1. INTRODUCTION On voit apparaître depuis quelques années des codes de calcul de tenue à la mer des navires par la méthode des singularités utilisant

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2 . INTRODUCTION On voit apparaître depuis queques années des codes de cacu de tenue à a mer des navires par a méthode des singuarités utiisant a fonction de Green de diffraction-radiation avec vitesse d avance, Du et a. [], [], Brument et Dehommeau [3], Chen et Nobesse [4], Chen et a. [5], Boin et a. [6]. Cette fonction, utiisée au cours des années 8, avait été abandonnée ensuite au profit des méthodes de Rankine, à cause des difficutés numériques associées, introduisant des imprécisions et des temps de cacu éevés, particuièrement au voisinage de a surface ibre. On peut donc maintenant tirer partie des avantages des singuarités de Kevin-Haveock, tes a satisfaction automatique de a condition inéarisée de surface ibre mais aussi cee de radiation, difficie à imposer dans es méthodes de Rankine quees que soient es vaeurs de a fréquence et de a vitesse d'avance, 'absence de maiage sur a surface ibre évitant toute réfexion des vagues sur une frontière, ainsi que e fitrage des soutions à des ongueurs d'onde pus petites que es ceues de ce maiage. Cette méthode présente de pus 'avantage d'avoir de pus petits systèmes d'équations à résoudre. Ces codes peuvent être utiisés sur de petites stations de travai ou de simpes PC, avec des temps de cacu modérés, sans négiger a précision. Ces améiorations sont iées à cees des agorithmes de cacu utiisant a méthode de a pus grande pente (Iwashita et Okhusu [7] ou [3]) ou cee de Simson adaptative (Ba et Guibaud [8], Nontakaew et a. [9]) pour e cacu de a fonction de Green. Les méthodes des singuarités font apparaître des intégraes de a fonction et de ses dérivées sur des facettes et des segments (sauf si on utiise des méthodes d'intégration numérique) putôt que a fonction ee-même et ce sont ces intégraes qui doivent être cacuées précisément. On peut en effet cacuer anaytiquement es intégraes de surface après queques manipuations mathématiques par a méthode de a pus grande pente, Iwashita [], par a méthode des Superfonctions de Green [4], ou de Simpson adaptative Boin et a. []. On obtient ainsi des intégrations précises pour des facettes contiguës à a surface ibre, même si e point de contrôe est près aussi de cee-ci. On peut aussi cacuer es intégraes avec des points sur a surface ibre pour obtenir e champ de vagues. I faut encore mentionner es progrès des ordinateurs au cours des dernières années dans ceux des codes de cacu. On présente ici deux codes de cacu utiisant cette fonction et différentiés seuement par a méthode de cacu des intégrations de Fourier. L'étude est imitée à un écouement symétrique, pour une distribution de sources seues. Le potentie est déveoppé autour de 'écouement uniforme, e potentie des vitesses instationnaire dans e domaine fréquentie étant ainsi découpé de 'écouement moyen stationnaire. Les deux codes cacuent anaytiquement es intégraes de surface ou de igne portant sur a fonction de Green et de ses dérivées, après permutation des intégraes d'espace et de Fourier. Une grande attention a été portée à a précision de ces intégraes. Des cacus ont été effectués pour étudier 'infuence d'une facette ou d'un segment de a igne de fottaison seus avec une distribution constante de source unité située près de a surface ibre sur un point champ baayant 'espace et particuièrement s'approchant de a surface ibre. Des cacus ont été effectués pour des carènes tees cees de Wigey et de a Série 6. Pour ces dernières, es résutats obtenus montrent 'existence d'osciations correspondant probabement à des fréquences irréguières en présence de a vitesse d'avance dont es ampitudes augmentent quand on négige 'intégrae de igne. Enfin, on a comparé, pour es carènes de a série 6, es champs de vagues cacués à ceux obtenus ors d'essais afin d'avoir une vaidation pus compète de a méthode de cacu sur des grandeurs ocaes. Après avoir rappeé succinctement e probème étudié, es méthodes de cacu de a fonction de Green et de ses dérivées ainsi que de eurs intégrations sur des facettes ou des segments de a igne de fottaison sont présentées. On déveoppe ensuite 'étude numérique dans e cas d'une facette ou d'un segment isoés et es résutats des intégrations anaytiques sont comparés avec ceux d'une intégration numérique avec un nombre de points variabes.

