Equations aux dérivées partielles

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Equations aux dérivées partielles"

Transcription

1 Chapite 3 Equations aux déivées patiees 3.1 Qu est-ce qu une EDP? Soit u = u(x, y,... une fonction de pusieus vaiabes indépendantes en nombe fini. Une EDP pou a fonction u est une eation qui ie : es vaiabes indépendantes (x, y,... a fonction "inconnue" u (vaiabe dépendante. un nombe fini de déivées patiees de u. F(x, y,..., u, u x, u y, 2 u,... = (3.1 x2 u est soution de EDP si, apès subsitution, a eation F(x, y,..., u, u x, u y, 2 u x 2,... = est satisfaite pou x, y,... appatenant à une cetaine égion Ω de espace des vaiabes indépendantes. y x Remaque Sauf mention contaie, on exige que a fonction u et es déivées patiees intevenant dans EDP soient continues su Ω. Les EDP inteviennent tès souvent dans es pobèmes physiques : en éectomagnétisme (équations de Maxwe, en mécanique des fuides (équation de Navie-Stokes, en mécanique quantique (équation de Schödinge i Ψ 2 t (x, t = 2 Ψ 2m (x, t+v(xψ(x, t,... x 2 59

2 6 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Exempe u x 2 u =avec u = u(x, y (équation de diffusion y2 u 1 (x, y =2x + y 2 soution dans tout R 2. u 2 (x, y =e x sin (y soution dans R 2. { u 3 (x, y = 1 x> e y2 4x soution dans Ω 4πx y R Fig. 3.1 u 3 (x, y avec x =2 u 3 (x, y dy = 1 4πx = 1 π =1 e y2 4x dy on pose u = e u2 du y 2 x

3 3.1. QU EST-CE QU UNE EDP? 61 Remaque 1 I = e u2 du ( ( I 2 = e u2 du e v2 dv = e (u2 +v 2 du dv =2π e 2 d = π Remaque 2 im x +u 3(x, y est a distibution de Diac. 2 u x u =où u = u(x, y y2 ( La fonction u : (x, y n x 2 + y 2 est soution dans R 2 \{} { Rq : Considéons coodonnées poaies θ ũ(, θ =u(x, y et 2 u x u y 2 = 2 ũ ũ ũ 2 θ 2 On cheche une soution ũ adiae, c est-à-die indépendante de θ. 2 ũ ũ = ũ = α (α R ũ( =α n (+β (β R u(x, y = α 2 n ( x 2 + y 2 + β Remaque Signification du Lapacien. 2 u x u =avec u = u(x, y y2 Soit ε> u(x ε, y =u(x, y ε u x (x, y+1 2 ε2 2 u x 2 (x, y+o( ε 3

4 62 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES u(x + ε, y =u(x, y+ε u x (x, y+1 2 ε2 2 u x 2 (x, y+o( ε 3 2 u u(x ε, y 2u(x, y+u(x + ε, y = x2 ε 2 +O(ε 2 u u(x, y ε 2u(x, y+u(x, y + ε = y2 ε 2 +O(ε 2 u x u u(x ε, y+u(x + ε, y+u(x, y ε+u(x, y + ε 4u(x, y = y2 ε 2 +O(ε Si u est soution de u =,aos: u(x, y = 1 [ ] u(x ε, y+u(x + ε, y+u(x, y ε+u(x, y + ε 4 u =signifie que a vaeu de u en un point est égae à a vaeu moyenne de u su es quate pus poches voisins (voi schéma. (x,y+ε (x ε,y (x+ε,y (x,y ε u ne peut pas ête extemum en (x,y. u est soution de 2 u x u =dans Ω. y2 Pus généaement, su un ouvet connexe, on monte que : u(x,y = 1 u(x, yd = 1 2π u(x + cos θ, y + sin θdθ 2πR C R (x,y 2π Pincipe du Maximum Soit u(x, y, une fonction soution de 2 u x u =dans un ouvet boné connexe Ω de y2 R 2. On note Ω a fontièe de Ω. On suppose de pus u continue dans Ω Ω qui est une égion femée du pan. Si u n est pas une fonction constante su Ω Ω aos a vaeu maximae de u et a vaeu minimae de u sont atteintes uniquement su Ω.

5 3.2. GÉNÉRALITÉS SUR LES EDP 63 (x,y C (x,y Exempe u :(x, y, z 1 x 2 + y 2 + z 2 est soution de u =dans R3 \{(,, } On peut considée ici anaogie avec une chage à oigine. 3.2 Généaités su es EDP Définition On appee ode d une EDP ode e pus éevé des déivées patiees intevenant dans EDP. Exempe u x + u y = 1e ode. Définition Si u et ses déivées patiees appaaissent sépaément et "à a puissance 1" dans EDP, cee-ci est dite inéaie. Exempe u = u(x, y u x + u y = 1e ode inéaie. u x + u +sinu = y 1e ode non-inéaie. u x + u u 2 y 2 = 2ème ode non-inéaie.

6 64 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Remaque cos ( xy 2 u u y2 x x = tan ( x 2 + y 2 1 e ode, inéaie, inhomogène. Pou une EDP } inéaie homogène : u 1 soution λu 1 + µu 2 est soution. u 2 soution 3.3 EDP inéaies du 1 e ode A(x, y u +B(x, y u +C(x, yu =D(x, y x y { inéaie est a fome a pus généae pou une EDP 1 e ode Exempe (1 u x + u y = du = u u u dx + dy = ( dy dx x y y Si dx et dy sont eiés pa dx dy =,aos du = Su chacune des coubes de a famie y x = ξ u ne dépend de que ξ. (ξ R, a fonction u est constante. Donc u(x, y =f(ξ =f(x y où f est une fonction abitaie d une seue vaiabe, de casse C 1 (R Les doites y x = ξ sont es caactéistiques de EDP considéée. y x (2 u x + y u y =avec u = u(x, y, est une EDP du 1e ode, inéaie, homogène. du = u u dx + x y dy = ( y dx + dy u y

7 3.3. EDP LINÉAIRES DU 1 ER ORDRE 65 Si du et dx sont eiés pa y dx + dy =,aosdu =. u est constante e ong des coubes y = ξe x. y ξ x Concusion La soution généae de u x + y u =est de a fome : y u(x, y =f(ye x où f est C 1 (R (3 x u x +2 u 2u = y du = u u dx + x y dy = u x dx + 1 ( 2u x u dy 2 x = u ( dx 12 x x dy + u dy Si dx et dy sont eiés pa dx 1 x dy =,aos du = u dy. 2 y x x = ξe y 2. Su chacune de ces coubes, u = cste.e y

8 66 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Concusion : La soution généae est de a fome : u(x, y =e y f Poposition ( xe y 2 Si on impose es vaeus de u su une coube Γ qui n est pas une caactéistique de EDP, aos on peut identifie a fonction f. y Γ x Si on impose : u(x, y ==ϕ(x (ϕ est donnée aos i vient : u(x, y ==f(x =ϕ(x( x R et pa suite : ( f ϕ et u(x, y =e y.ϕ xe y 2 d où : ( u (x, y =e y.ϕ xe y 2 Remaque Si on impose u(x, y ==ϕ(x uniquement su x [ a, b] aos : ( x à a zone hachuée, u(x, y =e y.ϕ xe y 2 En dehos de a zone hachuée, a soution est de a fome u(x, y =e y f(xe y 2 avec f indéteminée (comme on exige u continue, i faut que : im (x =ϕ (a x a f im (x =ϕ (b x b +f 3.4 Cassification des EDP inéaies du 2 nd ode, à coefficients constants A 2 u x 2 +B 2 u y x +C 2 u y 2 +D u x +E u y +Fu +G= Les tois pemies temes coespondent à a patie pincipae. A,B,...,G sont des constantes. Le type de EDP dépend du signe de B 2 4AC.

