MÉCANIQUE DES STRUCTURES

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1 SCIENCES SUP Aide-mémoire IUT Licence Master MÉCANIQUE DES STRUCTURES Résistance des matériaux Arnaud Deapace Fabrice Gatuingt Frédéric Ragueneau

2 AIDE-MÉMOIRE MÉCANIQUE DES STRUCTURES Résistance des matériaux Arnaud Deapace Chargé de recherche au CNRS, agrégé de Génie civi Fabrice Gatuingt Maître de conférences à 'ENS Cachan, agrégé de Génie Civi Frédéric Ragueneau Maître de conférences à 'ENS Cachan

3 Iustration de couverture : INMAGINE Dunod, Paris, 008 ISBN

4 Tabe des matières Dunod La photocopie non autorisée est un déit Chapitre 1 THÉORIE DES POUTRES Principes de base en résistance des matériaux La notion de contrainte La déformation La oi de comportement Définitions et hypothèses en mécanique des structures Équations d équiibre d un éément de poutre 9 1. Études des poutres sous diverses soicitations Lois de comportement généraisées pour es poutres Poutre en fexion simpe Poutre en fexion déviée Poutre en fexion composée 16 Chapitre CARACTÉRISTIQUES DES SECTIONS 18.1 Préambue 18. Définitions Surface 19.. Centre de gravité Moment statique Moment d inertie 0..5 Produit d inertie 0..6 Moment poaire 1..7 Axes principaux d inertie 1..8 Rayon de giration 1

5 iv Tabe des matières.3 Théorèmes et propriétés.3.1 Théorème de Huygens.3. Changement de repère.3.3 Décomposition d une surface 3.4 Caractéristiques des principaes sections 5.5 Exempe : caractéristiques d une section en T 7 Chapitre 3 THÉORÈMES GÉNÉRAUX MÉTHODES ÉNERGÉTIQUES Principe des travaux virtues PTV Champ de dépacement virtue Définition du travai des forces dans e champ de dépacement virtue Égaité de Capeyron Théorème de réciprocité de Maxwe-Betti Théorème de Castigiano Théorème de Ménabréa Théorème de Müer-Bresau : Formue de Mohr Lignes d infuence Effet d un ensembe de charges Lignes d infuence des déformations 40 Chapitre 4 SYSTÈMES ISOSTATIQUES Définitions Systèmes isostatiques Efforts et conditions de iaisons Exempe 4 4. Poutre sur deux appuis Cas d une charge concentrée Cas d un convoi de charges ponctuees : théorème de Barré Cas d une charge uniformément répartie Cas d une charge répartie partiee Cas d une charge répartie partiee proche d un appui Cas d une charge trianguaire Cas d une charge trianguaire monotone Cas d une charge trianguaire anti symétrique Cas d une charge trapézoïdae symétrique Cas d une charge paraboique 54

6 Tabe des matières v Cas d un coupe en un point queconque Cas d un coupe à une extrémité Cas d un coupe uniformément réparti Poutre consoe Cas d une charge concentrée Cas d une charge uniformément répartie Cas d une charge trianguaire croissante Cas d une charge trianguaire décroissante Cas d un coupe Arc paraboique isostatique Cas d une charge uniformément répartie Cas d une charge ponctuee horizontae Cas d une charge ponctuee verticae 64 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Chapitre 5 SYSTÈMES HYPERSTATIQUES Généraités Degré d hyperstaticité H Méthode des forces Méthode des dépacements Poutre droite à une travée Encastrement éastique aux extrémités Formuaire d une poutre simpement appuyée d un côté et encastrée de autre Formuaire d une poutre bi-encastrée Formuaire d une poutre consoe Poutre continue Notations et définitions Poutre isostatique associée Formue des trois moments Expression des soicitations et actions de iaison Formuaire des rotations usuees Formuaire de a poutre continue à travées égaes Formuaire de a poutre continue à 3 travées égaes Formuaire de a poutre continue à 4 travées égaes Formuaire de a poutre continue à 5 travées égaes Poutre continue sur appuis éastiques ponctues 107

7 vi Tabe des matières 5.4 Systèmes de poutres croisées Principe Cas particuier des poutres de même inertie Cas particuier des poutres infiniment rigides dans une direction Poutre sur appui éastique continu Définition et paramètres Formuaire de a poutre infinie Formuaire de a poutre semi-infinie Formuaire de a poutre de ongueur finie Portique Portique à un seu montant et à deux extrémités articuées Portique à un seu montant et à deux extrémités encastrées Portique à un seu montant et à une extrémité encastrée et autre articuée Portique à deux montants articués Portique à deux montants encastrés Arcs hyperstatiques Arc circuaire à deux articuations sans tirant Arc paraboique à deux articuations sans tirant 17 Chapitre 6 PLAQUES ET COQUES Paques Formues généraes Méthode de résoution pour es paques rectanguaires Paques rectanguaires Paques circuaires Paques annuaires Coques Cyindriques verticaux Cyindres horizontaux rempis par un iquide Coupoe sphérique fermée Coupoe sphérique ouverte Coque sphérique 153 Chapitre 7 FORMULATION DES ÉLÉMENTS FINIS Introduction 154

8 Tabe des matières vii 7. Principe des ééments finis Étapes de a résoution d un probème Appication à étude d une poutre soicitée en fexion Description du probème Construction de a matrice de raideur ocae Impantation et résoution dans Matab Ééments isoparamétriques Fonctions de forme des ééments isoparamétriques courants Éément barre à deux nœuds Éément barre à trois nœuds Éément trianguaire à trois nœuds Éément trianguaire à six nœuds Éément quadranguaire à quatre nœuds Éément quadranguaire à huit nœuds Éément quadranguaire à neuf nœuds 171 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Chapitre 8 INSTABILITÉ DES STRUCTURES Instabiité de poutres Poutre d Euer Soutions généraes des poutres comprimées Soutions particuières pour des poutres de section constante Prise en compte d un défaut initia Cacu des moments dans une poutre comprimée féchie Déversement atéra de poutres Déversement atéra de poutres à section rectanguaire Déversement atéra de poutres à section en I Instabiité et voiement de paques Fambement de structures non panes initiaement Fambement d arc et d anneaux Fambement de tubes minces 184 Chapitre 9 CALCUL NON-LINÉAIRE, ANALYSE LIMITE, PLASTICITÉ Introduction Modèes de comportement des matériaux 187

9 viii Tabe des matières 9.3 Pastification en fexion : notion de moment pastique et rotue pastique Hypothèses Section symétrique Anayse imite d un système de poutres Enjeux Théorème statique Théorème cinématique 19 Chapitre 10 DYNAMIQUE ET VIBRATIONS Système à 1 degré de iberté Équation du mouvement Le régime ibre Le régime forcé sinusoïda Régime permanent sous une charge périodique queconque Réponse à une charge arbitraire Réponse à des chargements impusionnes simpes Système à N degrés de iberté Équations du mouvement Signification des modes propres et fréquences propres Détermination des fréquences propres de vibration Détermination des modes propres de vibration Propriété d orthogonaité des modes Normaisation des vecteurs modes de vibration Équations modaes du mouvement - Superposition des modes Vibration des systèmes continus Vibration axiae des barres Vibration transversae des poutres Détermination du mode fondamenta de vibration : méthode de Rayeigh Modes propres de vibration des poutres Modes propres de vibration des paques 14 Index 15

10 Chapitre 1 Théorie des poutres L objectif de ce premier chapitre est de mettre en pace et définir toutes es notions de base en mécanique des miieux continus permettant d aborder es chapitres suivants traitant de a mécanique des structures, pus communément appeée Résistance des Matériaux. 1.1 PRINCIPES DE BASE EN RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX La notion de contrainte Si un soide est en équiibre sous action d un ensembe de forces, de coupes et de iaisons, ce dernier se déformera. La contrainte est objet mathématique permettant de quantifier es tensions internes à a matière. Pour définir a notion de contrainte, i suffit de procéder par a méthode des coupures virtuees du soide étudié. En un point M, isoons une partie du

11 1 Théorie des poutres soide, défini par un pan de coupure orienté par e vecteur norma sortant au soide n. F C M n T (M, n ) Figure 1.1 En chaque point M de a surface de coupure, i faut rempacer a partie du soide manquant par une densité surfacique d effort sur a coupure représentant action de ce dernier sur e soide isoé. Cette densité d effort, définie ocaement en un point M et orientée par une normae sortante n est appeée e vecteur contrainte T (M, n ). Le vecteur contrainte dépend inéairement du vecteur unitaire n. I existe donc ocaement un opérateur inéaire reiant e vecteur contrainte sur un pan à sa normae, c est e tenseur des contraintes s, symétrique du second ordre. I vient ainsi, T (M, n ) = s(m). n La matrice du tenseur des contraintes, reative à a base ( e x, e y, e z ) prend a forme suivante : s xx s xy s xz s = s yx s yy s yz s zx s zy s zz I est usue de représenter graphiquement e tenseur des contraintes dans e pan de Mohr, permettant de séparer es contraintes normaes des contraintes de cisaiement. Si on désigne par t a contrainte de cisaiement (portée par un vecteur t )ets n a contrainte normae, on peut décomposer e vecteur contrainte en deux contributions : T (M, n ) = sn n + t t

12 1.1 Principes de base en résistance des matériaux 3 I existe un repère particuier dans eque e tenseur des contraintes est diagona, c est e repère principa des contraintes. En notant s 1, s et s 3 es 3 contraintes principaes, avec s 1 < s < s 3, e domaine d admissibiité du vecteur contrainte est défini par es 3 inéquations suivantes, définissant un ensembe de cerces. t +(s n s )(s n s 3 ) 0 t +(s n s 1 )(s n s 3 ) 0 t +(s n s 1 )(s n s ) 0 Dans e pan de Mohr, admissibiité de a contrainte est visuaisée par a zone grisée ci-après. t s 1 s s 3 s n Dunod La photocopie non autorisée est un déit Figure 1. Pour un état pan de contrainte, si on désigne par u, ange entre e repère principa des contraintes et e repère dans eque a matrice du tenseur des contraintes est exprimée, a reation entre es contraintes principaes et es différents termes du tenseur des contraintes est s xx = s 1 + s s yy = s 1 + s + s s 1. cos(u) s s 1. cos(u) s xy = s s 1. sin(u)

13 4 1 Théorie des poutres t s xy s 1 s yy u s s n s xx s xy Figure La déformation La déformation est a variation reative de ongueur d un soide orsque ce dernier est soumis à une action extérieure. Le tenseur des déformations, sous hypothèse des Petites Perturbations est a partie symétrique du gradient du champ de dépacement U (u x, u y, u z ). e = 1 (grad U + grad T U ) Dans a base ( e x, e y, e z ), e tenseur symétrique du second ordre se cacue de a manière suivante : u e xx e xy e x 1 xz x ( ux y + u y x ) 1 ( ux z + uz x ) e = e yx e yy e yz = 1 ( ux y + u y x ) u y 1 y ( u y z + uz y ) 1 e zx e zy e zz ( ux z + uz x ) 1 ( u y z + uz y ) u z z

14 1.1 Principes de base en résistance des matériaux La oi de comportement La reation iant e tenseur des contraintes au tenseur des déformations est a oi de comportement. Sous Hypothèse de Petites Perturbations, pour un matériau homogène, inéaire et isotrope, a oi de comportement est un opérateur inéaire du 4ième ordre. La oi d éasticité, ou oi de Hooke introduit paramètres matériaux : e modue d Young E et e coefficient de Poisson n. La reation tensoriee s exprime comme suit : e = 1+n E s n tr s. Id E Dunod La photocopie non autorisée est un déit Id est e tenseur identité, tr s désigne a trace de s. À inverse, a reation exprimant a contrainte à a déformation, en fonction des coefficients de Lamé ( et m)est: s = me + tr e. Id Les paramètres d éasticité et es coefficients de Lamé sont iés par es reations : ne = (1 + n)(1 n) E m = (1 + n) En écrivant es tenseurs des contraintes et déformations en vecteur coonne de taie 6, on peut exprimer a oi de Hooke de manière matriciee, pus simpe d interprétation. s xx m e xx s yy m e yy s zz = m e zz s yz m 0 0 e yz s zx m 0 e zx s xy m e xy Dans un cas de chargement bidimensionne, a oi de comportement se retrouve sous forme simpifiée et condensée. Dans un cas d hypothèse de

15 6 1 Théorie des poutres contraintes panes : s xx s yy s xy = E (1 n ) 1 n 0 n n e xx e yy e xy Sous hypothèse de déformation pane : s xx s yy s xy = E (1 + n)(1 n) 1 n n 0 n 1 n n e xx e yy e xy Définitions et hypothèses en mécanique des structures La théorie des poutres consiste à associer à a mécanique des miieux continus des hypothèses statiques, géométriques et cinématiques permettant de réduire a taie du probème à étudier. a) La géométrie et e matériau Une poutre est un éément particuier de structure décrit par une surface pane S appeée section droite de centre de gravité G. La igne moyenne de a poutre G est formée par es différentes positions du centre de gravité G de a poutre orsque orsque on parcourt cette dernière seon toute sa ongueur L. SiS est petit devant L aors état de contrainte s ainsi que e champ de dépacement U du soide pourront être approximés en fonction de quantités exprimées uniquement e ong de G. Si G est une droite, a poutre est dite droite. Sig est dans un pan, a poutre est dite pane. Dans es autres cas, a poutre est dite courbe. Le matériau constituant a poutre est homogène, isotrope éastique inéaire.

16 1.1 Principes de base en résistance des matériaux 7 b) Les hypothèses cinématiques Les dépacements, rotations et déformations sont supposés petits. La poutre, de part ses équations d équiibre, sera donc étudiée dans sa configuration de référence. C est hypothèses des Petites Perturbations. L hypothèse d Euer-Bernoui suppose que, pour toutes transformations géométriques, es sections droites d une poutre restent panes et perpendicuaires à a fibre moyenne. Cette hypothèse permet de définir e dépacement U P de tout point P, d une section droite uniquement en fonction du dépacement du centre de gravite U G et de a rotation de a section droite Q(s)à abscisse curviigne s. U P (s) = U G (s)+ Q(s) GP Dans e cas d une poutre droite, abscisse curviigne est confondue avec axe x, e champ de dépacement U (u x, u y, u z ) de tout point P(x, y, z)peut ainsi être obtenu par : Dunod La photocopie non autorisée est un déit u x (x, y, z) = u x + u y (x).z u z (x).y u y (x, y, z) = u y u x (x).z u z (x, y, z) = u z + u x (x).y Dans a suite, nous définirons a courbure x par x = dq/dx. Les déformations non nues sont données par : e xx (x, y, z) = u x(x) + x y (x).z x z (x).y x e xy (x, y, z) = u y(x) u z (x) x x (x).z x e xz (x, y, z) = u z(x) + u y (x)+x x (x).y x Sous hypothèse que es déformations de cisaiement sont nues (hypothèse d Euer-Bernoui), on peut définir a rotation u d une section droite

17 8 1 Théorie des poutres y y G x u z(x) = u y(x) x G u y(x) x x Figure 1.4 par : u z (x) = u y(x) x u y (x) = u z(x) x si de pus, a poutre ne subit pas de torsion (u x (x) = 0), aors e tenseur de déformations est uniaxia et i reste : e xx (x, y, z) = u x(x) + x y (x).z x z (x).y x e xy (x, y, z) = 0 e xz (x, y, z) = 0 c) Efforts de cohésion et hypothèses statiques L hypothèse de Barré de Saint Venant suppose que pour une section droite queconque, suffisamment éoignée du point d appication des efforts extérieurs sur une poutre, es effets de ce même chargement peuvent être rempacés par un torseur équivaent s appiquant à cette section droite. Pour une section droite queconque, e tenseur des contraintes en un point P prendra

18 1.1 Principes de base en résistance des matériaux 9 a forme suivante : s = s xx s xy s xz s yx 0 0 s zx 0 0 Le torseur des contraintes généraisées, par appication du principe fondamenta de a statique est défini par une composante en efforts R et une composante en moments M. R = N x + Vy y + Vz z M = Mx x + My y + Mz z Dunod La photocopie non autorisée est un déit N est effort norma,v y et V z sont respectivement es efforts tranchants seon es directions y et z. M x est e moment de torsion, M y et M z sont es moments de fexion autour des directions y et z. L expression de ces actions de iaison s obtient par intégration des contraintes dans a section droite. N = s xx dydz S V y = s xy dydz S V z = s xz dydz S M x = (s xz y s xy z)dydz S M y = s xx zdydz S M z = s xx ydydz Équations d équiibre d un éément de poutre S En isoant un tronçon de poutre, on peut étabir es équations différentiees d équiibre d une poutre en terme de contraintes généraisées. Pour une

19 10 1 Théorie des poutres fexion dans e pan (x, y), 3 équations d équiibre sont obtenues. dn(x) = 0 dx dv(x) = p(x) dx dm(x) = V (x) dx y V (x) M(x) p(x) V (x + dx) M(x + dx) N(x) N(x + dx) x x x + dx Figure ÉTUDES DES POUTRES SOUS DIVERSES SOLLICITATIONS 1..1 Lois de comportement généraisées pour es poutres En mécanique des structures, on distingue certaines actions de base ainsi que eurs combinaisons. Par définition, traction ou compression : N 0, V y = V z = 0etM x = M y = M z = 0 fexion pure : M y 0ouM z 0, N = 0, V y = V z = 0etM x = 0 fexion simpe : M y 0etV z 0ouM z 0etV y 0, N = 0et M x = 0

20 1. Études des poutres sous diverses soicitations 11 fexion composée : N 0, M y 0etV z 0ouM z 0etV y 0, M x = 0 fexion déviée : M y 0, V z 0etM z 0, V y 0, N = 0etM x = 0 fexion composée déviée : N 0, M y 0, V z 0etM z 0, V y 0, M x = 0 torsion : M x 0, N = 0, V y = V z = 0etM y = M z = 0 Les effets des 3 actions de base sont étudiés dans es paragraphes suivants. Dunod La photocopie non autorisée est un déit a) L effort norma dans une poutre On considère une poutre droite (barre) isostatique de modue d Young E, de ongueur L et de section S(x) soumise à un effort norma N ext.l effort norma est constant e ong de a barre et vaut N(x) = N ext. La contrainte est constante e ong de a barre et dans a section droite et vaut : s xx = N x (x)/s. Par a oi de comportement, e xx = s xx /E = N(x)/ES(x). La déformation atérae, dans es directions z et y vaut e yy = e zz = ne xx. Considérant a reation entre e dépacement axia et a déformation axiae, nous pouvons exprimer a oi de comportement généraisée d une poutre sous un effort axia centré : N = ES(x) u x x Le dépacement en tout point d une barrre s obtient par intégration : u(x) = L 0 N ES(x) dx b) Le moment féchissant dans une poutre Considérant une fexion pane seon a direction y, hypothèse d Euer- Bernoui permet d obtenir e profi des déformations axiaes e ong de a section droite : e xx = u z x. y = x z. y

21 1 1 Théorie des poutres Utiisant a oi de comportement uniaxiae reiant a contrainte et a déformation ainsi que a définition d une contrainte généraisée de fexion, nous pouvons exprimer e moment féchissant dans une section S d abscisse x par : M z = Ex z. y ds S Soit, en introduisant a définition du moment d inertie quadratique I z = y ds, a oi de comportement généraisée d une poutre en fexion : S M z = EI z x z Pour deux sections infiniment voisines, sous hypothèse des petits dépacements et petites déformations, on peut assimier a courbure de a poutre à a dérivée de a rotation, soit à a dérivée seconde du dépacement : u y (x) M z = EI z x La contrainte normae, en fonction du moment féchissant, est obtenue en tout point de a poutre par : s xx (x, y) = M z(x)y I z y y v y e xx(v ) = x zv s xx(v ) = Mzv EI v G z e e xx(v) = x zv Figure 1.6 s s xx(v) = Mzv EI Les distributions de a déformation et de a contrainte normae e ong de a section sont inéaires.

22 1. Études des poutres sous diverses soicitations 13 c) Le moment de torsion dans une poutre Considérons une poutre de section circuaire (peine ou évidée), de rayon R soumise à un moment de Torsion constant M x. La contrainte de cisaiement en tout point P, repéré par sa distance r au centre de gravité G de a section est obtenue par : t = M xr J avec J e moment quadratique de torsion (J = pr 4 /, pour une section peine et J = p(r 4 1 R 4 )/ pour une section évidée de rayon intérieur R ). y P r G G x dx Dunod La photocopie non autorisée est un déit Figure 1.7 Le dépacement reatif de deux sections voisines distantes de dx est une rotation du autour de axe x. En introduisant e modue de cisaiement du matériau G, a oi de comportement généraisée d une poutre en torsion est : du dx = M x GJ Pour toute section droite autre que circuaire, expression de a contrainte et de a oi de comportement généraisée doit prendre en compte e gauchissement des sections. Section rectanguaire En considérant une section rectanguaire de hauteur h et d épaisseur e (avec e < h), a contrainte de cisaiement maximum vaut t max = M x /k 1 he et a

23 14 1 Théorie des poutres oi de comportement généraisée s exprime par : du dx = M x Gk he 3 Les vaeurs de k 1 et k peuvent être estimées à aide du tabeau suivant : h/e k /3 k /3 Profiés minces ouverts Pour des poutres dont es sections droites s apparentent à un I ou un U, es contraintes maximaes peuvent être approximées de a manière suivante, pour es contraintes de cisaiement maximum dans âme : t 1max = 3M x e 1 h 1 e1 3 +h e 3 3M x e Dans aie du profié : t max = h 1 e1 3 +h e 3 La oi de comportement généraisée s exprime par : du dx = 3M x G(h 1 e1 3 +h e 3) e h 1 h 1 e 1 e e h e e1 h Figure 1.8

24 1. Études des poutres sous diverses soicitations 15 Tube mince ouvert De manière anaogue aux sections rectanguaires étroites, orsque e rapport h/e tend vers infini : t max = 3M x he du dx = 3M x Ghe 3 Tube mince fermé Pour un tube mince fermé, e fux de cisaiement e ong du tube est constant, de même donc pour a contrainte de cisaiement. En dénommant G a igne moyenne du tube, et S aire déimitée par cette igne moyenne, on peut cacuer a contrainte de cisaiement par : Dunod La photocopie non autorisée est un déit t = M x Se et a oi de comportement généraisée : avec J = 4S / ds/e G du dx = M x GJ 1.. Poutre en fexion simpe En fexion simpe, viennent se superposer aux contraintes normaes engendrées par e moment féchissant, es contraintes de cisaiement iées à a présence d un effort tranchant non-nu à abscisse x de a poutre. Pour une section droite queconque, de moment quadratique I z, a contrainte de cisaiement, en tout point y de cette section s obtient en figure 1.9. b(y) est a argeur de a poutre à a côte y et H(y) est e moment statique de a section au dessus de a côte y. Pour une section rectanguaire (argeur b et hauteur h), e profi des contraintes de cisaiement est paraboique, nu aux bords et maximum au centre : t(y) = 3V y(x) bh ) (1 4y h

25 16 1 Théorie des poutres y b z t(y) = V y(x)h(y) I z b(y) Figure 1.9 Le diagramme des contraintes reste inéaire dans a section : s xx (x, y) = M z (x)y/i z Poutre en fexion déviée Lorsque axe du moment féchissant extérieur ne correspond pas avec un des axes principaux d inertie de a section, i est nécessaire de décomposer ce dernier en deux composantes, seon es axes principaux d inertie de a section afin de procéder au cacu des contraintes par superposition. Ainsi, a contrainte normae pourra être obtenue par : s xx (x) = M y(x)z I y M z(x)y I z Si une section droite est repérée par un sytème de coordonnées x y z,les axes principaux d inertie d une section droite portée par a normae x sont obtenues par une rotation d un ange a autour de x te que : tan a = I y z I z I y 1..4 Poutre en fexion composée Lorsqu aux actions de fexion se rajoute une composante d effort norma, nous parerons de fexion composée. La contrainte normae est obtenue par

26 1. Études des poutres sous diverses soicitations 17 superposition des différents termes : s xx (x) = N S + M y(x)z I y M z(x)y I z Dans certains cas, i peut être intéressant de remarquer que e sytème d effort est équivaent à un effort unique appiqué dans e pan de a section appeé e «centre de pression». La position de ce centre de pression est y 1 = M z /N et z 1 = M y /N. Si e centre de pression est à intérieur «du noyau centra» de a section, aors toutes es contraintes normaes sont de même signe, queque soit e point de a section droite considéré. À inverse, si e centre de pression est en dehors du noyau centra, aors es contraintes normaes de part et d autres de a section droite seront de signes contraires. La imite du noyau centra est obtenue en faisant coïncider axe neutre de a poutre avec e contour de a section droite. Prenons exempe d une poutre rectanguaire ne subissant qu un moment de fexion M z et un effort norma N. La position du centre de pression repérée par ses coordonnées z 1 = 0ety 1 = M z /N permet de cacuer a contrainte en tout point, sachant que I z = bh 3 /1 : Dunod La photocopie non autorisée est un déit s xx = N bh + 6M z bh Pour es bords es pus soicités : s xx (y 1 ) = N ( 1+6 y ) 1 S h s xx ( y 1 ) = N ( 1 6 y ) 1 S h La frontière du noyau centra, dans ce cas, est obtenue en imposant s xx = 0 en y = y 1 et y = y 1,soith/6et h/6. La même étude peut être effectuée pour une fexion seon z due à un moment M y permettant de définir pour imite du noyau centra b/6 et b/6. La forme du noyau centra pour une section rectanguaire est un osange centré sur G, de dimension h/3etb/3.

