MÉCANIQUE DES STRUCTURES

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "MÉCANIQUE DES STRUCTURES"

Transcription

1 SCIENCES SUP Aide-mémoire IUT Licence Master MÉCANIQUE DES STRUCTURES Résistance des matériaux Arnaud Deapace Fabrice Gatuingt Frédéric Ragueneau

2 AIDE-MÉMOIRE MÉCANIQUE DES STRUCTURES Résistance des matériaux Arnaud Deapace Chargé de recherche au CNRS, agrégé de Génie civi Fabrice Gatuingt Maître de conférences à 'ENS Cachan, agrégé de Génie Civi Frédéric Ragueneau Maître de conférences à 'ENS Cachan

3 Iustration de couverture : INMAGINE Dunod, Paris, 008 ISBN

4 Tabe des matières Dunod La photocopie non autorisée est un déit Chapitre 1 THÉORIE DES POUTRES Principes de base en résistance des matériaux La notion de contrainte La déformation La oi de comportement Définitions et hypothèses en mécanique des structures Équations d équiibre d un éément de poutre 9 1. Études des poutres sous diverses soicitations Lois de comportement généraisées pour es poutres Poutre en fexion simpe Poutre en fexion déviée Poutre en fexion composée 16 Chapitre CARACTÉRISTIQUES DES SECTIONS 18.1 Préambue 18. Définitions Surface 19.. Centre de gravité Moment statique Moment d inertie 0..5 Produit d inertie 0..6 Moment poaire 1..7 Axes principaux d inertie 1..8 Rayon de giration 1

5 iv Tabe des matières.3 Théorèmes et propriétés.3.1 Théorème de Huygens.3. Changement de repère.3.3 Décomposition d une surface 3.4 Caractéristiques des principaes sections 5.5 Exempe : caractéristiques d une section en T 7 Chapitre 3 THÉORÈMES GÉNÉRAUX MÉTHODES ÉNERGÉTIQUES Principe des travaux virtues PTV Champ de dépacement virtue Définition du travai des forces dans e champ de dépacement virtue Égaité de Capeyron Théorème de réciprocité de Maxwe-Betti Théorème de Castigiano Théorème de Ménabréa Théorème de Müer-Bresau : Formue de Mohr Lignes d infuence Effet d un ensembe de charges Lignes d infuence des déformations 40 Chapitre 4 SYSTÈMES ISOSTATIQUES Définitions Systèmes isostatiques Efforts et conditions de iaisons Exempe 4 4. Poutre sur deux appuis Cas d une charge concentrée Cas d un convoi de charges ponctuees : théorème de Barré Cas d une charge uniformément répartie Cas d une charge répartie partiee Cas d une charge répartie partiee proche d un appui Cas d une charge trianguaire Cas d une charge trianguaire monotone Cas d une charge trianguaire anti symétrique Cas d une charge trapézoïdae symétrique Cas d une charge paraboique 54

6 Tabe des matières v Cas d un coupe en un point queconque Cas d un coupe à une extrémité Cas d un coupe uniformément réparti Poutre consoe Cas d une charge concentrée Cas d une charge uniformément répartie Cas d une charge trianguaire croissante Cas d une charge trianguaire décroissante Cas d un coupe Arc paraboique isostatique Cas d une charge uniformément répartie Cas d une charge ponctuee horizontae Cas d une charge ponctuee verticae 64 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Chapitre 5 SYSTÈMES HYPERSTATIQUES Généraités Degré d hyperstaticité H Méthode des forces Méthode des dépacements Poutre droite à une travée Encastrement éastique aux extrémités Formuaire d une poutre simpement appuyée d un côté et encastrée de autre Formuaire d une poutre bi-encastrée Formuaire d une poutre consoe Poutre continue Notations et définitions Poutre isostatique associée Formue des trois moments Expression des soicitations et actions de iaison Formuaire des rotations usuees Formuaire de a poutre continue à travées égaes Formuaire de a poutre continue à 3 travées égaes Formuaire de a poutre continue à 4 travées égaes Formuaire de a poutre continue à 5 travées égaes Poutre continue sur appuis éastiques ponctues 107

7 vi Tabe des matières 5.4 Systèmes de poutres croisées Principe Cas particuier des poutres de même inertie Cas particuier des poutres infiniment rigides dans une direction Poutre sur appui éastique continu Définition et paramètres Formuaire de a poutre infinie Formuaire de a poutre semi-infinie Formuaire de a poutre de ongueur finie Portique Portique à un seu montant et à deux extrémités articuées Portique à un seu montant et à deux extrémités encastrées Portique à un seu montant et à une extrémité encastrée et autre articuée Portique à deux montants articués Portique à deux montants encastrés Arcs hyperstatiques Arc circuaire à deux articuations sans tirant Arc paraboique à deux articuations sans tirant 17 Chapitre 6 PLAQUES ET COQUES Paques Formues généraes Méthode de résoution pour es paques rectanguaires Paques rectanguaires Paques circuaires Paques annuaires Coques Cyindriques verticaux Cyindres horizontaux rempis par un iquide Coupoe sphérique fermée Coupoe sphérique ouverte Coque sphérique 153 Chapitre 7 FORMULATION DES ÉLÉMENTS FINIS Introduction 154

8 Tabe des matières vii 7. Principe des ééments finis Étapes de a résoution d un probème Appication à étude d une poutre soicitée en fexion Description du probème Construction de a matrice de raideur ocae Impantation et résoution dans Matab Ééments isoparamétriques Fonctions de forme des ééments isoparamétriques courants Éément barre à deux nœuds Éément barre à trois nœuds Éément trianguaire à trois nœuds Éément trianguaire à six nœuds Éément quadranguaire à quatre nœuds Éément quadranguaire à huit nœuds Éément quadranguaire à neuf nœuds 171 Dunod La photocopie non autorisée est un déit Chapitre 8 INSTABILITÉ DES STRUCTURES Instabiité de poutres Poutre d Euer Soutions généraes des poutres comprimées Soutions particuières pour des poutres de section constante Prise en compte d un défaut initia Cacu des moments dans une poutre comprimée féchie Déversement atéra de poutres Déversement atéra de poutres à section rectanguaire Déversement atéra de poutres à section en I Instabiité et voiement de paques Fambement de structures non panes initiaement Fambement d arc et d anneaux Fambement de tubes minces 184 Chapitre 9 CALCUL NON-LINÉAIRE, ANALYSE LIMITE, PLASTICITÉ Introduction Modèes de comportement des matériaux 187