3 . PRESENTATION DU PROBLEME A RESOUDRE L'écouement hydrodynamique irrotationne d'un fuide parfait et incompressibe autour d'une coque symétrique de navire en transation uniforme rectiigne et soumis à des petits mouvements harmoniques forcés autour de sa position moyenne ou à une houe réguière est étudié. On utiise un système de coordonnées ié à a position moyenne de a coque, e pan xoy correspondant à a position non perturbée de a surface ibre; 'axe Oz est positif vers e haut et 'axe Ox paraèe à a vitesse du corps dirigée dans a direction de dépacement du navire. On appee n a normae intérieure au fuide. Avec ces hypothèses, on peut utiiser e potentie des vitesses. On se pacera dans e domaine fréquentie en utiisant comme écouement de base stationnaire, 'écouement uniforme. La partie spatiae f ( M ) du potentie des vitesses satisfait 'équation de Lapace au sein du fuide, supposé de profondeur infinie, a condition de gissement sur e corps, a condition inéarisée de Kevin sur a surface ibre et une condition de radiation à 'infini. La troisième formue de Green appiquée dans un domaine de cacu imitée par une surface fermée, constituée par cee du corps S B, cee de a surface ibre S L et une surface à 'infini S, permet d'obtenir une équation intégrae pour e potentie des vitesses. Dans e cas d'un écouement non portant, on utiise une distribution de sources seues: òò ò (). Cxyz (,,)(,,) fxyz = sgds+ F sgnd SB C où G est a fonction de Green de diffraction-radiation avec vitesse d'avance. L'intégrae sur a surface ibre a été transformée en une intégrae de contour sur a igne de fottaison C, intersection de a surface ibre avec a carène. Après dérivation par 'opérateur norma / n, on obtient une équation intégrae qui sera utiisée pour satisfaire a condition de gissement sur e corps: f s G G òò ò (). = - s ds + F s nd M SB M C M n n n Une fois obtenue a distribution de source, es équations précédentes permettent de cacuer e potentie et sa dérivée normae. On obtient a distribution de pression par: æ fö p =-r ç iwf - U çè x (3), ø et par intégration, es forces et moments, d'où es coefficients de masse ajoutée et d'amortissement: jk jk jk òò j ( j j), T = wa - i wb =-r n i wn -Um ds où tout es m j sont nus sauf m = n et m =- n, puisque es effets stationnaires et instationnaires sont découpés. 3. RESOLUTION NUMERIQUE 3. Discrétisation du probème La surface de a coque est divisée en SB n bandes de b n facettes. On déveoppe une mé- f thode d'ééments de frontière au premier ordre, donc 'intensité des sources, et pus généraement toutes es inconnues, sont supposées constantes sur chaque facette et égae à a vaeur au centre de gravité. Les distributions inconnues sur a igne de fottaison sont prises égaes à eur vaeur sur a bande de facettes contiguë. La condition de gissement écrite sur chacune des facettes conduit à un système d'équations inéaires dont e second membre est connu: n * n b f b sn G G Vn ( xyz,, ) = - å s ds F s nd k òò + å n ò n k= DS M = Bk puisque e mouvement 'est aussi. On doit donc cacuer avec précision des intégraes des types suivants: n dc M 3

4 G G GM ( i, M ' kj) ds, GM ( i, M ' k) d, ( Mi, M ' kj) ds et ( Mi, M ' k) d n n (4). Skj C Skj C 3. Cacus de a fonction de Green 3. Méthode de pus grande pente a- Source ponctuee: ' ', ', ' On considère une source ponctuee P ( x y z ) et un point champ (,, ) 4 Pxyz. La source se dépace à a vitesse constante U et oscie à a fréquence de rencontre ω e. La fonction de Green satisfait a condition inéarisée de surface ibre et est exprimée sous a forme (5) dérivée dans Bessho [], qui présente 'avantage principa d'être écrite sous a forme d'une intégrae simpe ce qui permet d'intégrer en suivant n'importe que chemin dans e pan compexe. Avec cette expression, on peut évauer en même temps, a fonction et ses dérivées, que que soit 'ordre. Ces déveoppements, proposés à 'origine dans [7], ont