ 2 =, ( x2 avec inconnue u(x,t = θ(x,t θ, a condition initiae u (x = et es conditions aux imites de Dirichet : u(,t = θ s θ = u s, u(,t =, t >. (2 Anayse mathématique Q Cas du domaine infini : Pour un mur d épaisseur infinie ( on va chercher a soution sous a forme : u(x,t = f(η, avec η = x 2 κt. (3 Montrons que a fonction f vérifie EDO suivante : On a : η = x 2 κt donc η x = 2 κt et η t d 2 f + 2η df dη 2 dη =. = x2 8κt 2 η = x 4 κt 3/2 On a aors t = df η dη t x = 4 df κt 3/2 dη x = df η dη x = 2 κt df dη donc 2 u x 2 = x ( 2 κt df dη = 2 κt x ( df dη = 4κt d 2 f dη 2 Comme t u κ 2 x 2 =, on a aors x 4 df κt 3/2 dη κ d 2 f 4κt dη 2 = soit d 2 f dη 2 + 4xt 4 df κt 3/2 dη = c est-à-dire d2 f dη 2 + x df κt dη = On obtient donc: d 2 f df + 2η dη2 dη =.

2 2 En introduisant a fonction suivante, appeée fonction erreur erf(z = 2 π z e ζ2 dζ, (4 qui vérifie erf( = et erf( =, trouver a soution de équation de a chaeur pour : D après, et donc x u(x,t = [ erf( 2 ]u(,t. (5 κt d 2 f df + 2η dη2 dη = donc df dη = Ae η2 f(η = B + A η e s2 ds où A et B sont des constantes. Or f( = B et u(,t = pour tout t >, donc avec on obtient: et on a donc f( =. u(,t = [ erf( ]u(,t =. π 2. De pus erf( =, soit e s2 ds = Ainsi, f( = f( + A e s2 ds = f( + A Finaement, π 2 =, d où A = 2 π f(. f(η = f( 2 η f( e s2 ds = [ 2 η e s2 ds] f(. π π C est-à-dire u(x,t = [ erf(η] u(,t. Q2 Cas du domaine fini : Pour un mur d épaisseur finie, on va utiiser a décomposition en ondes simpes u(x,t = û k (tφ k (x, φ k (x = sin( kπ x. (6 Écrire et résoudre EDO vérifiée par chaque fonction û k : On a t (x,t = dû k dt (tφ k(x Comme Ainsi, φ k (x = sin( kπ x on a d 2 φ k dx 2 (x = (kπ 2 φ k (x. 2 u x 2 (x,t = û k (t d2 φ k dx 2 (x = ( kπ 2 û k (tφ k (x Or t κ 2 u x 2 = Donc EDO vérifiée pour chaque û k est : dû k dt (tφ k(x + κ( kπ 2 û k (tφ k (x =.

3 Résoution de cette EDO: dû k dt (tφ k(x + κ( kπ 2 û k (tφ k (x = donc û k (t = A k exp( κ( kπ 2 t, où κ = ici. On a, 2Vérifier que a soution de équation de a chaeur avec es conditions aux imites (2 s écrit sous a forme : u(x,t = ( x u s + ( ( kπ 2t A k exp φ k (x. (7 t (x,t = Et, us x (x,t = + A k exp Donc 2 u x 2 (x,t = ( ( kπ A k exp Ici κ =, on a: t = 2 u x 2 A k ( kπ 2 exp A k ( kπ ( 2 exp 2t ( ( kπ dφ k dx (x. ( kπ 2t φ k (x. 2t d 2 φ k dx 2 (x = A k ( kπ ( ( kπ 2 exp ( ( kπ 2t φ k (x + Vérifions que cette équation vérifie bien es conditions aux imites (2: Comme φ k ( = φ k ( =, on a u(,t = u s + ( A k exp ( kπ 2t φ k ( = u s et u(,t = ( A k exp ( kπ 2t φ k ( = A k ( kπ 2 exp ( ( kπ 2t φ k (x. 2t φ k (x =. 3 Montrons que A k = 2u s kπ. u(x,t = ( x u s + ( ( kπ A k exp 2t φ k (x. (8 Et, Donc = u(x, = ( x u s + A k sin( kπ x ( x u s = A k sin( kπ x C est une série de Fourier de coefficient A k qui est défini par : A k = /2 ( x u s sin( kπ [ ( x u s x dx ] kπ cos(kπ x + 2 u s cos( kπ x = 2 = 2u [ s ( x ] kπ cos(kπ x + 2u [ s (kπ 2 sin( kπ ] x = 2u s kπ kπ dx

