MÉCANIQUE DES STRUCTURES

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1 SCIENCES SUP Aide-mémoire IUT Licence Master MÉCANIQUE DES STRUCTURES Résistance des matériaux Arnaud Deapace Fabrice Gatuingt Frédéric Ragueneau

2 AIDE-MÉMOIRE MÉCANIQUE DES STRUCTURES Résistance des matériaux Arnaud Deapace Chargé de recherche au CNRS, agrégé de Génie civi Fabrice Gatuingt Maître de conférences à 'ENS Cachan, agrégé de Génie Civi Frédéric Ragueneau Maître de conférences à 'ENS Cachan

3 Iustration de couverture : INMAGINE Dunod, Paris, 008 ISBN

4 Tabe des matières Dunod La photocopie non autorisée est un déit Chapitre 1 THÉORIE DES POUTRES Principes de base en résistance des matériaux La notion de contrainte La déformation La oi de comportement Définitions et hypothèses en mécanique des structures Équations d équiibre d un éément de poutre 9 1. Études des poutres sous diverses soicitations Lois de comportement généraisées pour es poutres Poutre en fexion simpe Poutre en fexion déviée Poutre en fexion composée 16 Chapitre CARACTÉRISTIQUES DES SECTIONS 18.1 Préambue 18. Définitions Surface 19.. Centre de gravité Moment statique Moment d inertie 0..5 Produit d inertie 0..6 Moment poaire 1..7 Axes principaux d inertie 1..8 Rayon de giration 1

5 iv Tabe des matières.3 Théorèmes et propriétés.3.1 Théorème de Huygens.3. Changement de repère.3.3 Décomposition d une surface 3.4 Caractéristiques des principaes sections 5.5 Exempe : caractéristiques d une section en T 7 Chapitre 3 THÉORÈMES GÉNÉRAUX MÉTHODES ÉNERGÉTIQUES Principe des travaux virtues PTV Champ de dépacement virtue Définition du travai des forces dans e champ de dépacement virtue Égaité de Capeyron Théorème de réciprocité de Maxwe-Betti Théorème de Castigiano Théorème de Ménabréa Théorème de Müer-Bresau : Formue de Mohr Lignes d infuence Effet d un ensembe de charges Lignes d infuence des déformations 40 Chapitre 4 SYSTÈMES ISOSTATIQUES Définitions Systèmes isostatiques Efforts et conditions de iaisons Exempe 4 4. Poutre sur deux appuis Cas d une charge concentrée Cas d un convoi de charges ponctuees : théorème de Barré Cas d une charge uniformément répartie Cas d une charge répartie partiee Cas d une charge répartie partiee proche d un appui Cas d une charge trianguaire Cas d une charge trianguaire monotone Cas d une charge trianguaire anti symétrique Cas d une charge trapézoïdae symétrique Cas d une charge paraboique 54

6 Tabe des matières v Cas d un coupe en un point queconque Cas d un coupe à une extrémité Cas d un coupe uniformément réparti Poutre consoe Cas d une charge concentrée Cas d une charge uniformément répartie Cas d une charge trianguaire croissante Cas d une charge trianguaire décroissante Cas d un coupe Arc paraboique isostatique Cas d une charge uniformément répartie Cas d une charge ponctuee horizontae Cas d une charge ponctuee verticae 64 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Chapitre 5 SYSTÈMES HYPERSTATIQUES Généraités Degré d hyperstaticité H Méthode des forces Méthode des dépacements Poutre droite à une travée Encastrement éastique aux extrémités Formuaire d une poutre simpement appuyée d un côté et encastrée de autre Formuaire d une poutre bi-encastrée Formuaire d une poutre consoe Poutre continue Notations et définitions Poutre isostatique associée Formue des trois moments Expression des soicitations et actions de iaison Formuaire des rotations usuees Formuaire de a poutre continue à travées égaes Formuaire de a poutre continue à 3 travées égaes Formuaire de a poutre continue à 4 travées égaes Formuaire de a poutre continue à 5 travées égaes Poutre continue sur appuis éastiques ponctues 107