été faits à 'Ecoe Centrae de Nantes, Brument et Dehommeau [3], ou Brument [3], et pus récemment Maury [4]. kξ kξ ik θ( PP, ') ke sgnc. ke GPP (, ') = dθ 4π R R π (5) θ + 4τcosθ R où ( x x' ) ( y y' ) ( z z' ) g = + + ± R ; Uωe K = τ = U g X = K ( x x' ) k + τcosθ ± + 4τcosθ = Y = K y y' et k cos θ ( ') Z = K z + z ( cos sin ) ξ = Z + i X θ + Y θ si t sgnc sign Re( cosθ < = ), avec sign( t) = si t = sgns = sign Re( sinθ ) si t > π θ ϕ ε π + arccos si τ > θ 4τ 4 = et ϕ π iarg ch si τ < 4τ 4 ε ( PP, ') = ( PP, ') i ( PP, ') ( PP, ') = arccos ( X / X + Y ) ( PP, ') = arg sh( Z / X + Y ) g est a partie dépendante du nombre de Froude (ou encore partie de Kevin) de a fonction de Green. Ces cacus sont déveoppés dans [3] ou [4]. Pour utiiser cette méthode, on doit séparer 'intégrae en θ en pusieurs termes suivant es signes des termes sgnc et sgn s : π π f ( ) ( ) θ. dθ si X θ PP, ' > θ ( PP, ') I= sgn cf. ( θ). dθ= f( ). d θ θ θ+ θ π π π f( θ). dθ f( θ). dθ+ f( θ). dθ si X< θ ( PP, ') kξ avec ( ) ke f θ = + 4τcosθ b-source distribuée sur une facette ou un segment: La soution d'un probème de tenue à a mer 3-D avec vitesse d'avance par une méthode d'éément de frontière requiert de cacuer des intégraes portant sur une distribution de sources sur es facettes du corps et es segments de a igne de fottaison. Ainsi e cacu de a

5 fonction de Green associée à une facette (et pour 'intégrae de igne à un segment) avec une densité constante de source est déveoppée. L'intégration anaytique de a partie de Kevin de 'équation (5) sur une facette ou un segment ([]) donnent es expressions I S = gds pour a facette de N sommets et I L = gd pour un segment rectiigne: δ C e sgnc e kξ kξ N (, ) N i θ PQ S k k i S IS = d ( ) d πk + θ = ψ ( θ ) + 4τ cosθ πk τ = ψ θ PQ, I L ( ) N k ξ k iβ Y Y e sgnc. e = π ξ ξ + 4τ cosθ ( ) S θ ν η η ( ) θ= θ( η ) θ ( PQ, ) dθ (6) θ = + avec: Q sommets de a facette (, N) et S surface du triange ( Q, Q, Q ) + ( ); ; ( ) P Q P Q P Q ξ = et X = K x x Y = K y y Z = K z + z avec e signe de (y p -y Q ) constant pour = à N. ψ ( θ ) = ( ξ ξ ) ( ξ ξ ) et ξ = ξ ( PQ, ) ν ( η) + ( η + η ) η ( η + η) ( η η ) ( η η η) XY ' ' Z ' X Y Z X X ' Y ' Y η X Yη = + I Xη + Yη X + Y X + Y + Z ( ), ( ), ( ) Xη = X+ η X X Yη = Y + η Y Y Zη = Z+ η Z Z où et X' = X X; Y' = Y Y; Z' = Z Z Les expressions pour es dérivées peuvent être trouvées dans [4]. Ici aussi, a méthode de pus grande pente est utiisée pour évauer efficacement es termes en k. Pour cea et parce que θ varie avec Q, e cacu des intégraes correspondant à chaque sommet, est fait séparément. Des points singuiers ψ θ = à cause de cette décomposition de a somme. Les vaeurs de ces points singuiers sont connues et évauées à 'aide de a formue (7) ci-dessous: Xe = XQ X ( + ) Q Ye ± Xe + Ye + Ze θ = arctan avec Ye = YQ Y ( ) Q (7) + Xe ize. Ze = Z Z θ apparaissent dans es intégrants quand ( ) Q( + ) Q Les chemins d'intégration doivent éviter ces points singuiers, et a contribution des pôes doit être pris en compte. I est nécessaire d'évauer cette contribution en θ par rapport aux sommets Q et, quand es chemins d'intégration utiisés pour es deux intégraes ( et + ) entourent e point singuier considéré. Quand e point infuence est oin de a facette (ou du segment) on peut optimiser 'évauation de a fonction de Green en utiisant un chemin d'intégration moyen pour intégrer directement a somme totae de θ à θ c. On a à évauer une seue intégrae et on n'a pas à se soucier des points singuiers. Néanmoins, θ ( ) étant une fonction des sommets Q, on doit compéter cette expression par a somme d'intégraes de θ c à chaque θ ( ) comme écrit dans (6). Ces intégraes sont cacuées, soit dans 'espace θ, soit par a méthode de a pus grande pente: N N θ θ( PQ, ) S L, ( ), ( ) θ (8) θc = = c I (or I ) = sgnc. f θ. dθ + sgnc. f θ. dθ 5