9 viii Tabe des matières 9.3 Pastification en fexion : notion de moment pastique et rotue pastique Hypothèses Section symétrique Anayse imite d un système de poutres Enjeux Théorème statique Théorème cinématique 19 Chapitre 10 DYNAMIQUE ET VIBRATIONS Système à 1 degré de iberté Équation du mouvement Le régime ibre Le régime forcé sinusoïda Régime permanent sous une charge périodique queconque Réponse à une charge arbitraire Réponse à des chargements impusionnes simpes Système à N degrés de iberté Équations du mouvement Signification des modes propres et fréquences propres Détermination des fréquences propres de vibration Détermination des modes propres de vibration Propriété d orthogonaité des modes Normaisation des vecteurs modes de vibration Équations modaes du mouvement - Superposition des modes Vibration des systèmes continus Vibration axiae des barres Vibration transversae des poutres Détermination du mode fondamenta de vibration : méthode de Rayeigh Modes propres de vibration des poutres Modes propres de vibration des paques 14 Index 15

10 Chapitre 1 Théorie des poutres L objectif de ce premier chapitre est de mettre en pace et définir toutes es notions de base en mécanique des miieux continus permettant d aborder es chapitres suivants traitant de a mécanique des structures, pus communément appeée Résistance des Matériaux. 1.1 PRINCIPES DE BASE EN RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX La notion de contrainte Si un soide est en équiibre sous action d un ensembe de forces, de coupes et de iaisons, ce dernier se déformera. La contrainte est objet mathématique permettant de quantifier es tensions internes à a matière. Pour définir a notion de contrainte, i suffit de procéder par a méthode des coupures virtuees du soide étudié. En un point M, isoons une partie du

11 1 Théorie des poutres soide, défini par un pan de coupure orienté par e vecteur norma sortant au soide n. F C M n T (M, n ) Figure 1.1 En chaque point M de a surface de coupure, i faut rempacer a partie du soide manquant par une densité surfacique d effort sur a coupure représentant action de ce dernier sur e soide isoé. Cette densité d effort, définie ocaement en un point M et orientée par une normae sortante n est appeée e vecteur contrainte T (M, n ). Le vecteur contrainte dépend inéairement du vecteur unitaire n. I existe donc ocaement un opérateur inéaire reiant e vecteur contrainte sur un pan à sa normae, c est e tenseur des contraintes s, symétrique du second ordre. I vient ainsi, T (M, n ) = s(m). n La matrice du tenseur des contraintes, reative à a base ( e x, e y, e z ) prend a forme suivante : s xx s xy s xz s = s yx s yy s yz s zx s zy s zz I est usue de représenter graphiquement e tenseur des contraintes dans e pan de Mohr, permettant de séparer es contraintes normaes des contraintes de cisaiement. Si on désigne par t a contrainte de cisaiement (portée par un vecteur t )ets n a contrainte normae, on peut décomposer e vecteur contrainte en deux contributions : T (M, n ) = sn n + t t

12 1.1 Principes de base en résistance des matériaux 3 I existe un repère particuier dans eque e tenseur des contraintes est diagona, c est e repère principa des contraintes. En notant s 1, s et s 3 es 3 contraintes principaes, avec s 1 < s < s 3, e domaine d admissibiité du vecteur contrainte est défini par es 3 inéquations suivantes, définissant un ensembe de cerces. t +(s n s )(s n s 3 ) 0 t +(s n s 1 )(s n s 3 ) 0 t +(s n s 1 )(s n s ) 0 Dans e pan de Mohr, admissibiité de a contrainte est visuaisée par a zone grisée ci-après. t s 1 s s 3 s n Dunod La photocopie non autorisée est un déit Figure 1. Pour un état pan de contrainte, si on désigne par u, ange entre e repère principa des contraintes et e repère dans eque a matrice du tenseur des contraintes est exprimée, a reation entre es contraintes principaes et es différents termes du tenseur des contraintes est s xx = s 1 + s s yy = s 1 + s + s s 1. cos(u) s s 1. cos(u) s xy = s s 1. sin(u)

13 4 1 Théorie des poutres t s xy s 1 s yy u s s n s xx s xy Figure La déformation La déformation est a variation reative de ongueur d un soide orsque ce dernier est soumis à une action extérieure. Le tenseur des déformations, sous hypothèse des Petites Perturbations est a partie symétrique du gradient du champ de dépacement U (u x, u y, u z ). e = 1 (grad U + grad T U ) Dans a base ( e x, e y, e z ), e tenseur symétrique du second ordre se cacue de a manière suivante : u e xx e xy e x 1 xz x ( ux y + u y x ) 1 ( ux z + uz x ) e = e yx e yy e yz = 1 ( ux y + u y x ) u y 1 y ( u y z + uz y ) 1 e zx e zy e zz ( ux z + uz x ) 1 ( u y z + uz y ) u z z