7 vi Tabe des matières 5.4 Systèmes de poutres croisées Principe Cas particuier des poutres de même inertie Cas particuier des poutres infiniment rigides dans une direction Poutre sur appui éastique continu Définition et paramètres Formuaire de a poutre infinie Formuaire de a poutre semi-infinie Formuaire de a poutre de ongueur finie Portique Portique à un seu montant et à deux extrémités articuées Portique à un seu montant et à deux extrémités encastrées Portique à un seu montant et à une extrémité encastrée et autre articuée Portique à deux montants articués Portique à deux montants encastrés Arcs hyperstatiques Arc circuaire à deux articuations sans tirant Arc paraboique à deux articuations sans tirant 17 Chapitre 6 PLAQUES ET COQUES Paques Formues généraes Méthode de résoution pour es paques rectanguaires Paques rectanguaires Paques circuaires Paques annuaires Coques Cyindriques verticaux Cyindres horizontaux rempis par un iquide Coupoe sphérique fermée Coupoe sphérique ouverte Coque sphérique 153 Chapitre 7 FORMULATION DES ÉLÉMENTS FINIS Introduction 154

8 Tabe des matières vii 7. Principe des ééments finis Étapes de a résoution d un probème Appication à étude d une poutre soicitée en fexion Description du probème Construction de a matrice de raideur ocae Impantation et résoution dans Matab Ééments isoparamétriques Fonctions de forme des ééments isoparamétriques courants Éément barre à deux nœuds Éément barre à trois nœuds Éément trianguaire à trois nœuds Éément trianguaire à six nœuds Éément quadranguaire à quatre nœuds Éément quadranguaire à huit nœuds Éément quadranguaire à neuf nœuds 171 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Chapitre 8 INSTABILITÉ DES STRUCTURES Instabiité de poutres Poutre d Euer Soutions généraes des poutres comprimées Soutions particuières pour des poutres de section constante Prise en compte d un défaut initia Cacu des moments dans une poutre comprimée féchie Déversement atéra de poutres Déversement atéra de poutres à section rectanguaire Déversement atéra de poutres à section en I Instabiité et voiement de paques Fambement de structures non panes initiaement Fambement d arc et d anneaux Fambement de tubes minces 184 Chapitre 9 CALCUL NON-LINÉAIRE, ANALYSE LIMITE, PLASTICITÉ Introduction Modèes de comportement des matériaux 187

9 viii Tabe des matières 9.3 Pastification en fexion : notion de moment pastique et rotue pastique Hypothèses Section symétrique Anayse imite d un système de poutres Enjeux Théorème statique Théorème cinématique 19 Chapitre 10 DYNAMIQUE ET VIBRATIONS Système à 1 degré de iberté Équation du mouvement Le régime ibre Le régime forcé sinusoïda Régime permanent sous une charge périodique queconque Réponse à une charge arbitraire Réponse à des chargements impusionnes simpes Système à N degrés de iberté Équations du mouvement Signification des modes propres et fréquences propres Détermination des fréquences propres de vibration Détermination des modes propres de vibration Propriété d orthogonaité des modes Normaisation des vecteurs modes de vibration Équations modaes du mouvement - Superposition des modes Vibration des systèmes continus Vibration axiae des barres Vibration transversae des poutres Détermination du mode fondamenta de vibration : méthode de Rayeigh Modes propres de vibration des poutres Modes propres de vibration des paques 14 Index 15

10 Chapitre 1 Théorie des poutres L objectif de ce premier chapitre est de mettre en pace et définir toutes es notions de base en mécanique des miieux continus permettant d aborder es chapitres suivants traitant de a mécanique des structures, pus communément appeée Résistance des Matériaux. 1.1 PRINCIPES DE BASE EN RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX La notion de contrainte Si un soide est en équiibre sous action d un ensembe de forces, de coupes et de iaisons, ce dernier se déformera. La contrainte est objet mathématique permettant de quantifier es tensions internes à a matière. Pour définir a notion de contrainte, i suffit de procéder par a méthode des coupures virtuees du soide étudié. En un point M, isoons une partie du