6 kξ e kξ i S k iβ ( Y Y) e où f, ( θ) = ou f, ( θ) = πk ψ ( θ) + 4τcosθ π ( ξ+ ξ) + 4τcosθ En ce qui concerne es termes en k, on peut faciement utiiser un chemin commun pour chaque intégrae associée à un sommet de a facette. Les intégrants ne sont pas osciants, ce qui entraîne aucune contrainte sur es chemins d'intégration. L'expression (6) est décomposée comme dans (8). Ici aussi, on doit compéter cette intégrae par une somme d'intégraes de θ c à chaque θ ( ). On peut montrer [4] que a difficuté des cacus, qui est iée à a puissance de k apparaissant dans es fonctions f,, augmente avec 'ordre de dérivation de a fonction mais qu'ee décroît de a fonction à son intégration sur une igne et pus encore sur une facette. En effet, pus cette puissance est éevée, pus a décroissance de 'intégrant est rapide orsqu'on tend vers π/. 3.. Cacus de a fonction de Green avec une méthode de Simpson Adaptative a. Source ponctuee On utiise ici a fonction de Green définie dans Guéve et Bougis [5] et déveoppée dans [8], qui ne sera pas rappeé ici. b. Source distribuée sur une facette ou un segment Les intégrations surfaciques sont effectuées par une méthode anaytique qui s'est montrée pus précise et efficace que a méthode mixte associant intégrations par points de Gauss et anaytiques [] ou Boin et a. [6]. Cette méthode anaytique est basée sur un théorème de Stokes qui transforme es intégraes de surface en intégrae de contour, Bougis [7]. Les détais peuvent être trouvés dans []. 3.3 Intégration sur un panneau isoé z x A quapus P oseidon Inté gration numériq ue po int de G auss Inté gration numériq ue 4 po ints de Gau ss Inté gration numériq ue 6 p oint s de G auss y.6 Aquapus.4 P oseidon Intégratio n n umérique point de G auss. Intégratio n n umérique 4 points de G auss Intégratio n n umérique 6 points de G auss a) Partie réee b) Partie imaginaire Figure Intégraes de a fonction de Green òò gds pour un point champ décrivant 'axe y S y 6

7 A quapus P oseidon Int égration numérique p oint de G auss Int égration numérique 4 p oint s de G auss Int égration numérique 6 poin ts de G auss y Aquap us P oseidon Int égration numérique p oint d e G auss Int égration numérique 4 p oint s de G auss Int égration numérique 6 poin ts de G auss -5 5 y a) Partie réee b) Partie imaginaire g Figure Intégraes de a dérivée de a fonction de Green òò ds (point champ décrivant Oy) x S Les cacus des fonctions de Green par es deux méthodes précédentes sont en très bon accord, [3]. Pour tester es méthodes d'intégration sur une facette, on a effectué des cacus pour une facette isoée concernant es intégrations de a fonction et de ses dérivées sur une facette isoée normae à 'axe Oy, de centre de gravité situé sous 'axe Oz, à z=-,5 pour F=, et w =,4. On présente simpement queques résutats des intégrations sur g mettant en évidence queques différences avec es intégrations numériques. On cherche 'infuence de a position d'un point champ décrivant chacun des axes sur es intégrations. La figure correspond à 'intégrae de a fonction de Green pour un point M décrivant 'axe Oy. Les deux intégrations anaytiques donnent des résutats identiques en bon accord avec ceux des intégrations par points de Gauss sauf aux extremums de a fonction où des erreurs sont visibes avec un seu point de Gauss. La figure correspond à a dérivée par rapport à x (cee par rapport à y conduit à des vaeurs nues). On observe pour a partie imaginaire que même a méthode de Gauss à 4 points peut conduire à queques erreurs. Les deux figures suivantes (figures 3 et 4) correspondent au même cacu mais pour e point M décrivant 'axe Oz. Au voisinage de a surface ibre, es intégrations numériques ne sont pus efficaces même en augmentant d'une manière importante e nombre de points (en particuier pour a dérivée, figure 4). Par exempe avec z M >-,5, quatre points de Gauss suffisent mais i en faut 6 si z M >-,3 et 36 si z M >-,. Pour des vaeurs pus faibes, seues es méthodes anaytiques sont