4 Considérons a discrétisation du probème en espace et en temps [,] = On note u n m = u(x m,t n. M m= Résoution numérique [x m,x m + h], x m = mδx, m =,,...,M, δx = /M, (9 [,t max ] = N n= [t n,t n + δt], t n = nδt, δt = t max /N. ( Q3 Considérons e schéma expicite centré suivant : u n+ m La condition de stabiité du schéma est : u n m δt κ un m+ 2un m + u m j δx 2 =. ( κ δt δx 2 2 (2 Écrire un programme pour a résoution du probème de a propagation de a chaeur dans un mur d épaisseur finie. On prendra κ =, =, u s =, M = 5 points de discrétisation en espace et e pas de temps δt donné par (2. Tracer a soution numérique pour différents instants de temps et comparer avec a soution exacte (8 (une bonne approximation de cette dernière est obtenue en prenant es 2 premiers nombres d onde k. q3stabe.dat u :3 q3stabe.dat u : FIG. : Résoution de a propagation de a chaeur dans un mur d épaisseur finie. (En vert,a soution exacte (8; en rouge, a soution approchée en fonction de x. 2 Comparer égaement avec a soution (6 obtenue pour un domaine infini. Commenter es résutats pour t petit et pour t grand.

5 "q3.dat" u :3 "q3.dat" u : FIG. 2 : Résoution de a propagation de a chaeur dans un mur d épaisseur finie. En vert,a soution(6 obtenue pour un domaine infini; en rouge, a soution approchée en fonction de x. L erreur finae entre a soution numérique et a soution exacte sur e domaine infinie est de Nous avons ensuite afficher es erreurs:.8.6 q3stabeerr.dat u :2 q3stabeerr.dat u :3.4 essaierr.dat u 2: FIG. 3 : Erreurs entre e schéma et es soutions -.3 exactes en fonction du temps (en norme 2. (En vert, erreur avec a soution (6 obtenue pour un domaine fini; en rouge, erreur avec cee du domaine infini. FIG. 4 : Différence des erreurs. (err(finie- Dans es deux cas, après 4 itérations err(infinie( en fonction du nombre d itérations Pour a figure 3 on a seuement pris une petite période de temps, pour pouvoir observer évoution de erreur pour e domaine finie qui tend très rapidement vers. Pour e domaine infini, cette erreur décroît pour des temps petits, et augmente ensuite fortement. Comme e montre a figure 4, es erreurs pour des temps petits sont quasiment simiaires justqu à environ

6 a 3ième itération, avant d augmenter. Q4 Reprendre e programme précédent pour u s = et a condition initiae u (x = u(x, = sin( π x + 4 sin(π x. (3 Comparer a soution numérique avec a soution anaytique donnée par (7. Décrire amortissement des ondes présentes dans a condition initiae. 2 q4stabebis.dat u :3 q4stabebis.dat u : FIG. 5 : Résoution de a propagation de a chaeur dans un mur d épaisseur finie. graphe de a soution exacte identiquement nue (en vert et de a soution approchée (en rouge avec a condition initiae en sin et us= en fonction de x 8 q4stabeerr.dat u : FIG. 6 : Cacu de erreur en norme 2 entre a soution exacte et a soution approchée On remarque que a soution approchée converge vers a soution exacte.