11 1 Théorie des poutres soide, défini par un pan de coupure orienté par e vecteur norma sortant au soide n. F C M n T (M, n ) Figure 1.1 En chaque point M de a surface de coupure, i faut rempacer a partie du soide manquant par une densité surfacique d effort sur a coupure représentant action de ce dernier sur e soide isoé. Cette densité d effort, définie ocaement en un point M et orientée par une normae sortante n est appeée e vecteur contrainte T (M, n ). Le vecteur contrainte dépend inéairement du vecteur unitaire n. I existe donc ocaement un opérateur inéaire reiant e vecteur contrainte sur un pan à sa normae, c est e tenseur des contraintes s, symétrique du second ordre. I vient ainsi, T (M, n ) = s(m). n La matrice du tenseur des contraintes, reative à a base ( e x, e y, e z ) prend a forme suivante : s xx s xy s xz s = s yx s yy s yz s zx s zy s zz I est usue de représenter graphiquement e tenseur des contraintes dans e pan de Mohr, permettant de séparer es contraintes normaes des contraintes de cisaiement. Si on désigne par t a contrainte de cisaiement (portée par un vecteur t )ets n a contrainte normae, on peut décomposer e vecteur contrainte en deux contributions : T (M, n ) = sn n + t t

12 1.1 Principes de base en résistance des matériaux 3 I existe un repère particuier dans eque e tenseur des contraintes est diagona, c est e repère principa des contraintes. En notant s 1, s et s 3 es 3 contraintes principaes, avec s 1 < s < s 3, e domaine d admissibiité du vecteur contrainte est défini par es 3 inéquations suivantes, définissant un ensembe de cerces. t +(s n s )(s n s 3 ) 0 t +(s n s 1 )(s n s 3 ) 0 t +(s n s 1 )(s n s ) 0 Dans e pan de Mohr, admissibiité de a contrainte est visuaisée par a zone grisée ci-après. t s 1 s s 3 s n Dunod La photocopie non autorisée est un déit Figure 1. Pour un état pan de contrainte, si on désigne par u, ange entre e repère principa des contraintes et e repère dans eque a matrice du tenseur des contraintes est exprimée, a reation entre es contraintes principaes et es différents termes du tenseur des contraintes est s xx = s 1 + s s yy = s 1 + s + s s 1. cos(u) s s 1. cos(u) s xy = s s 1. sin(u)

13 4 1 Théorie des poutres t s xy s 1 s yy u s s n s xx s xy Figure La déformation La déformation est a variation reative de ongueur d un soide orsque ce dernier est soumis à une action extérieure. Le tenseur des déformations, sous hypothèse des Petites Perturbations est a partie symétrique du gradient du champ de dépacement U (u x, u y, u z ). e = 1 (grad U + grad T U ) Dans a base ( e x, e y, e z ), e tenseur symétrique du second ordre se cacue de a manière suivante : u e xx e xy e x 1 xz x ( ux y + u y x ) 1 ( ux z + uz x ) e = e yx e yy e yz = 1 ( ux y + u y x ) u y 1 y ( u y z + uz y ) 1 e zx e zy e zz ( ux z + uz x ) 1 ( u y z + uz y ) u z z

14 1.1 Principes de base en résistance des matériaux La oi de comportement La reation iant e tenseur des contraintes au tenseur des déformations est a oi de comportement. Sous Hypothèse de Petites Perturbations, pour un matériau homogène, inéaire et isotrope, a oi de comportement est un opérateur inéaire du 4ième ordre. La oi d éasticité, ou oi de Hooke introduit paramètres matériaux : e modue d Young E et e coefficient de Poisson n. La reation tensoriee s exprime comme suit : e = 1+n E s n tr s. Id E Dunod La photocopie non autorisée est un déit Id est e tenseur identité, tr s désigne a trace de s. À inverse, a reation exprimant a contrainte à a déformation, en fonction des coefficients de Lamé ( et m)est: s = me + tr e. Id Les paramètres d éasticité et es coefficients de Lamé sont iés par es reations : ne = (1 + n)(1 n) E m = (1 + n) En écrivant es tenseurs des contraintes et déformations en vecteur coonne de taie 6, on peut exprimer a oi de Hooke de manière matriciee, pus simpe d interprétation. s xx m e xx s yy m e yy s zz = m e zz s yz m 0 0 e yz s zx m 0 e zx s xy m e xy Dans un cas de chargement bidimensionne, a oi de comportement se retrouve sous forme simpifiée et condensée. Dans un cas d hypothèse de

15 6 1 Théorie des poutres contraintes panes : s xx s yy s xy = E (1 n ) 1 n 0 n n e xx e yy e xy Sous hypothèse de déformation pane : s xx s yy s xy = E (1 + n)(1 n) 1 n n 0 n 1 n n e xx e yy e xy Définitions et hypothèses en mécanique des structures La théorie des poutres consiste à associer à a mécanique des miieux continus des hypothèses statiques, géométriques et cinématiques permettant de réduire a taie du probème à étudier. a) La géométrie et e matériau Une poutre est un éément particuier de structure décrit par une surface pane S appeée section droite de centre de gravité G. La igne moyenne de a poutre G est formée par es différentes positions du centre de gravité G de a poutre orsque orsque on parcourt cette dernière seon toute sa ongueur L. SiS est petit devant L aors état de contrainte s ainsi que e champ de dépacement U du soide pourront être approximés en fonction de quantités exprimées uniquement e ong de G. Si G est une droite, a poutre est dite droite. Sig est dans un pan, a poutre est dite pane. Dans es autres cas, a poutre est dite courbe. Le matériau constituant a poutre est homogène, isotrope éastique inéaire.

16 1.1 Principes de base en résistance des matériaux 7 b) Les hypothèses cinématiques Les dépacements, rotations et déformations sont supposés petits. La poutre, de part ses équations d équiibre, sera donc étudiée dans sa configuration de référence. C est hypothèses des Petites Perturbations. L hypothèse d Euer-Bernoui suppose que, pour toutes transformations géométriques, es sections droites d une poutre restent panes et perpendicuaires à a fibre moyenne. Cette hypothèse permet de définir e dépacement U P de tout point P, d une section droite uniquement en fonction du dépacement du centre de gravite U G et de a rotation de a section droite Q(s)à abscisse curviigne s. U P (s) = U G (s)+ Q(s) GP Dans e cas d une poutre droite, abscisse curviigne est confondue avec axe x, e champ de dépacement U (u x, u y, u z ) de tout point P(x, y, z)peut ainsi être obtenu par : Dunod La photocopie non autorisée est un déit u x (x, y, z) = u x + u y (x).z u z (x).y u y (x, y, z) = u y u x (x).z u z (x, y, z) = u z + u x (x).y Dans a suite, nous définirons a courbure x par x = dq/dx. Les déformations non nues sont données par : e xx (x, y, z) = u x(x) + x y (x).z x z (x).y x e xy (x, y, z) = u y(x) u z (x) x x (x).z x e xz (x, y, z) = u z(x) + u y (x)+x x (x).y x Sous hypothèse que es déformations de cisaiement sont nues (hypothèse d Euer-Bernoui), on peut définir a rotation u d une section droite