efficaces, a méthode de a pus grande pente permettant d'avoir des résutats à z M = aors qu'avec 'autre méthode, i faut extrapoer e résutat, a précision demeurant toutefois bonne A q ua pus P o seido n Int ég ratio n n um ériqu e po int de G aus s Int ég ratio n n um ériqu e 4 po int s de G au ss Int ég ratio n n um ériqu e 6 p oin ts d e G a uss Int ég ratio n n um ériqu e 3 6 p oin ts d e G a uss.4 Aq ua p u s P o seid o n Int é grat ion n u mé riqu e p o int de G a u ss Int é grat ion n u mé riqu e 4 p o int s d e G au ss Int é grat ion n u mé riqu e 6 p oin ts de G a uss Int é grat ion n u mé riqu e 36 p oin ts de G a us s z z a) Partie réee b) Partie imaginaire Figure 3 Intégraes de a fonction de Green òò gds pour un point champ décrivant 'axe z S 7

8 A q ua p u s P o seid o n Int é grat ion n u mé riqu e p o int de G a u ss Int é grat ion n u mé riqu e 4 p o int s d e G a u ss Int é grat ion n u mé riqu e 6 p oin ts de G a uss Int é grat ion n u mé riqu e 36 p oin ts de G a uss.3 Aq ua pus P o seido n Int ég ratio n n um ériqu e po int de G aus s. Int ég ratio n n um ériqu e 4 po int s de G au ss Int ég ratio n n um ériqu e 6 p oin ts d e G a uss. Int ég ratio n n um ériqu e 3 6 p oin ts d e G a uss z z a) Partie réee b) Partie imaginaire g Figure 4 Intégraes de a dérivée de a fonction de Green òò ds (point champ sur Oz) x S. Poseidon Aquapus.. P oseidon Aquapus. z= -. 5 y=.8.6 z= -. 5 y= x a) Partie réee de dc x ò gdc b) Partie réee de Figure 5 Intégraes de ignes pour un point décrivant 'axe x ò dc g dc x La figure 5 présente es parties réees de 'intégration sur un segment sur a igne de fottaison (-,433 x.433; -,5 y,5) de a fonction g (5a) et de sa dérivée g x (5b) pour un point décrivant 'axe x=-,5 pour F=,3 et w =. L'accord est sembabe au cas d'une facette mais 'intégration est pus difficie pour a dérivée que pour a fonction et chacune d'entre ee est pus difficie à effectuer que 'intégration correspondante sur une facette. 4. RESULTATS DU CODE DE CALCUL DE TENUE A LA MER Carène de Wigey Des cacus pour des mouvements symétriques ont été effectués pour a carène de Wigey définie dans Gerritsma [8] par: 8 y/ B = é -( z/ T) ùé - ( / x L) ù ( +.( / x L) ) + ( z/ T) é -( z / T) ùé -( x/ L) ù 4 êë úê ûë úû êë úê ûë úû avec B/L=, et T/L=,65. Les coefficients de masse ajoutée, purs ou coupés, sont présentés sur es figures 6 en fonction de a fréquence adimensionnee = ω L/g au nombre de Froude F=.. Les deux codes donnent des résutats identiques en dépit d'un nombre différent de facettes (5 pour Poséidon et 75 pour Aquapus), montrant ainsi que a convergence a été atteinte. Queques différences apparaissent toutefois aux aentours de τ=/4 où cette fonction de Green est très difficie à cacuer. Les cacus ont été comparés aux essais de [8] et aux cacus de Lin and Yue [9] par une méthode de singuarité dans e domaine tempore ainsi qu'à ceux de Wang et a. [] par une méthode,5d par une approche de 8

9 Chapman, aussi dans e domaine tempore. L'accord est ici aussi très satisfaisant pour es coefficients purs: très bon pour M 33 et M 55, pour es amortissements A 33 et A 55, es courbes sont paraèes avec un écart pratiquement indépendant de a fréquence. Pour es coefficients coupés, 'accord est satisfaisant mais es divers résutats montrent des écarts pus importants. M 33 /ρv Po seidon 5 facettes C acus Lin Y ue [ 9] Essais Gerritsma [ 8] C acus Chu n-tsun g [ ] Aq uapus 7 5 facettes Aq uapus ( fréquence de rencontre) A 33 (L/g).5 /ρv M 55 /ρv L..8.6 A 55 (L/g).5 /ρv L M 53 / ρvl..5 A 53 (L/g). 5 /ρv L M 35 /ρv L A 35 (L/g).5 /ρv L Figure 6 Coefficients de masse ajoutée et d'amortissement pour une carène de Wigey (F=,, B/L=,; T/L=,65)