14 1.1 Principes de base en résistance des matériaux La oi de comportement La reation iant e tenseur des contraintes au tenseur des déformations est a oi de comportement. Sous Hypothèse de Petites Perturbations, pour un matériau homogène, inéaire et isotrope, a oi de comportement est un opérateur inéaire du 4ième ordre. La oi d éasticité, ou oi de Hooke introduit paramètres matériaux : e modue d Young E et e coefficient de Poisson n. La reation tensoriee s exprime comme suit : e = 1+n E s n tr s. Id E Dunod La photocopie non autorisée est un déit Id est e tenseur identité, tr s désigne a trace de s. À inverse, a reation exprimant a contrainte à a déformation, en fonction des coefficients de Lamé ( et m)est: s = me + tr e. Id Les paramètres d éasticité et es coefficients de Lamé sont iés par es reations : ne = (1 + n)(1 n) E m = (1 + n) En écrivant es tenseurs des contraintes et déformations en vecteur coonne de taie 6, on peut exprimer a oi de Hooke de manière matriciee, pus simpe d interprétation. s xx m e xx s yy m e yy s zz = m e zz s yz m 0 0 e yz s zx m 0 e zx s xy m e xy Dans un cas de chargement bidimensionne, a oi de comportement se retrouve sous forme simpifiée et condensée. Dans un cas d hypothèse de

15 6 1 Théorie des poutres contraintes panes : s xx s yy s xy = E (1 n ) 1 n 0 n n e xx e yy e xy Sous hypothèse de déformation pane : s xx s yy s xy = E (1 + n)(1 n) 1 n n 0 n 1 n n e xx e yy e xy Définitions et hypothèses en mécanique des structures La théorie des poutres consiste à associer à a mécanique des miieux continus des hypothèses statiques, géométriques et cinématiques permettant de réduire a taie du probème à étudier. a) La géométrie et e matériau Une poutre est un éément particuier de structure décrit par une surface pane S appeée section droite de centre de gravité G. La igne moyenne de a poutre G est formée par es différentes positions du centre de gravité G de a poutre orsque orsque on parcourt cette dernière seon toute sa ongueur L. SiS est petit devant L aors état de contrainte s ainsi que e champ de dépacement U du soide pourront être approximés en fonction de quantités exprimées uniquement e ong de G. Si G est une droite, a poutre est dite droite. Sig est dans un pan, a poutre est dite pane. Dans es autres cas, a poutre est dite courbe. Le matériau constituant a poutre est homogène, isotrope éastique inéaire.

16 1.1 Principes de base en résistance des matériaux 7 b) Les hypothèses cinématiques Les dépacements, rotations et déformations sont supposés petits. La poutre, de part ses équations d équiibre, sera donc étudiée dans sa configuration de référence. C est hypothèses des Petites Perturbations. L hypothèse d Euer-Bernoui suppose que, pour toutes transformations géométriques, es sections droites d une poutre restent panes et perpendicuaires à a fibre moyenne. Cette hypothèse permet de définir e dépacement U P de tout point P, d une section droite uniquement en fonction du dépacement du centre de gravite U G et de a rotation de a section droite Q(s)à abscisse curviigne s. U P (s) = U G (s)+ Q(s) GP Dans e cas d une poutre droite, abscisse curviigne est confondue avec axe x, e champ de dépacement U (u x, u y, u z ) de tout point P(x, y, z)peut ainsi être obtenu par : Dunod La photocopie non autorisée est un déit u x (x, y, z) = u x + u y (x).z u z (x).y u y (x, y, z) = u y u x (x).z u z (x, y, z) = u z + u x (x).y Dans a suite, nous définirons a courbure x par x = dq/dx. Les déformations non nues sont données par : e xx (x, y, z) = u x(x) + x y (x).z x z (x).y x e xy (x, y, z) = u y(x) u z (x) x x (x).z x e xz (x, y, z) = u z(x) + u y (x)+x x (x).y x Sous hypothèse que es déformations de cisaiement sont nues (hypothèse d Euer-Bernoui), on peut définir a rotation u d une section droite

17 8 1 Théorie des poutres y y G x u z(x) = u y(x) x G u y(x) x x Figure 1.4 par : u z (x) = u y(x) x u y (x) = u z(x) x si de pus, a poutre ne subit pas de torsion (u x (x) = 0), aors e tenseur de déformations est uniaxia et i reste : e xx (x, y, z) = u x(x) + x y (x).z x z (x).y x e xy (x, y, z) = 0 e xz (x, y, z) = 0 c) Efforts de cohésion et hypothèses statiques L hypothèse de Barré de Saint Venant suppose que pour une section droite queconque, suffisamment éoignée du point d appication des efforts extérieurs sur une poutre, es effets de ce même chargement peuvent être rempacés par un torseur équivaent s appiquant à cette section droite. Pour une section droite queconque, e tenseur des contraintes en un point P prendra

18 1.1 Principes de base en résistance des matériaux 9 a forme suivante : s = s xx s xy s xz s yx 0 0 s zx 0 0 Le torseur des contraintes généraisées, par appication du principe fondamenta de a statique est défini par une composante en efforts R et une composante en moments M. R = N x + Vy y + Vz z M = Mx x + My y + Mz z Dunod La photocopie non autorisée est un déit N est effort norma,v y et V z sont respectivement es efforts tranchants seon es directions y et z. M x est e moment de torsion, M y et M z sont es moments de fexion autour des directions y et z. L expression de ces actions de iaison s obtient par intégration des contraintes dans a section droite. N = s xx dydz S V y = s xy dydz S V z = s xz dydz S M x = (s xz y s xy z)dydz S M y = s xx zdydz S M z = s xx ydydz Équations d équiibre d un éément de poutre S En isoant un tronçon de poutre, on peut étabir es équations différentiees d équiibre d une poutre en terme de contraintes généraisées. Pour une

19 10 1 Théorie des poutres fexion dans e pan (x, y), 3 équations d équiibre sont obtenues. dn(x) = 0 dx dv(x) = p(x) dx dm(x) = V (x) dx y V (x) M(x) p(x) V (x + dx) M(x + dx) N(x) N(x + dx) x x x + dx Figure ÉTUDES DES POUTRES SOUS DIVERSES SOLLICITATIONS 1..1 Lois de comportement généraisées pour es poutres En mécanique des structures, on distingue certaines actions de base ainsi que eurs combinaisons. Par définition, traction ou compression : N 0, V y = V z = 0etM x = M y = M z = 0 fexion pure : M y 0ouM z 0, N = 0, V y = V z = 0etM x = 0 fexion simpe : M y 0etV z 0ouM z 0etV y 0, N = 0et M x = 0