17 8 1 Théorie des poutres y y G x u z(x) = u y(x) x G u y(x) x x Figure 1.4 par : u z (x) = u y(x) x u y (x) = u z(x) x si de pus, a poutre ne subit pas de torsion (u x (x) = 0), aors e tenseur de déformations est uniaxia et i reste : e xx (x, y, z) = u x(x) + x y (x).z x z (x).y x e xy (x, y, z) = 0 e xz (x, y, z) = 0 c) Efforts de cohésion et hypothèses statiques L hypothèse de Barré de Saint Venant suppose que pour une section droite queconque, suffisamment éoignée du point d appication des efforts extérieurs sur une poutre, es effets de ce même chargement peuvent être rempacés par un torseur équivaent s appiquant à cette section droite. Pour une section droite queconque, e tenseur des contraintes en un point P prendra

18 1.1 Principes de base en résistance des matériaux 9 a forme suivante : s = s xx s xy s xz s yx 0 0 s zx 0 0 Le torseur des contraintes généraisées, par appication du principe fondamenta de a statique est défini par une composante en efforts R et une composante en moments M. R = N x + Vy y + Vz z M = Mx x + My y + Mz z Dunod La photocopie non autorisée est un déit N est effort norma,v y et V z sont respectivement es efforts tranchants seon es directions y et z. M x est e moment de torsion, M y et M z sont es moments de fexion autour des directions y et z. L expression de ces actions de iaison s obtient par intégration des contraintes dans a section droite. N = s xx dydz S V y = s xy dydz S V z = s xz dydz S M x = (s xz y s xy z)dydz S M y = s xx zdydz S M z = s xx ydydz Équations d équiibre d un éément de poutre S En isoant un tronçon de poutre, on peut étabir es équations différentiees d équiibre d une poutre en terme de contraintes généraisées. Pour une

19 10 1 Théorie des poutres fexion dans e pan (x, y), 3 équations d équiibre sont obtenues. dn(x) = 0 dx dv(x) = p(x) dx dm(x) = V (x) dx y V (x) M(x) p(x) V (x + dx) M(x + dx) N(x) N(x + dx) x x x + dx Figure ÉTUDES DES POUTRES SOUS DIVERSES SOLLICITATIONS 1..1 Lois de comportement généraisées pour es poutres En mécanique des structures, on distingue certaines actions de base ainsi que eurs combinaisons. Par définition, traction ou compression : N 0, V y = V z = 0etM x = M y = M z = 0 fexion pure : M y 0ouM z 0, N = 0, V y = V z = 0etM x = 0 fexion simpe : M y 0etV z 0ouM z 0etV y 0, N = 0et M x = 0

20 1. Études des poutres sous diverses soicitations 11 fexion composée : N 0, M y 0etV z 0ouM z 0etV y 0, M x = 0 fexion déviée : M y 0, V z 0etM z 0, V y 0, N = 0etM x = 0 fexion composée déviée : N 0, M y 0, V z 0etM z 0, V y 0, M x = 0 torsion : M x 0, N = 0, V y = V z = 0etM y = M z = 0 Les effets des 3 actions de base sont étudiés dans es paragraphes suivants. Dunod La photocopie non autorisée est un déit a) L effort norma dans une poutre On considère une poutre droite (barre) isostatique de modue d Young E, de ongueur L et de section S(x) soumise à un effort norma N ext.l effort norma est constant e ong de a barre et vaut N(x) = N ext. La contrainte est constante e ong de a barre et dans a section droite et vaut : s xx = N x (x)/s. Par a oi de comportement, e xx = s xx /E = N(x)/ES(x). La déformation atérae, dans es directions z et y vaut e yy = e zz = ne xx. Considérant a reation entre e dépacement axia et a déformation axiae, nous pouvons exprimer a oi de comportement généraisée d une poutre sous un effort axia centré : N = ES(x) u x x Le dépacement en tout point d une barrre s obtient par intégration : u(x) = L 0 N ES(x) dx b) Le moment féchissant dans une poutre Considérant une fexion pane seon a direction y, hypothèse d Euer- Bernoui permet d obtenir e profi des déformations axiaes e ong de a section droite : e xx = u z x. y = x z. y

21 1 1 Théorie des poutres Utiisant a oi de comportement uniaxiae reiant a contrainte et a déformation ainsi que a définition d une contrainte généraisée de fexion, nous pouvons exprimer e moment féchissant dans une section S d abscisse x par : M z = Ex z. y ds S Soit, en introduisant a définition du moment d inertie quadratique I z = y ds, a oi de comportement généraisée d une poutre en fexion : S M z = EI z x z Pour deux sections infiniment voisines, sous hypothèse des petits dépacements et petites déformations, on peut assimier a courbure de a poutre à a dérivée de a rotation, soit à a dérivée seconde du dépacement : u y (x) M z = EI z x La contrainte normae, en fonction du moment féchissant, est obtenue en tout point de a poutre par : s xx (x, y) = M z(x)y I z y y v y e xx(v ) = x zv s xx(v ) = Mzv EI v G z e e xx(v) = x zv Figure 1.6 s s xx(v) = Mzv EI Les distributions de a déformation et de a contrainte normae e ong de a section sont inéaires.

22 1. Études des poutres sous diverses soicitations 13 c) Le moment de torsion dans une poutre Considérons une poutre de section circuaire (peine ou évidée), de rayon R soumise à un moment de Torsion constant M x. La contrainte de cisaiement en tout point P, repéré par sa distance r au centre de gravité G de a section est obtenue par : t = M xr J avec J e moment quadratique de torsion (J = pr 4 /, pour une section peine et J = p(r 4 1 R 4 )/ pour une section évidée de rayon intérieur R ). y P r G G x dx Dunod La photocopie non autorisée est un déit Figure 1.7 Le dépacement reatif de deux sections voisines distantes de dx est une rotation du autour de axe x. En introduisant e modue de cisaiement du matériau G, a oi de comportement généraisée d une poutre en torsion est : du dx = M x GJ Pour toute section droite autre que circuaire, expression de a contrainte et de a oi de comportement généraisée doit prendre en compte e gauchissement des sections. Section rectanguaire En considérant une section rectanguaire de hauteur h et d épaisseur e (avec e < h), a contrainte de cisaiement maximum vaut t max = M x /k 1 he et a

23 14 1 Théorie des poutres oi de comportement généraisée s exprime par : du dx = M x Gk he 3 Les vaeurs de k 1 et k peuvent être estimées à aide du tabeau suivant : h/e k /3 k /3 Profiés minces ouverts Pour des poutres dont es sections droites s apparentent à un I ou un U, es contraintes maximaes peuvent être approximées de a manière suivante, pour es contraintes de cisaiement maximum dans âme : t 1max = 3M x e 1 h 1 e1 3 +h e 3 3M x e Dans aie du profié : t max = h 1 e1 3 +h e 3 La oi de comportement généraisée s exprime par : du dx = 3M x G(h 1 e1 3 +h e 3) e h 1 h 1 e 1 e e h e e1 h Figure 1.8

24 1. Études des poutres sous diverses soicitations 15 Tube mince ouvert De manière anaogue aux sections rectanguaires étroites, orsque e rapport h/e tend vers infini : t max = 3M x he du dx = 3M x Ghe 3 Tube mince fermé Pour un tube mince fermé, e fux de cisaiement e ong du tube est constant, de même donc pour a contrainte de cisaiement. En dénommant G a igne moyenne du tube, et S aire déimitée par cette igne moyenne, on peut cacuer a contrainte de cisaiement par : Dunod La photocopie non autorisée est un déit t = M x Se et a oi de comportement généraisée : avec J = 4S / ds/e G du dx = M x GJ 1.. Poutre en fexion simpe En fexion simpe, viennent se superposer aux contraintes normaes engendrées par e moment féchissant, es contraintes de cisaiement iées à a présence d un effort tranchant non-nu à abscisse x de a poutre. Pour une section droite queconque, de moment quadratique I z, a contrainte de cisaiement, en tout point y de cette section s obtient en figure 1.9. b(y) est a argeur de a poutre à a côte y et H(y) est e moment statique de a section au dessus de a côte y. Pour une section rectanguaire (argeur b et hauteur h), e profi des contraintes de cisaiement est paraboique, nu aux bords et maximum au centre : t(y) = 3V y(x) bh ) (1 4y h

25 16 1 Théorie des poutres y b z t(y) = V y(x)h(y) I z b(y) Figure 1.9 Le diagramme des contraintes reste inéaire dans a section : s xx (x, y) = M z (x)y/i z Poutre en fexion déviée Lorsque axe du moment féchissant extérieur ne correspond pas avec un des axes principaux d inertie de a section, i est nécessaire de décomposer ce dernier en deux composantes, seon es axes principaux d inertie de a section afin de procéder au cacu des contraintes par superposition. Ainsi, a contrainte normae pourra être obtenue par : s xx (x) = M y(x)z I y M z(x)y I z Si une section droite est repérée par un sytème de coordonnées x y z,les axes principaux d inertie d une section droite portée par a normae x sont obtenues par une rotation d un ange a autour de x te que : tan a = I y z I z I y 1..4 Poutre en fexion composée Lorsqu aux actions de fexion se rajoute une composante d effort norma, nous parerons de fexion composée. La contrainte normae est obtenue par

26 1. Études des poutres sous diverses soicitations 17 superposition des différents termes : s xx (x) = N S + M y(x)z I y M z(x)y I z Dans certains cas, i peut être intéressant de remarquer que e sytème d effort est équivaent à un effort unique appiqué dans e pan de a section appeé e «centre de pression». La position de ce centre de pression est y 1 = M z /N et z 1 = M y /N. Si e centre de pression est à intérieur «du noyau centra» de a section, aors toutes es contraintes normaes sont de même signe, queque soit e point de a section droite considéré. À inverse, si e centre de pression est en dehors du noyau centra, aors es contraintes normaes de part et d autres de a section droite seront de signes contraires. La imite du noyau centra est obtenue en faisant coïncider axe neutre de a poutre avec e contour de a section droite. Prenons exempe d une poutre rectanguaire ne subissant qu un moment de fexion M z et un effort norma N. La position du centre de pression repérée par ses coordonnées z 1 = 0ety 1 = M z /N permet de cacuer a contrainte en tout point, sachant que I z = bh 3 /1 : Dunod La photocopie non autorisée est un déit s xx = N bh + 6M z bh Pour es bords es pus soicités : s xx (y 1 ) = N ( 1+6 y ) 1 S h s xx ( y 1 ) = N ( 1 6 y ) 1 S h La frontière du noyau centra, dans ce cas, est obtenue en imposant s xx = 0 en y = y 1 et y = y 1,soith/6et h/6. La même étude peut être effectuée pour une fexion seon z due à un moment M y permettant de définir pour imite du noyau centra b/6 et b/6. La forme du noyau centra pour une section rectanguaire est un osange centré sur G, de dimension h/3etb/3.

27 Chapitre Caractéristiques des sections.1 PRÉAMBULE Les cacus des différentes intégraes se font dans un repère cartésien ou dans un repère cyindrique. Coordonnées du point Surface infinitésimae ds Repère cartésien (y, z) dy dz Repère cyindrique (r, u) rdrdu y y O r z u M z z = r cos u y = r sin u r = y + z Figure.1

28 . Définitions 19. DÉFINITIONS..1 Surface Surface de a section (S): S = ds [m ] S y G (S) y G O z G z Figure... Centre de gravité Dunod La photocopie non autorisée est un déit Position du centre de gravité de a section (S) par rapport à axe O y : S y G = yds S ds = H Oz [m] S Position du centre de gravité de a section (S) par rapport à axe O z : S z G = zds S ds = H Oy [m] S..3 Moment statique Moment statique de a section (S) par rapport à axe O y : H Oy = zds [m 3 ] S

29 0 Caractéristiques des sections Moment statique de a section (S) par rapport à axe O z : H Oz = yds [m 3 ] Propriétés S Le moment statique d une surface est nu par rapport à un axe passant par son centre de gravité. Le moment statique d une surface est éga au produit de sa surface par a distance de son centre de gravité : H Oy = Sz G H Oz = Sy G..4 Moment d inertie Moment d inertie (ou moment quadratique) de a section (S) par rapport à axe O y : I Oy = z ds [m 4 ] Moment d inertie de a section (S) par rapport à axe O z : I Oz = y ds [m 4 ] Propriétés S S Les moments d inertie sont toujours positifs. Les moments d inertie sont minimaux au centre de gravité de a section (voir e théorème d Huygens en.3.1 pour expication)...5 Produit d inertie Produit d inertie de a section (S) par rapport aux axes O y et O z : I Oyx = yz ds [m 4 ] S

30 . Définitions 1..6 Moment poaire Moment poaire de a section (S) par rapport à axe O x : I O = r ds [m 4 ] S Propriétés Le moment poaire est toujours positif. Reation entre e moment poaire et es moments quadratiques : I O = r ds = (y + z ) ds = I Oy + I Oz..7 Axes principaux d inertie S S Dunod La photocopie non autorisée est un déit Le repère formé par es axes principaux d inertie G Y et G Z est te que : Le produit d inertie est nu dans ce repère. Les moments d inertie sont respectivement maxima par rapport à un axe et minima par rapport à autre. Ces moments sont aors appeés moments principaux d inertie. Propriétés Si a section possède un axe de symétrie, cet axe est un axe principa d inertie. Si a section possède deux axes de symétrie, ces axes sont des axes principaux d inertie...8 Rayon de giration Rayon de giration d une surface (S) par rapport à axe O y : i Oy = IOy S [m]

31 Caractéristiques des sections Rayon de giration d une surface (S) par rapport à axe O z : i Oz = IOz S [m].3 THÉORÈMES ET PROPRIÉTÉS.3.1 Théorème de Huygens Connaissant es inerties d une surface dans un repère (G, y, z), e théorème de Huygens permet d exprimer es inerties dans un repère d axes paraèes (O, y, z). La réciproque est natureement vraie..3. Changement de repère I Oy = I Gy + Sz G I Oz = I Gz + SyG I Oyz = I Gyz + Sy G z G a) Repère orienté par un ange a On considère e repère (O z 1,O y 1 ) orienté par un ange a par rapport au repère (O z,o y). Les coordonnées d un point dans ce nouveau repère sont : y 1 = sin(a)z +cos(a)y z 1 = cos(a)z +sin(a)y Les moments d inertie d une section dans e nouveau repère s écrivent : I Gy1 I Gz1 Le produit d inertie est : = 1 (I Gz + I Gy )+ 1 (I Gz I Gy )cos(a)+i Gyz sin(a) = 1 (I Gz + I Gy ) 1 (I Gz I Gy )cos(a) I Gyz sin(a) I Gy1z 1 = 1 (I Gz I Gy )sin(a)+i Gyz cos(a)

32 .3 Théorèmes et propriétés 3 b) Repère principa d inertie L ange a entre e repère principa d inertie O Z et O Y et e repère (O z,o y) est : tan(a) = I Gyz I Gy I Gz Les moments d inertie principaux, respectivement maxima et minima, sont : I max = 1 ( ) (IGz ) I Gy + I Gy +4IGyz I min = 1 ( ) (IGz ) I Gz I Gy +4IGyz y Y G (S) Z a y G Dunod La photocopie non autorisée est un déit O z G Figure Décomposition d une surface Une section (S) peut être décomposée en n sections éémentaires (S i ), i {1,.., n}. Les caractéristiques géométriques de a section (S) peuvent être cacuées à partir de a somme agébrique des caracteristiques géométriques des sections (S i ), en utiisant si nécessaire e théorème de Huygens pour e transport des inerties. Exempe. Cacu des caractéristiques d une cornière en L (S) = (S 1 )+(S ) (S 3 ) z