9 3.5. CONDITIONS AUX FRONTIÈRES ET PROBLÈME "BIEN POSÉ" 67 y x e -y/2 = a a b x x e -y/2 = b Cassification : Si B 2 4AC >, aos EDP est dite hypeboique. Si B 2 4AC =, aos EDP est dite paaboique. Si B 2 4AC <, aos EDP est dite eiptique. Exempe (i 2 u y 2 c2 2 u =avec c> x2 B 2 4AC = 4c 2 >. Ainsi équation des ondes est hypeboique. (ii u t u d 2 =avec d> x2 B 2 4AC =. Ainsi équation de a diffusion est paaboique. (iii 2 u x u y 2 = B 2 4AC = 4 <. Ainsi équation de Lapace est eiptique. (iv y 2 u x 2 2 u =: Equation de Ticomi. y2 y> EDP est hypeboique. y = EDP est paaboique. y< EDP est eiptique. 3.5 Conditions aux fontièes et pobème "bien posé" Soient u = u(x, y et une EDP vaide dans Ω domaine (ouvet connexe. Tois types de conditions aux fontièes existent : 1. On impose a vaeu de u su Ω. C est a condition de Diichet. 2. On impose a vaeu de u ( n = gad u. n. C est a condition de Neumann.

10 68 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 3. On impose ces deux conditions su Ω. C est a condition de Cauchy. Remaque Si EDP est vaide dans tout espace, i n y a pas de fontièe. (On impose aos souvent des conditions à infini. Pobème "bien posé" Soit une EDP vaide dans Ω, munie de conditions aux fontièes. Le pobème est bien posé si : 1. i existe une soution de EDP satisfaisant es conditions fontièes (existence. 2. a soution doit ête unique (unicité. 3. a soution doit ête stabe pa appot aux conditions aux fontièes imposées (stabiité. Exempe Equation de Lapace en deux dimensions : 2 u x u =avec Ω={ <x< + ; y>} y2 Conditions aux fontièes : (Cauchy u(x, y ==f(x x R u (x, y ==g(x y x R Ω δω Remaque Si f = g = u g On consièe (i f(x = 1 x cos (nx n R, n N Aos u(x, y = 1 n cos(nxch(ny Losque n est gand, a condition u(x, y == 1 cos(nx diffèe peu de a condition n u(x, y ==. La soution, ee, diffèe beaucoup à cause du cosinus hypeboique, e pobème n est pas stabe et donc i est "ma posé".

11 3.6. EQUATION DES ONDES 69 Tabeau écapituatif Pou une EDP du second ode inéaie à coefficient constants, on a un pobème bien posé dans es cas suivants (conditions suffisantes : 3.6 Equation des ondes Type Fontièe Conditions Hypeboique ouvete Cauchy Paaboique ouvete Diichet ou Neumann Eiptique femée Diichet ou Neumann x R, 2 u t 2 c2 2 u x 2 = Soution généae : { ξ = x ct η = x + ct 2 U U(ξ,η =u(x, t ainsi = : fome canonique. ξ η U(ξ,η =f (ξ+g (η f,g sont des fonctions abitaies de casse C 2 (R u(x, t =f(x ct+g(x + ct Toute patie pincipae d une soution d une équation hypeboique peut ête mise sous cette fome. On impose es conditions aux imites : u(x, = φ(x, avecφ de casse C 2 (R u t (x, = ψ(x, avecψ de casse C1 (R Soution de d Aembet : u(x, t = 1 2 [φ(x ct+φ(x + ct] + 1 2c x+ct x ct ψ(sds En un point (x, t avec t>, avaeudeu(x, t dépend uniquement des vaeus de φ en x ct et x + ct et des vaeus de ψ dans intevae [x ct, x + ct]. L intevae [x-ct,x+ct] est dit ête intevae de dépendance du point (x,t. D un point de vue invese : es vaeus de u et de u t en (x = x,t =n infuent su u(x, t que si (x, t appatient à a zone hachuée. 3.7 Equation de diffusion Equation de diffusion su ensembe de a doite R u t u D 2 = (D> x2

12 7 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES t (x,t (x-ct, (x+ct, x t x Condition initiae : u(x, = φ(x avec x R, φ étant continue et bonée. On va monte que a soution est : u(x, t = + 1 φ(y e (x y2 4Dt 4πDt dy Poposition u(x, t ci-dessus est C su { <x<+,t>} On définit : G(x, t = 1 4πDt e x2 4Dt x R et t> G est a soution fondamentae ou "fonction de Geen" pou équation de Diffusion. On a : + G(x, t dx = 1, pou t>. On peut aos écie : u(x, t = + φ(yg(x y, t dy

13 3.7. EQUATION DE DIFFUSION 71 onde.nb Fig. 3.2 Soution de d Aembet à équation des ondes (x en hoizonta, ct en pofondeu dans e cas où φ =exp( 1 1 x 2 si x < 1 et sinon

14 72 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Remaques I s agit d un poduit de convoution. La "vaie" fonction de Geen est : g(x, t =H(t e x 2 4Dt 4πDt définie su R x R (g se éduit à G su R x R +. Démonstation On utiise a tansfomée de Fouie : En penant a tansfomée de Fouie, û(k, t = 1 + u(x, te ikx dx 2π u t u û D 2 = = x2 t D(ik2 û = û t = Dk2 û = û(k, t =û(k, e Dk2 t O, en notant ˆφ a tansfomée de Fouie de φ, û(k, = ˆφ(k donc û(k, t = ˆφ(ke Dk2 t u(x, t = F 1 [ ˆφ(ke Dk2t ] 1 1 = φ(y e (x y2 4Dt 2π 2Dt dy Rappe F 1 [e Dk2t ]= 1 e x2 4Dt 2Dt Remaques Cette démonstation pa a TF suppose que φ L 1, mais e ésutat este vai si φ n est que continue et bonée. + 1 Siφ(x est continue pa moceaux et bonée aos a fonction u(x, t = φ(y e (x y2 4Dt dy 4πDt est soution de équation : u t u D 2 x 2 =. Mais quand t +, a fonction u(x, t 1 2 (φ(x +φ(x +, quand x est un point de discontinuité de φ. u(x, t este C su { <x<+,t>}.

15 3.7. EQUATION DE DIFFUSION 73 ϕ(x u(x,t t= u(x,t> x a b a b x { > su [a, b] Siφ(x = aos u(x, t > x R (t > en dehos de [a, b] Cea coespond à une "vitesse de popagation infinie". Cas{ paticuie : 1 si x < 1 φ(x = si x > 1 On a aos (pou tout t> u(x, t = 1 { ( ( } 1 x (1 x ef 2 2 ef t 2 t (voi figue 3.3 où ef(x = 2 x e β2 dβ est a fonction eeu. π Remaque : im t + u(x =1,t=1 2 im t + u(x = 1,t= Equation de diffusion avec un teme souce On cheche à ésoude e pobème de diffusion en incuant un teme souce f(x, t u t u D 2 = f(x, t x R,t>,f continue x2 u(x, = φ(x x R Pa inéaité, on peut sépae e pobème en deux : u Pobème A t u D 2 =x R,t> x2 u(x, = φ(x x R u Pobème B t u D 2 = f(x, t x R,t>,f continue x2 u(x, = x R Pobème A : u(x, t = + φ(yg(x y, t dy