20 1. Études des poutres sous diverses soicitations 11 fexion composée : N 0, M y 0etV z 0ouM z 0etV y 0, M x = 0 fexion déviée : M y 0, V z 0etM z 0, V y 0, N = 0etM x = 0 fexion composée déviée : N 0, M y 0, V z 0etM z 0, V y 0, M x = 0 torsion : M x 0, N = 0, V y = V z = 0etM y = M z = 0 Les effets des 3 actions de base sont étudiés dans es paragraphes suivants. Dunod La photocopie non autorisée est un déit a) L effort norma dans une poutre On considère une poutre droite (barre) isostatique de modue d Young E, de ongueur L et de section S(x) soumise à un effort norma N ext.l effort norma est constant e ong de a barre et vaut N(x) = N ext. La contrainte est constante e ong de a barre et dans a section droite et vaut : s xx = N x (x)/s. Par a oi de comportement, e xx = s xx /E = N(x)/ES(x). La déformation atérae, dans es directions z et y vaut e yy = e zz = ne xx. Considérant a reation entre e dépacement axia et a déformation axiae, nous pouvons exprimer a oi de comportement généraisée d une poutre sous un effort axia centré : N = ES(x) u x x Le dépacement en tout point d une barrre s obtient par intégration : u(x) = L 0 N ES(x) dx b) Le moment féchissant dans une poutre Considérant une fexion pane seon a direction y, hypothèse d Euer- Bernoui permet d obtenir e profi des déformations axiaes e ong de a section droite : e xx = u z x. y = x z. y

21 1 1 Théorie des poutres Utiisant a oi de comportement uniaxiae reiant a contrainte et a déformation ainsi que a définition d une contrainte généraisée de fexion, nous pouvons exprimer e moment féchissant dans une section S d abscisse x par : M z = Ex z. y ds S Soit, en introduisant a définition du moment d inertie quadratique I z = y ds, a oi de comportement généraisée d une poutre en fexion : S M z = EI z x z Pour deux sections infiniment voisines, sous hypothèse des petits dépacements et petites déformations, on peut assimier a courbure de a poutre à a dérivée de a rotation, soit à a dérivée seconde du dépacement : u y (x) M z = EI z x La contrainte normae, en fonction du moment féchissant, est obtenue en tout point de a poutre par : s xx (x, y) = M z(x)y I z y y v y e xx(v ) = x zv s xx(v ) = Mzv EI v G z e e xx(v) = x zv Figure 1.6 s s xx(v) = Mzv EI Les distributions de a déformation et de a contrainte normae e ong de a section sont inéaires.

22 1. Études des poutres sous diverses soicitations 13 c) Le moment de torsion dans une poutre Considérons une poutre de section circuaire (peine ou évidée), de rayon R soumise à un moment de Torsion constant M x. La contrainte de cisaiement en tout point P, repéré par sa distance r au centre de gravité G de a section est obtenue par : t = M xr J avec J e moment quadratique de torsion (J = pr 4 /, pour une section peine et J = p(r 4 1 R 4 )/ pour une section évidée de rayon intérieur R ). y P r G G x dx Dunod La photocopie non autorisée est un déit Figure 1.7 Le dépacement reatif de deux sections voisines distantes de dx est une rotation du autour de axe x. En introduisant e modue de cisaiement du matériau G, a oi de comportement généraisée d une poutre en torsion est : du dx = M x GJ Pour toute section droite autre que circuaire, expression de a contrainte et de a oi de comportement généraisée doit prendre en compte e gauchissement des sections. Section rectanguaire En considérant une section rectanguaire de hauteur h et d épaisseur e (avec e < h), a contrainte de cisaiement maximum vaut t max = M x /k 1 he et a

23 14 1 Théorie des poutres oi de comportement généraisée s exprime par : du dx = M x Gk he 3 Les vaeurs de k 1 et k peuvent être estimées à aide du tabeau suivant : h/e k /3 k /3 Profiés minces ouverts Pour des poutres dont es sections droites s apparentent à un I ou un U, es contraintes maximaes peuvent être approximées de a manière suivante, pour es contraintes de cisaiement maximum dans âme : t 1max = 3M x e 1 h 1 e1 3 +h e 3 3M x e Dans aie du profié : t max = h 1 e1 3 +h e 3 La oi de comportement généraisée s exprime par : du dx = 3M x G(h 1 e1 3 +h e 3) e h 1 h 1 e 1 e e h e e1 h Figure 1.8

24 1. Études des poutres sous diverses soicitations 15 Tube mince ouvert De manière anaogue aux sections rectanguaires étroites, orsque e rapport h/e tend vers infini : t max = 3M x he du dx = 3M x Ghe 3 Tube mince fermé Pour un tube mince fermé, e fux de cisaiement e ong du tube est constant, de même donc pour a contrainte de cisaiement. En dénommant G a igne moyenne du tube, et S aire déimitée par cette igne moyenne, on peut cacuer a contrainte de cisaiement par : Dunod La photocopie non autorisée est un déit t = M x Se et a oi de comportement généraisée : avec J = 4S / ds/e G du dx = M x GJ 1.. Poutre en fexion simpe En fexion simpe, viennent se superposer aux contraintes normaes engendrées par e moment féchissant, es contraintes de cisaiement iées à a présence d un effort tranchant non-nu à abscisse x de a poutre. Pour une section droite queconque, de moment quadratique I z, a contrainte de cisaiement, en tout point y de cette section s obtient en figure 1.9. b(y) est a argeur de a poutre à a côte y et H(y) est e moment statique de a section au dessus de a côte y. Pour une section rectanguaire (argeur b et hauteur h), e profi des contraintes de cisaiement est paraboique, nu aux bords et maximum au centre : t(y) = 3V y(x) bh ) (1 4y h