10 On a aussi tracé sur cette figure es résutats obtenus par e code Aquapus en utiisant 'hypothèse de a fréquence de rencontre avec a fonction de diffraction-radiation sans vitesse d'avance. Pour es coefficients de masse ajoutée purs es différences restent faibes et ne sont observabes que pour des fréquences réduites de à 3, mais ees augmentent pour es coefficients de coupage. Les différences sont nettement pus éevées pour es coefficients d'amortissement. Carènes Série 6 La figure 7 présente es résutats obtenus pour e modèe Série 6, C B =,6 en mouvement de pionnement forcé, pour es coefficients de masse ajoutée et d'amortissement, en fonction de a fréquence réduite fl/ U, pour e nombre de Froude F=,. On ne présente ici que es résutats d'un seu code puisque comme pour a carène de Wigey, es deux codes donnent des résutats pratiquement identiques. Les premiers résutats (notés cacu initia) obtenus en négigeant 'intégrae de igne montrent des osciations importantes des courbes de qui sont probabement dues à des fréquences irréguières comme déjà mentionné dans []. CM 33. C acu initia pus intégrae de igne. Cacucompet (avec tfi et i) CA Cacu initia pus intégrae de igne Cacu compet (avec tfi et i) Figure 7 Infuence de 'intégrae de a igne de fottaison et du traitement des fréquences irréguières sur es coefficients de masse ajoutée et d'amortissement (Série 6 C B =,6, F=,) En rajoutant 'intégrae de igne, résutats notés avec "i", on observe que si ces osciations sont encore présentes, eurs ampitudes ont été argement diminuées. On observe ici e caractère amortisseur de cette intégrae de igne par rapport à ces fréquences irréguières. On a aors introduit une technique cassique de suppression des fréquences irréguières (noté "tfi") en fermant a coque par une surface pane égèrement immergée. Cette surface a été découpée en facettes avec une distribution inconnue de sources, au miieu desquees on a imposé une condition de vitesse nue. Dans e cas avec intégrae de igne, es osciations ont été presque compètement supprimées et dans e cas où cee-ci a été négigée, es osciations subsistent avec une faibe ampitude. Les figures 8 et 9 présentent es coefficients de masse ajoutée et d'amortissement définis par CM jj =M jj /ρl n et CA jj =A jj /ρωl n pour j=3 (n=3) et 5 (n=5) respectivement pour es deux carènes C B =,6 et,8 en fonction de a fréquence adimensionnee, en mouvements forcés de pionnement et de tangage à F=,,. Les résutats des cacus sont comparés avec ceux des mesures de [6] sur des modèes de ongueur L=,m en mouvements forcés effectuées dans e cana de recircuation d'eau de 'Ecoe Centrae de Nantes, qui sont représentés par des symboes. Tous es résutats numériques sont donnés avec 45 facettes sur a demicoque. Les courbes en tirets correspondent au code Poséidon, et cees en trait pein au code Aquapus. Les résutats pour es deux codes sont pratiquement identiques. On obtient des courbes simiaires pour es deux vaeurs du coefficient de bock. On observe parfois entre es deux codes un éger déphasage des positions des maximums et des minimums des courbes,

11 particuièrement pour a carène C B =,8. Les résutats des mesures sont en bon accord avec ceux des cacus sauf pour CM 55, pour eque es mesures conduisent à des vaeurs très faibes. Sur ces deux dernières figures, on a aussi porté es résutats obtenus avec 'hypothèse de a fréquence de rencontre (traits mixtes). On observe ici des différences sensibes uniquement pour es fréquences es pus faibes, pus marquées pour e mouvement de tangage....8 aquapus Essais Boin et a. [6] Poseidon Aquapus ( fréquence de rencontre) CM 33.6 C A CM CA Figure 8 Coefficients de masse ajoutée et d'amortissement Série 6 C B =,6 (F=,) Essais B oin et a. [6] Aquapus Aquapus (fréquence de rencontre) Poseidon..5 CM 3 3. CA CM 55 CA Figure 9 Coefficients de masse ajoutée et d'amortissement Série 6 C B =,8 (F=,)

12 On observe encore queques osciations sur es résutats du code Poséidon des figures 8 et 9, particuièrement pour es résutats correspondant au mouvement de tangage. Une procédure pour diminuer encore es effets des fréquences irréguières est en cours de réaisation. On a tracé sur es figures, a distribution de 'ampitude reative des vagues sur une coupe ongitudinae pacée à y/l=, pour e modèe C B =,8 à F=, et f=4hz (τ=,79) en dehors d'une fréquence irréguière. La courbe du haut correspond au mouvement de pionnement et cee du bas à ceui de tangage. On observe qu'ici aussi es deux codes donnent des résutats identiques mais i est nécessaire d'avoir un pus grand nombre de facettes (de 'ordre de ) pour avoir une soution correcte (sans osciations de a surface ibre) que pour e cacu des coefficients gobaux. On observe sur ces figures des résutats de cacu très surestimés en arrière du modèe (x/l ) qui ne peuvent être expiqués. De même si es résutats correspondant au mouvement de pionnement sembe corrects e ong du bateau, es positions des creux et des crêtes sont ma pacés pour e mouvement de tangage C B =,8; a 3 /L=,9; F =,; f=4hz; τ=,79 y/l=,.75 A/L x/l.5 C B =,8; a 5 =,8 ; F=.; f=4hz; τ=,79 y/l=,. Aquapus Poseidon Essais Boin et a. [6] A/L x/l Figure Comparaison des coupes ongitudinaes de a surface ibre (ampitudes) La figure présente des coupes transversaes de 'ampitude dans es mêmes conditions. La partie gauche correspond au mouvement de pionnement et a partie droite à ceui de tangage. La partie supérieure montre des résutats pour x/l=,9, soit très près de a poupe du modèe et a partie inférieure correspond à x/l=,8. Les deux codes donnent des résutats tout à fait identiques sauf queques osciations de faibes ongueur d'onde et ampitude. L'accord avec es mesures est assez bon sauf au voisinage immédiat de a carène mais e pas entre es mesures est trop grand pour observer expérimentaement éventueement des osciations de faibe ongueur d'onde.

13 .4 X/L=,9.8 X/L=, A/L Poseidon Aquapus Essais Boin et a. [6] A/L y/l y/l. X/L=,8.6 X/L=, A/L.6 A/L y/l y/l Figure Comparaison des coupes transversaes de a surface ibre (ampitudes) 5. CONCLUSION ET PERSPECTIVES On a présenté es résutats de deux méthodes de cacu de a tenue à a mer des navires par a méthode des singuarités (d'ordre ) utiisant a fonction de Green de diffraction radiation avec vitesse d'avance dans e domaine fréquentie. Pour obtenir des résutats précis, es intégrations surfaciques sur des facettes de a coque ou des segments de a igne de fottaison, apparaissant dans 'appication de a troisième formue de Green, ont été cacuées anaytiquement après permutation avec es intégraes simpes apparaissant dans cette fonction de Green. La première méthode utiise a formuation de Bessho et a méthode de a pus grande pente pour cacuer es intégraes simpes (code Aquapus du LMF-DHN), aors que a seconde, qui utiise a formuation de Guéve et Bougis, es cacue par une méthode de Simpson Adaptative qui permet de diminuer e pas de cacu quand 'intégrant devient pus osciant (code Poséidon du LEA Poitiers). Les résutats des intégrations ont d'abord été vaidés pour des facettes ou des segments seus de a surface ibre. Les deux codes de cacu donnent des résutats identiques, même au voisinage immédiat de a surface ibre. Les dérivées sont pus difficies à intégrer que a fonction et, pour un point très proche de a surface ibre, es méthodes numériques d'intégration anaytiques permettent d'obtenir des résutats précis. Ces techniques d'intégration ont été introduites dans des codes de tenue à a mer qui ont été utiisées pour étudier es mouvements de radiation de coques de navire. Les résutats des deux codes donnent des résutats pratiquement identiques magré es descriptions différentes de a fonction de Green, ce qui est un gage de précision des cacus présentés. Is ont mis en évidence 'existence de fréquences irréguières pour cette fonction de Green qui sembent être moins abruptes que pour cee sans vitesse d'avance. On a montré 'infuence amortissante de 'intégrae de igne car on note une augmentation très notabe des ampitudes des osciations quand cee-ci est négigée. On a réussi à supprimer ces fréquences (au moins es premières) en fermant a coque par une surface horizontae faibement immergée sur aquee on a appiqué une condition de vitesse nue. Les résutats gobaux sont en bon accord avec ceux d'autres méthodes de cacu et ceux des essais disponibes. En ce qui concerne e 3

14 champ de vagues, a précision est moins bonne et en particuier es cacus surestiment e champ de vague à 'arrière de a coque. Ce phénomène n'a pas encore été expiqué. 6. RÉFÉRENCES [] Du S.X., Hudson D.A., Price W.G. and Temare P., 999, "Comparison of numerica evauation techniques for the hydrodynamic anaysis of a ship traveing in waves", Trans. RINA, pp [] Du S.X., Hudson D.A., Price W.G. and Temare P.,, "A vaidation study on mathematica modes of speed and frequency dependence in seakeeping", Trans. RINA, pp.8-. [3] Brument A., Dehommeau G., 997, "Evauation numérique de a fonction de Green de a tenue à a mer avec vitesse d'avance", 6e Journées de 'Hydrodynamique, pp. 47-6, Nantes. [4] Chen X.B. and Nobesse F., 998, "Super Green functions", Proceedings of the nd Symposium on Nava Hydrodynamics, Washington (USA), pp [5] Chen X.-C., Diebod L. and Doutreeau Y.,, "New Green function method to predict wave induced ship motions and oads", Proceedings of the 3 rd Symposium on Nava Hydrodynamics, Va de Reui (France), Monday Session, pp [6] Boin J.P., Guibaud M. and Ba M.,, "Frequency domain numerica and experimenta investigation of forward speed radiation by ships", Proc. of the 3 rd Symposium on Nava Hydrodynamics, Tuesday session, pp.-5. [7] Iwashita H. and Okhusu M., 989, "Hydrodynamic Forces on a Ship Moving at Forward Speed in Waves", J.S.N.A. Japan, Vo. 66, pp87-9. [8] Ba M. and Guibaud M., 995, "A fast method of evauation for the transating and pusating Green s function", Ship Technoogy Research, Vo. 4, pp [9] Nontakaew U., Ba M. and Guibaud M., 997, "Soving a radiation probem with forward speed using a ifting surface method with a Green's function", Aerospace Science and Technoogy, 8, pp [] Iwashita H., 99, "Evauation of the Added-Wave-Resistance Green Function Distributing on a Pane", Mem. Fac. Eng. Hiroshima Univ., Vo.,, pp.-39. [] Boin J.P. Guibaud M. and Ba M.,, "Sea-keeping computations using the ship motion Green's function", Proceedings of ISOPE Conference, Vo. IV, pp [] Bessho M., 977, "On the Fundamenta Singuarity in the Theory of Ship Motions in a Seaway", Memoirs of the Defence Academy Japan, Vo. XVII, 3, pp [3] Brument A., 998, "Evauation numérique de a fonction de Green de tenue à a mer ", Thèse de Doctorat, Écoe Centrae de Nantes. [4] Maury C.,, "Etude du probème de tenue à a mer avec vitesse d'avance queconque par une méthode de singuarités de Kevin", Thèse de Doctorat, Écoe Centrae de Nantes. [5] Guéve P. and Bougis J., 98, "Ship motions with forward speed in infinite depth", Int. Ship. Progress, Vo. 9, pp.3-7. [6] Boin J.P. Guibaud M. et Ba M., 999, "Précision des intégrations surfaciques de a fonction de Green dans un code de tenue à a mer avec vitesse d'avance", Comte-Rendu des Septièmes Journées de 'Hydrodynamique, Marseie, p.-4. [7] Bougis J., 98, "Etude de a diffraction-radiation dans e cas d'un fotteur indéformabe animé d'une vitesse moyenne constante et soicité par une houe sinusoïdae de faibe ampitude", Thèse de doctorat, Université de Nantes. [8] Gerritsma J., 988, "Motions, wave oads and added resistance in waves of two Wigey hu forms", Deft University of Technoogy, ShipHydromechanics aboratory, report no. 84. [9] Lin W.-M., and Yue D., 99, "Numerica soutions for Large-Ampitude ship motion in the time domain", Proc. of the 8 th Symp. on Nava Hydrodynamics, Ann Arbour, pp [] Wang C.-T., Horng S-.J. and Chiu F.-C., 997, "Hydrodynamic forces on the advancing sender body with speed effects", Int. Shipbuid. Progr., vo. 44, no 438, pp