16 74 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Untited Fig. 3.3 Soution de équation de diffusion à t =,.1 et 1 dans e cas φ(x =1si x < 1 et si x > 1

17 3.7. EQUATION DE DIFFUSION 75 Pobème B : On empace e teme souce pa une condition initiae. v(x, t est soution de équation de diffusion. v Pobème B t D 2 v =x R,t>τ x2 v(x, t = τ =f(x, t = τ x R Soit v(x, t = τ a soution du pobème B. Poposition (Pincipe de Duhame v(x, t = τ = La fonction u définie pa u(x, t = Soution du pobème initia u(x, t = + φ(yg(x y, t dy + + t t G(x y, t τf(y, τ dy ( v(x, t, τdτ est soution du pobème B. + G(x y, t τf(y, τ dydτ Soution éémentaie (fonction de Geen de opéateu de diffusion Distibution dans R n (n N On appee D(R n ensembe des fonctions de R n dans C indéfiniment déivabes et à suppot boné. Exempe (n=3 ζ : R 3 R 1 exp( si <1 (x 1,x 2,x 3 ζ(x 1,x 2,x 3 = 1 2 si 1 = x x2 2 + x2 3 ζ D(R3 Définition On appee distibution de R n un éément de ensembe des fonctionnees inéaies et continues su D(R n. Exempe Soit f une fonction de R n C, ocaement sommabe. On peut ui associe une distibution éguièe T f tee que : T f,ϕ = f(x 1,..., x n ϕ(x 1,..., x n dµ(x 1...dµ(x n ϕ D(R n

18 76 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Distibution de Diac : δ : D(R n C ϕ(x 1,..., x n ϕ(,..., Déivées patiees dans D (R n Soit T D (R n ( ensembe des distibutions su R n. Aos, T x i,ϕ = T, ϕ x i ϕ D (R n C est a déivée patiee de a distibution. Remaques Soit T D (R n aos T δ =T Soit T D (R n, S D (R n. On suppose que T S existe. Aos Définition (T S = T S=T S x i x i x i Soit L un opéateu difféentie inéaie, d ode n (n N, à coefficients constants. Une distibution E de D (R n satisfaisant à : LE = δ est dite soution fondamentae de opéateu L. Remaque Si E est une soution fondamentae de L et si E D (R n est te que LE =,aos E+E est aussi soution fondamentae pou L. Poposition Tout opéateu difféentie inéaie à coefficients constants admet une soution fondamentae (dans D (R n. Poposition Soit L un opéateu difféentie à coefficients constants d ode n. Soit E une soution fondamentae de L(E D (R n /LE = δ. SoitF D (R n tee que E F existe dans D (R n aos a distibution U=E F est soution de LU = F.

19 3.7. EQUATION DE DIFFUSION Soution fondamentae de opéateu de diffusion Considéons a fonction : L= t D 2 x 2 = g : R 2 R (x, t H(t e x2 4Dt 4πDt H(t est a fonction de Heavyside. La fonction g(x, t étant ocaement sommabe su R 2, on peut ui asssocie une distibution éguièe notée T g. Cacuons T g,ϕ = g(x, tϕ(x, tdµ(xdµ(t ϕ D(R n 1 = e x2 4Dt ϕ(x, t dx dt 4πDt ( x D 2 t 2 T g : x R t [,+ [ ( x D 2 t 2 T g,ϕ = T g, ϕ ϕ t +D 2 x 2 = x R t [,+ [ e x2 ( 4Dt ϕ ϕ 4πDt t +D 2 x 2 dx dt x R t [,+ [ Pa intégation pa paties, e x2 4Dt 4πDt ϕ t ( + dx dt = im ε R ε = im ε I ε e x2 4Dt ϕ 4πDt t dt dx I ε = 1 16π x R t [,+ [ ( x 2 2t e x2 e x2 4Dε t 3 4Dt ϕ(x, t dx dt ϕ(x, ε dx 2 R 4πDε De même, x R t [,+ [ e x2 4Dt Apès deux intégations pa paties (vaiabe x, J ε = 1 16π x R t [,+ [ 2 ϕ dx dt = im 4πDt x2 ( x 2 2t 5 2 ε J ε 1 e x2 t 3 4Dt ϕ(x, t dx dt 2

20 78 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES e x2 4Dε I ε +J ε = ϕ(x, ε dx R 4πDε ( x 2 t 2 T g,ϕ = im I ε +J ε ε + = im ε + = im ε + = ϕ(, R R e x 2 4Dε ϕ(x, ε dx on pose y 2 = x2 4πDε 4ε e ϕ(2 εy, ε y2 dy π Donc, ( x 2 t 2 T g = δ dans D (R 2 où δ est a distibution de Diac : <δ,ϕ>= ϕ(,, ϕ D(R 2 T g est donc une soution éémentaie de opéateu de diffusion. Remaque ( Soit F D (R 2 dont e poduit de convoution avec T g existe, aos F T g satisfait t D 2 x 2 F T g =F. Cas paticuie : F est une distibution éguièe, notée T f, associée à une fonction f de R n C ocaement sommabe. F T g =T f T g =T f g ( t D 2 x 2 T f g =T f On peut aos die que : ( t D 2 x 2 (f g(x, t =f(x, t x R, t R Equation de diffusion su R + u t u D 2 x 2 = avec x R+, t R + On impose u(x =,t=, quand t>. La condition initiae est : u(x, = φ(x, x> On définit :

21 3.7. EQUATION DE DIFFUSION 79 ϕ(x u(x, u(x,t φ(x si x> ψ(x si x = φ( x si x< Remaque ψ( = 1 2 [ψ(+ +ψ( ] = Ψ(x x v v(x, t est soution de t D 2 v =,x R,t> x2 v(x, = ψ(x,x R ϕ(x ϕ(x,t x + v(x, t = g(x y, tψ(y dy v(x =,t> =

22 8 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES im t + v(x, t =ψ(x La estiction de v(x, t à x> est bien a fonction u(x, t echechée. Pou t>, x> : u(x, t = + g(x y, tψ(y dy = + (g(x y, t g(x + y, tφ(y dy Donc, u(x, t = 1 + (e (x y2 4Dt 4πDt e (x+y2 4Dt φ(y dy Cas paticuie φ(x =1pou x> u(x, t = 2 π x 4Dt e 2 d x = ef( 4Dt où ef(y = 2 π y e 2 d est a fonction eeu. 3.8 Equation de diffusion su un domaine spatia boné u t u D 2 = pou <x<, t> x2 u(x =,t=,t> u(x =, t =,t> u(x, = ϕ(x pou <x< On utiise a méthode de sépaation des vaiabes en posant u(x, t =f(xg(t. L équation de diffusion devient donc : f(xg (t Df (xy(t = 1 g (t D g(t = f (x = cste = λ f(x λ R { g (t = Dλg(t Soit f (x = λf(x On se amène donc à des équations difféentiees odinaies. x == f(g(t = x = = f(g(t = On ne etient que a soution f( = f( =, en ejetant a soution g(t =.

23 3.8. EQUATION DE DIFFUSION SUR UN DOMAINE SPATIAL BORNÉ 81 Ef.nb Fig. 3.4 Fonction ef ( x 4Dt en fonction de x et Dt

24 82 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Fonction f(x { f (x = λf(x La fonction f est soution du pobème f(x == f(x = = I s agit d un cas paticuie d un pobème pus généa : e pobème de Stum-Liouvie. Les vaeus de λ pou esquees i existe une soution non nue sont dites vaeus popes. Les fonctions f associées sont dites fonctions popes. Si λ =: f(x =ax + b f( = f( == a = b = λ =n est donc pas vaeu pope. Si λ< : λ = k 2 f(x =ae kx + be kx f( = f( == a = b = λ< n est donc pas vaeu pope. Si λ> : λ =+k 2 f(x =a cos kx + b sin kx f( = f( == a =et b sin k =donc k = k n = nπ avec n Z On a donc λ = λ n = n2 π 2 2 avec n N ( nπx Les fonctions popes sont donc f = f n = b sin avec n N. Fonction g(t g (t = Dλg(t = g(t =cste e λdt Pou n N, g(t =g n (t =c n e n2 π 2 2 Dt Soution généae ( u = u n (x, t =c n e n2 π 2 2 Dt nπx sin avec n N Afin de détemine es c n, on utiise a condition initiae u(x, = ϕ(x. Comme + ( u(x, t = c n e n2 π 2 2 Dt nπx sin n=1 I vient, u(x, t == + n=1 ( nπx c n sin = ϕ(x

25 3.8. EQUATION DE DIFFUSION SUR UN DOMAINE SPATIAL BORNÉ 83 ( mπx ϕ(xsin dx = n=1 = = 2 + n=1 + ( + ( nπx c n sin n=1 ( ( nπx c n sin n=1 c n δ n,m sin sin ( mπx ( mπx dx dx = 2 c m Donc c n = 2 ( nπx ϕ(xsin dx : i s agit des coefficients de Fouie de ϕ. La soution echechée est donc : + [ 2 ( ( nπx u(x, t = ϕ(xsin dx ]e n2 π 2 2 Dt nπx sin Conditions suffisantes Si, ϕ est continue su [,] ϕ est continue pa moceaux su [,] ϕ( = ϕ( = Aos + ( nπx c n sin convege unifomément et absoument ves ϕ(x su [,]. Unicité n=1 On mutipie es 2 membes équation de diffusion pa u. u u t u Du 2 x 2 = 1 u 2 u 2 t =Du 2 x 2 Pa intégation pa paties, on obtient : 1 u 2 2 [ u [u dx =D 2 x 2 =D u ] ( u 2 x] dx = D } {{ } x = Donc on a une fonction décoissante : ( u 2 dx x 1 u 2 (x, t dx 1 u 2 (x, dx 2 2 Soient u 1 (x, t et u 2 (x, t deux soutions du pobème. Soit v(x, t =u 1 (x, t u 2 (x, t aos v est soution de : v t D 2 v = pou <x<, t> x2 v(x =,t=,t>

26 84 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES v(x =, t =,t> v(x, = pou <x< O on a : 1 v 2 (x, t dx Donc : v =et u 1 = u 2. v 2 (x, dx = Exempes (a ϕ(x =x(π x u t 2 u =,avec <x<π x2 u(,t=u(π, t =,pou t> c n = 2 π ( nπx x(x πsin =4 1 ( 1n π π n 3 π u(x, t = 8 π 1 sin((2m 1x (2m 1 3 e (2m 12 Dt (b ϕ(x =x Remaque ϕ(x pou x = π π c n = 2 x sin(nx dx = 2 π n ( 1n u(x, t = ( 2 n=1 n ( 1n sin(nxe n2 Dt Remaque Retou { su a diffusion su tout R. u t u D 2 x 2 x R, t>u(x, = ϕ(x x R Ici pas de CL donc pas de estictions su k. + ( u(x, t = dk a(k cos(kx +b(k sin(kx e k2 Dt + ( o ϕ(x = dk a(k cos(kx+b(ksin(kx et ϕ(x = 1 + a(k = 1 ˆϕ(k dke ikx ˆϕ(k d où 2π 2π b(k = i ˆϕ(k 2π + u(x, t = dk ˆϕ(k e ikx e k2dt = 1 dξϕ(ξ dke ikx e ikξ e k2 Dt 2π 2π 1 + o dke ik(ξ x e k2dt = 1 e (x ξ2 4Dt 2π 2Dt

27 3.9. SOLUTION FONDAMENTALE DE L OPÉRATEUR DE HELMHOLTZ DANS R 2 85 u(x, t = + 1 dξϕ(ξ e (x ξ2 4πDt 4Dt t> 3.9 Soution fondamentae de opéateu de Hemhotz dans R 2 Soit : f : R 3 C tee que ( ( + k 2 2 f = x 2 1 +k 2 (k R On cheche E te que dans D (R 3 : ( + k 2 E = δ Rappe : δ, ϕ = ϕ(,, ϕ D(R x x 2 f(x 1,x 2,x 3 +k 2 f(x 1,x 2,x 3 3 Remaque f = f( fonction adiae ( + k 2 f = f = f (+ 2 f (+k 2 f( = On pose g( =f( donc g est soution de g (+k 2 g( =. cos k Apès cacus, on obtient : f( =C 1 Attention : 1 cos k et +C 2 sin k sont ocaement intégabes dans R 3. avec (C 1, C 2 C C 1 cos k ( sin k cos k sin k +C 2,ϕ = dx 1 dx 2 dx 3 C 1 +C 2 ϕ(x 1,x 2,x 3 R 3 1( + k 2 sin k ( + k 2 sin k,ϕ = = = = sin k, ( + k 2 ϕ d 3 sin k x ( + k 2 ϕ(x 1,x 2,x 3 ( ( + k 2 sin k ϕ(x 1,x 2,x 3 d 3 x en effectuant des intégations pa paties et ca ( + k 2 sin k =dans tout R 3.

28 86 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES ( + k 2 sin k = O avec O a distibution nue 2( + k 2 cos k ( + k 2 cos k,ϕ = = cos k, ( + k 2 ϕ d 3 sin k x ( + k 2 ϕ(x 1,x 2,x 3 ( ( + k 2 sin k ϕ(x 1,x 2,x 3 d 3 x L intégation pa paties ne mache pas ca es déivées patiees secondes de ne sont pas ocaement sommabes. d 3 cos k x ( + k 2 ϕ(x 1,x 2,x 3 = im ε, >ε = im ε I ε I ε = d 3 x >ε cos k ( + k 2 ϕ(x 1,x 2,x 3 cos k cos k dx 1 dx 2 dx 3 ( + k 2 ϕ(x 1,x 2,x 3 Rappe : d 3 cos k x ϕ = >ε >ε avec dσ ε = ε 2 sin θdθdϕ. ( cos k d 3 x ( cos k ϕ ϕ + =ε + ϕ Pou obteni cette égaité, on a utiisé e théoème de Geen. I ε = =ε ( cos k ϕ + ϕ ( cos k dσ ε (cos k dσ ε ( Soit dω =sinθdθdϕ cos k sin k cos k = k ϕ I ε = ε cos kε dω kε sin kε im ε =++( 4πϕ( ϕdω cos kε ϕdω ( + k 2 cos k = 4πδ dans D (R 3

29 3.1. ESPACE FONCTIONNEL 87 La soution fondamentae est donc : Remaques : ( + k 2 e±ikx = δ ( 4π 1 = 4πδ ( 1 = δ 4π cos k 4π 3.1 Espace fonctionne Soit [a, b] un intevae de R L 2 (a, b est ensembe des fonctions de caé sommabe su [a, b]. f(x 2 dµ(x < Remaque [a,b] Pou a constuction de L 2 (a, b, deux fonctions égaes pesque patout su [a; b] sont considéées comme identiques. L 2 (a, b est un espace vectoie de dimension. On peut muni L 2 (a, b de a nome suivante : f L 2 (a,b =( f(x 2 dµ(x 1 2 [a,b] Poposition L espace L 2 (a, b muni de a nome ci-dessus est un espace de Banach (Toute suite de Cauchy convege ves un éément de cet espace vectoie. L espace vectoie L 2 (a, b nomé est compet. La nome ci-dessus déive du poduit scaaie : (f,g L 2 (a,b = f(x g(xdµ(x Poposition L 2 (a, b estunespacedehibet. [a,b] Définition

30 88 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Soit f 1,f 2,.. L 2 (a, b On dit que cette suite de fonctions convege en moyenne quadatique ves un éément f L 2 (a, b si : im f n f L n 2 (a,b = Poposition Soit φ 1,φ 2,... L 2 (a, b te que : 1. (φ n,φ m L 2 (a,b =si n m. 2. La seue fonction g L 2 (a, b tee que (g, φ n L 2 (a,b = n =1, 2,... est a fonction nue. Aos ensembe φ 1,φ 2,... fome une base othogonae de L 2 (a, b. Exempe ( πx Les fonctions sin, sin L 2 (,. ( 2πx, sin ( 3πx,... foment une base othogonae de Poposition f L 2 (a, b, soitφ 1,φ 2,... une base othogonae de L 2 (a, b. Les coefficients de fouie de f sont : C n = (f,φ n (φ n,φ n On monte que a séie + C n (fφ n convege en moyenne quadatique ves f : n=1 im p + p C n (fφ n f = L 2 (a,b n=1 Remaque La poposition ne dit pas que a somme convege simpement ves a fonction f, ise peut que : ( p im C n (fφ n (x f(x p + n=1

Cours de Mathématiques E.S.P.C.I Deuxième année 2013-2014. Elie Raphaël Polycopié des élèves rédigé à partir du cours

Cours de Mathématiques E.S.P.C.I Deuxième année 2013-2014. Elie Raphaël Polycopié des élèves rédigé à partir du cours Cours de Mathématiques E.S.P.C.I Deuxième année 2013-2014 Elie Raphaël Polycopié des élèves rédigé à partir du cours 2 Ce polycopié a été rédigé sous L A TEX2e par Julien Berthaud, Cyrille Boullier, Régis

Plus en détail

Analyse Discriminante Décisionnelle

Analyse Discriminante Décisionnelle 1 Anayse Disciminante Décisionnee Anayse Disciminante Décisionnee Résumé Une vaiabe quaitative Y à m modaités est modéisé pa p vaiabes quantitatives X j, j = 1,..., p. L objectif est a pévision de a casse

Plus en détail

III Enonce du principe fondamental de la statique (ou P.F.S)

III Enonce du principe fondamental de la statique (ou P.F.S) Rèf : st Pincipe fondamental de la statique STI G.E. I Hypothèse de la statique En statique, les solides sont supposés géométiquement pafaits, indéfomables, homogènes et isotopes. Géométie : les aspéités,

Plus en détail

CHAPITRE 1 SUITES. 1. On dit plus simplement suite réelle si K = R et complexe si K = C.

CHAPITRE 1 SUITES. 1. On dit plus simplement suite réelle si K = R et complexe si K = C. CHAPITRE 1 SUITES Les suites sont un objet fondamental à la fois en mathématiques et dans l application des mathématiques aux autes sciences. Nous veons dans ce cous et les tavaux diigés dives exemples

Plus en détail

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET SOCIALES Sections des sciences économiques et des hautes études commerciales Mathématiques I Cours du professeur D. Royer Recueil d exercices #2 Analyse II Semestre

Plus en détail

CHAPITRE II MAGNETOSTATIQUE

CHAPITRE II MAGNETOSTATIQUE Chapite : Magnétostatique CAPTRE MAGNETOTATQUE Une chage électique immobile cée un champ électique seulement; Une chage en mouvement (un couant) cée un champ électique et un champ magnétique. Définition

Plus en détail

Équations aux Dérivées Partielles. Pedro Ferreira et Sylvie Mas-Gallic

Équations aux Dérivées Partielles. Pedro Ferreira et Sylvie Mas-Gallic Équations aux Dérivées Partielles Pedro Ferreira et Sylvie Mas-Gallic 11 décembre 21 Table des matières 1 Introduction 3 1.1 Exemple d une équation aux dérivées partielles........... 3 1.2 Rappels sur

Plus en détail

Chapitre 6 La dérivation

Chapitre 6 La dérivation Capitre 6 La dérivation A) Nombre dérivé et tangente 1) Tangente en un point à une courbe et nombre dérivé Soit f(x) la fonction dont la courbe est représentée ci-dessus, et prenons deux points A et B

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

STATIQUE. Actions mécaniques extérieures = Actions Mécaniques de contact + Actions Mécaniques à distance

STATIQUE. Actions mécaniques extérieures = Actions Mécaniques de contact + Actions Mécaniques à distance STTIQUE 1.- Quel est l objectif de la statique? Pou étudie les conditions d équilibe des solides indéfomables. Remaques : - Un solide est considéé indéfomable tant que les défomations estent faibles. -

Plus en détail

Spé 2008-2009 Devoir n 8 OPTIQUE

Spé 2008-2009 Devoir n 8 OPTIQUE Spé 8-9 Devoi n 8 OPTIQUE ETRALE PSI 8 A Pou que deux ondes poduisent des inteféences, il faut qu elles soient cohéentes, c est-à-die igoueusement synchones Pou obteni expéimentalement cette condition

Plus en détail

Chapitre I. Description des milieux continus

Chapitre I. Description des milieux continus Chapite I Desciption des milieu continus OBJET Ce chapite est consacé à la desciption des milieu continus. On intoduia les notions fondamentales de desciption du mouvement au sens de Lagange et d Eule,

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

INITIATION A LA MESURE ----

INITIATION A LA MESURE ---- INITIATION A LA MSUR ---- Le but de ce TP est : - de mesue la foce électomotice et la ésistance intene d'une pile, - d'évalue, en tenant compte des incetitudes de mesue et des caactéistiques de l'appaeil

Plus en détail

Exemples d antennes (9)

Exemples d antennes (9) Exemples d antennes (9) II. Le pincipe des images : Pemet de considée le cas de souces placées au dessus d un sol qui peut ête assimilé à un conducteu pafait (en BF : σ >> ωε ). a) Cas d une antenne filaie

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Quantité de mouvement Les systèmes de masse variable

Quantité de mouvement Les systèmes de masse variable 3 ème os DYNAMIQUE Théoie Quantité de mouvement Les systèmes de masse vaiable Intoduction À pati du Moyen Âge, on s'est endu compte que la vitesse ne suffisait pas à explique toutes les caactéistiques

Plus en détail

FINANCE Mathématiques Financières

FINANCE Mathématiques Financières INSTITUT D ETUDES POLITIQUES 4ème Année, Economie et Entepises 2005/2006 C.M. : M. Godlewski Intéêts Simples Définitions et concepts FINANCE Mathématiques Financièes L intéêt est la émunéation d un pêt.

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Mathématiques Exercices pour le soutien

Mathématiques Exercices pour le soutien Mathématiques 5-6 Exercices pour le soutien Ma9 UVSQ Exercice. Exercice 6. Calculer les dérivées des fonctions suivantes : f : x 3x g : x 4 x +x h : x x x+ k : x (3x +) 9 m : x 3 x +4 j : x 5(x )(x ) l

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Chap. 6 PROBLEMES D'ELECTROMAGNETISME

Chap. 6 PROBLEMES D'ELECTROMAGNETISME Chap. 6 PROBLEMES D'ELECTROMAGNETISME Poblème 1 Condensateu en égime vaiable (extait de l'examen S3SMPE 2002-2003) On considèe un condensateu plan à amatues ciculaies, de ayon a, distantes de d, alimenté

Plus en détail

Université 08 mai 1945 Guelma - Algérie. cours de MODELISATION DE LA PHYSIQUE DES FLUIDES ) par. Hisao FUJITA YASHIMA

Université 08 mai 1945 Guelma - Algérie. cours de MODELISATION DE LA PHYSIQUE DES FLUIDES ) par. Hisao FUJITA YASHIMA Univesité 8 mai 1945 Guelma - Algéie cous de MODELISATION DE LA PHYSIQUE DES FLUIDES pofessé pa Hisao FUJITA YASHIMA 29-21 - Le cous a été dédié à des modèles mathématiques de phénomènes atmosphéiques

Plus en détail

Exercices : 19 - Champ électrostatique

Exercices : 19 - Champ électrostatique 1 Execices : 19 - Champ électostatique Sciences Physiques MP 2015-2016 Execices : 19 - Champ électostatique A. Calculs de champ et de potentiel 1. Théoème de supeposition Une sphèe de ayon b pote une chage

Plus en détail

PSI Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 29 CHAPITRE DF3 D DYNAMIQUE LOCALE DES FLUIDES PARFAITS

PSI Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 29 CHAPITRE DF3 D DYNAMIQUE LOCALE DES FLUIDES PARFAITS PSI Bizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides pafaits 9 CHAPITRE DF3 D DYNAMIQUE LOCALE DES FLUIDES PARFAITS Dans ce chapite, nous allons elie l écoulement d un fluide aux actions qu il subit. Nous

Plus en détail

Chapitre 6: Moment cinétique

Chapitre 6: Moment cinétique Chapite 6: oment cinétique Intoduction http://www.youtube.com/watch?v=vefd0bltgya consevation du moment cinétique 1 - angula momentum consevation 1 - Collège éici_(360p).mp4 http://www.youtube.com/watch?v=w6qaxdppjae

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE ANNÉE 2006 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte (dans l énoncé d origine, pas

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

où «p» représente le nombre de paramètres estimés de la loi de distribution testée sous H 0.

où «p» représente le nombre de paramètres estimés de la loi de distribution testée sous H 0. 7- Tests d austement, d indépendance et de coélation - Chapite 7 : Tests d austements, d indépendance et de coélation 7. Test d austement du Khi-deux... 7. Test d austement de Kolmogoov-Sminov... 7.. Test

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Conduction électrique

Conduction électrique Conduction éectrique. Courant éectrique.1. Intensité Dans a première partie de ce cours nous nous sommes intéressés aux charges éectriques immobies (éectrostatique). Or i existe des miieux avec des charges

Plus en détail

M42. Compléments d analyse (résumé).

M42. Compléments d analyse (résumé). Université d Evry-Val-d Essonne. Année 2008-09 D. Feyel M42. Compléments d analyse (résumé). Table. I. Rappels sur les suites. Limites supérieure et inférieure. II. Topologie élémentaire. III. Fonctions

Plus en détail

Système d ouverture de porte de TGV

Système d ouverture de porte de TGV Le sujet se compose de : TD MP-PSI REVISION CINEMATIQUE Système d ouvetue de pote de TGV 6 pages dactylogaphiées ; 2 pages d annexe ; 2 pages de document éponse Objet de l étude Le tanspot feoviaie, concuencé

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

Dérivation Primitives

Dérivation Primitives Cours de Terminale STI2D Giorgio Chuck VISCA 27 septembre 203 Dérivation Primitives Table des matières I La dérivation 3 I Rappels 3 I. exemple graphique............................................. 3

Plus en détail

Cours de Master 1ère année Filière : Ingénierie Mathématique à Toulouse. Approximation des équations aux dérivées partielles, 24h de cours, 24h de TDs

Cours de Master 1ère année Filière : Ingénierie Mathématique à Toulouse. Approximation des équations aux dérivées partielles, 24h de cours, 24h de TDs Cours de Master 1ère année Filière : Ingénierie Mathématique à Toulouse Approximation des équations aux dérivées partielles, 24h de cours, 24h de TDs Marie Hélène Vignal Université Paul Sabatier, UPS,

Plus en détail

F O R C E C E N T R A L E C O N S E R V A T I V E. A P P L I CA T I O N A U X O R B I T E S C I R C U L A I R E S

F O R C E C E N T R A L E C O N S E R V A T I V E. A P P L I CA T I O N A U X O R B I T E S C I R C U L A I R E S MECA NI QUE L yc ée F.B UISS N PTS I MUVEMENT D UNE PARTICULE SUMISE A UNE F R C E C E N T R A L E C N S E R V A T I V E. A P P L I CA T I N A U X R B I T E S C I R C U L A I R E S PRELUDE Dans ce chapite,

Plus en détail

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR 2. Cours de filière MAM, ISTIL deuxième année. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR 2. Cours de filière MAM, ISTIL deuxième année. Ionel Sorin CIUPERCA COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR 2 Cours de filière MAM, ISTIL deuxième année Ionel Sorin CIUPERCA Le but de ce cours est d introduire un outil très utilisé dans la modélisation mathématique

Plus en détail

Retournement temporel et focalisation sublongueur

Retournement temporel et focalisation sublongueur Retounement tempoel et focalisation sublongueu d onde Laboatoie Ondes et Acoustique Pais http://www.loa.espci.f Focalisation : petite ouvetue Distance focale : F Onde plane D W F>>D Lentill e Hypothèse

Plus en détail

TRAVAUX DIRIGÉS DE M 6

TRAVAUX DIRIGÉS DE M 6 D M 6 Coection PCSI 1 013 014 RVUX DIRIGÉS DE M 6 Execice 1 : Pemie vol habité (pa un homme) Le 1 avil 1961, le commandant soviétique Y Gagaine fut le pemie cosmonaute, le vaisseau spatial satellisé était

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Chapitre II- Lois fondamentales de la magnétostatique

Chapitre II- Lois fondamentales de la magnétostatique 1 hapite - Lois fondamentales de la magnétostatique Aucune des lois fondamentales citées ici ne sea démontée. Elles constituent des faits d expéience taduits dans un fomalisme mathématique, apué au fil

Plus en détail

Cours de mathématiques.

Cours de mathématiques. Orsay 008-009 IFIPS S Mathématiques (M160). Cours de mathématiques. 1. Equations différentielles linéaires du second ordre. La fonction C : x cos x est indéfiniment dérivable sur R, et C (x) = S(x), avec

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

Cahier de vacances. Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme

Cahier de vacances. Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme Cahier de vacances Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme Votre année de PCSI a été bien remplie et il est peu probable que l année de PC qui arrive vous paraisse plus facile. C est pourquoi, je vous

Plus en détail

Robot industriel IRB.60

Robot industriel IRB.60 Noguet - Lycée Blaise Pascal Colma - Robot industiel IRB - D apès Mécanique 1 P. Agati ED. Dunod - 24/02/05-1/5 EXERCICES D APPLICATION CINEMATIQUE Chapite 4 : Etude du mouvement ciculaie 1. Pésentation

Plus en détail

Equations Différentielles

Equations Différentielles Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 1 Equations Différentielles I- Définitions élémentaires. On appelle Equation Différentielle Ordinaire (EDO) toute équation (E) du type (E) : y (n) (t) = F (t; y(t);

Plus en détail

LA DIFFUSION THERMIQUE & LA DIFFUSION de PARTICULES

LA DIFFUSION THERMIQUE & LA DIFFUSION de PARTICULES PSI Bizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 36 - Etude de deux phénomènes de diffusion : LA DIFFUSION THERMIQUE & LA DIFFUSION de PARTICULES 1. LA DIFFUSION : UN MODE DE TRANSFERT SANS MOUVEMENT MACROSCOPIQUE

Plus en détail

L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction

L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction (0.1) Ce cours s articule autour du calcul différentiel et, en particulier, son application au

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Année universitaire 2012/2013

Année universitaire 2012/2013 Année univesitaie 1/13 Examen Electomagnétisme PEIP Aix-Maseille Univesité 15 janvie 13 5 poblèmes - ecto veso / Duée e l épeuve heues alculettes stanas autoisées / Fomulaie Page A4 autoisée 1. (4pts Quate

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Université Paris I, Panthéon - Sorbonne Licence M.A.S.S. 203-204 Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Jean-Marc Bardet (Université Paris, SAMM) Email: bardet@univ-paris.fr Page oueb: http://samm.univ-paris.fr/-jean-marc-bardet-

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

La mécanique des fluides est l étude du comportement des fluides (liquides et gaz) et des forces internes associées.

La mécanique des fluides est l étude du comportement des fluides (liquides et gaz) et des forces internes associées. I- PREAMBULE : La mécanique des fluides est l étude du compotement des fluides (liquides et gaz) et des foces intenes associées. Elle se divise en statique des fluides, l étude des fluides au epos, qui

Plus en détail

Démarche)Qualité)pour)Améliorer)la)Communication) Pluridisciplinaire)entre)les)Jeunes)Chercheurs)

Démarche)Qualité)pour)Améliorer)la)Communication) Pluridisciplinaire)entre)les)Jeunes)Chercheurs) Démache)Qualité)pou)mélioe)la)Communication) Pluidisciplinaie)ente)les)s)Checheus) Sommaie)! Intoction!...!1! 1.!Desciption!de!la!poblématique!...!1! 1.1.#Contexte#de#la#communication#ente#les#jeunes#s#...#1#

Plus en détail

1 Espaces vectoriels normés

1 Espaces vectoriels normés Université Paris 7 Denis Diderot Année 2005/2006 Licence 2 MIAS MI4 1 Espaces vectoriels normés 1.1 Définitions Soit E un espace vectoriel sur R. Topologie des espaces vectoriels de dimension finie Définition

Plus en détail

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

SERIE DE TRAVAUX DIRIGES 1 (EXERCICES D ELECTROSTATIQUE)

SERIE DE TRAVAUX DIRIGES 1 (EXERCICES D ELECTROSTATIQUE) TD Electosttique ETL7 UNIVERSITE DJILLALI LIABES FACULTE DES SCIENCES DE L INGENIEUR DEPARTEENT ELECTROTECHNIUE SERIE DE TRAVAU DIRIGES 1 (EERCICES D ELECTROSTATIUE) EERCICE 1 Tois chges sont plcées ux

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

CARACTERISTIQUES DES SECTIONS PLANES

CARACTERISTIQUES DES SECTIONS PLANES CRCTERITIQUE DE ECTION PLNE OENT TTIQUE D UNE ECTION PLNE oient une aie pane et une doite Le moment statiue de a section pa appot à m est défini pa intégae : m ( ) ( ) δ d (doénavant, on note e moment

Plus en détail

CONVERSION DE PUISSANCE

CONVERSION DE PUISSANCE Spé y 2004-2005 Devoi n 6 CONVERSION DE PUISSANCE Une alimentation de d odinateu de bueau est assez paticulièe, elle doit founi des tensions de +5, +12, 5 et 12 volts avec une puissance moyenne de quelques

Plus en détail

4( ) ( ) Enthalpie de Formation. Exercice 1 : Formation de l acide benzoïque. Exercice 5 : Réaction exothermique ou endothermique

4( ) ( ) Enthalpie de Formation. Exercice 1 : Formation de l acide benzoïque. Exercice 5 : Réaction exothermique ou endothermique Suppément EXERIES T7 Themochimie Feuie / Enthapie de Fomation Execice : Fomation de acide benzoïque. onnaissant a omue de acide benzoïque 65(s, écie équation de sa ustion dans e dioxyène de ai.. acue son

Plus en détail

Lycée Clemenceau. PCSI 1 - Physique. PCSI 1 (O.Granier) Lycée. Clemenceau. Le champ magnétique. Le théorème d Ampère.

Lycée Clemenceau. PCSI 1 - Physique. PCSI 1 (O.Granier) Lycée. Clemenceau. Le champ magnétique. Le théorème d Ampère. Lcée lemenceau S 1 - hsique Lcée lemenceau S 1 O.Ganie Le champ magnétique Le théoème d Ampèe Olivie GRANER Lcée lemenceau S 1 - hsique Énoncé du théoème d Ampèe Le théoème d Ampèe est «l équivalent» du

Plus en détail

UFR DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE ÉQUATIONS AUX. Georges Koepfler 2001 - gk@math-info.univ-paris5.fr

UFR DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE ÉQUATIONS AUX. Georges Koepfler 2001 - gk@math-info.univ-paris5.fr UFR DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE Maîtrise d Ingénierie Mathématique ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Georges Koepfler 2001 - gk@math-info.univ-paris5.fr Table des matières 1 Introduction 1 1.1 Définitions....................................

Plus en détail

Université Joseph Fourier Premier semestre 2009/10. Licence première année - MAT11a - Groupe CHB-1. Contrôle Continu 1, le 9/10/2009

Université Joseph Fourier Premier semestre 2009/10. Licence première année - MAT11a - Groupe CHB-1. Contrôle Continu 1, le 9/10/2009 Université Joseph Fourier Premier semestre 9/ Licence première année - MATa - Groupe CHB- Contrôle Continu, le 9//9 Le contrôle dure heure. Questions de cours. ) Soit f :]a, b[ ]c, d[ unefonctionbijectiveetdérivabletelleque,pourtoutx

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Département Licence Sciences et Technologies Année 2013-2014. Exercices MAT11a: analyse mathématique pour les sciences

Département Licence Sciences et Technologies Année 2013-2014. Exercices MAT11a: analyse mathématique pour les sciences Université Joseph Fourier, Parcours BIO, CHB, SVT Département Licence Sciences et Technologies Année 23-24 Exercices MATa: analyse mathématique pour les sciences Chapitre A Fondements Exercice On se donne

Plus en détail

Fiche de révisions de première année pour une rentrée en PSI en toute sérénité!

Fiche de révisions de première année pour une rentrée en PSI en toute sérénité! PSI Septembre 0 MATHEMATIQUES Fiche de révisions de première année pour une rentrée en PSI en toute sérénité! Table des matières Nombres complexes 3. Cours...................................... 3. Exercices

Plus en détail

COURS D ELECTROSTATIQUED

COURS D ELECTROSTATIQUED COUR D LCTROTTIQUD emmanuel.main@univ-st-etienne.f Laboatoie Hubet Cuien i Canot Plan - CHP LCTRIQU POTNTIL LCTRIQU - LCTROTTIQU D CONDUCTUR (en éuilibe) C - NRGI LCTROTTIQU CHP LCTRIQU - POTNTIL LCTRIQU

Plus en détail

ARBRES BINAIRES DE RECHERCHE

ARBRES BINAIRES DE RECHERCHE ARBRES BINAIRES DE RECHERCHE Table de smbole Recheche : opéation fondamentale données : éléments avec clés Tpe abstait d une table de smboles (smbol table) ou dictionnaie Objets : ensembles d objets avec

Plus en détail

Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA

Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA Université Paris-Dauphine Méthodes numériques Département MIDO année 03/04 Master MMDMA Travaux dirigés Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires Exercice. Pour α > 0, on considère le

Plus en détail

Cours de Mathématiques pour la Licence Analyse Complexe. Sylvie Benzoni et Francis Filbet

Cours de Mathématiques pour la Licence Analyse Complexe. Sylvie Benzoni et Francis Filbet Cours de Mathématiques pour la Licence Analyse Complexe Sylvie Benzoni et Francis Filbet 7 mai 27 2 Table des matières 1 Rappels sur les nombres complexes 5 1 Introduction.................................

Plus en détail

THEORIE DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE

THEORIE DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE Chapite : lectostatiue Cous de A.Tilmatine THOI DU CHAMP LCTOMAGNTIQU Cous édigé pa : D. TILMATIN AMA Faculté des sciences de l Ingénieu, univesité de sidi-bel-abbès. INTODUCTION Il existe tois égimes

Plus en détail

ÉLÉMENTS DE CALCUL TENSORIEL

ÉLÉMENTS DE CALCUL TENSORIEL ÉLÉMENTS DE CALCUL TENSORIEL Roland FORTUNIER Cente Mico-électonique de Povence "Geoges Chapak" Avenue des anémones 13541 - GARDANNE Table des matièes Intoduction.........................................................

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES. D. Azé

LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES. D. Azé LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul Différentiel et Équations Différentielles D. Azé Université Paul Sabatier Toulouse 2008 Table des matières 1 Généralités sur les espaces normés 3 1.1 Espaces

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

Mathématiques appliquées à la topographie - niveau 1

Mathématiques appliquées à la topographie - niveau 1 VILLE DE LIEGE INSTITUT DE TRAVAUX PUBLICS Enseignement de pomotion sociale Mathématiques appliquées à la topogaphie - niveau 1 Notes de cous povisoies Jean-Luc Becke Tigonométie plane Mathématiques appliquées

Plus en détail

INSA de LYON Dép. Génie Civil et Urbanisme 3GCU CONDUCTION - - 53 - - [J. Brau], [2006], INSA de Lyon, tous droits réservés

INSA de LYON Dép. Génie Civil et Urbanisme 3GCU CONDUCTION - - 53 - - [J. Brau], [2006], INSA de Lyon, tous droits réservés INSA de LYON Dép. Génie Civil et Ubanisme 3GCU CONDUCION - - 53 - - [J. Bau], [006], INSA de Lyon, tous doits ésevés INSA de LYON Dép. Génie Civil et Ubanisme 3GCU INRODUCION - 56 CHAPIRE - 57 GENERALIES

Plus en détail

11.5 Le moment de force τ (tau) : Production d une accélération angulaire

11.5 Le moment de force τ (tau) : Production d une accélération angulaire 11.5 Le moment de foce τ (tau) : Poduction d une accéléation angulaie La tige suivante est soumise à deux foces égales et en sens contaie: elle est en équilibe N La tige suivante est soumise à deux foces

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

ENONCE SUJET. Usage de la calculatrice interdit

ENONCE SUJET. Usage de la calculatrice interdit CONCOURS COMMUN 2006 DES ECOLES DES MINES D ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epeuve spécifique de Sciences Industielles pou l Ingénieu Filièe PCSI, option PSI Vendedi 12 mai 2006 de 8h00 à 12h00 Instuctions généales

Plus en détail

Microéconomie B Interrogation du Mercredi 24 Novembre 2010 Durée : 1h30

Microéconomie B Interrogation du Mercredi 24 Novembre 2010 Durée : 1h30 Univesité Pais Ouest Nantee La Défense Année univesitaie 010-011 UFR SEGMI L Economie-Gestion Micoéconomie B Inteogation du Mecedi 4 Novembe 010 Duée : 1h30 Aucun document n est autoisé et les calculatices

Plus en détail

²Chapitre-2 Ondes lumineuses

²Chapitre-2 Ondes lumineuses ²Chapite- Ondes luineuses Les ondes luineuses sont des ondes életoagnétiques, est à die les gandeus qui se popagent sont un hap életique E et un hap agnétique B. Le aatèe ondulatoie de la luièe a été énoné

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE

M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE I Modèle de l oscillateur harmonique (O.H.) I. Exemples Cf Cours I. Définition Définition : Un oscillateur harmonique à un degré de liberté x (X, θ,... ) est un système physique

Plus en détail

Arbres et dérivée d une fonction composée

Arbres et dérivée d une fonction composée Abes et déivée d ue foctio composée Nous allos voi ici commet l o peut epésete les déivées successives d ue foctio composée pa u esemble d abes fiis. f et g désigeot deux foctio idéfiimet déivables, et

Plus en détail

Leçon Force normale. L applet Force normale simule les forces qui s exercent sur un bloc qui se déplace verticalement. Préalables

Leçon Force normale. L applet Force normale simule les forces qui s exercent sur un bloc qui se déplace verticalement. Préalables Leçon Foce nomale L applet Foce nomale simule les foces qui s execent su un bloc qui se déplace veticalement. Péalables L élève devait connaîte les concepts d accéléation et de foce, et le lien qui existe

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Définition d une norme

Définition d une norme Définition d une norme Définition E est un K-ev. L application N : E R + est une norme sur E ssi 1. x E, N(x) = 0 x = 0. 2. k K, x E, N(k.x) = k N(x). 3. x, y E, N(x + y) N(x) + N(y) Notation N,. Propriété

Plus en détail

E S UE3 A C. Physique et biophysique. Toute la physique en 1 volume. Dounia Drahy

E S UE3 A C. Physique et biophysique. Toute la physique en 1 volume. Dounia Drahy P MÉDECINE PHARMACIE DENTAIRE SAGE-FEMME UE3 A C Physique et biophysique Dounia Dahy E S Toute la physique en 1 volume Rappels de cous + de 300 QCM et execices Tous les coigés détaillés Table des matièes

Plus en détail

Les séries de Fourier

Les séries de Fourier . Les séries de Fourier Daniel Perrin La raison d être de ce cours est la présence des séries de Fourier au programme de nombreuses sections de BTS (électronique, optique, etc.) et, partant, au programme

Plus en détail

Département Licence Sciences et Technologies Année 2013-2014. Exercices MAT11a: analyse mathématique pour les sciences

Département Licence Sciences et Technologies Année 2013-2014. Exercices MAT11a: analyse mathématique pour les sciences Université Joseph Fourier, Parcours BIO, CHB, SVT Département Licence Sciences et Technologies Année 3-4 Exercices MATa: analyse mathématique pour les sciences Chapitre Manipulations algébriques et logiques

Plus en détail

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions Systèmes différentiels Cours de YV, L3 Maths, Dauphine, 2012-2013 Plan du cours. Le cours a pour but de répondre aux questions suivantes : - quand une équation différentielle a-t-elle une unique solution

Plus en détail

CONCOURS INTERNE POUR LE RECRUTEMENT D INGENIEUR(E)S DES TRAVAUX DE LA METEOROLOGIE SESSION 2015

CONCOURS INTERNE POUR LE RECRUTEMENT D INGENIEUR(E)S DES TRAVAUX DE LA METEOROLOGIE SESSION 2015 CONCOURS INTERNE POUR LE RECRUTEMENT D INGENIEUR(E)S DES TRAVAUX DE LA METEOROLOGIE SESSION 2015 ************************************************************************************************* EPREUVE

Plus en détail

COURS L1 PREPA AGRO VETO 2012. Claire CHRISTOPHE

COURS L1 PREPA AGRO VETO 2012. Claire CHRISTOPHE COURS L PREPA AGRO VETO 202 Claire CHRISTOPHE 8 avril 203 2 Table des matières I ANALYSE 5 Fonctions numériques de la variable réelle 7. Complément sur l étude des fonctions..................................

Plus en détail