25 16 1 Théorie des poutres y b z t(y) = V y(x)h(y) I z b(y) Figure 1.9 Le diagramme des contraintes reste inéaire dans a section : s xx (x, y) = M z (x)y/i z Poutre en fexion déviée Lorsque axe du moment féchissant extérieur ne correspond pas avec un des axes principaux d inertie de a section, i est nécessaire de décomposer ce dernier en deux composantes, seon es axes principaux d inertie de a section afin de procéder au cacu des contraintes par superposition. Ainsi, a contrainte normae pourra être obtenue par : s xx (x) = M y(x)z I y M z(x)y I z Si une section droite est repérée par un sytème de coordonnées x y z,les axes principaux d inertie d une section droite portée par a normae x sont obtenues par une rotation d un ange a autour de x te que : tan a = I y z I z I y 1..4 Poutre en fexion composée Lorsqu aux actions de fexion se rajoute une composante d effort norma, nous parerons de fexion composée. La contrainte normae est obtenue par

26 1. Études des poutres sous diverses soicitations 17 superposition des différents termes : s xx (x) = N S + M y(x)z I y M z(x)y I z Dans certains cas, i peut être intéressant de remarquer que e sytème d effort est équivaent à un effort unique appiqué dans e pan de a section appeé e «centre de pression». La position de ce centre de pression est y 1 = M z /N et z 1 = M y /N. Si e centre de pression est à intérieur «du noyau centra» de a section, aors toutes es contraintes normaes sont de même signe, queque soit e point de a section droite considéré. À inverse, si e centre de pression est en dehors du noyau centra, aors es contraintes normaes de part et d autres de a section droite seront de signes contraires. La imite du noyau centra est obtenue en faisant coïncider axe neutre de a poutre avec e contour de a section droite. Prenons exempe d une poutre rectanguaire ne subissant qu un moment de fexion M z et un effort norma N. La position du centre de pression repérée par ses coordonnées z 1 = 0ety 1 = M z /N permet de cacuer a contrainte en tout point, sachant que I z = bh 3 /1 : Dunod La photocopie non autorisée est un déit s xx = N bh + 6M z bh Pour es bords es pus soicités : s xx (y 1 ) = N ( 1+6 y ) 1 S h s xx ( y 1 ) = N ( 1 6 y ) 1 S h La frontière du noyau centra, dans ce cas, est obtenue en imposant s xx = 0 en y = y 1 et y = y 1,soith/6et h/6. La même étude peut être effectuée pour une fexion seon z due à un moment M y permettant de définir pour imite du noyau centra b/6 et b/6. La forme du noyau centra pour une section rectanguaire est un osange centré sur G, de dimension h/3etb/3.

27 Chapitre Caractéristiques des sections.1 PRÉAMBULE Les cacus des différentes intégraes se font dans un repère cartésien ou dans un repère cyindrique. Coordonnées du point Surface infinitésimae ds Repère cartésien (y, z) dy dz Repère cyindrique (r, u) rdrdu y y O r z u M z z = r cos u y = r sin u r = y + z Figure.1

28 . Définitions 19. DÉFINITIONS..1 Surface Surface de a section (S): S = ds [m ] S y G (S) y G O z G z Figure... Centre de gravité Dunod La photocopie non autorisée est un déit Position du centre de gravité de a section (S) par rapport à axe O y : S y G = yds S ds = H Oz [m] S Position du centre de gravité de a section (S) par rapport à axe O z : S z G = zds S ds = H Oy [m] S..3 Moment statique Moment statique de a section (S) par rapport à axe O y : H Oy = zds [m 3 ] S

29 0 Caractéristiques des sections Moment statique de a section (S) par rapport à axe O z : H Oz = yds [m 3 ] Propriétés S Le moment statique d une surface est nu par rapport à un axe passant par son centre de gravité. Le moment statique d une surface est éga au produit de sa surface par a distance de son centre de gravité : H Oy = Sz G H Oz = Sy G..4 Moment d inertie Moment d inertie (ou moment quadratique) de a section (S) par rapport à axe O y : I Oy = z ds [m 4 ] Moment d inertie de a section (S) par rapport à axe O z : I Oz = y ds [m 4 ] Propriétés S S Les moments d inertie sont toujours positifs. Les moments d inertie sont minimaux au centre de gravité de a section (voir e théorème d Huygens en.3.1 pour expication)...5 Produit d inertie Produit d inertie de a section (S) par rapport aux axes O y et O z : I Oyx = yz ds [m 4 ] S

30 . Définitions 1..6 Moment poaire Moment poaire de a section (S) par rapport à axe O x : I O = r ds [m 4 ] S Propriétés Le moment poaire est toujours positif. Reation entre e moment poaire et es moments quadratiques : I O = r ds = (y + z ) ds = I Oy + I Oz..7 Axes principaux d inertie S S Dunod La photocopie non autorisée est un déit Le repère formé par es axes principaux d inertie G Y et G Z est te que : Le produit d inertie est nu dans ce repère. Les moments d inertie sont respectivement maxima par rapport à un axe et minima par rapport à autre. Ces moments sont aors appeés moments principaux d inertie. Propriétés Si a section possède un axe de symétrie, cet axe est un axe principa d inertie. Si a section possède deux axes de symétrie, ces axes sont des axes principaux d inertie...8 Rayon de giration Rayon de giration d une surface (S) par rapport à axe O y : i Oy = IOy S [m]