7 2 q4stabeerr.dat u 3: FIG. 7 : Amortissement d une onde en fonction des itérations. On a recherché indice de a soution du maximum et on a affiché en fonction des itérations, a vaeur du schéma numérique pour cet indice. On observe ainsi amortissement. qui s estompe rapidement, en itérations. Q5 Ecrire e schéma impicite correspondant à ( et répondre aux questions Q3 et Q4 en utiisant ce schéma. Que est avantage du schéma impicite? On considère e shéma impicite suivant: Donc u n m = u n+ m u n m δt ( κ δt u n+ δx 2 m+ 2un+ m + u n+ m. u n+ m κ un+ m+ 2un+ m + u n+ m δx 2 =. Soit u n m = κ δt δt δx 2 un+ m+ + ( + 2κ δx 2 un+ m κ δt δx 2 un+ m. On met es conditions aux imites dans a matrice. + 2κ δt δx 2 κ δt δx 2 κ δt δx 2 κ δt + 2κ δt δx 2 δx 2 u n+ u n+. u n+ M u n+ M = u n u n. u n M u n M On résout ce système inéaire par a méthode LU.

8 "q53.dat" u :3 "q53.dat" u : FIG. 8 : Résoution de a propagation de a chaeur dans un mur d épaisseur finie avec un schéma impicite. ( Cas de a question 3 (en rouge, soution approchée. En vert a soution exacte..35 q5err.dat u :2 q5err.dat u : FIG. 9 : graphe pour LU (de a question 3 des erreurs en norme 2 entre a soution numérique et es 2 soutions exactes (en fonction du temps

9 2 q54.dat u :3 q54.dat u : FIG. : Résoution de a propagation de a chaeur dans un mur d épaisseur finie avec e schéma impicite en fonction de x. Cas de a question 4 7 q5err.dat u : FIG. : graphe pour LU (de a question 4 des erreurs en norme 2 entre a soution numérique et a soution exacte en fonction du temps. Résoution des questions 3 et 4 avec a condition de stabiité non vérifiée ( c est-à-dire avec cf=..

10 4e+32 q3instabe.dat u :3 q3instabe.dat u :4 3e+32 2e+32 e+32 -e+32-2e+32-3e+32-4e FIG. 2 : Cas de a question 3 ( cf=. en fonction de x.5e+34 q4instabe.dat u :3 q4instabe.dat u :4 e+34 5e+33-5e+33 -e e FIG. 3 : Cas de a question 4 (avec cf=. Dans es deux cas, question 3 ou 4, pour e schéma impicite appiquée avec un indice cf de. (juste au-dessus de a condition de stabiité on observe une exposion des résutats.

11 "q53.dat" u :3 "q53.dat" u : FIG. 4 : A titre de comparaison, voici a soution pour schéma impicite pour cf=. pour question3 en fonction de x. Soution approchée en rouge, soution exacte en vert Avantage du schéma impicite: Le schema impicite, comme nous observons pour ce cas, n a besoin d aucune condition de stabiite pour converger, contrairement au schema expicite. Ce resutat est ogique, dans e sens où cette méthode est pus difficie à impémenter: en effet pour a méthode directe e résutat est immédiat.pour e cas impicite, i faut en effet résoudre à chaque itération un système. Cea permet donc d augmenter e pas de discrétisation pour ainsi réduire e nombre d itération et par à-même e temps de cacu. Le temps de cacu est obtenu à aide de a commande: time./monprogrammecompié. Par exempe, on va comparer es méthodes impicite et expicite: Pour a méthode expicite de a question 3, avec e coefficient cf= (condition de stabiité maximae, on obtient arret par a condition d erreur entre deux itérations de i ( e-: nombre d itération = 28; temps rée correspondant = 2, 56 s ; temps CPU = 2.9 s. Pour a méthode impicite de a question 5, avec e coefficient cf=, et pour a même condition nombre d itération = 35; temps rée correspondant = 2, 7 s ; temps CPU =.26 s On observe que pour un temps physique proche, e nombre d itération est fois moindre, et e temps de cacu est fois moins important, ce qui prouve sur un exempe intéret de a méthode impicite par rapport à expicite.