27 Chapitre Caractéristiques des sections.1 PRÉAMBULE Les cacus des différentes intégraes se font dans un repère cartésien ou dans un repère cyindrique. Coordonnées du point Surface infinitésimae ds Repère cartésien (y, z) dy dz Repère cyindrique (r, u) rdrdu y y O r z u M z z = r cos u y = r sin u r = y + z Figure.1

28 . Définitions 19. DÉFINITIONS..1 Surface Surface de a section (S): S = ds [m ] S y G (S) y G O z G z Figure... Centre de gravité Dunod La photocopie non autorisée est un déit Position du centre de gravité de a section (S) par rapport à axe O y : S y G = yds S ds = H Oz [m] S Position du centre de gravité de a section (S) par rapport à axe O z : S z G = zds S ds = H Oy [m] S..3 Moment statique Moment statique de a section (S) par rapport à axe O y : H Oy = zds [m 3 ] S

29 0 Caractéristiques des sections Moment statique de a section (S) par rapport à axe O z : H Oz = yds [m 3 ] Propriétés S Le moment statique d une surface est nu par rapport à un axe passant par son centre de gravité. Le moment statique d une surface est éga au produit de sa surface par a distance de son centre de gravité : H Oy = Sz G H Oz = Sy G..4 Moment d inertie Moment d inertie (ou moment quadratique) de a section (S) par rapport à axe O y : I Oy = z ds [m 4 ] Moment d inertie de a section (S) par rapport à axe O z : I Oz = y ds [m 4 ] Propriétés S S Les moments d inertie sont toujours positifs. Les moments d inertie sont minimaux au centre de gravité de a section (voir e théorème d Huygens en.3.1 pour expication)...5 Produit d inertie Produit d inertie de a section (S) par rapport aux axes O y et O z : I Oyx = yz ds [m 4 ] S

30 . Définitions 1..6 Moment poaire Moment poaire de a section (S) par rapport à axe O x : I O = r ds [m 4 ] S Propriétés Le moment poaire est toujours positif. Reation entre e moment poaire et es moments quadratiques : I O = r ds = (y + z ) ds = I Oy + I Oz..7 Axes principaux d inertie S S Dunod La photocopie non autorisée est un déit Le repère formé par es axes principaux d inertie G Y et G Z est te que : Le produit d inertie est nu dans ce repère. Les moments d inertie sont respectivement maxima par rapport à un axe et minima par rapport à autre. Ces moments sont aors appeés moments principaux d inertie. Propriétés Si a section possède un axe de symétrie, cet axe est un axe principa d inertie. Si a section possède deux axes de symétrie, ces axes sont des axes principaux d inertie...8 Rayon de giration Rayon de giration d une surface (S) par rapport à axe O y : i Oy = IOy S [m]

31 Caractéristiques des sections Rayon de giration d une surface (S) par rapport à axe O z : i Oz = IOz S [m].3 THÉORÈMES ET PROPRIÉTÉS.3.1 Théorème de Huygens Connaissant es inerties d une surface dans un repère (G, y, z), e théorème de Huygens permet d exprimer es inerties dans un repère d axes paraèes (O, y, z). La réciproque est natureement vraie..3. Changement de repère I Oy = I Gy + Sz G I Oz = I Gz + SyG I Oyz = I Gyz + Sy G z G a) Repère orienté par un ange a On considère e repère (O z 1,O y 1 ) orienté par un ange a par rapport au repère (O z,o y). Les coordonnées d un point dans ce nouveau repère sont : y 1 = sin(a)z +cos(a)y z 1 = cos(a)z +sin(a)y Les moments d inertie d une section dans e nouveau repère s écrivent : I Gy1 I Gz1 Le produit d inertie est : = 1 (I Gz + I Gy )+ 1 (I Gz I Gy )cos(a)+i Gyz sin(a) = 1 (I Gz + I Gy ) 1 (I Gz I Gy )cos(a) I Gyz sin(a) I Gy1z 1 = 1 (I Gz I Gy )sin(a)+i Gyz cos(a)

32 .3 Théorèmes et propriétés 3 b) Repère principa d inertie L ange a entre e repère principa d inertie O Z et O Y et e repère (O z,o y) est : tan(a) = I Gyz I Gy I Gz Les moments d inertie principaux, respectivement maxima et minima, sont : I max = 1 ( ) (IGz ) I Gy + I Gy +4IGyz I min = 1 ( ) (IGz ) I Gz I Gy +4IGyz y Y G (S) Z a y G Dunod La photocopie non autorisée est un déit O z G Figure Décomposition d une surface Une section (S) peut être décomposée en n sections éémentaires (S i ), i {1,.., n}. Les caractéristiques géométriques de a section (S) peuvent être cacuées à partir de a somme agébrique des caracteristiques géométriques des sections (S i ), en utiisant si nécessaire e théorème de Huygens pour e transport des inerties. Exempe. Cacu des caractéristiques d une cornière en L (S) = (S 1 )+(S ) (S 3 ) z

33 4 Caractéristiques des sections y z e G h e h e e e O b O O b O (S) (S 1 ) (S ) (S 3 ) Section e(h + b e) he be e Moment statique /O z e (h + be e ) eh be e 3 Moment d inertie /O z e 3 (h3 + be e 3 ) eh 3 3 be 3 3 e 4 3 Tabeau.1 Coordonnées du centre de gravité de a surface (S): 1) y (S) G = H(S Oz + H (S) Oz H (S3) Oz = h + be e S (S) (h + b e) z (S) G = H(S1) Oy + H(S) Oy H(S3) Oy = he + b e S (S) (h + b e)

34 .4 Caractéristiques des principaes sections 5.4 CARACTÉRISTIQUES DES PRINCIPALES SECTIONS Géométrie Section Centre de gravité Moment statique Moment quadratique y z O a G S = a z G = a y G = a H Oz = a3 H Oy = a3 I Gz = a4 1 I Gy = a4 1 y z O A G a S = A a z G = A y G = A H Oz = A3 a A H Oy = A3 a A 1 I Gz = A4 a 4 1 I Gy = A4 a 4 1 y z O b G h S = bh z G = b y G = h H Oz = bh H Oy = b h I Gz = bh3 1 I Gy = hb3 1 Dunod La photocopie non autorisée est un déit y y y z G O b B z G b O B z G b O B h H h H h H S = BH bh S = BH h(b b) S = BH h(b b) z G = B y G = H z G = B y G = H z G = B y G = H Oz S H Oz = BH bhh H Oy = B H bhb H Oz = BH hh(b b) H Oy = B H hb(b b) H Oz = BH h (B b) H Oy = B H hb(b b) I Gz = BH3 bh 3 1 I Gy = HB3 hb 3 1 I Gz = BH3 h 3 (B b) 1 I Gy = B3 H h(b 3 b 3 ) 1 I Gz = BH3 h 3 (B b) yg 3 S I Gy = B3 H h(b 3 b 3 ) 1

35 6 Caractéristiques des sections Géométrie Section Centre de gravité Moment statique Moment quadratique y z O b h G h H B S = BH h(b b) z G = H Oy S y G = H Oz S H Oz = (B b)h + bh H Oy = B h + hb I Gz = (B b)h 3 + bh 3 3 I Gy = h B 3 + hb 3 3 y G S z G S y z O b G B h H S = BH h(b b) z G = B b y G = H H Oz = BH hh(b b) H Oy = z G S I Gz = BH3 h 3 (B b) 1 I Gy = hb3 +(H h)(b b) 3 4 y z O G b h S = 1 bh z G = b 3 y G = h 3 H Oz = bh 6 H Oy = b h 6 I Gz = bh3 36 I Gy = hb3 36 y z O d G S = pd 4 z G = d y G = d H Oz = pd3 8 H Oy = pd3 8 I Gz = pd4 64 I Gy = pd4 64 y z O D G d S = p(d d ) 4 z G = D y G = D H Oz = p(d3 d D) 8 H Oy = p(d3 d D) 8 I Gz = p(d4 d 4 ) 64 I Gy = p(d4 d 4 ) 64 y z O d G S = pd 8 z G = d y G = d 3p H Oz = d3 1 H Oy = pd3 16 ( I Gz = d4 p ) 9p I Gy = pd4 18

36 .5 Exempe : caractéristiques d une section en T 7 Géométrie Section Centre de gravité Moment statique Moment quadratique y z O G r S = pr 4 z G = 4r 3p y G = 4r 3p H Oz = r3 3 H Oy = r3 3 I Gz = r4 I Gy = r4 ( p 8 8 ) 9p ( p 8 8 ) 9p y z O a G b S = pab 4 z G = a y G = b H Oz = pab 8 H Oy = pa b 8 I Gz = pab3 64 I Gy = pa3 b 64 y z O e G h S = eh e z G = h y G = h H Oz = eh e h H Oy = eh e h I Gz = eh3 + e 3 h e 4 1 I Gy = eh3 + e 3 h e 4 1 Dunod La photocopie non autorisée est un déit y z O h G h S = h z G = h y G = h H Oz = h3 4 H Oy = h3 4 I Gz = h4 48 I Gy = h EXEMPLE : CARACTÉRISTIQUES D UNE SECTION EN T S 1 y G y O e e z G L G S H z e = 10 mm H = 10 mm L = 10 mm

37 8 Caractéristiques des sections 1. Surface : S = S (S1) + S (S) = el+ e (H e) = (10 10) = 300 mm. Moments statiques : H Oy = H (S1) = Oy + H(S1) Oy z=l y=h [ z = H Oz = H (S1) = z=0 y=h e ] 10 0 Oz + H(S1) Oz z=l y=h z=0 = [z] Centre de gravité : zdydz+ [y] [ z y=h e ] 10 [ y y G = H Oz S 4. Moments d inertie : Au point O : I Oy = I (S1) + I (S1) = 110 Oy Oy z=l y=h [ z 3 = 3 z=0 y=h e ] 10 0 ] 65 ydydz+ + [z] z=l/+e/ y=h e z=l/ e/ y=0 [y] = mm 3 55 [ y z=l/+e/ y=h e z=l/ e/ ] y=0 = mm 3 = 86, 3mm z G = H Oy S z dy dz + [y] [ z 3 3 ] 65 = 60 mm z=l/+e/ y=h e z=l/ e/ y=0 [y] = 9, mm 4 55 zdydz ydydz z dy dz

38 .5 Exempe : caractéristiques d une section en T 9 I Oz = I (S1) + I (S1) = Oz Oz z=l y=h z=0 = [z] 10 0 Au point G : 5. Produit d inertie : y=h e ] 10 [ y y dy dz + + [z] [ y 3 3 z=l/+e/ y=h e z=l/ e/ ] y=0 = 0, mm 4 I Gy = I Oy z G S = 1, mm 4 I Gz = I Oz y G S = 3, mm 4 y dy dz Dunod La photocopie non autorisée est un déit I Oyz = I (S1) Oyz + I (S1) Oyz = z=l y=h [ z = z=0 y=h e ] 10 ] Rayon de giration : 0 [ y i Oy = yz dy dz i Oz = [ z + IOy S IOz S z=l/+e/ y=h e z=l/ e/ ] 65 ] [ y 0 = 65, 0mm = 94, 0mm y=0 yz dy dz = 11, mm 4

39 Chapitre 3 Théorèmes Généraux Méthodes énergétiques 3.1 PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS PTV Soit un système de poutres en équiibre soicité par des actions extérieures et te que es iaisons soient parfaites. Actions extérieures : forces de surface (ponctuees ou réparties), forces à distance, forces de iaison (à priori inconnues). On s intéresse aux : efforts de iaison, dépacements, déformations, contraintes.

40 3.1 Principe des travaux virtues PTV 31 Restrictions : pas d effet de a température, état initia non soicité. Pour déterminer état du système, on peut utiiser e premier principe de a thermodynamique (structure éastique, pas de dissipation). Dans un référentie gaiéen et pour toute partition du système considéré, a somme du travai des forces extérieures F ext et du travai des forces intérieures F int cacuée dans un champ de dépacement virtue queconque est égae à zéro. WF ext + WF int = 0, u virtue (3.1) Pour utiiser ce principe, i faut : définir ce que signifie u expiciter e WF Dunod La photocopie non autorisée est un déit Champ de dépacement virtue Apriori,u est queconque mais dans a pratique on utiisera uniquement : Champ cinématiquement admissibe : champ de dépacement virtue qui respecte es conditions de iaisons. u C.A. est continu, dérivabe et te que a déformée existe. Champ rigidifiant : champ de dépacement virtue te que a déformée est nue en tout point de a structure Définition du travai des forces dans e champ de dépacement virtue Travai des forces extérieures : si on note F i, M i es forces et moments appiqués au point G i et u i, v i es dépacements et rotations de a section

41 3 3 Théorèmes Généraux Méthodes énergétiques en G i, nous obtenons aors : W F ext = n { F i u i + M i v i } (3.) i=1 Travai des forces intérieures : ié au travai de s dans e champ de déformation virtue : déformation axiae, x courbure, g déformation de cisaiement, u ange de torsion. WF ( int = N + Mx + V g + M x u ) (3.3) structure 3. ÉGALITÉ DE CLAPEYRON Le principe des travaux virtues (PTV) est vaabe queque soit u, en particuier on peut choisir pour champ virtue e champ rée de dépacement. On obtient aors : W Fext + W Fint = 0 (3.4) W Fext : es efforts et es dépacements ne sont pas indépendants, i faut donc prendre en compte histoire du chargement. W Fint W Fext = n i=1 1 { F i u i + M i v i } + 1 p uds (3.5) : potentie interne W ou énergie de déformation éastique. W = W Fint = structure ( N ES + M EI + V + M ) x ds (3.6) GS R GJ avec S R : section réduite en cisaiement. L égaité de Capeyron ne dépend que de état initia et de état fina de a structure.

42 3.3 Théorème de réciprocité de Maxwe-Betti THÉORÈME DE RÉCIPROCITÉ DE MAXWELL-BETTI Ce théorème se déduit de égaité de Capeyron en considérant deux systèmes de chargement appiqués à a même structure. Le travai produit par un système de chargement S 1 sur une structure dans e champ de dépacement dû à un système de chargement S est éga au travai du système de chargement S dans e champ de dépacement dû à S 1. Cette égaité est donnée en produit scaaire. On ne pourra donc connaître que a composante du dépacement suivant a direction d appication de a force. Le dépacement (ou a rotation) produit en i par une force (ou coupe) unitaire agissant en j est éga au dépacement (ou a rotation) produit en j par a force (ou coupe) unitaire agissant en i. 3.4 THÉORÈME DE CASTIGLIANO Dunod La photocopie non autorisée est un déit Le théorème de Castigiano étabit une reation entre es dépacements et e potentie interne. Pour étabir, on part de égaité de Capeyron et on cacue pus expicitement e travai des forces extérieures. La dérivée partiee du potentie interne par rapport à une action queconque est égae au dépacement du point d appication de cette action mesurée agébriquement sur a igne d action de ceui-ci. Pour une force ponctuee F k, e dépacement d k est ainsi : W = d k (3.7) F k Pour un moment ponctue M k, a rotation v k est ainsi : W = v k (3.8) M k En conséquence, si on souhaite cacuer e dépacement d (ou rotation v) d une section S d une poutre dans une direction donnée, on appique

43 34 3 Théorèmes Généraux Méthodes énergétiques une force fictive F (ou moment fictif M ) dans a section S suivant cette direction. On aura aors : d = W F F =0 v = W (3.9) M M =0 3.5 THÉORÈME DE MÉNABRÉA Dans un système hyperstatique sur appui rigide, es réactions hyperstatiques dues aux iaisons surabondantes ne travaient pas pendant a déformation du système. Les dérivées partiees du potentie par rapport aux réactions hyperstatiques R i sont donc nues : W R i = 0 (3.10) 3.6 THÉORÈME DE MÜLLER-BRESLAU : FORMULE DE MOHR Pour cacuer e dépacement (ou a rotation) en un point P d une structure (S) isostatique soicitée en fexion par un système de chargement extérieur, on procède de a manière suivante : on cacue es efforts intérieurs associés au chargement extérieur (i.e. M, N, V ). on appique une charge unitaire 1 P au point P dans e sens du dépacement recherché et on détermine es efforts intérieurs associés ( M, N, V ). Le dépacement (ou a rotation) recherché d P s obtient par intégrae suivante : ( M M d P = + N N EI ES + V V ) ds (3.11) GS R S

44 3.6 Théorème de Müer-Bresau : Formue de Mohr 35 Si e système est hyperstatique, on démontre que es efforts intérieurs M, N et V peuvent être cacués sur n importe quee structure isostatique déduite de S en supprimant es iaisons hyperstatiques. Dans a pupart des cas, es deux derniers termes de intégrae peuvent être négigés et on obtient : M M d P = ds (3.1) EI S Cacu des intégraes de Mohr par une méthode simpifiée I s agit d une méthode simpe orsqu un des diagrammes est inéaire (avec EI constant), voir a figure 3.1. Mi(x) B : aire sous a courbe G i x 1 x Gi x x Dunod La photocopie non autorisée est un déit Mj(x) A On obtient aors : x 1 x Gi x Figure x M i (x)m j (x)dx = A B (3.13) EI x 1 avec A a vaeur dans e diagramme M j (x) (inéaire) au niveau du centre de gravité x Gi du diagramme M i (x)etb aire sous a courbe M i (x). x

45 36 3 Théorèmes Généraux Méthodes énergétiques m m L L 6 m 1(M 1 +M ) L 6 m 1(M 1 M ) m1 m m 6 M 1m L m1 -m L L 6 (M 1m 1 M 1 m +M m 1 M m ) L 6 (M 1m 1 M 1 m M m 1 +M m ) L 6 M 1(m 1 m ) m1 L L 6 (M 1m 1 + M 1 m M i M j dx L L αl βl L M L L m(m 1 + M ) L 6 m 1(M 1 + M ) L 6 m(m 1(1 + b) +M m 1 +M m ) +M (1 + a)) -M L L L m(m 1 M ) L M 1m L 6 m 1(M 1 M ) L 6 (M 1m 1 + M 1 m M m 1 M m ) L 3 M L 1m 1 L 6 m(m 1(1 + b) M (1 + a)) 6 M 1m(1 + b) L 6 M 1(m 1 + m ) M1 M1 M1

46 3.6 Théorème de Müer-Bresau : Formue de Mohr 37 m m αl βl L L L L 6 M L m 1 3 M L m 6 M m(1 + a) Mm 3 4a b L 1 L 6 Mm (1 + a) L 6 Mm 1(1 + b) pour a < b 1 M 1m L 1 M 1m(1 + b + b ) L 4 M L 1m 1 4 M m L 1 M m(1 + a + a ) L 1 M m 1 L m1 m1 -m L L 6 M (m 1 m ) L 6 M(m 1(1 + b) m (1 + a)) L 1 M 1(3m 1 m ) L 1 M (m 1 3m ) Dunod La photocopie non autorisée est un déit m m m1 M i M j dx L L L 6 M (m 1 +m ) L M m M L L 6 M(m 1(1 + b) L Mm M αl βl +m (1 + a)) L L 1 M 1(3m 1 + m ) L 3 M 1m M1 L L 1 M (m 1 +3m ) L 3 M m M L

47 38 3 Théorèmes Généraux Méthodes énergétiques 3.7 LIGNES D INFLUENCE Considérons une poutre à pan moyen chargée dans son pan par des forces verticaes. On appee fonction d infuence f (a) expression en une section droite S donnée d un effet (noté E) donné, engendré par une cause de vaeur unité se dépaçant sur a poutre. Causes : force ponctuee, ensembe de forces ponctuees, coupe ponctue, dépacements imposés. Effets : déformation (dépacement), actions de iaison, efforts internes (N, V, M, M x ). La représentation graphique de a fonction d infuence est appeée igne d infuence de effet E dans a section S. Soit une poutre sur deux appuis soumise à une charge ponctuee (figure 3.) : A Y 1 α X B Figure 3.

48 3.7 Lignes d infuence 39 Les fonctions d infuence de V et de M en une section S en x sont : V (x, a) = a x < a ( ) a M(x, a) = x V (x, a) = a (3.14) x > a ( ) x M(x, a) = a Notons que, dans ces expressions, a variabe est a tandis que x est fixée. Nous obtenons es ignes d infuences suivantes (figure 3.3) : V(α) Dunod La photocopie non autorisée est un déit M(α) x x Figure 3.3 α α

49 40 3 Théorèmes Généraux Méthodes énergétiques Effet d un ensembe de charges L effet E d un système de charges concentrées P 1, P... P n d abscisses a 1, a...a n est éga, en vertu du principe de superposition, à : E = P 1 f (a 1 )+P f (a )+...+ P n f (a n ) (3.15) L effet d une charge répartie p(a) entre deux points A et B est éga à : E = B A p(a) f (a)da (3.16) 3.7. Lignes d infuence des déformations Le théorème de Maxwe-Betti montre que : a igne d infuence du dépacement vertica d une section S d abscisse x sous action d une charge verticae unité d abscisse a est a igne représentative d un dépacement vertica de a section S d abscisse a sous action d une force verticae unité pacée dans a section d abscisse x ; a igne d infuence de a rotation d une section S d abscisse x sous action d une charge verticae unité d abscisse a est a igne représentative d un dépacement vertica de a section S d abscisse a sous action d un coupe unité pacé dans a section d abscisse x.

50 Chapitre 4 Systèmes isostatiques L objectif de ce chapitre est de donner es soutions de base en terme de réactions d appuis, diagramme de contraintes généraisées et dépacement, pour des systèmes de poutres isostatiques. 4.1 DÉFINITIONS Systèmes isostatiques Un système est dit isostatique si toutes es réactions d appuis ainsi que es contraintes généraisées en tout point de a structure peuvent être déterminées par a seue utiisation des équations d équiibre. Les caractéristiques géométriques de a structure (inertie, section, matériau) n entrent à aucun moment dans e cacu de a distribution des efforts. Ces dernières ne seront introduites que dans es chapitres suivants dans étude des systèmes hyperstatiques.

51 4 4 Systèmes isostatiques 4.1. Efforts et conditions de iaisons Les structures étudiées ci-après peuvent être soumises à des efforts et coupes ponctues ( F et C ) ainsi qu à des densités d efforts ( p ), appeées aussi charges inéiques. Nous ne considérerons dans ce chapitre, dans un souci de simpicité d écriture, que des structures panes dans e pan ( x, y ). Les rotations et moments féchissants sont donc définis autour de axe z. La structure est en équiibre sous action de ces efforts et de conditions de iaisons. Les principaes iaisons entre a structure et son environnement sont résumées dans e tabeau ci-dessous. Nous donnons es réactions d appuis produites ainsi que es degrés de iberté en dépacement boqués ou autorisés. Les efforts verticaux sont notés V, es horizontaux H et es moments féchissants M. Les dépacements axiaux sont notés u, transversaux v et es rotations u. Type de iaisons Schémas Réactions d appuis Degrés de iberté Rotue H 0, V 0, M = 0 u = 0, v = 0, u 0 Appui simpe V 0, H = 0, M = 0 v = 0, u 0, u 0 Encastrement V 0, H 0, M 0 v = 0, u = 0, u = Exempe Un exempe simpe est traité ici, permettant dans un cadre isostatique de comprendre es principaes étapes de détermination des efforts et dépacements dans a structure. Soit une poutre isostique de ongueur, demoment quadratique I et de modue d Young E supportant une charge concentrée au tiers de sa ongueur comme indiqué sur a figure ci dessous.

52 4.1 Définitions 43 y A x P /3 B Figure 4.1 Détermination des réactions d appuis Nous noterons H es réactions d appuis verticaes en un point donné, V es verticaes et M es moments féchissants. Les équations d équiibre en effort ( F/x et F /y ) nous indiquent que : H A = H B = 0 V A + V B P = 0 L équation d équiibre en moment, écrite au point A nous permet de déterminer es réactions verticaes en A et B. Dunod La photocopie non autorisée est un déit V B = P 3 V A = P 3 Détermination des contraintes généraisées Dans a détermination e ong de a poutre des contraintes généraisées (effort norma, effort tranchant et moment féchissant), nous appiquerons a méthode des coupures. Par appication du principe fondamenta de a statique, cette méthode permet de cacuer e torseur des efforts intérieurs en tout point d une section droite. Pour une section comprise entre e point A et e point d appication de effort extérieur P : équiibre en effort de a section d abscisse x,seon x nous indique que : N(x) = 0

53 44 4 Systèmes isostatiques y x V (x) M(x) A N(x) x Figure 4. équiibre en effort seon y nous permet de déterminer effort tranchant : V (x) = V A = P 3 équiibre en moment autour de z nous permet de déterminer e moment féchissant : M(x) = V A x = Px 3 De même pour es sections de poutre situées entre e point d appication de P et B. N(x) = 0 V (x) = V A + P = P 3 ( M(x) = V A x P x ) = P 3 3 Px 3 Les diagrammes des efforts tranchants et moments féchissants ainsi cacués sont tracés sur a figure ci-après : V (x) M(x) P/3 P/9 x x P/3 Figure 4.3

54 4. Poutre sur deux appuis 45 Cacu des dépacements La fèche de a poutre est cacuée en utisant a oi de comportement reiant a courbure (dérivée seconde de a fèche : v (x)) au moment féchissant : M(x) = EIv (x). Ainsi pour a partie de a poutre entre e point A et e point d appication de P, v(x) = px [ ] 8 18EI 9 x Pour a partie restante de a poutre : p( x) v(x) = 18EI ] [x( x) POUTRE SUR DEUX APPUIS Dans ce paragraphe, nous nous proposons de passer en revue es différents cas de charges possibes rencontrés pour une poutre simpement appuyée sur ses appuis. Dunod La photocopie non autorisée est un déit 4..1 Cas d une charge concentrée A a u A P b u B B V A = Pb V B = Pa Figure 4.4 Cacu des contraintes généraisées Pour 0 < x < a, V (x) = Pb M(x) = Pbx u A = Pa ( a)( a) 6EI u B = Pa ( a ) 6EI

55 46 4 Systèmes isostatiques Pour a < x <, V (x) = Pa ( M(x) = Pa 1 x ) Le moment maximum est en a et vaut M Max = Pab. Cacu de a déformée Pour 0 < x < a, Pour a < x <, v(x) = Pbx [ b x ] 6EI v(x) = Pa( x) [ x( x) a ] 6EI Le dépacement au centre de a poutre en x = / vaut: v(/) = Pa( 3 4a ) 48EI 4.. Cas d un convoi de charges ponctuees : théorème de Barré Un convoi est un système de charges ponctuees susceptibes de se dépacer dans son ensembe e ong de a poutre. Si a détermination des efforts tranchants maximaux aux appuis de a poutre ne pose pas de probème, a ocaisation du moment féchissant maximum, fonction de a position du convoi sur a poutre doit être menée avec précision. Le théorème de Barré permet de déterminer a position du convoi fournissant e moment féchissant maxima : e moment féchissant est maximum au droit d une charge orsque cette charge et a résutante R des charges du convoi se trouvent dans des sections symétriques par rapport au miieu de a poutre.

56 4. Poutre sur deux appuis 47 R P1 P P3 A d d B Figure 4.5 Prenons exempe de deux charges sur une poutre, distante d une ongueur a entre ees, e moment maxima est éga à : M Max = P ( 1 a ) 4..3 Cas d une charge uniformément répartie L effort p exprimé en N/m est uniformément réparti sur toute a ongueur de a poutre. Dunod La photocopie non autorisée est un déit A u A p u B B V A = p V B = p Figure 4.6 Cacu des contraintes généraisées ( ) V (x) = p x M(x) = px( x) u A = p3 4EI u B = Le moment maximum est en / etvautm Max = p 8. p3 4EI

57 48 4 Systèmes isostatiques Cacu de a déformée v(x) = px [ 3 x + x 3] 4EI Le dépacement est maxima au centre de a poutre en x = / etvaut: v(/) = 5p4 384EI 4..4 Cas d une charge répartie partiee A a b c p u A u B B V A = V B = pb(b +c) pb(a + b) u A = u B = pb(b +c) [ 4 (b+c) b ] 48EI pb(a + b) [ 4 (a + b) b ] 48EI Figure 4.7 Cacu des contraintes généraisées Pour 0 < x < a, V (x) = pb (b +c) Pour a < x < b + a, pb M(x) = (b +c)x V (x) = pb (b +c)+p(x a) M(x) = pb (x a) (b +c)x p Pour b + a < x <, V (x) = pb (a + b) M(x) = pb (a + b)( x)

58 4. Poutre sur deux appuis 49 b(b +c) Le moment maximum est obtenu pour x = a + M Max = pb 8 (b +c)[ b(b +c)+4a ] Cacu de a déformée et vaut : La fèche maximae est obtenue entre a et a + b et s exprime par : v(x) = p [ [ b(b +c)x 4( x ) (b +c) b ] +(x a) 4] 48EI 4..5 Cas d une charge répartie partiee proche d un appui A a p u A u B B V A = pa V B = pa ( a ) u A = pa ( a) 4EI u B = pa ( a ) 4EI Figure 4.8 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Cacu des contraintes généraisées Pour 0 < x < a, Pour a < x <, V (x) = p [ ] a( a) x M(x) = px [ ] a( a) x V (x) = pa M(x) = pa ( x) Le moment maximum est obtenu pour x = a ( a) etvaut: M Max = pa ( a) 8

59 50 4 Systèmes isostatiques Cacu de a déformée Pour 0 < x < a, Pour a < x <, v(x) = px [ a ( a) a( a)x + x 3] 4EI v(x) = pa ( x) [ 4x x a ] 4EI 4..6 Cas d une charge trianguaire Nous supposons que a < b et que P est a vaeur de effort e pus important au sommet du triange. A a u A P b u B B V A = P ( + b) 6 V B = P ( + a) 6 u A = P 360EI ( + b)( 7 3b ) u B = P 360EI ( + a)( 7 3a ) Figure 4.9 Cacu des contraintes généraisées Pour 0 < x < a, Pour a < x <, V (x) = P [ a( + b) 3x ] 6a M(x) = Px [ a( + b) 3x ] 6a V (x) = P 6b ( 3x 6x + + a ) M(x) = P 6b ( x)( x x a )

60 4. Poutre sur deux appuis 51 b( + a) Le moment maximum est obtenu pour x = et vaut : 3 Cacu de a déformée Pour 0 < x < a, Pour a < x <, M Max = P 9 ( + a) b( + a) 3 v(x) = px [ 3x 4 + a( + b)(7 3b 10x ) ] 360EIa Dunod La photocopie non autorisée est un déit p( x) [ v(x) = 3( x) 4 + b( + a)(7 3a 10( x) ] 360EIb Si a charge trianguaire est symétrique, e moment maximum est obtenu en x = / etvautm Max = P 6. La fèche maximum est égae à v(/) = P3, et es rotations aux 60EI appuis, u A = u B = 5P 96EI Cas d une charge trianguaire monotone P est a vaeur de effort e pus important au sommet du triange. A u A u B P B V A = P 6 V B = P 3 Figure 4.10 u A = 7P3 360EI u B = 8P3 360EI

61 5 4 Systèmes isostatiques Cacu des contraintes généraisées V (x) = P ( 3x ) 6 M(x) = Px ( x ) 6 Le moment maximum est obtenu pour x = et vaut M Max = P Au miieu de a poutre, en x = /, e moment est éga à M(/) = P /16. Cacu de a déformée v(x) = Px ( x )( 7 3x ) 360EI Le dépacement maxima est obtenu en x = et vaut : v Max = 7P3 76.6EI 4..8 Cas d une charge trianguaire anti symétrique P est a vaeur de effort e pus important au sommet du triange. A P u A B P V A = P 6 V B = P 6 u A = P3 360EI u B = P3 360EI Figure 4.11

62 4. Poutre sur deux appuis 53 Cacu des contraintes généraisées V (x) = P 6 ( 6x 6x + ) M(x) = Px ( x)( x) 6 Le moment maximum est obtenu pour x = 3 ± 3 et vaut : 6 M Max = ± P Cacu de a déformée v(x) = Px ( 6x 4 15x x 4) 360EI 4..9 Cas d une charge trapézoïdae symétrique Dunod La photocopie non autorisée est un déit P est a vaeur de effort e pus important du trapèze. A a u A b u B a B V A = V B = P( a) P( a) Figure 4.1 Cacu des contraintes généraisées Pour 0 < x < a, u A = P ( 3 a + a 3) 4EI u B = V (x) = P ( a a x ) a M(x) = Px ( 3a 3a x ) 6a P ( 3 a + a 3) 4EI

63 54 4 Systèmes isostatiques Pour a < x < a, V (x) = P ( x) M(x) = P ( 3x 3x a ) 6 Pour a < x <, V (x) = P [ ( x) a( a) ] a M(x) = P 6a ( x)[ 3a( a) ( x) ] Le moment maximum est obtenu en miieu de poutre pour x = / et vaut M Max = 4( P 3 4a ). Cacu de a déformée La fêche maximae est obtenue en miieu de poutre et vaut : v(/) = P ( 5 4a ) 190EI Cas d une charge paraboique P est a vaeur de effort au sommet de a paraboe. A P B V A = P 3 u A = P3 30EI u A u B V B = P 3 u B = P3 30EI Figure 4.13

64 4. Poutre sur deux appuis 55 Cacu des contraintes généraisées V (x) = P 3 ( 4x 3 6x + 3) M(x) = P 3 x( x 3 x + 3) Le moment maximum est obtenu en miieu de poutre pour x = / et vaut M Max = 5P 48. Cacu de a déformée v(x) = Px ( x 5 90EI 3x x 3 5) La fêche maximae est obtenue en miieu de poutre et vaut : v(/) = 6.1P4 576EI Dunod La photocopie non autorisée est un déit Cas d un coupe en un point queconque A a u A C b u B B V A = C V B = C Figure 4.14 Cacu des contraintes généraisées Pour 0 < x < a, V (x) = C M(x) = Cx u A = C ( 3b ) 6EI u B = C ( 3a ) 6EI

65 56 4 Systèmes isostatiques Pour a < x <, Cacu de a déformée Pour 0 < x < a, Pour a < x <, v(x) = v(x) = V (x) = C C( x) M(x) = Cx ( x +3b ) 6EI C [ x 3 3x + ( +3a ) x 3a ] 6EI Le dépacement au point d appication du coupe en x = a vaut : v(a) = 1 Cab(b a) EI Cas d un coupe à une extrémité C A u A B u B V A = C V B = C u A = C 3EI u B = C 6EI Figure 4.15 Cacu des contraintes généraisées V (x) = C C( x) M(x) =

66 4. Poutre sur deux appuis 57 Cacu de a déformée v(x) = Cx ( x)( x) 6EI Le dépacement au miieu de a poutre en x = /vaut:v(/) = Cas d un coupe uniformément réparti C est e coupe appiqué sur a poutre par unité de ongueur. C 16EI. A C B V A = C u A = 0 u A u B V B = C u B = 0 Figure 4.16 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Cacu des contraintes généraisées V (x) = C M(x) = 0 Cacu de a déformée v(x) = 0

67 58 4 Systèmes isostatiques 4.3 POUTRE CONSOLE Cas d une charge concentrée a b A P B V A = P M A = Pa Figure 4.17 Cacu des contraintes généraisées Pour 0 < x < a, Pour a < x <, Cacu de a déformée Pour 0 < x < a, Pour a < x <, V (x) = P M(x) = P(x a) V (x) = 0 M(x) = 0 v(x) = Px (3a x) 6EI v(x) = Pa (3x a) 6EI Le dépacement en B vaut v() = pa 6EI (3 a) et sous e point d appication de a charge v(p) = pa3 3EI.

68 4.3 Poutre consoe Cas d une charge uniformément répartie p est une charge inéique. A p B Figure 4.18 V A = p M A = p Cacu des contraintes généraisées V (x) = p(x ) M(x) = p (x ) Cacu de a déformée Dunod La photocopie non autorisée est un déit v(x) = p [ ( x) x 4] 4EI Le dépacement en bout de poutre en B vaut v() = p4 8EI Cas d une charge trianguaire croissante P est a vaeur maximum de effort. A P B Figure 4.19 V A = P M A = P 3

69 60 4 Systèmes isostatiques Cacu des contraintes généraisées V (x) = P ( ) x 1 M(x) = P( x) ( + x) 6 Cacu de a déformée v(x) = Px ( x + x 3) 10EI Le dépacement en bout de poutre en B vaut v() = 11P4 10EI Cas d une charge trianguaire décroissante P est a vaeur maximum de effort. A P B V A = P M A = P 6 Figure 4.0 Cacu des contraintes généraisées V (x) = P ( x) M(x) = P ( x)3 6

70 4.3 Poutre consoe 61 Cacu de a déformée v(x) = P [ ( x)+( x) 5] 10EI Le dépacement en B vaut v() = P4 30EI Cas d un coupe a A C B V A = 0 M A = C Figure 4.1 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Cacu des contraintes généraisées pour x < a pour a < x < Cacu de a déformée pour x < a V (x) = 0 M(x) = C V (x) = 0 M(x) = 0 v(x) = Cx EI

71 6 4 Systèmes isostatiques pour a < x < v(x) = Ca ( x a ) EI Le dépacement au point d appication du coupe vaut v(a) = Ca EI et en bout de poutre en B : v() = Ca ( a ). EI 4.4 ARC PARABOLIQUE ISOSTATIQUE Nous définissons un arc par sa fibre moyenne, à savoir : y = 4 f x( x). L ange d incinaison de a fibre moyenne est défini par : u = 4 f ( x). A u f B Figure Cas d une charge uniformément répartie p est une charge inéique. ( N(x) = p x ) sin u ( V (x) = p x ) cos u M(x) = px( x)

72 4.4 Arc paraboique isostatique 63 p A B V A = V B = p H A = H B = 0 Figure 4.3 Le dépacement au centre de a poutre est éga à v(/) = pf3 15EI Cas d une charge ponctuee horizontae A P a b B V A = V B = Pb H A = 0 H B = P Figure 4.4 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Cacu des contraintes généraisées pour x < a pour a < x < N(x) = Pb sin u V (x) = Pb cos u M(x) = Pbx N(x) = Pb sin u V (x) = Pb cos u M(x) = Pbx P(y b)

73 64 4 Systèmes isostatiques Le dépacement au centre de a poutre est éga à : [ 4 f v(/) = P( a) 15EI ( 3a + a + 1a3 3 8a4 4 ) + 1 ] ES Cas d une charge ponctuee verticae A a P b B P( a) V A = V B = Pa H A = H B = 0 Figure 4.5 Cacu des contraintes généraisées pour x < a pour a < x < P( a) N(x) = sin u P( a) V (x) = cos u Px( a) M(x) = N(x) = Pa sin u V (x) = Pa cos u M(x) = Pa ( x) Le dépacement au centre de a poutre (si a < /) est éga à : v(/) = Pf a 1EI 4 ( 4 3 x 8 x +0x 3 1.8x 4).

74 Chapitre 5 Systèmes hyperstatiques 5.1 GÉNÉRALITÉS Degré d hyperstaticité H a) Treiis pans isostatiques et hyperstatiques Un treiis est isostatique s i est possibe de cacuer toutes es actions de iaison (et es efforts dans toutes es barres) étant donnée une soicitation extérieure queconque. Pour cea, i faut faire e bian des équations indépendantes et des inconnues indépendantes. Le treiis est décomposé en barres et en nœuds auxques chaque barre est iée (figure 5.1) Figure 5.1 Décomposition du treiis en nœuds et barres

75 66 5 Systèmes hyperstatiques Puis on fait e bian des équations : on isoe chaque barre : 3 équations nb de barre (b). chaque nœud impose une restriction seon e type de iaison : S p }{{} i. nœud p = pour une articuation iant barres p = 3 pour un encastrement iant barres p = 1 pour un appui simpe. nombre d inconnues : actions de iaison à extrémité de chaque barre, nœud {}}{ action de iaison avec extérieur. S i j }{{} barre Dans notre cas e nombre d équations est : b = 3 3 Sp i = ++= 6 } 15 équations e nombre d inconnues est : barre 1 : 4 barre 3: 4 barre 1 3: 4 nœud 1, ext : 1 nœud, ext : chaque barre est iée par articuations (appui simpe) (articuation) 15 inconnues Le treiis est donc isostatique. Cette formue est vaabe pour es treiis et aussi dans d autres situations (cas des ossatures composées de poutres). Dans e cas des treiis ee se

76 5.1 Généraités 67 simpifie car toutes es iaisons entre barres sont des articuations : SN i = S i = nb de nœuds {}}{ n 4 b } {{ } chaque barre à articuations + m }{{} inconnues de iaisons avec extérieur Pour un treiis isostatique : 3b +n = 4b + m b = n m Dunod La photocopie non autorisée est un déit b) Cas généra Un système comprenant k soides possède dans espace 6k degrés de iberté (dans e pan, 3k). Ces soides sont cependant iés entre eux à différents points de jonction et fixés en un certain nombre de points d appuis. Soit r e nombre de réactions d appuis, c est-à-dire de composantes de réactions inconnues aux différents points d appui. Soit p e nombre de iaisons internes indépendantes entre soides. On appee degré d hyperstaticité a quantité : H = p + r 6k H = p + r 3k dans espace dans e pan Pour déterminer e nombre de iaisons internes (p), on peut utiiser es formues suivantes : articuations ou rotue : si k soides concourent en une articuation p = 3(k 1) dans espace et p = (k 1) dans e pan. encastrements : si k soides concourent en un encastrement p = 6(k 1) dans espace et p = 3(k 1) dans e pan. iaisons mixtes : dénombrement à a main du nombre de conditions de iaisons.

77 68 5 Systèmes hyperstatiques 5.1. Méthode des forces 1 a) Choix d une structure isostatique associée Une structure est isostatique si es seues équations d équiibre permettent de déterminer de façon unique es efforts intérieurs. Lorsque a structure présente des iaisons internes ou des appuis suppémentaires, a soution des équations d équiibre est un espace affine, espace des efforts statiquement admissibe SA. La dimension de cet espace est e degré d hyperstaticité de a structure, c est-à-dire e nombre de iaisons en trop. Un éément de cet espace s écrira : n M = M 0 + x i M i (5.1) où M 0 est une soution particuière des équations d équiibre et {M i, i = 1,...n} est une base de espace vectorie des efforts intérieurs autoéquiibrés (on ne considère que es efforts de fexion pour simpifier a présentation). Comme en mécanique des miieux continus, a résoution du probème nécessite dans ce cas introduction d équations suppémentaires : e comportement. En éasticité on montre, comme dans e cas continu, que a soution du système minimise énergie compémentaire sur espace (principe des travaux virtues). La méthode des forces consiste donc à : paramétrer espace SA : on utiise pour cea a méthode des coupures, écrire a minimisation de énergie compémentaire : on aboutit à un système inéaire faisant apparaître a matrice de soupesse. résoudre e système et reconstruire a soution à partir du paramétrage de SA. Exempe. Soit une poutre (AB) de ongueur encastrée à gauche, simpement appuyée à droite, soumise en son centre à une charge verticae F dirigée vers e bas. On utiisera a réaction verticae V B = X comme paramètre. i=1 1. avec aimabe contribution de notre coègue Bruno Sudret (EDF)

78 5.1 Généraités 69 Y A P C X B Figure 5. Poutre droite hyperstatique de degré 1 P Y M A V A HA P C V B X Figure 5.3 Paramétrage de a poutre droite hyperstatique de degré 1 L équiibre s écrit, avec es notations de a figure précédente : Dunod La photocopie non autorisée est un déit H A = 0 V A + V B F = 0 M A + F V B = 0 (5.) On peut donc paramétrer e système de réactions statiquement admissibes par : H A = 0 V A = F X V B = X M A = (X F) (5.3) Les efforts intérieurs statiquement admissibes sont aors : N = 0 V = X F sur [0, ] V = X sur [, ] M = F(x )+X( x) sur[0, ] M = X( x) sur[, ] (5.4)

79 70 5 Systèmes hyperstatiques b) Méthode des coupures Choix d une structure isostatique associée Soit (S) une structure n fois hyperstatique soumise à un chargement extérieur (forces ponctuees, densités inéiques, etc.). On ui associe une structure isostatique (SI) en effectuant n coupures. Une coupure est obtenue : soit en ibérant une iaison d appui. Sur a poutre précédente (h=1), on peut par exempe supprimer appui à extrémité de droite ou encore introduire une rotue sur extrémité de gauche. soit en annuant une composante d effort intérieur dans une section donnée : toujours sur e même exempe, on peut introduire une rotue pour annuer M sur n importe quee section x ]0, [. On voit qu i n y a pas unicité de a structure isostatique associée. Caractérisation de SA Pour obtenir une soution particuière M 0 des équations d équiibre sur (S), i suffit de déterminer es efforts intérieurs sur (SI) dus au chargement extérieur. Pour obtenir une base de espace des efforts auto-équiibrés, i suffit de déterminer es efforts intérieurs M i sur (SI) dus à appication de forces unitaires 1 i auto-équiibrées aux èvres de a coupure. Les différents cas de charge à considérer en fonction de a coupure choisie sur a poutre h = 1 sont donnés figure 5.4. c) Méthode des forces Détermination des inconnues hyperstatiques - Théorème de Menabrea L énergie compémentaire associée à un éement de SA s écrit : ( M 0 + ) n i=1 x i M i E (x 1,...x n ) = dx (5.5) EI (S)

80 5.1 Généraités 71 P SI 1 1 SI P 1 SI 3 P 1 1 Figure 5.4 Cas de charge à considérer en fonction du choix de (SI) Dunod La photocopie non autorisée est un déit Soient (x 1,...x n ) es vaeurs des paramètres qui caractérisent a soution éastique dans espace SA. Par définition, ce sont es vaeurs des efforts intérieurs ou des réactions d appui reâchés par opération des coupures. On es appee inconnues hyperstatiques. Le principe de minimisation de énergie compémentaire exprime que es vaeurs (X 1,...X n ) minimisent (5.5). Les conditions de minimisation s écrivent : E xi i = 1,...n, = 0 (5.6) x i =X i ce qui donne : i = 1,...n, (S) M 0 M i dx + EI n X j j=1 (S) M i M j dx = 0 (5.7) EI Ces équations constituent e théorème de Menabrea. Ce système peut se mettre sous a forme synthétique suivante : [d].x + d 0 = 0 (5.8)

81 7 5 Systèmes hyperstatiques où es termes de a matrice de soupesse [d] et du vecteur d 0 sont donnés par : M 0 M i M i M j d 0i = dx, d ij = dx (5.9) (S) EI (S) EI La matrice de soupesse est symétrique, définie positive et donc inversibe. Ce qui signifie que e système (5.8) admet toujours une soution unique. Les termes de équation (5.9) peuvent être interprétés comme es ouvertures des coupures pour es différents systèmes de chargement. Le théorème de Menabrea montre que a somme de ces ouvertures est nue : es inconnues hyperstatiques sont donc tees qu appiquées à a structure (SI), ees referment es coupures (et redonnent donc a structure (S) initiae). Cacu d un dépacement sur une structure hyperstatique Le dépacement d un point P de a structure peut se mettre sous a forme : M M Q P = dx (5.10) EI (S) où M et M désignent respectivement es moments féchissants cacués sur (S), associés au chargement extérieur F et au chargement unitaire 1 P.La méthode des coupures permet de mettre M sous a forme M = M 0 + n X i M i. On démontre ainsi e théorème de réduction (ou de Pasternak) : i=1 pour cacuer un dépacement Q P au point P, associé à un chargement extérieur F sur une structure hyperstatique, i suffit d appiquer e théorème de Müer-Bresau en appiquant effort unitaire 1 P à une structure isostatique associée queconque. Q P = (S) M M 0 dx avec M 0 cacué pour une structure (SI) queconque. EI (5.11) Remarque : La démarche a été iustrée en ne tenant compte que de énergie de fexion. Un cacu compet nécessite de prendre en

82 5.1 Généraités 73 compte égaement énergie de traction-compression (et éventueement cee associée au cisaiement). On obtient de façon générae des termes de soupesse du type : d ij = (S) ( Mi M j EI + N i N j ES + V ) i V j dx (5.1) GS R Dunod La photocopie non autorisée est un déit d) Guide pratique d appication Cacu du degré d hyperstaticité de a structure n - Choix de n coupures. Cacu de a matrice de soupesse [d] et du vecteur d 0. Résoution du système inéaire. Reconstruction des diagrammes d efforts intérieurs. On notera qu on peut très bien n avoir pris en compte que énergie de fexion dans e cacu des inconnues hyperstatiques, aors qu on déterminera par reconstruction tous es diagrammes, y compris ceux d effort norma et d effort tranchant. Exempe d appication. On considère a poutre de exempe précédent 5., soumise à une force verticae F dirigée vers e bas appiquée en son miieu. On utiise a structure (SI) de a figure 5.5. SI F M 0 (x) P Figure 5.5 x M 1 (x) Appication de a méthode des forces 1 x

83 74 5 Systèmes hyperstatiques À aide des intégraes de Mohr on obtient : d 11 = ()3 3EI d 10 = (5F)3 6EI (5.13) Ce qui donne pour inconnue hyperstatique X 1 = 5 F. Pour obtenir e 16 diagramme des moments reconstruit, on utiise M = M 0 + X 1 M 1 ce qui donne e diagramme suivant : M(x) 5F/16 x -3F/8 Figure 5.6 Diagramme des moments reconstruit Pour cacuer e dépacement vertica du point C, on appique une force unitaire dirigée vers e haut sur a structure isostatique associée, et on fait e produit des diagrammes (voir figure 5.7). SI 1 M(x) x Figure 5.7 Structure isostatique pour e cacu du dépacement

84 5.1 Généraités 75 On obtient d C = 7F3 96EI Méthode des dépacements La méthode des dépacements est une méthode de résoution systématique des systèmes (iso)hyperstatiques. Ee débouche sur es techniques de résoution matriciee et a résoution numérique des probèmes (premier pas vers a méthode des ééments finis). Contrairement à a méthode des forces où es inconnues du probème sont es actions de iaisons hyperstatiques, es inconnues du probème seront es dépacements en certains points de a structure appeés nœuds. Exempe. F 4 F F 1 Dunod La photocopie non autorisée est un déit F Figure Exempe de structure hyperstatique p 8 9

85 76 5 Systèmes hyperstatiques On souhaite résoudre e probème en cacuant es dépacements aux nœuds 1 à 9 sous effet du chargement { F i }. Pour cea, es inconnues du probème seront es dépacements aux nœuds 1 à 9, certains de ces dépacements seront connus du fait des iaisons. Ceci sera à prendre en compte ors de a résoution. Les équations du probème sont es équations de a statique en chaque nœud de a struture. On utiisera es hypothèses suivantes : structure pane chargée dans son pan, petites déformations, comportement éastique inéaire du matériau, iaisons parfaites, poutres droites, section constante. a) Étude d une poutre Prenons par exempe a poutre [5 8] de a figure 5.8 isoée du reste de a structure. M 58 Y V 58 p V 85 M 85 X N N 85 Figure 5.9 Poutre [5 8] Bian des actions : e chargement extérieur p es actions du reste de a structure sur cette poutre appiquées aux nœuds 5 et 8 : {N 58, V 58, M 58, N 85, V 85, M 85 }

86 5.1 Généraités 77 Attention : On travaie ici dans e repère oca de a poutre étudiée qui peut être différent du repère goba (poutre [1 ]). Objectifs : Exprimer es reations entre es actions appiquées aux nœuds de a poutre et es dépacements et rotations aux mêmes points. Déformée : Voir a figure 5.10 Y Ω 58 u 58 5 v58 8 u 85 v 85 Ω 85 Figure 5.10 Déformée de a poutre [5 8] Dunod La photocopie non autorisée est un déit Pour a barre [5 8], on peut écrire : N 58 = EA (u 58 u 85 ) N 85 = EA (u 85 u 58 ) dd suppémentaires Dans e cas d une poutre, nous avons des dd suppémentaires qui sont es dépacements perpendicuaires à a fibre moyenne et es rotations des nœuds. Pour e cacu des reations moment/rotation on peut procéder de a façon suivante : Posons : v 58 = v 85 = 0 (Figure 5.11) On va cacuer es moments résutants des rotations imposées : { V (x) = V58 M(x) = M 58 + V 58.x

87 78 5 Systèmes hyperstatiques Y M 58 V M 85 X V 85 Figure 5.11 Déformée de a poutre [5 8] avec v 58 = v 85 = 0 avec e PFS : { V58 + V 85 = 0 M 58 + M 85 V 58 = 0 Utiisons e théorème de Castigiano avec pour énergie éastique : 1 M EI dx = 1 0 ( M 58 + V 58 x) dx EI On obtient aors es rotations aux appuis V 58 et V 85 en dérivant cette expression par rapport à M 58 et M 85 respectivement : V 58 = d = M 58 dm 58 V 85 = d dm 85 = M ( 1 x ) dx + M85 EI 0 ) dx + M 85 1 x EI ( 1 x ce qui donne après inversion (et en considérant EI constant) : M 58 = 4EI V 58 + EI V 85 M 85 = 4EI V 85 + EI V x ( 1 x ) dx EI x 1 EI dx

88 5.1 Généraités 79 En utiisant es équations d équiibre on peut aussi cacuer V 58 et V 85 : V 58 = 6EI (V 58 + V 85 ) = V 85 Posons maintenant : v 58 et v 85 0 (figure 5.1). Y 5 v 85 -v 58 8 X Figure 5.1 Déformée de a poutre [5 8] avec v 58 0 et v 85 0 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Cea revient à traiter e cas précédent en faisant une rotation de repère d ange (v 85 v 58 )/. Bian : on a obtenu es reations entre es efforts aux extrémités d une poutre et es dépacements aux nœuds : N ij = EA (u ij u ji ) V ij = 6EI V ij + 6EI V ji 1EI 3 (v ji v ij ) M ij = 4EI N ji = EA (u ji u ij ) V ji = 6EI M ji = 4EI V ij + EI V ji 6EI (v ji v ij ) V ij 6EI V ji + 1EI 3 (v ji v ij ) V ji + EI V ij 6EI (v ji v ij )

89 80 5 Systèmes hyperstatiques Effet d un chargement extérieur Les actions que on vient de cacuer (N ij, V ij, M ij ) sont es actions permettant d obtenir es dépacements recherchés aux nœuds sans chargement extérieur. L effet d un chargement extérieur est donc inexistant aux nœuds (pas de dépacements suppémentaires). On considérera donc a poutre biencastrée soumise à un chargement extérieur (figure 5.13) : Y p 5 8 X Figure 5.13 Effet d un chargement extérieur sur a poutre [5 8] 0 M 58 0 Y V 58 p 0 N 58 V M 85 0 N 85 0 X Figure 5.14 Bian des actions de iaisons pour un chargement extérieur sur a poutre [5 8] I faut ensuite cacuer es actions de iaisons dues à ce chargement extérieur (Nij, 0 Vij, 0 Mij 0 sur a figure 5.14) et es ajouter aux actions (N ij, V ij, M ij ). Donnons e cas d un effort ponctue centré sur a poutre et e cas d un effort réparti (figure 5.15) : P/8 0 Y P/ P/ P 0 -P/8 X Y P/ P/ P /1 p 0 0 -P /1 X Figure 5.15 Deux cas de chargement sur une poutre bi-encastrée

90 5.1 Généraités 81 La superposition de effet d un chargement extérieur et des chargements aux extrémités de a poutre correspondant aux dépacements inconnus permet d écrire : N ij EA/ 0 0 EA/ 0 0 u ij Nij 0 V ij 0 1EI/ 3 6EI/ 0 1EI/ 3 6EI/ v ij Vij 0 M ij 0 6EI/ 4EI/ 0 6EI/ EI/ V = ij M 0 ij + N ji EA/ 0 0 EA/ 0 0 u ji N 0 ji V ji 0 1EI/ 3 6EI/ 0 1EI/ 3 6EI/ v ji V ji 0 M ji 0 6EI/ EI/ 0 6EI/ 4EI/ V ji M 0 ji Ce qui donne sous forme condensée : Dunod La photocopie non autorisée est un déit }{{} F = K }{{} u + Action ext. aux nœuds Dépac ts aux nœuds F 0 }{{} Effet d un charg t ext. sur a poutre La matrice de rigidité K est symétrique. Ee est indépendante du chargement. Remarque : Les diagrammes des contraintes généraisées dans a poutre s obtient par superposition. En absence de chargement extérieur : { M(x) = Mij + V ij x V (x) = V ij I suffit d ajouter (par superposition) es diagrammes dus au chargement extérieur appiqué sur a poutre bi-encastrée.

91 8 5 Systèmes hyperstatiques b) Equiibre des nœuds Considérons maintenant chaque nœud de a structure. Ceux-ci sont soicités par es barres (action de a barre sur e nœud) + e chargement extérieur appiqué aux nœuds. Nœud 4 : figure 5.16 M 46 V 43 V 46 4 N 46 M 43 N 43 Figure 5.16 Équiibre du nœud 4 On obtient trois équations dans e repère goba : N 43 V 43 N 46 V 46 + F 1 = : équations dans e repère 0 goga M 43 M 46 = 0 : 1 équation dans e repère goga Les iaisons sont parfaites (nœuds rigides). Dans e repère goba es dépacements (u, v, V) sont identiques pour toutes es barres attachées au nœud considéré (dans e cas d un encastrement). On peut aors utiiser es reations entre es dépacements gobaux et es actions extérieures obtenues pour a barre. On substitue es efforts dans es reations d équiibre aux nœuds, pour obtenir un système d équations. Pour n nœuds on obtient e système : K }{{} matrice 3n 3n { u } }{{} vecteur 3n = { F } }{{} vecteur 3n du chargement ext. (sur es barres et es nœuds) Dans e cas e pus généra, on obtient donc un système de 3n équations à3n inconnues.

92 5.1 Généraités 83 Remarques : Le cacu de a matrice K s effectue à partir de chaque matrice éémentaire. Cee-ci ne dépend donc pas du chargement appiqué et peut être utiisée pour d autre cas de chargement ; seu { F } va changer. Dunod La photocopie non autorisée est un déit { u } et { F } contiennent des quantités connues et inconnues. Par exempe, au nœud 1 dans notre exempe es dépacements sont connus (is sont nus ici) tandis que es efforts extérieurs sont inconnus. A inverse, au nœud es dépacements sont inconnus tandis que es efforts extérieurs sont connus. Ces conditions sont appeées «conditions aux imites» : statiques (efforts imposés) ou cinématiques (dépacements imposés). On peut rajouter à voonté des nœuds dans a structure car pour chaque nœud on écrira aors 3 équations suppémentaires. La décomposition en nœuds et barres est donc «arbitraire». Ceci s appee a «discrétisation» de a structure. Si a discrétisation est arbitraire, peut-on choisir un nombre de nœuds très faibe? (voir figure 5.17) 1 F Est-ce possibe? Figure 5.17 Discrétisation minimae? 3

93 84 5 Systèmes hyperstatiques Oui mais i faut connaître a matrice de rigidité éémentaire pour a poutre de a figure 5.18 : V 1 M 1 N 1 V 1 M 1 N 1 Figure 5.18 Poutre dont i faut connaître a matrice de rigidité Dans a pratique, on ne cacue pas K pour toutes es géométries possibes. On utiise es matrices de rigidité d une poutre droite ce qui impose une discrétisation minimae avec 5 nœuds (voir figure 5.19) Figure 5.19 Discrétisation minimae avec 5 nœuds 3 c) Méthodoogie Appication 1. Choix d une discrétisation Bian du nombre de dépacements introduits (es dd).. Pour chaque barre, on écrit a matrice de rigidité et es équations : F = K u + F 0 dans e repère oca de a barre. 3. Pour chaque nœud, on écrit dans e repère goba à a structure es équations d équiibres.

94 5. Poutre droite à une travée Passage des reations pour chaque barre dans e repère goba et on forme e système d équations agébriques : K u = F. Identification des quantités connues et inconnues puis résoution. 5. POUTRE DROITE À UNE TRAVÉE Dans cette partie, nous considérerons que : a poutre est chargée dans son pan ; a déformation de a poutre est aors égaement dans e pan de a poutre ; a section et inertie de a poutre sont constantes (EI constant) Encastrement éastique aux extrémités Dunod La photocopie non autorisée est un déit Soit a poutre de a figure 5.0, es appuis A et B sont supposés fixes tandis que a travée AB est encastrée éastiquement sur ses appuis. Les raideurs des appuis sont représentées par une constante positive k ce qui signifie que es rotations sont reiées aux moments par u A = k A M A et u B = k B M B.Si appui est un encastrement parfait aors k = tandis que pour un appui simpe k = 0. Figure 5.0 Y k A k B X A B Poutre à une travée avec des encastrements éastiques à ces extrémités Soient e moment féchissant M 0 et effort tranchant V 0 que produiraient dans a section d abscisse x es charges appiquées si a poutre était isostatique. Le moment féchissant M(x) et effort tranchant V (x) peuvent aors

95 86 5 Systèmes hyperstatiques être obtenus à aide des moments sur appuis par : M(x) = M 0 (x)+m A x V (x) = V 0 (x)+ M B M A + M B x (5.14) On peut cacuer es moments M A et M B à partir des rotations u A et u B, rotations que subiraient es appuis A et B si a poutre était isostatique, à partir des reations suivantes : (a + k A )M A + bm B = u A, bm A +(g + k B )M B = u B (5.15) avec : Ce qui donne : a = 1 ( x) dx EI M A = M B = 0 b = 1 0 g = 1 0 x( x) dx EI x EI dx bu B +(g + k B )u A (a + k A )(g + k B ) b bu A +(a + k A )u B (a + k A )(g + k B ) b (5.16) (5.17) Si a poutre est de section uniforme, nous avons es reations suivantes : a = g = 3EI, b = 6EI (5.18)

96 5. Poutre droite à une travée Formuaire d une poutre simpement appuyée d un côté et encastrée de autre Y A V(x) M(x) y A V(x) M(x) Dunod La photocopie non autorisée est un déit Géométrie et Chargement Réaction d appui Moments Fèche Rotation P a C b B X RxA = Pb (3 b) 3 RxB = Pa 3 (3 a ) MB = Pab (a + b) M C = Pab 3 (3 b) f C = Pa 96EI (3 5a ) ua = Pab 4EI x x P / C / B x RxA = 5P 16 RxB = 11P 16 x Mmax = MB = 3P 16 M C = 5P 3 f C = 7P3 768EI ua = P 3EI x

97 88 5 Systèmes hyperstatiques y A V(x) M(x) y A V(x) M(x) Géométrie et Chargement Réaction d appui Moments Fèche Rotation P P C D a B x a x RxA = P ( 3a +3a ) RxB = P ( +3a 3a ) MB = 3Pa ( a) f C = Pa 1EI (33 5a +3a 3a 3 ) ua = Pa 4 ( ) x q x B a RxA = 3q x 8 RxB = 5q 8 MB = q 8 fmax = f 0,4 = 0, 0054 q4 EI ua = EI x

98 5. Poutre droite à une travée 89 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Géométrie et Chargement Réaction d appui Moments Fèche Rotation y A V(x) M(x) q / / B x x RxA = 11q 64 RxB = 1q 64 MB = 5q 64 Mmax = M x=0,415 = 0, 0475q fmax = f x=0,43 = 0, q4 EI ua = EI x y q A B x V(x) M(x) x RxA = q 10 RxB = q 5 MB = q 15 Mmax = M x=0,447 = 0, 098q fmax = f x=0,447 = 0, 0039 q4 EI ua = q3 10EI x

99 90 5 Systèmes hyperstatiques y C A V(x) M(x) y A V(x) M(x) Géométrie et Chargement Réaction d appui Moments Fèche Rotation B x x RxA = 3C RxB = 3C MB = C Mmax = MA = C fmax = f x=/3 = C 7EI ua = C 4EI x C x a C b B x RxA = 3C 3 ( RxB = RxA L a ) MB = C ( 1 3 a ) ua = C 4EI ( 4a a ) x

100 5. Poutre droite à une travée Formuaire d une poutre bi-encastrée Dunod La photocopie non autorisée est un déit Géométrie et Chargement Réaction d appui Moments Fèche Rotation y A P / C / B xvec V(x) M(x) x RxA = RxB = P MA = MB = P 8 Mmax = M x=/ = P 8 fmax = f C = P3 19EI umax = u x=/4 = P 64EI x y A V(x) M(x) P a C b B x x RxA = Pb (3a + b) 3 RxB = Pa (a +3b) 3 MA = Pab MB = Pa b Mmax = M C = Pa b 3 x

101 9 5 Systèmes hyperstatiques y A V(x) M(x) y A V(x) M(x) Géométrie et Chargement Réaction d appui Moments Fèche (n-1)p B x x RxA = RxB = (n 1)P MA = MB = n 1 1n P si n impair Mmax = n 1 4n P si n pair Mmax = n + 4n P si n impair fmax = (n4 P 3 384n 3 EI si n pair fmax = np3 384EI x B x x RxA = RxB = qb MA = MB = qb 4 Mmax = qb 4 ( ( 3 b ) 3 3b + b ) fmax = qb 384EI ( 3 b b 3) x a a a q a b a a a

102 5. Poutre droite à une travée 93 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Géométrie et Chargement Réaction d appui Moments Fèche y A V(x) q 1 M(x) q B x x RxA = (7q 1 +3q ) 0 RxB = (3q 1 +7q ) 0 MA = (3q 1 +q ) 60 MB = (q 1 +3q ) 60 fx = x 10EI [ (3q 1 +q ) 3 (7q 1 +3q x +5q 1 x (q 1 q )x 3] x

103 94 5 Systèmes hyperstatiques 5..4 Formuaire d une poutre consoe y P V(x) M(x) y V(x) M(x) Géométrie et Chargement Réaction d appui Moments Fèche Rotation A a B x x P( +3a) RxA = RxB = 3Pa MA = Pa MB = Pa f C = Pa 1EI fmax = f x=a+/3 = Pa 7EI (3 +4a) u C = Pa 4EI ua = Pa 4EI ( +a) x q a B A RxA = q 8 (3 x x +8a +6a ) RxB = q 8 (5 6a ) MA = qa MB = q 8 ( a ) f C = qa 48EI ( 3 +6a +6a 3 ) u C = q 48EI (3 6a 8a 3 ) ua = q 48EI ( 6a ) x

104 5. Poutre droite à une travée 95 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Géométrie et Chargement Réaction d appui Moments Fèche Rotation y V(x) q a B A x x RxA = qa 4 (4 +3a) RxB = 3qa 4 MA = qa MB = qa 4 f C = qa3 8EI ( + a) u C = qa 4EI (3 4 ) ua = qa 8EI M(x) x

105 96 5 Systèmes hyperstatiques 5.3 POUTRE CONTINUE Notations et définitions Une poutre continue (voir Figure 5.1) est une poutre reposant sur pus de deux appuis simpes. Pour une poutre de n travées, on numérote es appuis de 0 à n. Latravéei de portée i est a travée comprise entre es appuis A i 1 et A i, de moment quadratique I i suivant axe de fexion concerné, de modue d Young E. On appeera F i e chargement extérieur sur a travée i. Y A 0 A 1 A i-1 A i A i+1 A n-1 A n X 1 i i+1 n Figure 5.1 Poutre continue Le nombre des inconnues hyperstatiques est éga au nombre des appuis intermédiaires (n 1). On peut choisir comme inconnues hyperstatiques es moments féchissants sur es appuis intermédiaires Poutre isostatique associée Une poutre continue comportant n travées peut être décomposée en n poutres isostatiques sur esquees s appiquent es mêmes charges que sur a poutre continue avec en pus es moments aux appuis. Nous obtenons aors pour a travée i + 1 a figure 5. où : M i désigne e moment sur appui A i M i+1 désigne e moment sur appui A i+1 M i+1 (x) désigne e moment féchissant dans a travée i + 1 de a poutre continue M 0,i+1 (x) désigne e moment féchissant dans a travée i +1 isostatique associée et chargée uniquement par F i+1 sans es moments sur appuis

106 5.3 Poutre continue 97 V 0,i+1 (x) désigne effort tranchant dans a travée i +1 isostatique associée et chargée uniquement par F i+1 sans es moments sur appuis V 0 i,d a rotation à droite de appui i dans a travée i + 1 isostatique associée et chargée uniquement par F i+1 sans es moments sur appuis V 0 i+1,g a rotation à gauche de appui i+1 dans a travée i+1 isostatique associée et chargée uniquement par F i+1 sans es moments sur appuis Y M i M i+1 X A i i+1 A i+1 Ω i,d Ω i+1,g Figure 5. Poutre continue Dunod La photocopie non autorisée est un déit Pour que nos poutres isostatiques associées se comportent comme a poutre continue d origine, i faut écrire a continuité des rotations sur es différents appuis. Nous obtenons ainsi a formue des trois moments Formue des trois moments a) Travées queconques ( ) ( i i M i 1 +M i + ) ( ) ( ) i+1 i+1 + M i+1 = Vi,d 0 Vi,g 0 6EI i 6EI i 6EI i+1 6EI i+1 (5.19) b) Travées de mêmes inerties ( ) M i 1 i +M i ( i + i+1 )+M i+1 i+1 = 6EI Vi,d 0 Vi,g 0 (5.0)

107 98 5 Systèmes hyperstatiques c) Travées identiques M i 1 +4M i + M i+1 = 6EI ( ) Vi,d 0 Vi,g 0 (5.1) d) Travées queconques avec déniveations d appui Les déniveations d appui (v i pour appui A i par exempe) sont comptées positivement vers e haut. ( ) ( i i M i 1 +M i + ) ( ) i+1 i+1 + M i+1 6EI i 6EI i 6EI i+1 6EI i+1 ( ) = Vi,d 0 Vi,g 0 + v i+1 v i v i v i 1 (5.) i+1 i Expression des soicitations et actions de iaison Les soicitations dans a travée hyperstatique i sont déterminées par superposition des soicitations dues au chargement extérieur et cees dues aux moments sur appuis. Soit, pour e moment féchissant, on peut écrire : ( M i (x) = M 0i (x)+m i 1 1 x ) ( ) x + M i (5.3) i i De même pour effort tranchant : V i (x) = V 0i (x)+ M i 1 i M i i (5.4) On déduit es actions de iaisons de appui A i des vaeurs de effort tranchant à droite et à gauche de ceui-ci : ce qui donne pour des travées queconques : Y Ai = V i ( i ) V i+1 (0) (5.5) Y Ai = Y 0 A i + M i 1 M i i M i M i+1 i+1 (5.6)

108 5.3 Poutre continue 99 et pour des travées de ongueurs identiques : Y Ai = Y 0 A i + M i 1 M i + M i+1 (5.7) Formuaire des rotations usuees Cas d une poutre sur deux appuis simpes de rigidité EI constante. Géométrie et chargement V 0 i 1,d V 0 i,g Y P A i-1 A i X a b Pab( + b) 6EI Pab( + a) 6EI Y Dunod La photocopie non autorisée est un déit P A i-1 A i X / / Y q A i-1 A i X Y q A i-1 A i X a b P 16EI q3 4EI qa ( a) 4EI P 16EI q 3 4EI qa ( a ) 4EI

109 100 5 Systèmes hyperstatiques a) Exempe d appication : Soit a poutre continue à quatre travées de a figure 5.3. Supposons es moments d inertie suivants : I 1 = 1, I = I 3 = eti 4 = 1, 5. q q q 3a 4a 4a 3a A 0 A 1 A A 3 A 4 M(x) -1,7835qa -,4577qa -0,3856qa x Figure 5.3 Exempe d appication de a formue des trois moments La formue des trois moments nous donne : ( ) ( 1 1 M 0 +M 1 + ) ( ) + M = 6EI 1 6EI 1 6EI 6EI ( ) ( M 1 +M + ) ( ) M 3 = 6EI 6EI 6EI 3 6EI 3 ( ) ( 3 3 M +M 3 + ) ( ) M 4 = 6EI 3 6EI 3 6EI 4 6EI 4 ( ) V 0 1,d V 0 1,g ( ) V 0,d V 0,g ( ) V 0 3,d V 0 3,g (5.8)

110 5.3 Poutre continue 101 avec : M 0 = 0 Dunod La photocopie non autorisée est un déit V 0 1,g = q(3a)3 4EI 1 V 0 1,d = q(4a)3 4EI V 0,g = q(4a)3 4EI V 0,d = q(3a)3 4EI 3 V 0 3,g = q(3a)3 4EI 3 V 0 3,d = 0 M 4 = 0 (5.9) Ce qui donne après résoution du système de 3 équations à 3 inconnues : M 1 = 1, 7835qa M =, 4577qa (5.30) M 3 = 0, 3856qa Formuaire de a poutre continue à travées égaes Géométrie et chargement P A 0 A 1 A / P P A 0 A 1 A / / Moment sur appui et réaction d appui M 1 = 3 3 P Y A0 = 13 3 P Y A 1 = P Y A = 3 3 P M 1 = 3 16 P Y A0 = 5 16 P Y A 1 = 11 8 P Y A = 5 16 P

111 10 5 Systèmes hyperstatiques Géométrie et chargement Moment sur appui et réaction d appui P P M 1 = 1 A 0 A 1 A 6 P /3 /3 /3 Y A0 = 5 6 P Y A 1 = 8 6 P Y A = 1 6 P P P P P M 1 = 1 A 0 A 1 A 3 P /3 /3 /3 /3 /3 /3 Y A0 = 3 P Y A 1 = 8 3 P Y A = 3 P P P P A 0 A 1 A /4 /4 /4 /4 P P P P P P A 0 A 1 A /4 /4 /4 /4 /4 q /4 /4 /4 A 0 A 1 A M 1 = P Y A0 = P Y A 1 = P Y A = P M 1 = 15 3 P Y A0 = 33 3 P Y A 1 = 16 3 P Y A = 33 3 P M 1 = 3 48 q Y A0 = 7 16 q Y A 1 = 15 4 q Y A = 3 48 q q q M 1 = q 8 A 0 A 1 A Y A0 = 3 8 q Y A 1 = 5 4 q Y A = 3 8 q

112 5.3 Poutre continue Formuaire de a poutre continue à 3 travées égaes Géométrie et chargement Moment sur appui et réaction d appui P A 0 A 1 A / A 3 3 M 1 = 10 P M = 3 40 P Y A0 = 1 5 P Y A 1 = P Y A = 9 0 P Y A 3 = 3 40 P P A 0 A 1 A / A 3 3 M 1 = 40 P M = 3 40 P Y A0 = 3 40 P Y A 1 = 3 40 P Y A = 3 40 P Y A 3 = 3 40 P Dunod La photocopie non autorisée est un déit P P A 0 A 1 A / / P P P A 0 A 1 A / / / A 3 A 3 3 M 1 = 10 P M = 1 0 P Y A0 = 1 5 P Y A 1 = 31 0 P Y A = 3 10 P Y A 3 = 1 0 P 3 M 1 = 0 P M = 3 0 P Y A0 = 7 0 P Y A 1 = 3 0 P Y A = 3 0 P Y A 3 = 7 0 P

113 104 5 Systèmes hyperstatiques Géométrie et chargement q A 0 A 1 A A 3 Moment sur appui et réaction d appui M 1 = 1 15 q M = 1 60 q Y A0 = q Y A 1 = 13 0 q Y A = 1 10 q Y A 3 = 1 60 q q A 0 A 1 A A 3 M 1 = 1 0 q M = 1 0 q Y A0 = 1 0 q Y A 1 = 11 0 q Y A = 11 0 q Y A 3 = 1 0 q q q A 0 A 1 A A 3 M 1 = 7 60 q M = 1 30 q Y A0 = 3 60 q Y A 1 = q Y A = 9 0 q Y A 3 = 1 30 q q q A 0 A 1 A A 3 q M 1 = 1 10 q M = 1 10 q Y A0 = 5 q Y A 1 = q Y A = q Y A 3 = 5 q

114 5.3 Poutre continue Formuaire de a poutre continue à 4 travées égaes Géométrie et chargement Moment sur appui P P M 1 = 0, 080P M = 0, 054P A 0 A 1 A A 3 A 4 P P P P A 0 A 1 A A 3 A 4 M 1 = 0, 090P M = 0, 095P M 3 = 0, 090P Dunod La photocopie non autorisée est un déit q A 0 A 1 A A 3 A 4 A 0 A 1 A A 3 A 4 q q M 1 = 0, 071q M = 0, 036q M 3 = 0, 071q q q M 1 = 0, 054q q A 0 A 1 A A 3 A 4 q M = 0, 036q M 1 = 0, 11q M = 0, 018q M 3 = 0, 058q

115 106 5 Systèmes hyperstatiques Formuaire de a poutre continue à 5 travées égaes Géométrie et chargement Moment sur appui P P M 1 = 0, 106P M = 0, 048P M 3 = 0, 088P A 0 A 1 A A 3 A 4 A 5 M = 0, 07P M 1 = 0, 140P P P P P P P M = 0, 105P M 3 = 0, 105P A 0 A 1 A A 3 A 4 A 5 M 4 = 0, 140P q A 0 A 1 A A 3 A 4 A 5 M 1 = 0, 105q M = 0, 079q M 3 = 0, 079q M 4 = 0, 105q q q A 0 A 1 A A 3 A 4 A 5 q M 1 = 0, 053q M = 0, 039q M 3 = 0, 039q M 4 = 0, 053q

116 5.3 Poutre continue Poutre continue sur appuis éastiques ponctues a) Cas généra : formue des cinq moments Par hypothèse, es déniveations d appui sont dans ce cas proportionnees aux réactions d appui : v i = k i Y Ai (5.31) On obtient donc à aide de a formue (5.6) : [ v i = k i YA 0 i + M i 1 M i M ] i M i+1 i i+1 (5.3) En rempaçant es expressions de v i dans a formue des trois moments avec déniveation d appui on obtient a formue des cinq moments : Dunod La photocopie non autorisée est un déit = [( i + [ + 6EI i ( i [( i+1 + 6EI i+1 ( ) Vi,d 0 Vi,g 0 ) k ( i 1 1 i + i+1 6EI i ) k i i+1 6EI i i 1 i ) + k i 1 ( 1 i + 1 i+1 i ) k i ( 1 i + 1 ) k i+1 i+1 k i 1 M i i 1 i ( )] M i 1 i i i+1 ) + k ] i+1 i+1 i+1 M i ( )] M i+1 i+1 i+ + k i+1 i+1 i+ M i+ k ( i 1 1 YA 0 i 1 + k i + 1 ) YA 0 i i i k i+1 YA 0 i+1 i+1 i+1 (5.33) On utiise cette formue notamment dans étude des systèmes de poutres croisées.

117 108 5 Systèmes hyperstatiques b) Cas d une poutre infiniment rigide L appication de a formue des cinq moments à une poutre dite infiniment rigide mettrait en évidence des dépacements v i et en conséquence des réactions d appui Y Ai fonctions inéaires des abscisses x.soit: = Pk ( i 1+ e ) k i xi (5.34) ki x i k i Y Ai en supposant origine O choisie de sorte que x i k i = 0 et en désignant par P a résutante de ensembe des charges appiquées et par e sa position (voir figure 5.4). Y X O e P X x i Figure 5.4 Les soicitations en une section S de a poutre sont obtenues en faisant une coupure dans cette section et en écrivant équiibre des forces de gauche (ou de droite). 5.4 SYSTÈMES DE POUTRES CROISÉES Principe Les systèmes de poutres croisées sont cacués par une des méthodes suivantes : a méthode directe, c est-à-dire écriture de égaité des dépacements verticaux aux point de croisement des poutres, sous action des charges appiquées,

118 5.4 Systèmes de poutres croisées 109 a résoution de équation des cinq moments (équation 5.33), utiisation de codes de cacu appiqués sur un modèe faisant intervenir es iaisons à chaque croisement des poutres Cas particuier des poutres de même inertie Si on suppose que toutes es poutres sont simpement appuyées, de même inertie, de raideur de torsion négigeabe et soumises à un chargement P à chaque intersection, appication des méthodes précédentes conduit à des résutats simpes dans es cas suivants : Géométrie Poutres A Poutres B B A M = b =b b 3 4(a 3 + b 3 ) Pa M = a 3 4(a 3 + b 3 ) P b a =a V = b 3 (a 3 + b 3 ) P V = a 3 (a 3 + b 3 ) P Dunod La photocopie non autorisée est un déit A A A B B a =3a a =3a B B b =b b =3b M = V = M = V = b 3 3(5a 3 + b 3 ) Pa b 3 5a 3 + b 3 P b 3 3(a 3 + b 3 ) Pa b3 a 3 + b 3 P M = V = M = 5a 3 4(5a 3 + b 3 ) P b V = 5a 3 (5a 3 + b 3 ) P a 3 3(a 3 + b 3 ) P b a3 a 3 + b 3 P

119 110 5 Systèmes hyperstatiques Cas particuier des poutres infiniment rigides dans une direction B B B B B B B B B B appui simpe A A appui simpe encastrement A A ibre a) b) Figure 5.5 Soit e cas particuier du système de poutres croisées représenté à a figure 5.5. Les poutres B sont supposées infiniment rigides (admissibe orsque b < a et si a hauteur des poutres B hauteur des poutres A). Dans ce cas particuier, on peut considérer qu une poutre B peut être considérée comme rigide et appuyée sur des appuis éastiques ponctues. Nous pouvons donc utiiser équation (5.34) pour déterminer es réactions Y Ai. Dans a mesure où es poutres A suivent a même oi de variation d inertie, on peut substituer aux coefficients k i es inerties des poutres I i. Nous obtenons aors : = PI ( i 1+ e ) I i xi (5.35) Ii x i I i Y Ai 5.5 POUTRE SUR APPUI ÉLASTIQUE CONTINU Définition et paramètres On considère a poutre de argeur b, d inertie constante, reposant sur un appui continu éastique (de type so) de a figure 5.6. Y q(x) X r Figure 5.6

120 5.5 Poutre sur appui éastique continu 111 Si y désigne a fèche de a poutre au point d abscisse x, a réaction d appui en ce point est équivaente à une densité d effort r : r = kby (5.36) où b est a argeur de a poutre supposée constante, k est a raideur de appui éastique. Si q(x) est a charge répartie appiquée à a poutre, a fèche doit satisfaire équation différentiee d équiibre suivante : Pour résoudre cette équation, on pose : EI d4 y + kby + q(x) = 0 (5.37) dx4 1 kb = 4 e 4EI = (5.38) Dunod La photocopie non autorisée est un déit La ongueur e est appeée ongueur éastique de a poutre. Les soutions y(x), y (x), M(x)etV (x) font intervenir des fonctions W(x), X (x), Y(x)et Z(x) suivantes : pour x > 0: pour x < 0: W(x) = e x (cos(x)+sin(x)) X (x) = e x sin(x) Y(x) = e x (cos(x) sin(x)) Z(x) = e x cos(x) W(x) = e x (cos(x) sin(x)) X (x) = e x sin(x) Y(x) = e x (cos(x)+sin(x)) Z(x) = e x cos(x) (5.39) (5.40)

121 11 5 Systèmes hyperstatiques 5.5. Formuaire de a poutre infinie Géométrie et chargement Soutions Y O X P X y = P kb X (x) M = P 4 Y(x) y = P kb W(x) V = P Z(x) Y O X C X y = C3 kb Y(x) M = C Z(x) y = C kb X (x) V = C W(x) a Y O X q a X pour 0 < x < a : y = q [ ] W(a + x) W(a x) kb y = q [ ] +Z(a + x)+z(a x) kb M = q [ ] X (a + x)+x (a x) 4 V = q [ ] Y(a + x)+y(a x) 4 pour x > a : y = q [ ] W(x + a) W(x a) kb y = q [ ] Z(x + a) Z(x a) kb M = q [ ] X (x + a) X(x a) 4 V = q [ ] Y(x + a)+y(x a) 4

122 5.5 Poutre sur appui éastique continu 113 Géométrie et chargement q Y O X a X Soutions y (0) = q [ ] 1+aW(a)+Z(a) kba y (a) = q [ ] 1 a + Z(a) kba y(0) = q [ ] 1 Y(a)+aZ(a) 4kba y(a) = q [ ] a 1+Y(a) 4kba pour 0 < x < a : M = q [ W(x) W(a x) 8 3 a +ax (a x) ] V = q [ X (x)+x (a x) 4 a ay(a x) ] pour x > a : M = q [ W(x) W(x a) 8 3 a ax (x a) ] V = q [ X (x) X(x a) 4 a ay(x a) ] Dunod La photocopie non autorisée est un déit Formuaire de a poutre semi-infinie Pour obtenir es déformations et es soicitations dans une poutre semiinfinie, on utiise es résutats de a poutre infinie en appiquant une force P 0 et un coupe C 0 juste à gauche de O (voir figure 5.7) de tee façon que sous ensembe du chargement M et V soient nus en O. On peut écrire : P 0 = 4(M 0 + V 0 ) C 0 = (M 0 + V 0 ) (5.41) avec M 0 et V 0 e moment et effort tranchant dus à q(s) pour a poutre infinie juste à gauche de O.

123 114 5 Systèmes hyperstatiques Y O X q(x) X <=> Y P 0 C 0 O X q(x) X Figure 5.7 On obtient aors pour a poutre semi-infinie : y (x) = y 1(x)+ P 0 kb X (x)+c 0 3 kb Y(x) y(x) = y 1 (x)+ P 0 kb W(x)+C 0 kb X (x) M(x) = M 1 (x)+ P 0 4 Y(x)+C 0 Z(x) V (x) = V 1 (x)+ P 0 Z(x) C 0 W(x) (5.4) avec y 1, y 1, M 1 et V 1 es soutions obtenues pour a poutre infinie soumise au chargement q(x). Géométrie et chargement Soutions P 0 = P[Y(c) Z(c)] C 0 = P [Y(c) Z(c)] Y O X c P X Cas particuier c = 0: y = P kb W(x) y = P kb Z(x) y (0) = P kb P y(0) = kb M = P X (x) M(0) = 0 V = PY(x) V(0) = P

124 5.5 Poutre sur appui éastique continu 115 Géométrie et chargement Soutions P 0 = C [ Z(c)+W(c) ] C 0 = C [ Z(c)+W(c) ] Y O X c C X Cas particuier c = 0: y = 4C3 kb Z(x) y = C kb Y(x) M = CW(x) y (0) = 4C3 kb C y(0) = kb M(0) = C V = CX (x) V(0) = 0 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Y O X c q a a) Poutre semi-infinie articuée à origine X P 0 = q [ X (a + c) X(c) Y(a + c)+y(c) ] C 0 = q [ X (a + c) X (c) Y(a + c)+y(c) ] Cas particuier a = : P 0 = q [ ] Y(c) X(c) C 0 = q [ ] Y(c) X (c) Cas particuier c = 0: y (x) = 0 y(x) = q kb M = 0 V = 0 Pour obtenir es déformations et es soicitations dans une poutre semiinfinie articuée en son origine (voir figure 5.8), on utiise es résutats de a poutre semi-infinie. La réaction verticae sous articuation s écrit : R = kby 1(0) (5.43)

125 116 5 Systèmes hyperstatiques avec y 1 (0) e dépacement vertica du point O de a poutre semi-infinie non articuée sous effet du chargement extérieur q(x). Y q(x) O X X Figure 5.8 On obtient aors pour a poutre semi-infinie articuée en son origine : y (x) = y 1(x)+ R kb W(x) y(x) = y 1 (x) R kb Z(x) M(x) = M 1 (x)+ R X (x) (5.44) V (x) = V 1 (x)+ry(x) avec y 1, y 1, M 1 et V 1 es soutions obtenues pour a poutre semi-infinie soumise au même chargement q(x) Formuaire de a poutre de ongueur finie Pour étudier une poutre AB de ongueur finie soumise à un chargement extérieur F ext, i suffit de superposer es efforts obtenus dans une poutre infinie de même inertie, résutant des deux cas suivants : poutre infinie soumise à F ext. Détermination de V A, M A et V B, M B respectivement dans es sections A et B. poutre infinie soumise en A à a force et au moment ponctues P A et C A ainsi qu à P B et C B en B. Pour obtenir un système équivaent à a poutre finie, i faut écrire que es efforts tranchants et es moments féchissants doivent être nus en A et

126 5.5 Poutre sur appui éastique continu 117 B. On obtient un système de 4 équations à 4 inconnues P A, C A, P B, C B à résoudre : P A + P B Z() C A + C B W() V A = 0 P A Z()+P B C A W()+C B +V B = 0 P A + P B Y() C A C B Z()+4M A = 0 P A Y()+P B +C A Z()+C B +4M B = 0 (5.45) On obtient aors pour a poutre finie de ongueur : Dunod La photocopie non autorisée est un déit y (x) = y 1(x)+ P A kb X (x)+c A 3 kb Y(x) P B kb X ( x)+c B 3 Y( x) kb y(x) = y 1 (x)+ P A kb W(x)+C A kb X (x)+ P B kb W( x) C B X ( x) kb M(x) = M 1 (x)+ P A 4 Y(x)+C A Z(x)+ P B 4 Y( x) C B Z( x) V (x) = V 1 (x)+ P A Z(x) C A W(x) P B Z( x) C B W( x) (5.46) avec y 1, y 1, M 1 et V 1 es soutions obtenues pour a poutre infinie soumise au même chargement extérieur F ext avec abscisse x mesurée à partir de A. a) Cas particuier d un chargement symétrique par rapport au miieu de a poutre AB La symétrie entraîne V B = V A, M B = M A, P B = P A et C B = C A.Le système précédent de 4 équations à 4 inconnues devient un système de deux équations à deux inconnues P A et C A : P A [1 + Z()] C A [1 + W()] V A = 0 P A [1 + Y()] C A [1 Z()] + 4M A = 0 (5.47)

127 118 5 Systèmes hyperstatiques et y (x) = y 1(x)+ P A kb [X (x) X( x)] + C A 3 kb [Y(x) Y( x)] y(x) = y 1 (x)+ P A kb [W(x)+W( x)] + C A [X (x)+x ( x)] kb M(x) = M 1 (x)+ P A 4 [Y(x)+Y( x)] + C A [Z(x) Z( x)] V (x) = V 1 (x)+ P A [Z(x) Z( x)] C A [W(x) W( x)] (5.48) Remarque : Lorsque a ongueur de a poutre est tee que < e,in yapas ieu de tenir compte de a déformation des appuis. La poutre peut aors être cacuée comme si ee était infiniment rigide. Lorsque a ongueur de a poutre est tee que > 5, on peut considérer es coupes (P A, C A )et(p B, C B ) indépendants un de autre. Chacun peut aors être déterminé en supposant a poutre semi-infinie. 5.6 PORTIQUE Pour a suite, on définit e paramètre suivant : k = I 1 h I

128 5.6 Portique Portique à un seu montant et à deux extrémités articuées B I C h I 1 A Géométrie et Chargement Diagramme des moments Moments B a P b C M(s) Pab/(1 + b/) M B = (1 + k) A M(s) M P = (Pa + M B ) b Dunod La photocopie non autorisée est un déit B A q C M(s) M(s) M B = q 8(1 + k) 5.6. Portique à un seu montant et à deux extrémités encastrées h B I 1 A I C

129 10 5 Systèmes hyperstatiques Géométrie et Chargement Diagramme des moments Moments B A a P b C M(s) M(s) M A = M B M B = Pab b/ 1+k M C = Pab ( b/)k +(1 b/) (1 + k) M P = Pab b + M B + ( 1 b ) M C B A q C M(s) M(s) M A = M B M B = q 1(1 + k) M C = q (3k +) 4(1 + k) Portique à un seu montant et à une extrémité encastrée et autre articuée B I C h I 1 A

130 5.6 Portique 11 Géométrie et Chargement Diagramme des moments Moments B A a P b C M(s) M(s) M A = Pab h 3kb/h +(1+b/h) 4+3k M B = Pab h 3k(1 b/h) 4+3k M P = Pab h + b h M A ( + 1 b ) M B h P B A a b C M(s) M(s) M A = M B M B = q 1(1 + k) M C = q (3k +) 4(1 + k) Dunod La photocopie non autorisée est un déit B A q B A q C C M(s) M(s) M(s) M(s) M A = M B M B = q (4 + 3k) M A = qh ( + k) 4(4 + 3k) M B = qh k 4(4 + 3k)

131 1 5 Systèmes hyperstatiques Portique à deux montants articués B I C h I 1 I 1 A D Géométrie et Chargement Diagramme des moments Moments B A a P b C D M(s) M(s) M(s) M B = M C = Pab 3 (3 + k) M P = Pab + M B B q C M(s) M(s) M B = M C = q 4(3 + k) A D M(s) M max = q 8 + M B P B C M(s) M(s) M B = Ph A D M(s) M C = Ph

132 5.6 Portique 13 Géométrie et Chargement Diagramme des moments Moments P A B a b C D M(s) M(s) M(s) M B = Pa [ k( b/h)b/h 3+k ] +1 M C = Pa [ ] k( b/h)b/h 1 3+k ( M P = 1 b ) (Pb ) + MB h B C M(s) M(s) M B = qh 4 ( k ) 6+4k +1 q A D M(s) M C = qh 4 ( k ) 6+4k 1 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Portique à deux montants encastrés h B I C I 1 I 1 A D

133 14 5 Systèmes hyperstatiques Géométrie et Chargement Diagramme des moments Moments B A a P b C D M(s) M(s) M(s) M A = Pab ( 1 ( + k) b/ 1 ) (1 + 6k) M B = Pab ( 1 +k + b/ 1 ) (1 + 6k) M C = Pab ( 1 +k b/ 1 ) (1 + 6k) M P = Pab ( 1 ( + k) + b/ 1 ) (1 + 6k) P B C M(s) M(s) M A = Ph 1+3k 1+6k M B = Ph 3k 1+6k A D M(s) M C = M B M D = M A P A B a b C D M(s) M(s) M(s) a 1 = Pab 1+b/h + kb/h h ( + k) a = Pab (1 b/h)k h ( + k) 3Pa(1 b/h)k a 3 = (1 + 6k) M A = a 1 Pa + a 3 M B = a + a 3 M C = a a 3 M D = a 1 + Pa a 3

134 5.7 Arcs hyperstatiques 15 Géométrie et Chargement Diagramme des moments Moments B q C M(s) M(s) M A = M D = q 1( + k) A D M(s) M B = M C = q 6( + k) q B A C D M(s) M(s) M(s) M A = qh [ 4 3+k 6( + k) 1+4k ] 1+6k M B = qh [ 4 k 6( + k) + k ] 1+6k M C = qh [ 4 k 6( + k) k ] 1+6k Dunod La photocopie non autorisée est un déit 5.7 ARCS HYPERSTATIQUES M D = M A Arc circuaire à deux articuations sans tirant Soit arc circuaire hyperstatique de a figure 5.9. La géométrie de arc est un cerce de centre O et de rayon R. Nous avons égaement es données suivantes : E : modue d éasticité du matériau de arc, I : moment d inertie d une section d arc (considéré comme constant), S : aire d une section d arc (considérée comme constante), G : modue de cisaiement du matériau de arc.

135 16 5 Systèmes hyperstatiques Y M(x,y) ϕ A R α ϕ α R X B O Figure 5.9 Arc circuaire bi-articué Géométrie et Chargement Efforts et moment de fexion Y = SR 4a a 3sina+4a cos a Y q X A = X B = qr (9 4a )sina 10a cos a 8a a 3sina +4a cos Y a A X B N(w) = qrw sin w + X A cos w M(w) = qr (a sin a w sin w +cosa cos w) X A R(cos w cos a) V(w) = qrw cos w + X A sin w Y X A = X B = qra q q N(w) = qr(sin w + w cos w a cot a sin w) A X B M(w) = qr (a cot a sin w w cos w) V(w) = qr(a cot a cos w + w sin w cos w)

136 5.7 Arcs hyperstatiques Arc paraboique à deux articuations sans tirant Soit arc paraboique hyperstatique de a figure Nous avons es données suivantes : E : modue d éasticité du matériau de arc I : moment d inertie d une section d arc (considéré comme constant) S : aire d une section d arc (considérée comme constante) G : modue de cisaiement du matériau de arc Les équations de a paraboe sont es suivantes : y = 4h L tan w = 4h L x(l x) ( 1 x L ) (5.49) tan u = 4h L Dunod La photocopie non autorisée est un déit ϕ M(x,y) Y θ X A B L Figure 5.30 Arc paraboique bi-articué h

137 18 5 Systèmes hyperstatiques Géométrie et Chargement Efforts et moment de fexion Y A ql q X A = X B = 8h(1 + 15I/8Sh ) Y A = Y B = ql cos u X A sin u ( ) L N(w) = q x sin w + X A cos w X B M(w) = qx(l x) X A y Y A q C X B ql X A = X B = 16h(1 + 15I/8Sh ) ( ) 3L Y A = q 8 x cos u X A sin u Y B = ql 8 cos u X A sin u ( ) 3L N AC (w) = q 8 x sin w + X A cos w N CB (w) = ql 8 sin w + X A cos w M AC (w) = qx ( ) 3L 4 x X A y M CB (w) = qx 8 (L x) X Ay

138 Chapitre 6 Paques et coques 6.1 PLAQUES Une paque est un éément prismatique d épaisseur h petite devant es deux autres directions de espace. Le pan moyen sera e pan (O, x, y), e dépacement transverse étant a direction z. On supposera dans a suite hypothèse des petits dépacements vérifiée. z x y h Figure 6.1

139 130 6 Paques et coques Formues généraes On appee v(x, y) a fèche de a paque (suivant axe z). Les soutions sont données pour des paques éastiques de Kirchhoff-Love, vaabes pour es paques minces. La fèche vérifie équation : ( 4 ) v D x v x y + 4 v y 4 = q(x, y) (6.1) avec q(x, y) a densité de charge et D a raideur en fexion de a paque : D = Eh 3 1 ( 1 n ) où E et n sont es paramètres éastiques du matériau, respectivement e modue d Young et e coefficient de Poisson. Contraintes généraisées Moments de fexion : ( ) v M x = D x + n v y ( ) v M y = D y + n v x Efforts tranchants : M xy = M yx = D(1 n) v x y V x = M x x + M xy y V y = M y y + M xy x Contraintes Contraintes normaes : s x (z) = 1M x e 3 z s y (z) = 1M y e 3 z

140 6.1 Paques 131 Contraintes de cisaiement : t xy = t yx = 1M xy e 3 z t xz = t zx = 6V x e 3 t yz = t zy = 6V y e 3 ( e ( e 4 v 4 v ) ) 6.1. Méthode de résoution pour es paques rectanguaires On considère une paque rectanguaire de dimension a b, aveca b. La méthode de résoution se base sur a soution anaytique associée au chargement réparti de a forme : Dunod La photocopie non autorisée est un déit ( q(x, y) = q 0 sin m px a ) ( sin n py b La soution pour tout type de charge peut aors être obtenue en décomposant cee-ci sous a somme : q(x, y) = m=1 n=1 ( a mn sin m px a ) ( sin ) n py b La fèche v(x, y) soution de équation (6.1) s écrit aors : v(x, y) = m=1 n=1 ( A mn sin m px a ) ( sin n py b Les coefficients A mn sont déterminés en fonction des conditions aux imites. ) )

141 13 6 Paques et coques Paques rectanguaires a) Simpement appuyées sur es quatre côtés Charge ponctuee au centre de a paque y x O b a F a Figure 6. Fèche maxi (point O) Moment maxi (point O) a Fb Eh 3 b F e a/b a 0,16 5 0, ,16 1 0, , , ,184 9 b 0,149 0,10 1 0,61 6 0,306 0, , ,40 5 Charge uniformément répartie y x O b q a a Figure 6.3 Fèche maxi (point O) Moment maxi (point O) a qb4 Eh 3 bqb a/b a 0, , , , , , ,14 b 0, ,06 6 0, ,086 0, , ,15 0

142 6.1 Paques 133 b) Encastrées sur es quatre côtés Charge ponctuee au centre de a paque y x B O A b a F a Figure 6.4 Fèche maxi (point O) Moment maxi (point B) a Fb Eh 3 b F e a/b a 0, , , , , , ,079 b 0,15 7 0, , , , , ,168 0 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Charge uniformément répartie y x a B O A b Figure 6.5 Fèche maxi (point O) Moment maxi (point B) a qb4 Eh 3 bqb a/b a 0, , ,0 6 0,05 1 0,06 7 0,07 7 0,08 4 b 0, , ,07 6 0, ,081 0,08 9 0,083 3 q a

143 134 6 Paques et coques Paques circuaires a) Bord simpement appuyé Charge ponctuee P au centre de a paque y x a F a Figure 6.6 Contraintes : Fèches : s rr (r) = 3P pe (1 + n)na r s uu (r) = 3P ((1 pe n)+(1+n)n a ) r v(r) = P ( 3+n ( a r ) +r n r ) 16eD 1+n a v max = 3Pa (3 + n)(1 n) 4Ee 4 (1 + n) Charge uniformément répartie q sur a paque y x q a a Figure 6.7

144 6.1 Paques 135 Contraintes : Fèches : s rr (r) = 3q 8e (3 + n) ( a r ) s uu (r) = 3q 8e ( (3 + n)a (1 + 3n)r ) s max = s rr (0) = s uu (0) = 3q (3 + n)a 8e v(r) = q ( a r ) ( ) 5+n 64D 1+n a r v max = q ( ) 5+n 64D a 1+n a Charge sur a circonférence d un cerce concentrique de rayon c Dunod La photocopie non autorisée est un déit Contraintes : y x a si r < c, s rr (r) = s uu (r) = 3P 4pe si c r a, s rr (r) = 3P 4pe s uu (r) = 3P ( 4pe (1 n) Figure 6.8 ( (1 n) ( ( c (1 n) ( c r c a P c a (1 c r c a ) (1 + n)n c ) a ) (1 + n)n r ) a a ) (1 + n)n r a )

145 136 6 Paques et coques Fèches : si r < c, v(r) = P 8pD v(r) = P 8pD ( (a c ) (3 + n)a (1 n)r (1 + n)a + ( r + c ) n c ) a si c r a, ( (a r ) ( 1+ 1 n a c (1 + n) a v max = P 8pD ( (a c ) (3 + n) (1 + n) + c n c a ) + ( r + c ) n r ) a ) Charge uniformément répartie à intérieur d un cerce de rayon c y x a q c a Figure 6.9 Contraintes : si r < c, s rr (r) = 3qc 8e s uu (r) = 3qc 8e si c r a, s uu (r) = 3qc 8e (4 (1 n) c (3 + n)r a c 4(1 + n)n c ) a ) (4 (1 n) c (1 + 3n)r a c 4(1 + n)n c a ( ( ) s rr (r) = 3qc a c 8e (1 n) r 1 a 4(1 + n)n e ) a ( ( ( ) ) a c (1 n) 4 r +1 a 4(1 + n)n e ) a

146 6.1 Paques 137 Fèches : si r < c, ( v(r) = qc r 4 16D 4c 4a r (1 n)c r (1 + n)a + 4(3 + n)a (7 + 3n)c 4(1 + n) + ( c +r ) n c ) a v(r) = qc 16D b) Bord encastré ((1 r a si c r a, )( 3+n 1+n a 1 n ) (1 + n) c + ( c +r ) n r ) a Charge ponctuee P au centre de a paque Dunod La photocopie non autorisée est un déit Contraintes : Fèches : y x a Figure 6.10 a s rr (r) = 3P ( pe (1 + n)n a ) r 1 s uu (r) = 3P ( pe (1 + n)n a ) r n v(r) = P ( a r +r n r ) 16eD a v max = 3Pa (1 n) 4Ee 4 F

147 138 6 Paques et coques Charge uniformément répartie q sur a paque y x q a a Figure 6.11 Contraintes : Fèches : s rr (r) = 3q 8e ( (1 + n)a (3 + n)r ) s uu (r) = 3q 8e ( (1 + n)a (1 + 3n)r ) s max = s rr (0) = s uu (0) = 3q (1 + n)a 8e v(r) = q ( a r ) 64D v max = qa4 64D Charge sur a circonférence d un cerce concentrique de rayon c y x a P c a Figure 6.1

148 6.1 Paques 139 Contraintes : si r < c, s rr (r) = s uu (r) = 3P ( c (1 + n) 4pe a n c ) a 1 si c r a, s rr (r) = 3P 4pe Fèches : s uu (r) = ( ((1 n) c c r +(1+n) 3P ( ( (1 4pe n) c c n +(1+n) r si r < c, v(r) = P 8pD v(r) = P ( a + 1 8pD ( 1 ( a c ) ( 1+ r si c r a, ( a + c ) ( 1 r a a a n r a a n r a )) ) + ( c + r ) n c ) a ) + ( c + r ) n r ) a )) Dunod La photocopie non autorisée est un déit Charge uniformément répartie à intérieur d un cerce de rayon c Contraintes : si r < c, y x s rr (r) = 3qc 8e a Figure 6.13 ( (3 + n) r ( c c +(1+n) a 4n c )) a q c a

149 140 6 Paques et coques Fèches : si r < c, s uu (r) = 3qc 8e si c r a, si c r a, s uu (r) = 3qc 8e ( (1 + 3n) r ( c c +(1+n) a 4n c )) a s rr (r) = ( 3qc c 8e a 4 4(1 + n)n r ) a (n c a 4n 4(1 + n)n r ) a ( v(r) = qc r 4 16D 4c r c a v(r) = qc 16D Paques annuaires a) Bord extérieur simpement appuyé + a 3 4 b + ( c +r ) n b a (a r r c a + 1 b + ( c +r ) n r ) a ) Charge uniformément répartie q sur a paque y x a Figure 6.14 q c a Contraintes : s rr (r) = 3qa 8e ( ( ) c (1 n) a + B a r (3 + n) r c 4(1 + n) ( A n r ) c a a )

150 6.1 Paques 141 s uu (r) = 3qa 8e Fèche : v(r) = Constantes : ( ( ) c (1 n) a + B a r +(1+3n) r c ( +4(1 + n) A n r ) c a a q ( r 4 c 4 8(A +1) ( a r ) c +4 ( Ba 4 b r ) n r ) 64D a A = c a c n a c 1 4(1 + n) ) ((1 + 3n)+(3+n) a B = 1 ( c 4(1 + n) 1 n a c n c ) a a +(3+n) c c ) Charge P sur e bord intérieur Dunod La photocopie non autorisée est un déit y x a Figure 6.15 Contraintes : s rr (r) = 3P ( ( (1 + n) A n r ) )) (1 n) (1 B a 4pD a r s uu (r) = 3P ( ( (1 + n) A n r ) )) +(1 n) (1 B a 4pD a r P c a

151 14 6 Paques et coques Fèche : Constantes : v(r) = P ( (1 + A) ( a r ) + ( Ba + r ) n r ) 8pD a A = 1 ( 1 n 1+n B = 1 b) Bord extérieur encastré ( 1+n 1 n ) ( c + a + c )( c a + c ) n a c ) n a c Charge uniformément répartie q sur a paque y x a Figure 6.16 q c a Contraintes : s rr (r) = 3qa 8e s uu (r) = 3qa 8e ( ( ) c (1 n) a + B a r (3 + n) r c 4(1 + n) ( A n r ) c a a ( ( ) c (1 n) a + B a r +(1+3n) r c ( +4(1 + n) A n r ) ) c a a )

152 6.1 Paques 143 Fèche : v(r) = Constantes : q ( r 4 c 4 8(A +1) ( a r ) c +4 ( Ba 4 b r ) n r ) 64D a a A = 1 4 (1 n)a +(1+n)c c B = (1 n)a +(1+n)c ( (1 n) ) (+ a c ( + 1+3n 4(1 + n)n a ) ) a a c ) ) +(1 n) c ( (1 n) (1+4 c a n c a a Charge P sur e bord intérieur Dunod La photocopie non autorisée est un déit y x a Figure 6.17 Contraintes : s rr (r) = 3P ( ( (1 + n) A n r ) )) (1 n) (1 B a 4pD a r s uu (r) = 3P ( ( (1 + n) A n r ) )) +(1 n) (1 B a 4pD a r Fèche : v(r) = P b a P ( (1 + A) ( a r ) + ( Ba + r ) n r ) 8pD a

153 144 6 Paques et coques Constantes : a A = 1 (1 n)a +(1+n)c B = ( (1 n) (1 c a b (1+(1+n)n c ) (1 n)a +(1+n)c a c) Bord intérieur simpement appuyé ) (1 + n) c a n c ) a Charge uniformément répartie q sur a paque y x a Figure 6.18 q b a Contraintes : ( ) s rr (r) = 3qa 8e (1 n) ( B a r (3 + n) r (A c 4(1 + n) n r ) ) a ( s uu (r) = 3qa 8e (1 n) ( B )+(1+3n) a r (A r c +4(1+n) n r ) ) a Fèche : v(r) = q ( (r c ) ( ( r + c +8a 1+A n r )) 64D a +4 ( Ba 4 +b a ) n r ) a Constantes : A = c a c n a c 1 4(1 + n) ) ((1 + 3n)+(3+n) c a

154 6.1 Paques 145 B = 1 ( c 4(1 + n) 1+n a c n c a ) c +(3+n) a d) Bord intérieur encastré Charge uniformément répartie q sur a paque y x a Figure 6.19 q b a Dunod La photocopie non autorisée est un déit Contraintes : ( ) s rr (r) = 3qa 8e (1 n) ( B a r (3 + n) r (A c 4(1 + n) n r ) ) a ( s uu (r) = 3qa 8e (1 n) ( B )+(1+3n) a r (A r c +4(1+n) n r ) ) a Fèche : v(r) = q ( (r c ) ( ( r + c +8a 1+A n r )) 64D a +4 ( Ba 4 +b a ) n r ) a Constantes : a A = 1 4 (1 + n)a +(1 n)c B = c (1 + n)a +(1 n)c ( 1+3n +(1 n) (+ c ( 1 n +(1+n) a 4n c a ( c a 4n c )) a ) ) c a

155 146 6 Paques et coques 6. COQUES 6..1 Cyindriques verticaux s z : contrainte suivant axe du cyindre s u : contrainte perpendicuaire à axe du cyindre d : déformation radiae a) Pression interne uniforme Extrémités fermées e z e r p e r Figure 6.0 s z = pr e s u = pr e d = pr ( n) Ee Extrémités ouvertes e z e r p e r Figure 6.1 s z = 0 s u = pr e d = pr Ee

156 6. Coques 147 b) Pression interne inéaire p(z) = p 0 z L e z e r L p e r Figure 6. s z = 0 s u = p 0 rz el d = p 0 r z EeL Dunod La photocopie non autorisée est un déit c) Pression externe due au vent e z e r s z = p d r cos w r p e Figure 6.3 w p s u = pr sin w

157 148 6 Paques et coques 6.. Cyindres horizontaux rempis par un iquide r : densité du iquide g : accéération de a pesanteur p 0 = rgr : pression maximae a) Extrémités simpement appuyées e e r e z r u L Figure 6.4 s z = r g z(l z)cosu e s u = rg e ( p0 r r gr cos u ) b) Extrémités encastrées e e r e z r u L Figure 6.5 s z = r g e z(l z)cosu + np 0a e + ( e 1 nr ) r g e cos u s u = 1 ( p0 r r gr cos u ) e

158 6. Coques Coupoe sphérique fermée e : épaisseur de a coupoe r : rayon a) Charge p uniforme (poids propre) p e z e r w r u e r Figure 6.6 s w = pr e(1 + cos w) s u = pr e ( ) 1 cos w 1+cosw Dunod La photocopie non autorisée est un déit b) Charge p uniforme par unité de surface projetée (neige) e z e r s w = pr e w r p Figure 6.7 u e r s u = pr e cos(w)

159 150 6 Paques et coques c) Pression p extérieure p e z e r w r u e r Figure 6.8 s w = pr e s u = pr e d) Charge P au sommet P e z e r w r u e r Figure 6.9 P s w = epr sin w P s u = epr sin w

160 6. Coques Coupoe sphérique ouverte e : épaisseur de a coupoe r : rayon w 0 : ange d ouverture de a coupoe a) Charge p uniforme (poids propre) p e z e r w 0 w r u e r Figure 6.30 s w = pr(cos w 0 cos w) e sin w) s u = pr(cos w 0 cos w) e sin w) cos w Dunod La photocopie non autorisée est un déit b) Charge p uniforme par unité de surface projetée (neige) e z e r w 0 ( ) s w = pr 1 sin w 0 e sin w w r p Figure 6.31 ( ) s u = pr 1 sin w 0 e sin w cos w u e r

161 15 6 Paques et coques c) Pression p extérieure p e z e r w 0 w r u e r Figure 6.3 ( ) s w = pr 1 sin w 0 e sin w ( ) s u = pr 1+ sin w 0 e sin w d) Charge P en bordure du sommet P e z e r w 0 w r u e r Figure 6.33 s w = P e sin w 0 sin w s u = P e sin w 0 sin w

162 6. Coques Coque sphérique e : épaisseur de a coque r : rayon a) Pression interne p e z e r p r w u e r Figure 6.34 s r = pr e s u = pr e d = pr (1 n) Ee Dunod La photocopie non autorisée est un déit b) Pression interne p 1 et pression externe p e z e r p p 1 r s r = r 3 p + r1 3 p 1 ( r1 3 r ) 3 p p 1 r1 3 r 3 w Figure 6.35 u e r s u = r 3 p + r1 3 p 1 ( r1 3 r ) 3 + p p 1 r1 3 r 3

163 Chapitre 7 Formuation des ééments finis 7.1 INTRODUCTION La méthode des ééments finis permet de résoudre un probème dont a soution anaytique ne peut éventueement pas être déterminée. Ee fournit une soution approchée de a soution exacte. Le miieu étudié est discrétisé en pusieurs ééments reiés entre eux par des nœuds. La géométrie d un éément est caractérisée par un nombre fini de nœuds sur son périmètre. La résoution d un probème par a méthode des ééments finis consiste à trouver es dépacements (par exempe es transations et es rotations) de ces nœuds. Le champ de dépacement en tout point est déterminé par interpoation entre es vaeurs déterminées aux nœuds. L interpoation est basée sur utiisation de fonctions de formes. 7. PRINCIPE DES ÉLÉMENTS FINIS Pour un probème de mécanique en éasticité, e principe des travaux virtues s écrit en un point M d un domaine V chargé par des efforts voumiques f

164 7. Principe des ééments finis 155 et des efforts F sur une partie du bord V. f (M). u(m)dv + F(M). u (M)dS V V V s : dv = 0 pour e champ de dépacement u. La structure étudiée est discrétisée en un ensembe d ééments : e maiage. Chaque éément possède n nœuds. La résoution du probème se base sur interpoation du champ de dépacement de chaque éément suivant a forme : u 1 v 1 u(m) w 11 w 1 w 13 w 1(3n) w 1 u(m) = v(m) = w 1 w w 3 w (3n).. = [w][u] w(m) w 31 w 3 w 33 w 3(3n) u n v n w n Dunod La photocopie non autorisée est un déit Les fonctions w ij sont es fonctions de forme. Le tenseur de déformation s obtient par es équations de a cinématique pour s écrire sous a forme : [ ( u(m)) ] = [d][u] (7.1) où [d] désigne a matrice des dérivées des fonctions de forme. Enfin, e tenseur des contraintes s obtient grâce à a oi de comportement sous a forme : [s] = [E][d][u] (7.) Pour un matériau éastique isotrope de modue d Young E et de coefficient de Poisson n, 1 n n n n 1 n n E [E] = n n 1 n (1 + n)(1 n) (1 n)/ (1 n)/ (1 n)/

165 156 7 Formuation des ééments finis Finaement, e principe des travaux virtues s écrit : ( V [ fint ] [w] dv + V ) [ ] F ext [w] ds [u] ( ) [u] t [d] t [E][d] dv [u] = 0 En considérant que ce principe doit être vérifié pour tout [u] et en introduisant a matrice de raideur : K = [d] t [E][d] dv (7.3) et e vecteur des efforts : [ ] F = fint [w] dv + V e principe des travaux virtues se réduit au système : V KU = F V V [ ] F ext [w] ds (7.4) Le probème est résou par inversion du système. A partir du champ de dépacement, e champ de déformation est cacué avec a reation (7.1), puis e champ de contrainte est cacué avec a reation (7.). 7.3 ÉTAPES DE LA RÉSOLUTION D UN PROBLÈME 1. Définition de a géométrie de a structure étudiée. Maiage de a structure (discrétisation en ééments) - Génération de a tabe de connectivité entre es ééments 3. Définition du modèe associé à a structure 4. Choix des paramètres du modèe (deux pour un matériau éastique isotrope)

166 7.3 Étapes de a résoution d un probème Construction de a matrice de raideur gobae par assembage des matrices de raideur ocaes des ééments en fonction de a tabe de connectivité 6. Construction du vecteur effort goba par assembage des vecteurs d effort ocaux suivant a tabe de connectivité 7. Prise en compte des conditions aux imites 8. Prise en compte du chargement 9. Résoution du système pour obtenir es dépacements nodaux des ééments 10. Traitement du résutat (cacu des déformations, cacu des contraintes) Dunod La photocopie non autorisée est un déit Assembage de a matrice de raideur et du vecteur efforts gobaux Pour éément 1-, es grandeurs ocaes s écrivent : K = [ ] [ ] K11 K 1 F1 et F = K 1 K F Dans e système goba, et pour es nœuds i et j dans a tabe de connectivité :... K ii K ij K = K K ij K jj.... et F =. F i. F j.

167 158 7 Formuation des ééments finis 7.4 APPLICATION À L ÉTUDE D UNE POUTRE SOLLICITÉE EN FLEXION Description du probème Nous iustrons a méthode des ééments finis à a résoution d un probème de résistance des matériaux cassique, une poutre encastrée soicitée en fexion. y x F Section h b Le matériau est un acier de modue d éasticité E = 00 GPa. La section de a poutre est rectanguaire, de argeur b = cmetdehauteurh = 4cm. Sa ongueur est = 1 m. Le chargement est un effort ponctue F = 1kN, appiqué à extrémité droite de a poutre. Pour ce probème de fexion simpe, nous utiisons une discrétisation ééments finis de type poutre d Euer-Bernoui. Nous comparerons a déformée de a soution cacuée avec cee de a soution exacte qui s écrit : v(x) = F EI ( x x 3 ) Construction de a matrice de raideur ocae L éément utiisé pour a résoution du probème est un éément poutre à deux nœuds, comportant deux degrés de iberté par nœud, un dépacement vertica et une rotation.

168 7.4 Appication à étude d une poutre soicitée en fexion 159 a) Fonctions de forme Pour un probème de poutre en fexion, dont a déformée est un poynôme de degré trois, on propose a fonction d interpoation suivante : v(x) = a 0 + a 1 x + a x + a 3 x 3 Les constantes a 0, a 1, a et a 3 sont obtenues en fonction de a vaeur des degrés de iberté aux nœuds 1 et, soient v 1, u 1 et v, u : v(0) = v 1 v (0) = u 1 v() = v v () = u Ces quatre conditions permettent d écrire e système de quatre équations à quatre inconnues, permettant de cacuer es constantes a 0, a 1, a et a 3 : a 0 = v 1 a 1 = u 1 a 0 + a 1 + a + a 3 3 = v a 1 +a +3a 3 = u Dunod La photocopie non autorisée est un déit soit : a = 3 v v 1 u 1 + u a 0 = v 1 a 1 = u 1 La fonction d interpoation s écrit finaement : v(x) = ( v 1 + u 1 x + 3 v v 1 u ) 1 + u x + = (1 3x + x 3 ) 3 v 1 + (x x + x 3 ( 3x + x 3 3 ) v + ( x + x 3 a 3 = v 1 v 3 + u 1 + u ) u ( v 1 v ) u u 1 + u ) x 3

169 160 7 Formuation des ééments finis Sous forme matriciee, nous voyons apparaître es fonctions de formes w : [ ] v(x) = u(x) 1 3x + x 3 3 x x 6x + 6x 3 1 4x + 3x 3 x + x 3 6x 6x 3 x + 3x + x 3 3x x 3 v 1 u 1 v u =[w][u] Le cacu de a déformation repose sur hypothèse d Euer-Bernoui : [ ] = 11 = v(x) x y et écriture sous forme matriciee donne : [ [ ] = y 6 + 1x x 6 1x 3 La reation de comportement est réduite à : [s] = [E][ ] = E [ ] + 6x ] v 1 u 1 v u b) Construction de a matrice de raideur ocae Les termes de a matrice de raideur ocae se cacuent à partir de expression (7.3) : K = [d] t [E][d] dv = V K 11 K 1 K 13 K 14 K K 3 K 4 (Sym) K 33 K 34 K 44

170 7.4 Appication à étude d une poutre soicitée en fexion 161 Les différents termes étant : K 11 = E = E = EI b/ h/ b/ h/ b/ h/ b/ h/ 0 y dydz y ( 6 + 1x [ 36x 4 7x x ] ( ) dxdydz 4 144x x ) 6 = 1EI 3 dx Dunod La photocopie non autorisée est un déit K 1 = E = E = EI b/ h/ b/ h/ b/ h/ b/ h/ K 13 = K 11 = 1EI 3 K 14 = E = E = EI 0 y dydz y ( 6 + 1x [ 4x 3 4x 4 + 4x 3 5 b/ h/ b/ h/ b/ h/ b/ h/ 0 y dydz 0 ] ( )( 4 + 6x 3 84x 4 + 7x ) 5 = 6EI y ( 6 + 1x [ 1x 3 30x 4 + 4x ] ( )( + 6x 3 60x 4 + 7x ) 5 = 6EI ) dxdydz dx ) dxdydz dx

171 16 7 Formuation des ééments finis K = E = E = EI b/ h/ b/ h/ b/ h/ b/ h/ 0 y dydz y ( 4 + 6x [ 16x 4x 3 + 1x ] ( 16 0 ) dxdydz 48x x ) 4 = 4EI dx K 3 = K 1 = 6EI K 4 = E = E = EI b/ h/ b/ h/ b/ h/ b/ h/ 0 y dydz y ( 4 + 6x [ 8x 18x 3 + 1x 3 4 K 33 = K 11 = 1EI 3 K 34 = K 14 = 6EI 0 ] 0 )( + 6x ) dxdydz ) ( 8 36x x 4 = EI dx K 44 = E = E = EI b/ h/ b/ h/ b/ h/ b/ h/ 0 y dydz y ( + 6x [ 4x 1x 3 + 1x ] 0 ) dxdydz ( 4 4x x 4 = 4EI ) dx

172 7.4 Appication à étude d une poutre soicitée en fexion 163 La matrice de raideur pour éément poutre est : 1 EI ij 3 6 EI ij ij 1 EI ij ij ij 3 6 EI ij K ij = 4 EI ij 6 EI ij ij ij ij 1 EI ij 3 6 EI ij ij 1 EI ij ij ij 3 6 EI ij ij EI ij 6 EI ij ij ij 6 EI ij ij EI ij ij 6 EI ij ij 4 EI ij ij Impantation et résoution dans Matab Le programme permettant a résoution du probème est e suivant : % Parametre materiau E = 00.e9 ; % [Pa] Dunod La photocopie non autorisée est un déit % Longueur de a barre b = 1. ; % [m] % Caracteristique de a section b = 0.0 ; % Largeur [m] h = 0.04 ; % Hauteur [m] A = b*h ; % Section [m^] I = b*h^3/1. ; % Moment quadratique [m^4] ne = 5 ; % nombre d eements ndof = ; % nombre de degres de iberte par noeud ntotdof = ndof*(ne+1) ; % nombre tota de degres de iberte du systeme = b/ne ; % Longueur d un eement

173 164 7 Formuation des ééments finis % Conditions aux imites ddfixe(1) = 1 ; vafixe(1) = 0. ; ddfixe() = ; vafixe() = 0. ; % Decaration de K et F vecforce = zeros(ntotdof,1) ; kgoba = zeros(ntotdof,ntotdof) ; % Chargement vecforce(ntotdof-1) = 1.e3 ; % [N] % Construction de a matrice de raideur gobae for ie=1:ne % Definition de a matrice de raideur ocae koca = [1.*E*I/^3 6.*E*I/^ -1.*E*I/^3 6.*E*I/^; 6.*E*I/^ 4.*E*I/ -6.*E*I/^.*E*I/; -1.*E*I/^3-6.*E*I/^ 1.*E*I/^3-6.*E*I/^; 6.*E*I/^.*E*I/ -6.*E*I/^ 4.*E*I/]; % Assembage de a matrice gobae for idof=1:*ndof for jdof=1:*ndof ig = ndof*(ie-1)+idof ; jg = ndof*(ie-1)+jdof ; kgoba(ig,jg) = kgoba(ig,jg) + koca(idof,jdof) ; end end end % Prise en compte des conditions aux imites for idof=1:ength(ddfixe)

174 7.4 Appication à étude d une poutre soicitée en fexion 165 c = ddfixe(idof); for jdof=1:size(kgoba) kgoba(c,jdof) = 0. ; end kgoba(c,c) = 1. ; vecforce(c) = vafixe(idof) ; end % Inversion du systeme vecdisp = kgoba\vecforce ; % Depacement cacue disp([ Deformee max cacuee :,numstr(vecdisp(ntotdof-1))]) % Depacement theorique disp([ Deformee max theorique :,numstr(vecforce(ntotdof-1)*b^3/(3.*e*i))]) Dunod La photocopie non autorisée est un déit % Construction de a soution approchee abscisse = zeros(ne+1,1) ; deformee = zeros(ne+1,1) ; i = 0 ; for idof=1:ndof:ntotdof i = i+1 ; abscisse(i) = (i-1)* ; deformee(i) = vecdisp(idof) ; end % Construction de a soution exacte npref = 100 ; abscisse_ref = zeros(npref,1); deformee_ref = zeros(npref,1); for idof=1:npref abscisse_ref(idof) = b/(npref-1)*(idof-1);

175 166 7 Formuation des ééments finis deformee_ref(idof) = vecforce(ntotdof-1)*... (b*abscisse_ref(idof)^/-abscisse_ref(idof)^3/6)/ (E*I); end pot(abscisse_ref,deformee_ref,abscisse,deformee) egend( exacte, approchee,) xabe( abscisse (m) ) yabe( deformee (m) ); Comme attendu, a soution ééments finis aux nœuds de chaque éément est exacte : a fonction d interpoation est en effet du degré poynomia de a déformée. La comparaison entre a soution exacte et a soution numérique obtenue avec cinq ééments est représentée ci-dessous exacte approchee deformee (m) abscisse (m) Figure 7.1

176 7.5 Ééments isoparamétriques ÉLÉMENTS ISOPARAMÉTRIQUES Les ééments isoparamétriques reposent sur utiisation d un changement de repère entre deux systèmes de coordonnées. Is permettent écriture unique des fonctions de forme pour un type d éément. Les fonctions de formes s écrivent dans e repère nature (j, h, z), e probème de référence s écrivant dans e repère physique (x, y, z). La transformation géométrique pour passer d un repère à un autre utiise es fonctions de forme de éément. Ainsi, pour un éément à n nœuds, n x = w i (j, h, z)x i y = z = i=1 n w i (j, h, z)y i i=1 n w i (j, h, z)z i i=1 Dunod La photocopie non autorisée est un déit h (0, 1) 3 1 (1, 0) Repère nature j Figure 7. y 1 3 Repère physique x

177 168 7 Formuation des ééments finis 7.6 FONCTIONS DE FORME DES ÉLÉMENTS ISOPARAMÉTRIQUES COURANTS Éément barre à deux nœuds h 1 ( 1, 0) (1, 0) j Figure 7.3 w 1 (j, h) = 1 (1 j) w (j, h) = 1 (1 + j) 7.6. Éément barre à trois nœuds h 1 3 ( 1, 0) (1, 0) j Figure 7.4 w 1 (j, h) = 1 (j j) w (j, h) = (1 j ) w 3 (j, h) = 1 (j + j)

178 7.6 Fonctions de forme des ééments isoparamétriques courants Éément trianguaire à trois nœuds h (0, 1) 3 1 Figure 7.5 (1, 0) j w 1 (j, h) = 1 j h w 3 (j, h) = h w (j, h) = j Éément trianguaire à six nœuds Dunod La photocopie non autorisée est un déit h (0, 1) 3 6 (1/, 1/) (1, 0) j w 1 (j, h) = (1 j h)(1 j h) w (j, h) = j(j 1) w 3 (j, h) = h(h 1) w 4 (j, h) = 4j(1 j h) w 5 (j, h) = 4jh w 6 (j, h) = 4h(1 j h)

179 170 7 Formuation des ééments finis Éément quadranguaire à quatre nœuds 4 h 3 (1, 1) 1 j ( 1, 1) w 1 (j, h) = 1 4 (1 j)(1 h) w (j, h) = 1 (1 + j)(1 h) 4 w 3 (j, h) = 1 4 (1 + j)(1 + h) w (j, h) = 1 (1 j)(1 + h) Éément quadranguaire à huit nœuds 4 8 h (1, 1) j ( 1, 1) 1 5

180 7.6 Fonctions de forme des ééments isoparamétriques courants 171 w 1 (j, h) = 1 4 (1 j)(1 h)( 1 j h) w (j, h) = 1 (1 + j)(1 h)( 1+j h) 4 w 3 (j, h) = 1 4 (1 + j)(1 + h)( 1+j + h) w 4(j, h) = 1 (1 j)(1 + h)( 1 j + h) 4 w 5 (j, h) = 1 (1 j )(1 h) w 6 (j, h) = 1 (1 + j)(1 h ) w 7 (j, h) = 1 (1 j )(1 + h) w 8 (j, h) = 1 (1 j)(1 h ) Éément quadranguaire à neuf nœuds Dunod La photocopie non autorisée est un déit h (1, 1) j 1 5 ( 1, 1) w 1 (j, h) = 1 4 (j j)(h h) w (j, h) = 1 4 (j + j)(h h) w 3 (j, h) = 1 4 (j + j)(h + h) w 4 (j, h) = 1 4 (j j)(h + h) w 5 (j, h) = 1 (1 j )(h h) w 6 (j, h) = 1 (j + j)(1 h ) w 7 (j, h) = 1 (1 j )(h + h) w 8 (j, h) = 1 (j j)(1 h ) w 9 (j, h) = (1 j )(1 h )

181 Chapitre 8 Instabiité des structures Dans ce chapitre sont exposés es principaux résutats concernant e cacu mécanique de structures éancées soumises à des risques d instabiités. Pour de tes ééments, es cassiques équations de a RDM reatives à a mécanique des miieux continus en petites transformations ne s appiquent pus. I faut dorénavant tenir compte de a déformation de a structure pour évauer es efforts internes à cette dernière. 8.1 INSTABILITÉ DE POUTRES Poutre d Euer Soit une poutre bi-articuée de ongueur, de section S et de moment quadratique I. La coonne est chargée par une force P, considérée positive en compression. Nous supposerons que a coonne est parfaitement aignée avec axe de a charge avant que cette dernière ne soit appiquée. La pus petite charge pour aquee instabiité éastique est détectée est dénommée

182 8.1 Instabiité de poutres 173 a charge critique d Euer P E et a pour expression : P E = p EI La déformée correspondante forme une demi sinusoïde, donnée à un facteur ampificateur près q : v(x) = q sin(px)/ en notant i = I /S, e rayon de giration de a section, on peut définir éancement de a poutre par a reation = /I. On peut ainsi obtenir a vaeur de a contrainte critique de fambement : s E = p E A P Dunod La photocopie non autorisée est un déit B Figure 8.1 La charge critique d Euer correspond au pus petit effort possibe permettant de maintenir équiibre sous a déformée v(x). Le fambement d une tee poutre peut être obtenu pour des charges critiques P crn pus éevées correspondant à des harmoniques v n (x) différentes. La charge critique de fambement du mode n ainsi que son aure sont données par : P crn v(x) = n p EI et v n (x) = q n sin(npx)/

183 174 8 Instabiité des structures 8.1. Soutions généraes des poutres comprimées Du fait des conditions imites particuières iées à a résoution du probème de a poutre d Euer au paragraphe précédent, es efforts internes à a structure pouvaient être déterminés sans prise en comptes des efforts de iaison. Dans e cadre e pus générae, ces derniers doivent être pris en compte, et équation différentiee suivante doit être résoue, avec es effets du second ordre dans équiibre d un tronçon de poutre : ( EIv (x) ) + ( Pv (v) ) = 0 La soution générae pour E, I et P constants est donnée par : v(x) = A sin kx + B cos kx + Cx + D A, B, C et D sont des constantes à déterminer en fonction des conditions aux imites de a pièce étudiée. Les types de iaison es pus fréquemment rencontrés sont, pour un appui O : L encastrement : v O = 0etv O = 0 La rotue : v O = 0, M O = 0etu O = 0 L appui simpe : v O = 0etM O = 0 L appui continu de raideur k Libre : V O = 0etM O = 0 L encastrement partie, induisant une raideur en rotation : k Soutions particuières pour des poutres de section constante Nous appeerons 0 a ongueur de fambement, correspondant à a ongueur qu i faudrait appiquer à a soution de a poutre d Euer pour obtenir es mêmes charges critiques de fambement pour tout autre type de conditions imites.

184 8.1 Instabiité de poutres 175 Cas de coonnes supportant une charge axiae en tête : Type de iaisons Schémas Charges critiques Longueur de fambement Appui simpe - Rotue P cr = p EI 0 = Appui simpe - Encastrement P cr = p EI (0.699) 0 = Encastrement - Encastrement P cr = 4p EI 0 = / Dunod La photocopie non autorisée est un déit Encastrement - Libre Encastrement - Encastrement et v 0 0 Encastrement partie - ibre Rotues - Appui continu km= 4 k p EI P cr = p EI P cr = p EI 4 P cr = p EI kp EI 4k + p EI P cr = ( ) m k 4 + m p 4 EI 0 = / 0 = 0 = m + 0 = 1+ p EI 4k k 4 m p 4 EI

185 176 8 Instabiité des structures Cas de coonnes tenues par des encastrements parties, es raideurs en rotation sont caractérisées par des paramètres k A et k B : Pour des noeuds d extrémités non dépaçabes : A P Nous posons s = 1 + 1, p = 1 et k = EI k A k B k A k B et K = 3k p + ks k p +0.7ks B P cr = K p EI et 0 = K Figure 8. Pour des noeuds d extrémités dépaçabes : s = et k = EI k A k B A P r A = k k A et r B = k k B a A = 0.4+r B 0.8+ks et a B = 0.4+r A 0.8+ks B Figure 8.3 K A = a A + p r A a A, K B = a B + p r B a B 4 4 et K = Max(K A et K B ) P cr = p EI 4K et 0 = K

186 8.1 Instabiité de poutres 177 Cas de coonnes supportant des charges sur toute eur hauteur : Type de iaisons Schémas Charges critiques Longueur de fambement Encastrement - Libre p P cr = 7.83p EI 0 = 1.1 Encastrement - Libre P p cr = i x p EI P i i 4 ( px ) P i 1 cos i 0 = ( px Pi 1 cos i ) Pi Encastrement - Libre P p P cr = p EI ( 4P P+p +1.6) 4P 0 = P + p +1.6 P Rotue - Rotue p p EI P cr = (1 + P P+p ) 0 = P 1+ P + p Prise en compte d un défaut initia Le cas des coonnes parfaites étudiées jusqu à présent est un modèe idéaisé. En réaité, différentes sortes d imperfections inévitabes doivent être considérées. Par exempe, des poteaux peuvent être soumis à des charges atéraes parasites ou présenter une géométrie courbe induisant une excentricité initiae. Dans ces deux cas i est important de pouvoir estimer

187 178 8 Instabiité des structures ampification de ce défaut initia à approche de a vaeur critique de a charge de fambement. Si on assimie un défaut initia à une courbure de a coonne ayant pour dépacement maxima v 0 (ou moment parasite maxima M 0 ), e dépacement (ou moment) atteint en ce même point, fonction de a charge appiquée P est ampifié du paramètre m : 1 m = 1 P/P cr 1 v 0 = v0 = v 0 = 0.05 v 0 = 0.1 P/Pcr v 0 = dépacement transversa v Figure CALCUL DES MOMENTS DANS UNE POUTRE COMPRIMÉE FLÉCHIE En considérant une poutre comprimée, sujette au risque de fambement, et supportant des charges atéraes induisant une fexion dans e pan de fambement, anayse des contraintes requiert de prendre en compte ampification des efforts due à instabiité. Le moment féchissant maxima et dépacement transversa maxima dus uniquement aux charges atéraes sont dénommés respectivement M 0 et v 0.

188 8.3 Déversement atéra de poutres 179 Poutre sur deux appuis simpes d extrémité supportant une charge transversae symétrique : e moment est maxima en son centre et une bonne approximation de ce dernier est obtenu en considérant : M = M 0 (1+ p ) u C(1 u) Avec u = P, P cr = p EI P cr et C = M 0 EIv 0 Poutre en consoe p M = M 0 (1+ ) u 4C(1 u) Avec u = P P cr, P cr = p EI 4 et C = M 0 EIv 0 Dunod La photocopie non autorisée est un déit 8.3 DÉVERSEMENT LATÉRAL DE POUTRES Le déversae atéra d une poutre est un phénomène d instabiité éastique consistant en un fambement accompagné de torsion. Ce phénomène se produit pour des poutres étroites, non maintenues atéraement, pour des vaeurs de contraintes de fexion bien inférieures à a imite d éasticité du matériau considéré Déversement atéra de poutres à section rectanguaire En considérant une poutre en fexion, i est possibe d obtenir a vaeur imite des moments maximaux critiques menant au déversement. Le tabeau ciaprès récapitue es diverses conditions cassiquement recontrées. On note G, e modue de cisaiement et J, e moment d inertie en rotation autour de z.

189 180 8 Instabiité des structures Description Schémas Moments critiques Poutre sur appuis simpes y soumise à un moment M x M Mcr = p EIyGJ constant Poutre bi-rotuée soumise à un moment constant Poutre sur appuis simpes soumise à une charge constante Poutre sur appuis simpes soumise à une charge concentrée M y x y x y x p P M M cr = p EIyGJ M cr = 1.1p EIyGJ M cr = 1.35p EIyGJ Poutre en consoe soumise à une charge constante y x p M cr =.04p EIyGJ Poutre encastrée soumise à une charge concentrée y x P M cr = 1.8p EIyGJ 8.3. Déversement atéra de poutres à section en I Dans e cas particuier des profiés à section ouverte, ou en I, es conditions d attache aux extrémités peuvent imiter e gauchissement de a section et donc engendrer des augmentations de raideur en cisaiement. Les simpes résutats précédents doivent être modifiés pour prendre en compte ces variations.

190 8.4 Instabiité et voiement de paques 181 Description Poutre sur appuis simpes soumise àunmoment constant M Schémas y x M Moments critiques a 1 a a 3 M cr = a EIyGJ Poutre sur appuis simpe soumise à une charge concentrée y x P M cr = a EIyGJ Poutre bi-rotuée soumise à une charge concentrée y x P M cr = a EIyGJ Poutre bi-encastrée à dépacement axia ibre y x P M cr = a EIyGJ Dunod La photocopie non autorisée est un déit Avec a = a p a 1 1+ p EI v (a 1 L) GJ ( 1+a 3 ) ± a 3 p a 1 L EIv GJ et en notant h a hauteur du profié, I v = I y 4 h. J est e moment d inertie poaire. 8.4 INSTABILITÉ ET VOILEMENT DE PLAQUES L instabiité par voiement se rencontre pour des ééments de structures pan éancés de type paque. De façon anaogue au fambement des poutres, i convient d étudier équiibre d une paque en position déformée. Afin de déterminer es équations d équiibre d un éément de paque soumise à une compression dans son pan, i convient de faire hypothèse d une surface «presque pane». De tees hypothèses nous permettent de prendre es axes

191 18 8 Instabiité des structures du repère généra comme igne de coordonnées portant es abscisses curviignes x et y de a paque. En projetant es équations vectoriees d équiibre d un éément de paque dans e repère ié à a paque, nous obtenons cinq équations d équiibre dont une seue sera utie pour notre cas. En introduisant es expressions des efforts tranchants en fonction de a déformée transversae de a paqué notée v, nous obtenons équation de Lagrange généraisée. v P Z D v + N x x + N v y y +N xy v x y = 0 Pour une paque d épaisseur h, a rigidité de fexion de éément vaut : D = Eh 3 /1 ( 1 n ). Nous traiterons d une paque simpement appuyée sur ces quatre côtés, soumises à un effort norma e ong du pus grand coté a. y x F F b a Figure 8.5 En dénommant es différents modes d instabiité possibe par e nombre de demi-ondes m et n transversaes de coquage déveoppées respectivement dans es directions x et y, aure de a déformée transversae (à un facteur d ampification q près) est de a forme : v xy = q mn sin mpx a sin npy b La charge fondamentae de fambement (a pus petite) est obtenue avec n = 1etm = a/b et vaut F cr = 4p D/b. Si es dimensions de a paque sont fixées, m n est pas un entier. Nous pouvons tracer sur un schéma évoution

192 8.4 Instabiité et voiement de paques 183 de a charge critique en fonction du rapport a/b pour différentes vaeurs de m : F cr b /pd m = 1 m = m = 3 m = a/b Figure 8.6 En fonction des dispositions d appuis e ong des faces atéraes, es efforts critiques de voiement prennent différentes vaeurs. Description Schémas Efforts critiques Paque sur appuis simpes F F b F cr = 4p D/b Dunod La photocopie non autorisée est un déit Paque encastrée-appuis simpes Paque bi-encastrée Paque encastrée-ibre Paque appuis simpes-ibre F F F F a a a a a F F F F b b b b F cr = 5.4p D/b F cr = 6.97p D/b F cr = 1.8p D/b F cr = 0.45p D/b

193 184 8 Instabiité des structures 8.5 FLAMBEMENT DE STRUCTURES NON PLANES INITIALEMENT Fambement d arc et d anneaux Considérant des pièces non panes supportant une pression extérieure p, es résutats ci-après récapituent queques résutats importants de pression critique avant fambement. Arc circuaire simpement appuyé : a représente ouverture anguaire de arc de rayon R considéré. ( ) 4p EI p cr = a 1 R 3 Arc circuaire encastré à ses extrémités : avec p cr = ( k 1 ) EI R 3 a k Fambement de tubes minces Le tube est d épaisseur e, de ongueur L et de rayon R. On note : b = ( ) ( ) L R 1 n. R e La contrainte critique de fambement s cr est donnée ci-après.

194 8.5 Fambement de structures non panes initiaement 185 Tube mince en compression simpement appuyé à ses extrémités P P k c = 1+1b p 4 p E s cr = k c 1 ( 1 n ) (/e) Figure 8.7 Tube mince en compression encastré à ses extrémités P P k c = 4+3b p 4 p E s cr = k c 1 ( 1 n ) (/e) Dunod La photocopie non autorisée est un déit Figure 8.8 Tube mince sous pression externe La pression critique de fambement du tube soumis à une pression uniforme vaut : ( ) 3 E E P cr = R 4 ( 1 n )

195 Chapitre 9 Cacu non-inéaire, anayse imite, pasticité 9.1 INTRODUCTION Les probèmes précédemment traités étudiaient e comportement éastique des matériaux. Cependant es ois de comportement éastiques inéaires ne sont pas toujours vaabes. Lors de soicitations exceptionnees ou accidentees, des contraintes supérieures à a imite éastique du matériau peuvent se produire et entraîner des déformations permanentes tandis que a structure peut continuer à résister sans s effondrer. Nous étudions aors a stabiité gobae de a structure suite à apparition ocae de a pasticité. Cette étude de stabiité s appee anayse imite en RDM.

196 9. Modèes de comportement des matériaux MODÈLES DE COMPORTEMENT DES MATÉRIAUX Si on trace es courbes de comportement s pour un matériau ductie on obtient une courbe de même type que cee de a figure 9.1 (a). À partir de cette courbe de comportement, on peut adopter pusieurs modéisation : figure 9.1 (b) : modèe éasto-pastique avec écrouissage, figure 9.1 (c) : modèe éasto-pastique parfait, figure 9.1 (d) : modèe rigide pastique ou pastique parfait. σ σ e σ σ e ε e (a) ε ε e (b) ε σ σ Dunod La photocopie non autorisée est un déit σ e ε e (c) ε Figure 9.1 Lois de comportement : matériau ductie (a), modèe éasto-pastique écrouissabe (b), modèe éasto-pastique parfait (c), modèe rigide pastique (d) 9.3 PLASTIFICATION EN FLEXION : NOTION DE MOMENT PLASTIQUE ET ROTULE PLASTIQUE Hypothèses Nous considérerons par a suite que : e matériau est isotrope, σ e (d) ε

197 188 9 Cacu non-inéaire, anayse imite, pasticité e comportement est éasto-pastique parfait, hypothèse de Bernoui est vérifiée Section symétrique Y Y Y Z v X ε Figure 9. Poutre en fexion de section symétrique Considérons a poutre de a figure 9. de section symétrique majoritairement soumise à de a fexion. En éasticité, nous pouvons écrire a reation suivante entre a contrainte et e moment féchissant : s = M I v = M W (9.1) avec W = I /v e modue de fexion de a section considérée. Si nous continuons à augmenter e moment de fexion, a imite éastique va aors être atteinte en premier pour y = v. Nous obtenons aors es phases de comportement de a figure 9.3 : phase éastique : comportement «cassique» d une section en fexion État 1 : imite éastique. Le moment soicitant est aors éga au moment maximum éastique M e.onaaorss max = s e = M e /W d où M e = W s e. La courbure éastique maximum vaut aors x e = M e /(EI) et a déformation éastique e = x e.v État : pastification progressive de a section (M > M e ). Dû à a symétrie de a section et de a courbe de comportement du matériau, axe neutre reste à mi-hauteur. On peut montrer que x e /x = y e /h ce qui impique que a courbure augmente tandis que y e diminue.

198 9.3 Pastification en fexion : notion de moment pastique et rotue pastique 189 Y Y Y Y ε σ -ε e ε -σ e ε e σ e σ Phase éastique État 1 Y Y Y Y y e -ε e ε -σ σ e y e =0 -σ e ε e σ e σ e ε σ -y e État État 3 Figure 9.3 Différentes phases de comportement d une section en fexion Dunod La photocopie non autorisée est un déit État 3 : pastification compète de a section. Formation d une rotue pastique, x =. À cet état correspond e moment pastique im y e >0 noté M p. On définit e modue pastique W p = M p /s e = M x avec M x e moment statique de a moitié de a section / x. Pour une section rectanguaire b h on obtient : W = bh /6 et W p = bh /4. Soit M e = W s e e moment éastique maximum et M p = W p s e e moment pastique. On définit e gain de résistance par pastification : ( ) M p G = (9.) M e ce qui donne pour une section rectanguaire, G = 50 %.

199 190 9 Cacu non-inéaire, anayse imite, pasticité 9.4 ANALYSE LIMITE D UN SYSTÈME DE POUTRES Enjeux Soit un système de poutres soumis au chargement extérieur F ext. Sous hypothèse d un comportement pastique parfait du matériau constitutif de a structure, cee-ci sera mise en ruine pour un chargement F crit = ut F ext par apparition d un nombre suffisant de rotues pastiques transformant a structure en mécanisme. On aura donc un accroissement proportionne de toutes es charges par e facteur de charge jusqu au facteur de charge utime ut. Pour déterminer ceui-ci on a deux approches : a méthode STA- TIQUE et a méthode CINÉMATIQUE Théorème statique À tout état de contrainte statiquement admissibe ( M M p partout) vérifiant es conditions cinématiques (C.L. et moment M p de même sens que es rotations pastiques au droit des rotues) correspond un facteur de charge : stat ut (9.3) Appication Soit a structure de a figure 9.4. On cacue e moment M dans a structure et on trace e diagramme associé. On suppose que ±M p est atteint en un point de a structure (point de moment maximum) pour = 1. On a donc 1 q /1 = M p soit 1 = 1M p /q. On pace deux rotues en A et C (voir figure 9.5) qui reprennent aors un moment éga à M p et on vérifie que M M p pour toute a structure. Ici, M B = q /8 M p avec : > 1 => q /8 > 1 q /8 = 3M p / > M p. on a donc bien M B > 0et M B M p.

200 9.4 Anayse imite d un système de poutres 191 A Y λq B X C M(x) λp /4 x -λp /1 -λp /1 Figure 9.4 Poutre bi-encastrée en fexion M p Y A λq B C M p X M(x) λp /8 -M p x -Mp -Mp Figure 9.5 Poutre bi-encastrée en fexion avec deux rotues pastiques en A et C

201 19 9 Cacu non-inéaire, anayse imite, pasticité On continue jusqu à a ruine de a structure qui correspond à a formation de n rotues où n = H +1.Ici, croît jusqu à avoir M B = M p. Ce qui donne stat q /8 M p = M p soit stat = 16M p /q. On obtient aors e mécanisme de a figure 9.6 M p Y A M p λq B M p C M p X Figure 9.6 Poutre bi-encastrée en fexion avec trois rotues pastiques en A, B et C Théorème cinématique À un mécanisme de ruine arbitraire, où tous es ééments non pastifiés sont supposés rigides (entre deux rotues successives), correspond un facteur de charge Appication : Soit a structure de a figure 9.7. cin ut (9.4) Y A λp B C X Figure 9.7 Poutre simpement appuyée en fexion

202 9.4 Anayse imite d un système de poutres 193 On imagine un mécanisme de ruine, par exempe ceui de a figure 9.8. Y Α Μ p λp Β Μ p Χ X θ θ -θ -θ θ./ Figure 9.8 Poutre simpement appuyée en fexion Dunod La photocopie non autorisée est un déit Pour chacun des mécanismes on appique e PTV à des champs rigidifiants par morceaux pastiquement admissibes ( M p M p ). Dans notre exempe, cea donne : M p u + Pu = 0 soit = 4M p (9.5) P On aurait pu pacer a rotue en une section queconque i. Le théorème cinématique nous dit aors que cin min{ i }. a) Points particuiers de a méthode cinématique Sections potentieement critiques : point d appication des charges ponctuees point de moment maximum pour es charges réparties assembage encastrement Mécanismes de ruine possibes : mécanisme de poutre mécanisme de panneau mécanisme des nœuds

203 194 9 Cacu non-inéaire, anayse imite, pasticité Exempe : Soit a structure de a figure 9.9. Figure 9.9 Structure de poutres Les figures suivante iustrent es différents modes de ruine que on peut rencontrer. ou Figure 9.10 Mécanisme de poutre : ruine partiee (n < H +1) Figure 9.11 Mécanisme de panneau Figure 9.1 Mécanisme de nœud : ruine partiee (n < H +1)

204 Chapitre 10 Dynamique et vibrations Pour un probème dynamique, e chargement et es paramètres de réponse sont fonction du temps. La principae caractéristique d un probème dynamique est a présence d efforts d inertie non-négigeabes qui, d après e principe de d Aembert, s opposent au mouvement imposé par e chargement appiqué. Une charge est dynamique si sa norme, sa direction ou son point d appication varie avec e temps. Si évoution de ces grandeurs est prescrite de manière unique, anayse est dite déterministe. Au contraire, si a variation du chargement en fonction du temps n est pas connue et ne peut être définie qu en termes statistiques, e chargement est dit aéatoire. Parmi es différentes charges dynamiques, on peut distinguer : es charges périodiques de période T ( p(t + T ) = p(t) ),parmiesquees nous pouvons distinguer es charges harmoniques simpes et es charges périodiques queconques, es charges non périodiques : charges impusionnees, charges arbitraires de ongues durées (séisme, vent, houe,...).

205 Dynamique et vibrations 10.1 SYSTÈME À 1 DEGRÉ DE LIBERTÉ En dynamique, on appee e degré de iberté d un système a somme du nombre de mouvement possibe de chaque masse du-dit système. Toute a difficuté du modéisateur réside donc dans étape de discétisation permettant de choisir e nombre minimum de masses ponctuees décrivant au mieux a réponse dynamique de ensembe Équation du mouvement Soit un système masse-ressort-amortisseur soumis à a gravité et à un chargement extérieur fuctuant dans e temps p(t). Les différentes forces agissant sur un te système peuvent être associées à : un ressort supposé inéaire dont e dépacement u(t) déveoppe une force de rappe éastique f e (t), un amortisseur, supposé inéaire, produit une force dissipative visqueuse proportionnee à a vitesse f d (t), une accéération subie par a masse m, dans un référentie fixe, se traduit par une force d inertie (seon e principe de d Aembert) f i (t), des efforts extérieurs f ext (t) appiqués à a masse m proviennent de deux origines : un effort statique dû au poids propre mg et une soicitation dynamique p(t). f e(t) = ku(t) m g k c m u (t) p(t) f d (t) = c u(t) f i (t) = mü(t) Figure 10.1

206 10.1 Systèmeà1degrédeiberté 197 L équation d équiibre dynamique de a masse m s écrit en invoquant e principe de d Aembert par a prise en compte des efforts d inertie sous forme d efforts extérieurs : F(t) = 0, soit : ku(t)+c u(t)+mü(t) = mg + p(t) En décomposant e dépacement u(t) en un terme statique u s = mg/k et un terme dynamique u d (t), i s avère que es composantes statiques s éiminent entre ees dans équation du mouvement précédente pour ne conserver que a partie dynamique du dépacement : ku d (t)+c u d (t)+mü d (t) = p(t) Dunod La photocopie non autorisée est un déit Pour des systèmes inéaires, i y a découpage entre es effets statiques et dynamiques. Un probème de dynamique inéaire ne devra pas comporter de composantes statiques aussi bien en effort qu en dépacement. Seue sera prise en compte a partie dynamique du dépacement assimiée à une perturbation dynamique autour de a position d équiibre statique. Dans a suite, dans un souci de simpicité nous noterons u d (t) = u(t). On peut différentier étude d un système dynamique en fonction de différents régimes vibratoires : ibre, forcé ou permanent Le régime ibre Un régime ibre correspond à a soution générae de équation différentiee sans second membre (pour p(t) = 0). Les conditions intiaes à t = 0 sont un dépacement et une vitesse initiae notée u 0 et u 0. On note a pusation v = k/m, amortissement critique c c = mv = km = k/v et amortissement reatif j = c/c c. En recherchant des soutions sous a forme u = C e st, équation caractéristique du système est : s +jvs + v = 0

207 Dynamique et vibrations a) Régime ibre conservatif Un régime conservatif, caractérisé par un amortissement c = 0 ne dissipe pas d énergie par amortissement. La soution en dépacement de équation différentiee est : u(t) = u 0 v sin v(t)+u 0 cos v(t) Nous pouvons composer ces deux fonctions en es projetant sur axe des ( ) rées afin d obtenir un vecteur résutat de ongueur r = u 0 + u0 et v d ange de phase u = tan 1 ( u 0 /u 0 v), ainsi : u(t) = r cos(vt u) b) Régime ibre dissipatif Pour c 0, a soution de équation caractéritisque est : s = jv ± v j 1 En fonction de a vaeur donnée à amortissement (j =, > ou < à1), trois types de comportement peuvent être distingués : Amortissement critique, j = 1 La soution, apériodique, est : Amortissement surcritique, j > 1 u(t) = (u 0 (1 + vt)+ u 0 t)exp vt en notant ṽ = v (j 1 ), a soution apériodique, est : u(t) = ( u 0 cosh(ṽt)+ jvu ) 0 + u 0 sinh(ṽt) e jvt ṽ

208 10.1 Systèmeà1degrédeiberté 199 Amortissement souscritique, j < 1 C est e cas e pus courant rencontré en dynamique des structures. La (1 pseudo-pusation de osciateur amorti v D est égae à v D = v ) j. L amortissement a donc tendance à diminuer es pusations propres d un système. Le dépacement s exprime comme suit : ( u(t) = u 0 cos(v D t)+ jvu ) 0 + u 0 sin(v D t) e jvt v D Ces deux fonctions trigonométriques périodiques peuvent se combiner pour exprimer e dépacement sous a forme simpe suivante : Avec r = u 0 + ( jvu0 + u 0 v D u(t) = r cos(v D t u)e jvt ) ( ) et u = tan 1 jvu0 + u 0 v D u 0 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Le régime forcé sinusoïda Dans ce cas de figure, nous aons étudier a réponse du système à un degré de iberté soumis à une excitation harmonique du type sinusoïda. En effet, nous verrons par a suite que es systèmes es pus compexes, soumis à des charges es pus variées peuvent se ramener à ce cas précis. e second membre de équations différentiee du mouvement s exprime maintenant par p(t) = p 0 sin( vt). Nous noterons b, e rapport de a pusation excitatrice à a pusation propre du système : b = v/v. a) Régime forcé conservatif La soution compète s écrit : u(t) = p [ ] 0 1 ( ) sin( vt) b sin(vt) k 1 b

209 00 10 Dynamique et vibrations On définit e facteur de réponse dynamique comme e rapport entre a réponse dynamique et e dépacement statique (u stat = p 0 /k). Ici : R(t) = u(t) u stat = 1 1 b ( sin( vt) b sin(vt) ) À a résonance, b = 1etR(t). b) Le régime forcé dissipatif La résoution de équation du mouvement nous fournit un dépacement ayant pour forme a somme d un terme en régime transitoire et d un terme en régime permanent forcé. Si on ne s intéresse qu à a réponse en régime permanent après disparition des termes transitoires par amortissement, e dépacement du système s écrit : u(t) = p 0 k [ ] 1 ((1 ( ) 1 b ( ) b )sin( vt) jb cos( vt) ) + jb 5 j = 0.01 Rmax = umax/ustat j = 0.5 j = 0.1 j = ,5 1 1,5,5 3 b = v/v Figure 10.

210 10.1 Systèmeà1degrédeiberté 01 Le facteur de réponse dynamique maxima, noté R max vaut dans ce cas : 1 R max = (1 ) b ( ) + jb Régime permanent sous une charge périodique queconque a) Réponse en fréquence Une méthode de cacu pus efficace consiste à rempacer es efforts et dépacements par des nombres compexes. En régime forcé harmonique, on peut exprimer effort extérieur p(t) en fonction d une force compexe ˆp(t): ˆp(t) = p 0 e i vt = p 0 (cos vt + i sin vt) Dunod La photocopie non autorisée est un déit Dans ce cas, a partie réee ou a partie imaginaire du chargement pourra être utiisée. Le dépacement u(t) est aors a partie réee ou imaginaire du dépacement compexe û(t), ainsi, û(t) = Ĝe i vt En appeant Ẑ impédance compexe et Ĥ admittance compexe, nous définissons a réponse compexe en fréquence comme : Ĥ( v) = 1 Ẑ( v) = 1 1 ( k ) 1 b +ijb Le dépacement (compexe) peut donc s écrire : û(t) = Ĥ( v)p 0 e i vt = Ĥ( v) e i( vt u) avec : et Ĥ( v) = 1/k (1 b ) + ( ijb ) tan u = jb 1 b

211 0 10 Dynamique et vibrations b) Représentation d une charge périodique en série compexe de Fourier On peut représenter une charge périodique, de période T P par décomposition en série de Fourier de a forme : p(t) = a 0 + a n cos v n t + b n sin v n t n=1 La charge est ainsi décomposée en une somme d une charge constante représentant a moyenne et d une série de charges harmoniques de fréquence v n, d ampitude a n et b n, représentant a variation par rapport à a vaeur moyenne. Par es équations d Euer, nous pouvons reier ces fonctions trigonométriques aux fonctions exponentiees compexes. La série de Fourier pour a charge p(t) devient: p(t) = ˆP n e i vnt Avec : n=1 ˆP n = 1 TP p(t)e i vnt dt T P 0 c) Réponse à un chargement décomposé en série compexe de Fourier Du principe de superposition, a réponse totae permanente d un osciateur éémentaire à une excitation périodique peut s écrire : u(t) = Ĥ( v n ) ˆP n ( v n )e i vnt Réponse à une charge arbitraire Dans ce parapraphe, nous décrivons deux manières différentes (temporee et fréquentiee) permettant d obtenir a réponse d un système à un dd soumis à une action dynamique queconque.

212 10.1 Systèmeà1degrédeiberté 03 a) Réponse simpifiée à une impusion Considérons une charge impusionnee p(t). Si a durée du chargement (t 1 ) est très courte par rapport à a période de vibration du système T (t 1 T ), on peut faire hypothèse qu i n y a pas de changement notabe du dépacement durant e temps d appication du chargement mais par contre qu un changement de vitesse peut être considéré. Soit a reation entre impusion et quantité de mouvement : I = md u t1 0 p(t)dt Si impusion (unitaire de Dirac) a ieu à t = t, e dépacement du système au temps t = t t se met sous a forme : u( t) = 1 mv sin v t = h( t) où h(t) est a réponse à une impusion unitaire. Pour un système amorti : Dunod La photocopie non autorisée est un déit h( t) = 1 mv D e jv t sin v D t b) Réponse temporee à un chargement arbitraire Le chargement est ici considéré comme une suite d impusions unitaires. La réponse totae est obtenue par a somme des réponses différentiees : u(t) = t 0 p(t)h(t t)dt soit : u(t) = 1 t p(t)sinv(t t)dt mv 0 Cette dernière équation est appeée intégrae de Duhame.

213 04 10 Dynamique et vibrations c) Réponse en fréquence à un chargement arbitraire I s agit d une extension aux fonctions non périodiques de a décomposition en séries de Fourier. Une charge queconque (ou fonction queconque, p(t)) peut être décrite par une intégrae représentant es contributions des composantes harmoniques ayant un spectre de fréquence continu de à+. Les intégraes : + ˆP( v) = p(t)e i vt dt et p(t) = 1 + ˆP( v)e i vt d v p constituent une paire de transformée de Fourier. ˆP( v) est appeée transformée de Fourier de p(t) etp(t) est appeée transformée inverse de Fourier de ˆP( v). Par anaogie à a réponse d un système soumis à une charge périodique décomposée en séries compexes de Fourier, a réponse d un système à un dd est obtenue en cacuant a somme des composantes de a réponse sur étendue des fréquences, on obtient ainsi : u(t) = 1 p avec : + v= Û( v) = Û( v)e i vt d v = 1 p + + v= u(t)e i vt dt = Ĥ( v) ˆP( v) Ĥ( v) ˆP( v)e i vt d v Remarque : La réponse impusionnee h(t) est a transformée inverse de Fourier de a réponse en fréquence Ĥ( v) Réponse à des chargements impusionnes simpes La tabeau ci-après fournit e coefficient d ampification dynamique maxima obtenu pour un système à un degré de iberté soumis à des charges impusionnes sinusoïdae et rectanguaire. Pour des impusions de courtes durées, nous considérons ci-après que e temps d appication de effort t 1 est petit devant a période propre de osciateur T. Ainsi, e dépacement maximum est atteint pendant a vibration ibre, à a fin du chargement ( b = v/v = T /T > 1 ).

214 10. Système à N degrés de iberté 05 Description schémas R max P(t) impusion sinusoïdae P 0 t 1 t b 1 b cos p b P(t) impusion rectanguaire t 1 P 0 t sinp t 1 T 10. SYSTÈME À N DEGRÉS DE LIBERTÉ Équations du mouvement Dunod La photocopie non autorisée est un déit Après discrétisation du probème mécanique, de manière anaogue par exempe à a méthode des ééments finis en statique, nous pouvons construire es matrices de masse M, d amortissement visqueux C, de raideur K et e vecteur des efforts exterieurs F. L équation du mouvement sous forme matriciee peut se mettre sous a forme : MÜ + C U + KU = F U est e vecteur des dépacements des degrés de iberté considérés Signification des modes propres et fréquences propres Nous supposerons dans cette partie un système discret, conservatif (C = 0) et sans chargement extérieur. L équation discrète du mouvement prendra a forme suivante : MÜ + KU = 0

215 06 10 Dynamique et vibrations Prenons exempe d un bâtiment de trois étages. Concentrons a masse au niveau des panchers, nous obtenons ainsi un système à trois dd dynamiques. Soumis à un chargement queconque, e mouvement horizonta de chaque pancher n est pus harmonique. Par contre, si a vibration ibre de a structure est initiée par des vitesses et des dépacements appropriés imposés aux masses, a structure osciera suivant un mouvement harmonique simpe. trois aures caractéristiques de a déformée existent pour un système à trois dd. Ce sont es modes propres de vibration. u 3 u u 1 mode 1 mode mode 3 Figure 10.3 À chaque mode nous pouvons associer une fréquence propre de vibration : f n = 1 = v n T n p Avec : v 1 < v < v 3... < v N Le vecteur f n définit aure de a déformée de a structure répondant à a pusation propre v n. f n définit seuement e rapport des dépacements des panchers entre eux (u 1 /u, u 1 /u 3 ) Détermination des fréquences propres de vibration La réponse d un mode propre est harmonique, ainsi e vecteur des dépacements peut s écrire : U(t) = Û sin(v(t)+u)

216 10. Système à N degrés de iberté 07 Û représente es modes de déformations possibes qui ne changent pas avec e temps (seue ampitude varie). L anayse du système nous montre qu une soution n est possibe que si : det ( M 1 K v I ) = 0 C est équation aux fréquences du système. En déveoppant e déterminant, nous obtenons une équation poynomiae de degré N en v.lesn racines sont es fréquences propres des N modes de vibration du système ( v 1, v, v 3,...v N ) Détermination des modes propres de vibration Pour compéter e probème aux vaeurs propres, on peut cacuer es N formes de vibrations correspondant aux N modes de vibration. Si nous rempaçons es vaeurs de v n : [ K v n M ] (Û n ) = 0 Dunod La photocopie non autorisée est un déit L ensembe des vecteurs modaux de vibration propre peuvent ête mise sous forme matriciee : [f] = [f 1 f f 3...f N ] Propriété d orthogonaité des modes Si v n v m aors, et f T mkf n = 0 f T mmf n = 0 Les vecteurs modes de vibration sont dits orthogonaux par rapport aux matrices M et K. Ainsi a matrice [f T ]M[f] = [ ˆM] est diagonae et f T n Mf n = ˆM n

217 08 10 Dynamique et vibrations est appeée masse généraisée du mode n. De façon anaogue pour a matrice de raideur, nous pouvons définir a matrice de raideur généraisée [ ˆK ]par: f T n Kf n = ˆK n Normaisation des vecteurs modes de vibration I est avantageux de normaiser U n de façon à obtenir : Ainsi, si f n = 1 ˆM 1/ n f T n Mf n = 1 U n aors [f T ]M[f] = I Équations modaes du mouvement - Superposition des modes a) Coordonnées normaes Les modes constituent un ensembe de coordonnées qui ne sont pas coupées dynamiquement. Pour un système à N dd, is constituent N aures indépendantes. Leur ampitude sert de coordoonnées généraisées. Tout vecteur U(t) peut être trouvé par superposition des ampitudes des modes de vibration. U(t) = f 1 Y 1 (t)+f Y (t)+f 3 Y 3 (t) f N Y N (t) U(t) = N f n Y n (t) = [f]y (t) n=1 Ainsi es coordonnées normaes appréciant ampitude de chacun des modes peuvent être déterminées : Y n (t) = ft n MU(t) f T n Mf n

218 10. Système à N degrés de iberté 09 b) Équations découpées du mouvement non amorti Soit un système à N dd : MÜ + KU = F(t) Dans e domaine inéaire, [f] reste constant au cours du temps. Par projection dans espace des modes propres, équation du mouvement peut se mettre sous a forme : f T n Mf n Y n + f T n Kf n Y n = f T n F(t) Appeons M n = f T n Mf n a masse généraisée, K n = f T n Kf n a raideur généraisée et F n = f T n F(t) a force généraisée. L équation du mouvement se retrouve sous sa forme scaaire en Y n (t) pour e mode n : M n Y n + K n Y n = F n Dunod La photocopie non autorisée est un déit Soit encore : Y n + v ny n = On résoud es Y n pour n = 1,,..., N. Connaissant Y (t), on cacue a réponse dans e système de coordonnées géométriques : U(t) = F n M n N f n Y n (t) = [f]y (t) n=1 c) Équations découpées du mouvement amorti Si es f n ne sont pas orthogonaux par rapport à a matrice d amortissement C aors on ne peut pas découper es équations du mouvement. Dans e cas contraire, équation discrète du mouvement peut se mettre sous a forme suivante pour e mode n : M n Y n + C n Y n + K n Y n = F n

219 10 10 Dynamique et vibrations avec : f T n Cf n = C n et : f T mcf n = 0 Si de pus nous introduisons amortissement reatif C n = j n v n M n aors nous obtenons n équations découpées en Y n : Y n +j n v n Y n + v ny n = F n M n I est toutefois pus facie et pus physique de définir amortissement reatif j n par mode que e coefficient C n. d) Condition d orthogonaité par rapport à C Lord Rayeigh a montré qu une matrice C proportionnee à a matrice de masse et/ou de raideur satisfait es conditions d orthogonaité : C = am + bk Connaissant a vaeur de amortissement à imposer à deux modes m et n, nous pouvons cacuer es deux paramètres a et b par équation suivante : [ a b ] = v mv n v n v m v n v m 1 1 v n v m I existe un nombre infini de ce type de matrice, définie par a série de Caughey : C = M a b (M 1 K) b b=

220 10.3 Vibration des systèmes continus VIBRATION DES SYSTÈMES CONTINUS Vibration axiae des barres Considérons une barre d axe x, de ongueur L, de section A(x), de densité inéique r, composée d un matériau éastique inéaire de modue young E soumise à une densité inéique d effort q(x, t). 0 L x Figure 10.4 Quee que soit abscisse x, équation générae de vibration axiae de a barre est [ E.A(x) u ] ra(x) u + q(x, t) = 0 x x t Dunod La photocopie non autorisée est un déit Les conditions imites, en effort ou en dépacement sont données ci-après : en x = 0, E.A(x) u (0, t) +q(0, t) = 0ouu(0, t) = 0etenx = L, x E.A(x) u (L, t)+q(l, t) = 0ouu(L, t) = 0. x Pour une barre de section constante A, en vibration ibre (sans effort extérieureq(x, t) = 0) équation dynamique se ramène à équation des ondes : u x = 1 u c t avec c = E/r, a céérité des ondes uniaxiaes de traction-compression dans e miieu éastique.

221 1 10 Dynamique et vibrations Vibration transversae des poutres Soit une poutre isostatique d axe x, de ongueur L, de moment quadratique constant I, de densité inéique r, composée d un matériau éastique inéaire de modue young E. Les pusations propres de fexion orsque a poutre repose sur deux appuis simpes sont : Les n modes propres associés sont : v n = p n EI L r ( npx ) f n (x) = rl sin L Détermination du mode fondamenta de vibration : méthode de Rayeigh Le but de a méthode de Rayeigh, par appication du principe de conservation de énergie, consiste à déterminer e mode fondamenta de vibration d une structure. I faut être capabe d estimer a forme du mode propre recherché. Pour cea, en considérant qu un mode de vibration correspond à un état de déformation de a structure pour eque es efforts de rappe éastiques équiibrent es efforts d inertie, a déformée du mode propre est cacuée par une anayse statique, en considérant un chargement inertie appiqué à ensembe des masses de a structure. Considérons a structure simpe ci-dessous, de masse inéique variabe m(x), dont on cherche à estimer a première pusation propre de vibration horitonzae. Le chargement équivaent permettant de cacuer a déformée modae est obtenu en appiquant une accéération uniforme à ensembe de a structure. La déformée obtenue est notée c(x).

222 10.3 Vibration des systèmes continus 13 x g F (x) = m(x) g c(x) Chargement équivaent Figure 10.5 Déformée En égaant es énergies cinétiques et potentiees maximum cacuées sur a base d un mouvement harmonique, a pusation fondamentae de a structure se ramène à : v = 0 EI(x) [ c (x) ] dx 0 m(x)c (x)dx Dunod La photocopie non autorisée est un déit Pour un système discret, e quotient de Rayeigh va s exprimer comme suit permettant de déterminer e mode n de vibration : v n = ft n Kf n f T n Mf n Modes propres de vibration des poutres Le premier mode propre de vibration est donné dans e tabeau ci-après pour des poutres de ongueur, de modue d Young E, de masse inéique m et de moment quadratique I, supportant différents types de conditions imites. La soution générae est de a forme : EI v = a m 4

223 14 10 Dynamique et vibrations Type de iaisons schémas a Appui simpe - Rotue 9.87 Appui simpe - Encastrement 15.4 Encastrement - Encastrement.4 Encastrement - Libre Modes propres de vibration des paques Le premier mode propre de vibration est donné dans e tabeau ci-après pour des paques d épaisseur constante h, de masse voumique r, degrandcôté a et de petit côté b, supportant différents types de conditions imites. La soution générae est de a forme : Eh v = b ma 4 Type de iaisons schémas b/a = 1 b/a = 1.5 b/a = b/a =.5 b/a = 3 Appui simpe Appui simpe - Encastrement Encastrement - Encastrement Encastrement - Encastrement Remarque : Pour une paque circuaire, de diamètre a, simpement appuyé sur son pourtour, b=11.84 et encastrée sur son bord b=5.9.

224 Index Dunod La photocopie non autorisée est un déit A axes principaux, 1 B Barré de Saint Venant, 8 C Castigiano, 33 centre de gravité, 19 cerce de Mohr, 3 Capeyron, 3 contrainte, 1 coque, 146 cyindrique, 146 sphérique, 153 coupoe, 149 déformation, 4 D E ééments finis, 154 isoparamétriques, 167 Euer-Bernoui, 7 F fexion composée, 16 déviée, 16 simpe, 15 fonctions de forme, 159 Huygens, H L ignes d infuence, 38 oi de comportement, 5 M matrice de raideur, 156 Maxwe-Betti, 33 Ménabréa, 34 méthode des dépacements, 75 des forces, 70 Mohr, 34 moment d inertie, 0 statique, 19

225 16 Index P paque, 19 annuaire, 140 circuaire, 134 rectanguaire, 13 produit d inertie, 0 R rayon de giration, 1 repère principa, 3 S section en carré, 5 en cerce, 6 en croix, 7 en demi-rond, 6 en eipse, 7 en I, 5 en L, 6 en osange, 7 en quart de rond, 7 en rectange, 5 en T, 5, 7 en triange, 6 en Z, 6 surface, 19 T théorème de Barré, 46 de Menabrea, 70 V vecteur des efforts, 156

226 SCIENCES SUP Série Aide-mémoire Arnaud Deapace Fabrice Gatuingt Frédéric Ragueneau MÉCANIQUE DES STRUCTURES Cet aide-mémoire s adresse aux étudiants en Licence et Master professionnes (génie des matériaux, génie civi...) ou en IUT de génie mécanique. I offre une approche moderne de a mécanique des structures en présentant es méthodes es pus récentes pour a résoution des systèmes mécaniques simpes ou compexes, dont es dimensions vont du micromètre à queques dizaines de mètres. Au cours des chapitres de nombreux tabeaux synthétisent et récapituent es caractéristiques des principaux cas en résistance des matériaux. MATHÉMATIQUES PHYSIQUE CHIMIE ARNAUD DELAPLACE est chargé de recherche au CNRS, agrégé de Génie Civi. FABRICE GATUINGT est maître de conférences à 'ENS Cachan, agrégé de Génie Civi. FRÉDÉRIC RAGUENEAU est maître de conférences à 'ENS Cachan. Tous trois sont chercheurs au Laboratoire de Mécanique et Technoogie LMT Cachan. SCIENCES DE L INGÉNIEUR INFORMATIQUE SCIENCES DE LA VIE SCIENCES DE LA TERRE ISBN