31 Caractéristiques des sections Rayon de giration d une surface (S) par rapport à axe O z : i Oz = IOz S [m].3 THÉORÈMES ET PROPRIÉTÉS.3.1 Théorème de Huygens Connaissant es inerties d une surface dans un repère (G, y, z), e théorème de Huygens permet d exprimer es inerties dans un repère d axes paraèes (O, y, z). La réciproque est natureement vraie..3. Changement de repère I Oy = I Gy + Sz G I Oz = I Gz + SyG I Oyz = I Gyz + Sy G z G a) Repère orienté par un ange a On considère e repère (O z 1,O y 1 ) orienté par un ange a par rapport au repère (O z,o y). Les coordonnées d un point dans ce nouveau repère sont : y 1 = sin(a)z +cos(a)y z 1 = cos(a)z +sin(a)y Les moments d inertie d une section dans e nouveau repère s écrivent : I Gy1 I Gz1 Le produit d inertie est : = 1 (I Gz + I Gy )+ 1 (I Gz I Gy )cos(a)+i Gyz sin(a) = 1 (I Gz + I Gy ) 1 (I Gz I Gy )cos(a) I Gyz sin(a) I Gy1z 1 = 1 (I Gz I Gy )sin(a)+i Gyz cos(a)

32 .3 Théorèmes et propriétés 3 b) Repère principa d inertie L ange a entre e repère principa d inertie O Z et O Y et e repère (O z,o y) est : tan(a) = I Gyz I Gy I Gz Les moments d inertie principaux, respectivement maxima et minima, sont : I max = 1 ( ) (IGz ) I Gy + I Gy +4IGyz I min = 1 ( ) (IGz ) I Gz I Gy +4IGyz y Y G (S) Z a y G Dunod La photocopie non autorisée est un déit O z G Figure Décomposition d une surface Une section (S) peut être décomposée en n sections éémentaires (S i ), i {1,.., n}. Les caractéristiques géométriques de a section (S) peuvent être cacuées à partir de a somme agébrique des caracteristiques géométriques des sections (S i ), en utiisant si nécessaire e théorème de Huygens pour e transport des inerties. Exempe. Cacu des caractéristiques d une cornière en L (S) = (S 1 )+(S ) (S 3 ) z

LE Chapitre I : Rappels généraux. Chapitre 13 Les câbles

LE Chapitre I : Rappels généraux. Chapitre 13 Les câbles E Chapitre I : appes générau. Chapitre 3 es câbes 38 Cacuer une structure : de a théorie à 'eempe Iustration au recto et photos ci-dessous : Mât haubané de mètres servant de soutien au tieu cassé de Doyon

Plus en détail

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech David.Ryckelynck@mines-paristech.fr Bibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire,

Plus en détail

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX EN CONCEPTION MÉCANIQUE

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX EN CONCEPTION MÉCANIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, texte revu et augmenté en 007 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX EN CONCEPTION MÉCANIQUE Traction et compression simples Cisaillement simple

Plus en détail

Intégration visuelle des installations de branchement aux bâtiments résidentiels. Guide des bonnes pratiques

Intégration visuelle des installations de branchement aux bâtiments résidentiels. Guide des bonnes pratiques Intégration visuee des instaations de branchement aux bâtiments résidenties Guide des bonnes pratiques Guide des bonnes pratiques Légende s techniques PRINCIPAUX SYMBOLES UTILISÉS RECOMMANDÉ ACCEPTabe

Plus en détail

Cours de résistance des matériaux

Cours de résistance des matériaux ENSM-SE RDM - CPMI 2011-2012 1 Cycle Préparatoire Médecin-Ingénieur 2011-2012 Cours de résistance des matériau Pierre Badel Ecole des Mines Saint Etienne Première notions de mécanique des solides déformables

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

Analyse statique d une pièce

Analyse statique d une pièce Analyse statique d une pièce Contrainte de Von Mises sur une chape taillée dans la masse 1 Comportement d un dynamomètre On considère le dynamomètre de forme globalement circulaire, excepté les bossages

Plus en détail

Révision d algèbre et d analyse

Révision d algèbre et d analyse Révision d algèbre et d analyse Chapitre 9 : Intégrales triples Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Mai 2013 suivant Chapitre 9 Intégrales triples 9.1 Motivation, définition et calcul de l intégrale

Plus en détail

Chapitre 1 Cinématique du point matériel

Chapitre 1 Cinématique du point matériel Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

TUTORIAL 1 ETUDE D UN MODELE SIMPLIFIE DE PORTIQUE PLAN ARTICULE

TUTORIAL 1 ETUDE D UN MODELE SIMPLIFIE DE PORTIQUE PLAN ARTICULE TUTORIAL 1 ETUDE D UN MODELE SIMPLIFIE DE PORTIQUE PLAN ARTICULE L'objectif de ce tutorial est de décrire les différentes étapes dans CASTOR Concept / FEM permettant d'effectuer l'analyse statique d'une

Plus en détail

Rupture et plasticité

Rupture et plasticité Rupture et plasticité Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 25 novembre 2009 1 / 44 Rupture et plasticité : plan du cours Comportements

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Une introduction à l analyse discriminante avec SPSS pour Windows

Une introduction à l analyse discriminante avec SPSS pour Windows Une introduction à anayse discriminante avec SPSS pour Windows Dominique DESBOIS INRA-ESR Nancy et SCEES 5 rue de Vaugirard, 7573 Paris Cedex 5. Fax : +33 49 55 85 00 Mé :desbois@jouy.inra.fr RÉSUMÉ :

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

DÉVERSEMENT ÉLASTIQUE D UNE POUTRE À SECTION BI-SYMÉTRIQUE SOUMISE À DES MOMENTS D EXTRÉMITÉ ET UNE CHARGE RÉPARTIE OU CONCENTRÉE

DÉVERSEMENT ÉLASTIQUE D UNE POUTRE À SECTION BI-SYMÉTRIQUE SOUMISE À DES MOMENTS D EXTRÉMITÉ ET UNE CHARGE RÉPARTIE OU CONCENTRÉE Revue Construction étallique Référence DÉVERSEENT ÉLASTIQUE D UNE POUTRE À SECTION BI-SYÉTRIQUE SOUISE À DES OENTS D EXTRÉITÉ ET UNE CHARGE RÉPARTIE OU CONCENTRÉE par Y. GALÉA 1 1. INTRODUCTION Que ce

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Problèmes sur le chapitre 5

Problèmes sur le chapitre 5 Problèmes sur le chapitre 5 (Version du 13 janvier 2015 (10h38)) 501 Le calcul des réactions d appui dans les problèmes schématisés ci-dessous est-il possible par les équations de la statique Si oui, écrire

Plus en détail

RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS

RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS 2004-203 Frédy Oberson et Fred Lang LES RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS Lorsque deux solides non conformes sont mis en contact 2, ils se touchent initialement en un point

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Manuel d'utilisation de Wapam

Manuel d'utilisation de Wapam Manue de 'utiisateur de Wapam Tabe des matières 1Wapam, une recherche de motifs par automates pondérés...3 2Tutorie : un exempe simpe d'utiisation...3 Utiisation avec Rdisk...3 Utiisation sans Rdisk...6

Plus en détail

à des commissions d enquête

à des commissions d enquête Protocoe sur a nomination de juges à des commissions d enquête Adopté par e Consei canadien de a magistrature août 2010 Sa Majesté a Reine du chef du Canada, 2010 Numéro du cataogue : JU14-21/2010 ISBN

Plus en détail

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader Terminale STMG O. Lader Table des matières 1 Information chiffrée (4s) 4 1.1 Taux d évolution....................................... 6 1.2 indices............................................. 6 1.3 Racine

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

Outils mathématiques pour le datamining. http://www.elseware.fr/univevry

Outils mathématiques pour le datamining. http://www.elseware.fr/univevry Outils mathématiques pour le datamining http://wwwelsewarefr/univevry Géométrie Distance Distance entre parties Matrice de variance/covariance Inertie Minimisation Probabilités Définition Théorème de Bayes

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Master Actuariat-Finance Master Actuariat-Prévoyance Sociale. Prof ABDELKADER SALMI 2012

Master Actuariat-Finance Master Actuariat-Prévoyance Sociale. Prof ABDELKADER SALMI 2012 Master Actuariat-Finance Master Actuariat-Prévoyance Sociae Prof ABDELKADER SALMI 2012 Actuaire L étymoogie du mot "actuaire" est atine (comptabe, rédacteur des ivres de comptes acta), ce terme n'apparaît

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Master1 CCS. Université Paul Sabatier. Toulouse III. TPs RdM.6 + VBA. Michel SUDRE

Master1 CCS. Université Paul Sabatier. Toulouse III. TPs RdM.6 + VBA. Michel SUDRE Université Paul Sabatier Master1 CCS Toulouse III TPs RdM.6 + VBA Michel SUDRE Déc 2008 TP N 1 Poutre Fleion-Tranchant On considère 2 poutres droites identiques de longueur L dont la est un de hauteur

Plus en détail

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

TSP 6500/7000 SÉRIE. Spécifications Chariots tridirectionnels à nacelle élevable

TSP 6500/7000 SÉRIE. Spécifications Chariots tridirectionnels à nacelle élevable C TSP 6500/7000 SÉRIE Chariots tridirectionnes à nacee éevabe C Série TSP 6500 / 7000 Chariots tridirectionnes à nacee éevabe Aée disponibe min. Jeux fonctionnes Fourches non téescopiques 4.33a 4.33 Longueur

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Structures dynamiques Listes chaînées

Structures dynamiques Listes chaînées TC Informatique Structures de données abstraites PC N 4 30 Novembre 2000 François Siion Structures dynamiques Listes chaînées http://w3.edu.poytechnique.fr/informatique Représenter un ensembe d'ééments

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

Guide des applications Lexmark ESF

Guide des applications Lexmark ESF Guide des appications Lexmark ESF Aidez vos cients à tirer peinement profit du potentie de eurs équipements Lexmark. Les appications Lexmark ont été conçues pour aider es entreprises à capturer et gérer

Plus en détail

TUBES ET ACCESSOIRES Serrurier A ailettes Construction Canalisation Spéciaux

TUBES ET ACCESSOIRES Serrurier A ailettes Construction Canalisation Spéciaux TUBES ET ACCESSOIRES 47 Serrurier A ailettes Construction Canalisation Spéciaux Possibilité d autres sections sur demande. Les caractéristiques indiquées sont théoriques et non garanties. TUBES 48 TUBES

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

La nouvelle carrière du personnel judiciaire

La nouvelle carrière du personnel judiciaire La nouvee carrière du personne judiciaire 1 2 Avant-propos Cher ecteur, La manière dont es cours et tribunaux sont administrés est en peine évoution. Une poitique moderne du personne est donc d une extrême

Plus en détail

Conception et réalisation d une sectorisation

Conception et réalisation d une sectorisation Conception et réaisation d une sectorisation OBJECTIF : mise en pace d un outi cohérent permettant de mesurer es voumes transitant dans e système de manière fiabe Une attention particuière doit être portée

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

4 RESEAUX LOCAUX : ETHERNET, TOKEN-RING,...

4 RESEAUX LOCAUX : ETHERNET, TOKEN-RING,... hapitre 4 1 RESEAUX LOAUX : ETHERNET, TOKEN-RING,... Ethernet : buts - non buts 2 uts réseau mutipoint sans priorité avec coisions faibe coût Non-buts contrôe d erreur fu dupex sécurité priorité déterminisme

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009.

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009. Licence de Gestion. 3ème Année Année universitaire 8-9 Optimisation Appliquée C. Léonard Correction de l épreuve intermédiaire de mai 9. Exercice 1 Avec les notations du cours démontrer que la solution

Plus en détail

SSNL126 - Flambement élastoplastique d'une poutre droite. Deux modélisations permettent de tester le critère de flambement en élastoplasticité :

SSNL126 - Flambement élastoplastique d'une poutre droite. Deux modélisations permettent de tester le critère de flambement en élastoplasticité : Titre : SSNL16 - Flambement élastoplastique d'une poutre [...] Date : 15/1/011 Page : 1/6 Responsable : Nicolas GREFFET Clé : V6.0.16 Révision : 8101 SSNL16 - Flambement élastoplastique d'une poutre droite

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Rejoignez le. No 1 mondial. de la franchise *! Créez votre entreprise en Franchise avec SUBWAY. www.subwayfrance.fr

Rejoignez le. No 1 mondial. de la franchise *! Créez votre entreprise en Franchise avec SUBWAY. www.subwayfrance.fr Rejoignez e No 1 mondia de a franchise *! Créez votre entreprise en Franchise avec SUBWAY www.subwayfrance.fr *SUBWAY est e numéro 1 mondia de a restauration, en nombre de restaurants. 2015 Doctor s Associates

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Votre guide d utilisation

Votre guide d utilisation Réaisez et éditez en igne vos certificats et ordres d assurance Votre guide d utiisation Ce nouve outi vous permet, sur vos contrats Cargo Feet ou Transfeet : de saisir et de transmettre à Covéa Feet,

Plus en détail

Contacts électriques AE 08.01. Contact électrique sec à aimant Type 821 1) Seuil d'alarme inductif Type 831 Relais amplificateur Bloc relais

Contacts électriques AE 08.01. Contact électrique sec à aimant Type 821 1) Seuil d'alarme inductif Type 831 Relais amplificateur Bloc relais AE 08.0 Accessoires Contacts éectriques Conformité Contact éectrique sec à aimant Type 8 ) Seui d'aarme inductif Type 8 Reais ampificateur Boc reais Utiisation Les contacts éectriques permettent d'ouvrir

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées.

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. 1 Ce sujet aborde le phénomène d instabilité dans des systèmes dynamiques

Plus en détail

Annexe A. Annexe A. Tableaux et données relatifs à la vérification par Eurocode 3 A.3

Annexe A. Annexe A. Tableaux et données relatifs à la vérification par Eurocode 3 A.3 Annexes Annexe A : Tableaux et données relatifs à la vérification par Eurocode 3... A.2 Annexe B : Format des fichiers générés et utilisés par CADBEL... A.11 Annexe C : Calcul de la résistance au flambement

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Département de Génie Civil

Département de Génie Civil Sommaire Chapitre 01 : RAPPEL... 5 I Rappel de mathématiques... 5 I-1 Equation du 1 ier degrés à deu inconnues... 5 I- Equation du Second degré à deu inconnues... 5 I-3 Calcul d intégrale... 6 I-4 Equation

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

CHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté

CHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté 010-011 CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l informatique

Mathématiques appliquées à l informatique Mathématiques appliquées à l informatique Jean-Etienne Poirrier 15 décembre 2005 Table des matières 1 Matrices 3 1.1 Définition......................................... 3 1.2 Les différents types de matrices.............................

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

Lexmark Print Management

Lexmark Print Management Lexmark Print Management Optimisez impression en réseau et accès à vos informations avec une soution fexibe. Impression des documents sûre et pratique Fexibe. Libérez es travaux d impression à partir de

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

UNICEF/92-5221/Toutounji

UNICEF/92-5221/Toutounji UNICEF/92-5221/Toutounji Pourquoi i est important de communiquer et d utiiser es informations sur L aaitement materne Un bébé nourri au sein est moins souvent maade et mieux nourri qu un bébé à qui on

Plus en détail

NCH Software Pixillion - Convertisseur de fichiers image

NCH Software Pixillion - Convertisseur de fichiers image NCH Software Pixiion - Convertisseur de fichiers image Ce manue a été créé pour être utiisé avec Pixiion - Convertisseur de fichiers image Version 2.xx NCH Software Support technique Si vous rencontrez

Plus en détail

Chapitre 11. Premières Notions sur les fonctions

Chapitre 11. Premières Notions sur les fonctions Chapitre 11 Premières Notions sur les fonctions 1. Exemples Exemple 1 La distance parcourue par une automobile en un temps donné varie en fonction de sa vitesse. Faire deux phrases utilisant les mots suivants.

Plus en détail

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2 22 année 20/204 DM de synthèse 2 Exercice Soit f la fonction représentée cicontre.. Donner l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Donner l'image de 4 par f.. a. Donner un nombre qui n'a qu'un seul

Plus en détail

Induction électromagnétique

Induction électromagnétique Induction électromagnétique Sommaire I) Théorie de l induction électromagnétique..2 A. Introduction 2 B. Notion de force électromotrice 3 C. Loi de Faraday..5 D. Quelques applications.7 Spire circulaire

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

1. INTRODUCTION On voit apparaître depuis quelques années des codes de calcul de tenue à la mer des navires par la méthode des singularités utilisant

1. INTRODUCTION On voit apparaître depuis quelques années des codes de calcul de tenue à la mer des navires par la méthode des singularités utilisant . INTRODUCTION On voit apparaître depuis queques années des codes de cacu de tenue à a mer des navires par a méthode des singuarités utiisant a fonction de Green de diffraction-radiation avec vitesse d

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007 Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................

Plus en détail

Face au deuil, Vous n êtes pas seul(e) Ce guide vous est proposé par la Caf de Meurthe-et-Moselle et les Associations Deuil Espoir et Favec.

Face au deuil, Vous n êtes pas seul(e) Ce guide vous est proposé par la Caf de Meurthe-et-Moselle et les Associations Deuil Espoir et Favec. Face au deui, Vous n êtes pas seu(e) Ce guide vous est proposé par a Caf de Meurthe-et-Mosee et es Associations Deui Espoir et Favec. 1 Edition 2011 ÉDITO Soutenir et accompagner Soutenir a fonction parentae

Plus en détail

Microscopie à Force Atomique

Microscopie à Force Atomique M1 SCIENCES DE LA MATIERE - ENS LYON ANNEE SCOLAIRE 2009-2010 Microscopie à Force Atomique Compte-rendu de Physique Expérimentale Réalisé au Laboratoire de Physique de l ENS Lyon sous la supervision de

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail