Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés"

Transcription

1 Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : encadrer une intégrale Exercice 2 : donner un encadrement du logarithme népérien d un nombre à l aide d une intégration Exercice 3 : encadrer une intégrale dont l intégrande est une fonction composée Exercice 4 : encadrer une intégrale dont l intégrande est le produit de deux fonctions Exercice 5 : minorer la fonction exponentielle par une fonction polynôme (raisonnement par récurrence) Exercice 6 : comparer deux intégrales et étudier la convergence d une suite définie par une intégrale Accès direct au site Avant de porter notre attention à la correction des exercices, rappelons la définition d une fonction primitive ainsi que les primitives des fonctions usuelles et les primitives de fonctions composées couramment rencontrées. Dans ces formulaires, désigne une constante réelle et est une fonction dérivable sur un intervalle. Rappel : Primitive d une fonction et calcul d une intégrale Soit une fonction continue sur un intervalle [ ] avec. Une primitive de sur [ ] est, si elle existe, une fonction dérivable sur [ ] vérifiant sur [ ]. Si est une fonction continue sur [ ] et si est une primitive de sur [ ], alors, pour tout [ ] : [ ] Remarque : Dans une intégrale, la fonction qui est intégrée est appelée intégrande. 1

2 Formulaire des primitives de fonctions usuelles Fonction définie par Primitives définies par Conditions sur et Formulaire des primitives de fonctions composées Fonction Primitives de la fonction Conditions sur et 2

3 Exercice corrigé 1 (2 questions) Niveau : facile Dans cet exercice, désigne une fonction continue sur. 1) Sachant que, pour tout [ ],, donner un encadrement de l intégrale : 2) Sachant que, pour tout [ ],, donner un encadrement de l intégrale : Correction de l exercice 1 Retour au menu 1) Donnons un encadrement de l intégrale. Rappel : Conservation de l ordre par intégration (ordre et intégrale / intégration d une inégalité) Soient et deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec. Alors, pour tout réel [ ] : Remarques : On dit que l intégrale conserve l ordre. La réciproque n est pas vraie. La fonction est continue sur et l intégrale conserve l ordre donc, pour tout réel [ ], il vient que : [ ] [ ] 2) Donnons un encadrement de l intégrale. La fonction est continue sur et l intégrale conserve l ordre donc, pour tout réel [ ], il vient que : [ ] [ ] [ ] [ ] 3

4 Exercice corrigé 2 (3 questions) Niveau : facile 1) Montrer que, pour tout réel [ ], 2) En déduire un encadrement, pour tout réel [ ], de l intégrale suivante : 3) En déduire un encadrement de. Correction de l exercice 2 Retour au menu 1) La fonction est une fonction affine de taux d accroissement positif donc elle est croissante sur. Par conséquent, pour tout réel [ ], il vient que, soit. De plus, la fonction inverse est décroissante sur et en particulier sur [ ]. Il s ensuit que, pour tout réel tel que [ ],, soit. 2) La fonction est une fonction homographique définie sur. Elle est donc continue sur [ ]. En outre, l intégrale conserve l ordre donc, pour tout réel [ ], il vient que : [ ] [ ] 3) Pour tout réel [ ],. Par conséquent, d après ce qui précède, il vient que : [ ] En posant, il résulte que, c est-à-dire. 4

5 Exercice corrigé 3 (2 questions) Niveau : facile 1) Démontrer que, pour tout réel, 2) En déduire que, pour tout réel, Correction de l exercice 3 Retour au menu 1) Soit un réel tel que. Alors, en multipliant par, il vient que. De plus, la fonction opposée étant décroissante sur, il vient que. Enfin, comme la fonction exponentielle est croissante et positive sur, pour tout réel tel que, il résulte que. 2) Rappel : Linéarité de l intégrale (propriété de linéarité multiplicative) Soit un réel. Si est une fonction continue sur un intervalle [ ] avec, alors : La fonction est la composée d une fonction polynôme par la fonction exponentielle, toutes deux continues sur, donc la fonction est continue sur et en particulier sur [ [. De même, la fonction est continue sur comme étant la composée d une fonction affine par la fonction exponentielle, toutes deux continues sur. En outre, l intégrale conserve l ordre donc, pour tout réel, il vient que : [ ] Or, pour tout réel, donc et d où. Finalement, il vient que : 5

6 Exercice corrigé 4 (2 questions) Niveau : moyen Soit la fonction définie sur [ ] par. 1) Donner un encadrement de sur [ ]. 2) En déduire un encadrement de l intégrale de à de la fonction. Correction de l exercice 4 Retour au menu 1) Encadrons sur [ ]. La fonction est définie sur [ ] par est dérivable sur son ensemble de définition.. Or, cette fonction est une fonction rationnelle donc elle Par conséquent pour tout [ ], il vient que : ( ) ( ) Notons le discriminant du trinôme du second degré. Alors. Comme, le trinôme admet deux racines réelles distinctes : Or, [ ] avec et [ ] avec donc, pour tout [ ],. De plus, comme pour tout [ ], il résulte que sur [ ]. Finalement, la fonction est strictement croissante sur [ ]. Dès lors, il vient que pour tout [ ],. Or, d une part et d autre part donc. 2) Donnons un encadrement de l intégrale de à de la fonction. La fonction est dérivable sur [ ] donc continue sur cet intervalle. De plus, la fonction racine carrée est continue sur donc en particulier sur [ ]. Par conséquent, la fonction est continue sur [ ]. Pour tout [ ], donc. 6

7 En vertu de la conservation de l ordre par intégration, il vient que : [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 7

8 Exercice corrigé 5 (1 question) Niveau : difficile Montrer que, pour tout entier naturel et pour tout réel positif, on a : Rappel : Factorielle d un entier naturel Correction de l exercice 5 Retour au menu Rappel : Principe du raisonnement par récurrence Soit une proposition définie sur un intervalle de. Soit. Si : Alors : 1) la proposition est initialisée à un certain rang, c est-à-dire si est vraie au rang 2) la proposition est héréditaire à partir du rang, c est-à-dire si, pour tout tel que, on a l implication 3) La proposition est vraie à partir de tout rang plus grand que. Une proposition est un énoncé, soit vrai, soit faux. On vérifie que est vraie On suppose que est vraie On vérifie alors que est vraie On conclut que, pour tout entier naturel, est vraie rang rang rang 1 ère étape Initialisation 2 e étape Hérédité 3 e étape Conclusion Soit la proposition définie sur par : «Pour tout réel positif,». Initialisation : D une part, D autre part, la fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur donc, pour tout réel,. Or, comme, il vient que. 8

9 Par conséquent, Autrement dit, est vraie ; la proposition est initialisée au rang 0. Hérédité : Supposons vraie à partir d un certain rang. Soit un réel positif et soit un réel tel que [ ]. D après l hypothèse de récurrence, on a : Or, la fonction est la fonction exponentielle donc elle est continue sur. La fonction est une fonction polynôme de degré (somme de monômes) donc elle est continue sur. De plus, l intégrale conserve l ordre donc, en intégrant sur [ ], il vient que : [ ] Rappel : Linéarité de l intégrale (propriété de linéarité additive) Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec, alors : ( ) En vertu de la linéarité de l intégrale, il vient finalement que : [ ] [ ] [ ] ( ) On en déduit que est vraie. On vient donc de montrer que si est vraie, alors est vraie ; la proposition est héréditaire. 9

10 Conclusion : La proposition est initialisée au rang 0 et héréditaire donc, pour tout et pour tout, on a : Remarques : 1) Dans cet exercice, on vient de minorer la fonction exponentielle par une fonction polynôme de degré. De ce résultat, on peut déduire la limite en de la fonction exponentielle en utilisant le théorème de comparaison en. En l occurrence,. Rappel : Théorème de comparaison en Soient et deux fonctions définies sur un intervalle ] [. Si, pour tout, d une part et si d autre part, alors. 2) Les propriétés de linéarité additive et de linéarité multiplicative de l intégrale précédemment énoncées peuvent également être formulées ainsi : Rappel : Linéarité de l intégrale (propriétés de linéarité additive et de linéarité multiplicative) Soient deux réels et. Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec, alors : ( ) 10

11 Exercice corrigé 6 (5 questions) Niveau : difficile On considère la suite numérique définie pour tout entier naturel non nul par : 1) Démontrer que la suite est croissante. On définit la suite pour tout entier naturel non nul par : 2) Comparer et. 3) Exprimer en fonction de. 4) Montrer que la suite est majorée par un réel. 5) Que peut-on en conclure pour la suite? Correction de l exercice 6 Retour au menu 1) Démontrons que la suite est croissante. Rappel : Intégration et relation de Chasles Soit une fonction continue sur un intervalle [ ]. Pour tous réels, et tels que, Pour tout entier naturel non nul, Or, pour tout [ ], et donc. De plus, comme l intégrale conserve l ordre, il résulte que pour tout [ ] et pour tout entier naturel non nul : Comme, la suite est croissante pour tout entier naturel non nul. 11

12 2) Comparons et. Pour tout réel, et d où. Il vient alors que, c est-à-dire. Comme la fonction racine carrée est croissante sur, il vient que, c est-à-dire. Dès lors, en multipliant par, il résulte que. En passant à l intégrale sur [ ] et tenant compte de la conservation de l ordre avec l intégrale, on a finalement : Autrement dit, pour tout entier naturel non nul,. 3) Exprimons en fonction de. Déterminons une primitive de la fonction. Les primitives de cette fonction sont les fonctions avec, et réels. De telles fonctions sont dérivables sur comme étant la somme du réel et du produit d une fonction affine par la composée de la fonction opposée par la fonction exponentielle. Ainsi, pour tout réel,. Comme, par identification,, d où le système { à résoudre. Or, { {. Par conséquent, les primitives de la fonction sont les fonctions avec réel. En particulier, en posant, on peut conclure que la fonction est une primitive de la fonction sur. Il résulte alors immédiatement que : [ ] 4) Montrons que la suite est majorée par un réel. On a montré à la question précédente que. Or, pour tout entier naturel non nul, et donc. Par conséquent,, c est-à-dire. De plus, d après la question précédente,. Il s ensuit que. La suite est donc majorée par le réel. 5) Concluons. La première question a permis d établir que, pour tout entier naturel non nul, la suite est croissante. En outre, d après la question précédente, cette suite est majorée par le réel. Etant croissante et majorée, la suite converge. 12

Calcul intégral et suite numérique Intégration Exercices corrigés

Calcul intégral et suite numérique Intégration Exercices corrigés Calcul intégral et suite numérique Intégration Exercices corrigés Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : étudier le sens de variation d une suite

Plus en détail

Fonction continue en un point Continuité Exercices corrigés

Fonction continue en un point Continuité Exercices corrigés Fonction continue en un point Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : montrer qu une fonction est continue en un point Exercice

Plus en détail

Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés

Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : résoudre une équation de la forme Exercice 2

Plus en détail

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Continuité Exercices corrigés

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Continuité Exercices corrigés Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires

Plus en détail

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : montrer qu une fonction est continue en un point

Plus en détail

Valeur moyenne d une fonction Intégration Exercices corrigés

Valeur moyenne d une fonction Intégration Exercices corrigés Valeur moyenne d une fonction Intégration Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : calculer la valeur moyenne d une fonction usuelle

Plus en détail

Suites Raisonnement par récurrence Exercices corrigés

Suites Raisonnement par récurrence Exercices corrigés Suites Raisonnement par récurrence Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : expression du terme général d une suite Exercice 2 : majoration

Plus en détail

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions 1 Les suites numériques (rappel de première)... 4 1.1 Généralités... 4 1.2 Plusieurs méthodes pour générer une suite... 4 2 Exemples d algorithmes

Plus en détail

Limites de suites. Révisions

Limites de suites. Révisions Limites de suites Révisions Soit ( ) une suite définie pour tout n N par = n 2 + n Exprimer en fonction de n : a b + c + 2 La suite ( ) est-elle arithmétique? 3 Quel est le sens de variation de ( )? 2

Plus en détail

Chapitre 1 : Les suites

Chapitre 1 : Les suites Chapitre : Les suites I. Exercices supplémentaires Partie A : Récurrence Exercice La suite est définie par et +2+ pour tout entier naturel. Démontrer par récurrence que pour tout. La suite est définie

Plus en détail

Fonction exponentielle Dérivation Exercices corrigés

Fonction exponentielle Dérivation Exercices corrigés Fonction exponentielle Dérivation Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : continuité et dérivabilité en Exercice 2 : opérations de

Plus en détail

Exercice n 114 page 128

Exercice n 114 page 128 Jeudi 28 Février 2013 DM de Maths Exercice n 114 page 128 1) a) Voir papier millimétré 1) b) D après la représentation graphique des premiers termes de la suite (u n ), on peut conjecturer qu elle est

Plus en détail

Chapitre I : LES SUITES

Chapitre I : LES SUITES Chapitre I : LES SUITES I- Généralités sur les suites 1) Définition et notations Définition 1 : 1) Définir une suite par une formule explicite, c est donner une relation entre le terme et l entier, pour

Plus en détail

Intégrale d une fonction continue positive Intégration Exercices corrigés

Intégrale d une fonction continue positive Intégration Exercices corrigés Intégrale d une fonction continue positive Intégration Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice y accéder directement) Exercice 1 : intégrale d une fonction continue positive

Plus en détail

). 1. Montrer que pour tout n 1 on a u n > Démontrer que pour tout n 1 on a u n+1 2 = 1 (u n 2) 2

). 1. Montrer que pour tout n 1 on a u n > Démontrer que pour tout n 1 on a u n+1 2 = 1 (u n 2) 2 TS Suites récurrentes Exercices Exercice. Soit u la suite définie par u 0 = 3 et pour tout entier n, + = 4un +.. Démontrer que pour tout entier n, >.. On définit la suite v pour n N par v n = un. Montrer

Plus en détail

Sujets de bac : Intégration

Sujets de bac : Intégration Sujets de bac : Intégration Sujet n 1 : Liban juin 2006 Partie A : étude d une fonction Soit la fonction définie sur l intervalle 0; par ln 1 Sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; est

Plus en détail

Cours de mathématiques (Terminale S)

Cours de mathématiques (Terminale S) Terminale Scientifique (S) : Cours de mathématiques (Terminale S) I. Chapitre 01 : Les suites 1. Etude globale d une suite A. Les suites majorées, minorées, bornées La suite ( ) est majorée si et seulement

Plus en détail

FICHE METHODE : THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES

FICHE METHODE : THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES 1 FICHE METHODE : THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES Ci-après figure le tableau de variations d une fonction définie sur R 1) Déterminer le nombre de solutions de l équation = 2) Déterminer le nombre

Plus en détail

Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR.

Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR. I Notion de suite réelle ) Définition : Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR. Le réel U(n) est noté U n il est appelé terme général

Plus en détail

Commun à tous les candidats. Le graphique de l annexe sera complété et remis avec la copie. Soit la fonction f définie sur l intervalle [0; 2] par

Commun à tous les candidats. Le graphique de l annexe sera complété et remis avec la copie. Soit la fonction f définie sur l intervalle [0; 2] par EXERCICE (6 points ) Commun à tous les candidats Le graphique de l annexe sera complété et remis avec la copie Soit la fonction f définie sur l intervalle [0; ] par f(x) x + x + ) Etudier les variations

Plus en détail

9 6 - x. On définit la suite (u n ) par u 0 = -3 et pour tout entier naturel n, u n+1 = f(u n ).

9 6 - x. On définit la suite (u n ) par u 0 = -3 et pour tout entier naturel n, u n+1 = f(u n ). Exercice 75 p 55 exercices sur les suites Symbole Belin 0 On s intéresse aux suites définies sur V et vérifiant la relation de récurrence u n+ = + u n². Une telle suite sera déterminée par son premier

Plus en détail

Fonctions trigonométriques - Corrigé. 2 2 cos 1

Fonctions trigonométriques - Corrigé. 2 2 cos 1 Exercice 1 : Fonctions trigonométriques - Corrigé 1. a. est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur et =1 cos On sait que, pour tout réel et donc en particulier pour tout, cos 1 donc 0 et

Plus en détail

INTEGRATION CHAPITRE 8 HOUPERT N. Contenus :

INTEGRATION CHAPITRE 8 HOUPERT N. Contenus : Contenus : Définition de l intégrale d une fonction continue et positive sur un intervalle, comme aire sous la courbe Notation Théorème : si est une fonction continue et positive sur,, la fonction définie

Plus en détail

Chapitre 1 : Correction des Travaux dirigés

Chapitre 1 : Correction des Travaux dirigés U.P.S. I.U.T. A, Département d Informatique Année 009-00 Chapitre : Correction des Travaux dirigés. Soit v n n i0 qi la somme des n premiers termes d une suite géométrique de raison q, et de premier terme.

Plus en détail

Devoir surveillé 5 mathématiques

Devoir surveillé 5 mathématiques Devoir surveillé 5 mathématiques BCPST 205-206 Exercice. Soit t un réel strictement positif. On définit la suite ( n N par la donnée de x 0 = t et la relation de récurrence : n N, + =.. (a Soit g la fonction

Plus en détail

Nombres réels, bornes supérieures et inférieures

Nombres réels, bornes supérieures et inférieures Nombres réels, bornes supérieures et inférieures Exercice 1 : Si et sont des réels positifs ou nuls, montrer que Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Déterminer les ensembles suivants, mettre

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Fonction exponentielle 1 Fonction exponentielle Définition et variation Théorème Définition Il existe une unique fonction définie et dérivable sur telle que et Cette fonction est appelée fonction exponentielle

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE. Option Économie

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE. Option Économie AVRIL 22 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie CORRIGÉ DE LA ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Exercice Les symboles Ln et tan représentent respectivement le logarithme népérien

Plus en détail

DS 9 Correction EXERCICE Etude d'une fonction auxiliaire.

DS 9 Correction EXERCICE Etude d'une fonction auxiliaire. DS 9 Correction EXERCICE On considère la fonction déterminée sur 0, par : ln On se propose dans cet exercice d'étudier la fonction et de la représenter relativement à un repère orthonormal,,, l'unité choisie

Plus en détail

SUITES - RECURRENCE - SOMMES

SUITES - RECURRENCE - SOMMES SUITES - RECURRENCE - SOMMES Chapitre 1 I Généralités sur les suites Définition I.1 Une suite réelle est une fonction d une partie A de N dans R. u : A R n u(n) := u n l intervalle de définition peut donc

Plus en détail

Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé

Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé Métropole Juin 2006 (6 points) 1) Soit la fonction définie sur par. On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé d unité graphique 2cm. a)

Plus en détail

Chapitre 3. Suites récurrentes

Chapitre 3. Suites récurrentes Chapitre 3 Suites récurrentes 3.1 Suites numériques Définition 3.1 On appelle suite de terme général u n et on note (u n ) n 0 ou plus simplement u la liste ordonnée des nombres u 0, u 1, u 2, u 3,....

Plus en détail

Etude de limites de suites monotones

Etude de limites de suites monotones Etude de ites de suites monotones I) Définition On dit que la suite ( ) est majorée lorsqu il existe un nombre réel M tel que, pour tout entier naturel n, M. On dit que M est un majorant de la suite (

Plus en détail

Suites réelles. I Rappels de vocabulaire. II Suites remarquables. Définition 5

Suites réelles. I Rappels de vocabulaire. II Suites remarquables. Définition 5 I Rappels de vocabulaire Suites réelles Définition 1 Une suite réelle u est une application de I R où I est une partie de N. Au lieu de noter u(n), pour les suites on note u n l image de n par l application

Plus en détail

Exercices type bac sur les suites.

Exercices type bac sur les suites. Exercices type bac sur les suites Corrigés NB : On ne donne dans ce document que des indices, la preuve complète reste à faire Exercice D après sujet du baccalauréat Centres étrangers, juin 003 On définit,

Plus en détail

Devoir Surveillé /Evaluation

Devoir Surveillé /Evaluation Lycée Pierre-Gilles de Gennes BCPST Mathématiques 4-5 Devoir Surveillé /Evaluation Le 4 septembre 4 Documents écrits, électroniques, calculatrices et téléphones portables interdits La plus grande attention

Plus en détail

Exercices sur la fonction logarithme népérien - Corrigé

Exercices sur la fonction logarithme népérien - Corrigé Lycée Secondaire El Ksour Année Scolaire 213-214 Exercices sur la fonction logarithme népérien - Corrigé ExerciceN 1 Soient et les fonctions définies sur l intervalle par et On note C et C les courbes

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 5 [ ] [correction] Soient u 0 ]0, 1[ et pour tout n N,

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 5 [ ] [correction] Soient u 0 ]0, 1[ et pour tout n N, [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 0 juillet 04 Enoncés Suites récurrentes Exercice [ 0038 ] [correction] Etudier la suite définie par u 0 > 0 et pour tout n N, Exercice [ 00330 ] [correction] Soient

Plus en détail

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse. Les questions sont indépendantes entre elles.

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse. Les questions sont indépendantes entre elles. TS - Maths - D.S.5 Samedi 17 janvier 015-4h Spécialités : SVT - Physique Exercice 1 (5 points) Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Pour chaque proposition, indiquer si elle

Plus en détail

Exercices d entrainement pour le chapitre 02 (récurrence et suites)

Exercices d entrainement pour le chapitre 02 (récurrence et suites) Exercices d entrainement pour le chapitre 0 récurrence et suites 0. Énoncés Exercice. Démontrer l inégalité n > n pour tout entier naturel n. Exercice. On définit, pour tout entier n, le n ième nombre

Plus en détail

1 Raisonnement par récurrence. 2 Suites arithmétiques, géométriques. ISEL - Année 1. Mathématiques. Suites - Rappel

1 Raisonnement par récurrence. 2 Suites arithmétiques, géométriques. ISEL - Année 1. Mathématiques. Suites - Rappel ISEL - Année Mathématiques Suites - Rappel Raisonnement par récurrence Soit une propriété P (n) dépendant d'un entier naturel n. Pour montrer que cette propriété est vraie à partie de l'entier n 0 :. on

Plus en détail

Probabilités Loi de probabilité à densité Exercices corrigés

Probabilités Loi de probabilité à densité Exercices corrigés Probabilités Loi de probabilité à densité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : densité de probabilité (fonction définie sur un intervalle)

Plus en détail

Exercices : Suites réelles

Exercices : Suites réelles Exercices : Suites réelles Exercice : Démontrer par récurrence les résultats suivants : n+. n N, k k = n n+ + n. n N, (k +) = n. Soit a R + fixé, n N, (+a) n +na 4. n, n! n Analyse : Chapitre Exercices

Plus en détail

(exercice : calculer u 2 puis u 5 )

(exercice : calculer u 2 puis u 5 ) Suites Prérequis : Division euclidienne Soient a et b deux entiers avec b 0. Il existe un unique couple (q, r) Z N tel que a = q b + r et 0 r < b. q s appelle le quotient de la division enclidienne de

Plus en détail

Devoir non surveillé Équation différentielle, fonction définie par une intégrale

Devoir non surveillé Équation différentielle, fonction définie par une intégrale Devoir non surveillé Équation différentielle, fonction définie par une intégrale Pelletier Sylvain, BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: pour le 0 juin Eercice Résoudre l équation différentielle : E y y + 5y cos

Plus en détail

CORRECTION - FX 0. ab a b + 1 1

CORRECTION - FX 0. ab a b + 1 1 Lycée Thiers CORRECTION - FX 0 Exercice. Somme et produit... qui est le plus grand? On considère deux entiers a, b >. Comparer et ab. On constate que : ab a b + = a ) b ) > 0 Or, si p, q sont entiers,

Plus en détail

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003 MPSI : DL 03 pour le décembre 003 Problème L objet du problème est de calculer eplicitement la limite de la suite des moyennes arithmétiques-géométriques pour certaines valeurs initiales. On considère

Plus en détail

Résumé du cours sur les suites.

Résumé du cours sur les suites. Résumé du cours sur les suites. 1 Suites numériques réelles et principe de récurrence 1.1 Les deux façons de définir une suite numérique réelle Définition. On note n 0 un entier naturel (en général n 0

Plus en détail

Exercices supplémentaires Second degré

Exercices supplémentaires Second degré Exercices supplémentaires Second degré Partie A : Forme canonique, équations, inéquations, factorisation Mettre sous forme canonique les trinômes suivants 8 ; 3 1 ; 5 ; 3 4 Exercice On considère : 5 6

Plus en détail

Fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien I) La fonction logarithme népérien : Définition 1) Définition de la fonction logarithme népérien Soit a un nomre réel strictement positif. On appelle logarithme népérien de

Plus en détail

Continuité Compléments de dérivation

Continuité Compléments de dérivation Continuité Compléments de dérivation Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 015/016 Table des matières 1 Notion de continuité 1.1 Limite finie en un réel a......................................... 1. Définitions

Plus en détail

Terminales S BAC BLANC Mathématiques Corrigé. Durée 4 heures. La calculatrice graphique est autorisée.

Terminales S BAC BLANC Mathématiques Corrigé. Durée 4 heures. La calculatrice graphique est autorisée. Terminales S BAC BLANC Mathématiques Corrigé Durée 4 heures. La calculatrice graphique est autorisée. Eercice (commun) A. Etude de f en ) On a : lim = et lim e = e =. Par composition, il vient alors :

Plus en détail

Polynésie juin 2005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan.

Polynésie juin 2005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan. Polynésie juin 005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan. 1 a) Déterminer les limites de la fonction aux bornes de

Plus en détail

Suite récurrente définie par une fonction

Suite récurrente définie par une fonction Suite récurrente définie par une fonction Rédigé par un enseignant et un élève de l Ecole Polytechnique (Vincent Langlet). Niveau : Approfondir la Terminale S ou Première Année post bac Difficulté : Exercice

Plus en détail

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION 1) Du sens de variation au signe de la dérivée Théorème (admis) : soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. o Si f est une fonction croissante sur I,

Plus en détail

CH V : Généralités sur les suites réelles

CH V : Généralités sur les suites réelles CH V : Généralités sur les suites réelles I. Notion de suite I.1. Définition générale Définition Une suite de nombre réels u est une application de N dans R i.e. une fonction de N dans R telle que tout

Plus en détail

DS commun Correction. Exercice 1 1. On donne les matrices suivantes: On a. On a immédiatement par identification 2 et 1. On a donc

DS commun Correction. Exercice 1 1. On donne les matrices suivantes: On a. On a immédiatement par identification 2 et 1. On a donc DS commun Correction Exercice 1 1. On donne les matrices suivantes: 0 0 1 0 0 0 0 0 A= 1 0, I= 0 1 0, J= 1 0 0 3 1 0 0 1 3 1 0 a) Montrer qu il existe deux réels et tels que : A=aI+bJ 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Plus en détail

Université MONTPELLIER 3 UFR 4. Notes de Cours. Mathématiques M1 MRHDS Laurent Piccinini. version du 5 octobre 2011.

Université MONTPELLIER 3 UFR 4. Notes de Cours. Mathématiques M1 MRHDS Laurent Piccinini. version du 5 octobre 2011. Université MONTPELLIER 3 UFR 4 Notes de Cours Mathématiques M1 MRHDS 2011-2012 Laurent Piccinini version du 5 octobre 2011. M1 MRHDS 1 Table des matières I Les suites numériques 2 I.1 Généralités..............................................

Plus en détail

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6.

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6. Exercice 1 : Dire en justifiant si les suites (u n ) définies ci-dessous sont arithmétiques, géométriques ou ni l'un ni l'autre. Dans le cas où elles sont arithmétiques ou géométriques, préciser le premier

Plus en détail

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite Exercices 2 octobre 2014 Raisonnement par récurrence. Limite d une suite Raisonnement par récurrence Exercice 1 Prouver que pour tout entier n, 4 n + 5 est un multiple de 3. Exercice 2 Prouver que pour

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques 0 - - de terminale S Suites s LPO de Chirongui 20 mai 2016 1 - Introduction- Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel

Plus en détail

TD 3: Suites réelles

TD 3: Suites réelles Université Pierre et Marie Curie Année 2011/2012 LM115 TD 3: Suites réelles MIME Convergence des suites : Par définition, une suite (u n ) converge vers un réel l si : Pour tout ɛ réel strictement positif,

Plus en détail

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : Déterminer les

Plus en détail

Chapitre I : Raisonnement par récurrence et comportement des suites. Extrait du programme :

Chapitre I : Raisonnement par récurrence et comportement des suites. Extrait du programme : Chapitre I : Raisonnement par récurrence et comportement des suites Extrait du programme : 1 I Rappels sur les suites Il existe deux façons de définir une suite : 1 Formule explicite Il existe une fonction

Plus en détail

Chapitre 2 : Suites numériques

Chapitre 2 : Suites numériques Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 013-014 Chapitre : Suites numériques Dans tout ce qui suit on considère des suites (u n ) n N à valeurs réelles, c est à dire des applications de N

Plus en détail

Devoir maison sur les suites - Exemples d application

Devoir maison sur les suites - Exemples d application 9- HKBL suites récurrentes u n+ = f(u n ) / 9 Devoir maison sur les suites - Eemples d application Voici la liste des eercices corrigés : Eercice : (niveau ) Étudier la suite (u n ) définie par u R et

Plus en détail

On note l évènement : «les nombres 1, 2 ou 3 sortent au moins une fois lors de ces 10 tirages». On

On note l évènement : «les nombres 1, 2 ou 3 sortent au moins une fois lors de ces 10 tirages». On DS n 2 Correction Exercice 1 Une urne contient boules numérotées de 1 à indiscernables au toucher. On tire cinq boules dans cette urne, successivement, en remettant chaque boule tirée dans l'urne avant

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Fonction exponentielle Définition de la fonction exponentielle Théorème Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que f # = f et f 0 = 1 L existence de cette fonction est admise. Unicité (ROC)

Plus en détail

Correction du Contrôle commun de Mathématiques - Sujet A - TS. 2 1 n. n ) n

Correction du Contrôle commun de Mathématiques - Sujet A - TS. 2 1 n. n ) n Correction du Contrôle commun de Mathématiques - Sujet A - TS Exercice 5 points. n N, u n = n n( n + = n ) n( + = n ) n + n Or par somme, on a lim n = et lim + n =. Ainsi par quotient, lim u n = réponse

Plus en détail

CHAPITRE 2 SUITES NUMÉRIQUES

CHAPITRE 2 SUITES NUMÉRIQUES CHAPITRE 2 SUITES NUMÉRIQUES Définition 2.0. Une suite réelle est une application u : N R qui à tout n de N associe un élément u n de R, appelé terme général de la suite. On notera donc la suite (u n ),

Plus en détail

Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions

Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions les fonctions LPO de Chirongui - Exercices : Savoir Faire (livre)- Déterminer une ite Interprétation graphique Livre Indice BORDAS - Page 45 Exercice 34, 35, 36 et 37 page 56 - Limite finie à l infini

Plus en détail

Fonctions à deux variables

Fonctions à deux variables Fonctions à deux variables Exercice 1 On note l'ouvert de défini par 1 3, 3 0,1 et l'application définie sur par :,, ² ² Montrer que est strictement négative sur., 1 1 Pour,, 1 0. Pour 01, 1 0. Comme et

Plus en détail

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle Chapitre 4 Fonction exponentielle Objectifs du chapitre : item références auto évaluation propriétés numériques de la fonction exponentielle propriétés de la fonction exponentielle calculs de ites avec

Plus en détail

Remise à Niveau Mathématiques

Remise à Niveau Mathématiques Mathématiques RAN - Fonctions Remise à Niveau Mathématiques Deuième partie : Fonctions Corrigés des eercices Page sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03 Mathématiques RAN - Fonctions DÉFINITIONS

Plus en détail

Dérivabilité des fonctions réelles

Dérivabilité des fonctions réelles Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d étudier les variations d une fonction, de construire des tangentes à une courbe

Plus en détail

TS - Maths - D.S.4 - Correction Spécialités : SVT - Physique

TS - Maths - D.S.4 - Correction Spécialités : SVT - Physique TS - Maths - D.S. - Correction Spécialités : SVT - Physique Samedi 05 Décembre 05 - h Exercice ( points) Commun à tous les candidats Une usine produit de l eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de

Plus en détail

Lycée la Folie Saint James. Fiche de cours : Généralités sur les suites

Lycée la Folie Saint James. Fiche de cours : Généralités sur les suites Lycée la Folie Saint James T ale S Fiche de cours : Généralités sur les suites Notion de suite. Définitions Une suite numérique réelle est une fonction u définie sur l ensemble N ou sur une partie de N

Plus en détail

Des outils pour les suites

Des outils pour les suites Des outils pour les suites Suites arithmético-géométriques Définition : ppelle suite arithmético-géométrique toute suite récurrente de la forme : où a et b sont des nombres réels. Quelques cas particuliers

Plus en détail

Université Denis Diderot Paris 7 ( ) Devoir maison 2

Université Denis Diderot Paris 7 ( ) Devoir maison 2 Université Denis Diderot Paris 7 (03-04) Maths, Agro & Véto Devoir maison Exercice [Sujet Analyse 03] Soit la fonction d une variable réelle f définie sur D = [0,+ [ par f(x) = xe x +x. On appelle Cf la

Plus en détail

CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES

CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES Exercice n. x si x Soit f la fonction numérique définie par : f( x) = 5 x si x > f est-elle continue sur son ensemble de définition? x pour x Mêmes questions avec : f (

Plus en détail

60. Une équation d un plan P tel que P est perpendiculaire à P et passe par le point A est : A =0 B =0 C =0 D.

60. Une équation d un plan P tel que P est perpendiculaire à P et passe par le point A est : A =0 B =0 C =0 D. Dans un repère orthonormé 0;,,, on donne le point A de coordonnées : A(5,3,1) et le plan P d équation : +2 3+4=0 57. Un point E du plan P est : A. E (3,-2,1) B. E (-1,-2,3) C. E (3,2,1) D. E (0,0,0) 58.

Plus en détail

Terminale S Suites numériques

Terminale S Suites numériques Terminale S Suites numériques Raisonnement par récurrence. Introduction En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la n(n + ) somme des entiers naturels

Plus en détail

TS Feuille de révision n 1 novembre 2017

TS Feuille de révision n 1 novembre 2017 TS Feuille de révision n 1 novembre 017 Exercice 1 Dans un pays de population constante égale à 10 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent

Plus en détail

TS4 DS5 19/01/11. Démontrer que l équation g (x) = 0 admet sur [1 ; + [ une unique solution notée α.

TS4 DS5 19/01/11. Démontrer que l équation g (x) = 0 admet sur [1 ; + [ une unique solution notée α. Eercice 1: (7 points) Nouvelle-Calédonie novembre 2010 TS4 DS5 19/01/11 Soit la fonction définie sur l intervalle [1 ; + [ par ϕ() = 1+ 2 2 2 ln(). 1. a. Étudier le sens de variation de la fonction ϕ sur

Plus en détail

PSI Sujet de révisions n o 1 Solution Exercice On a χ A (X) =

PSI Sujet de révisions n o 1 Solution Exercice On a χ A (X) = PSI Sujet de révisions n o Solution 5-6 Exercice. On a χ A (X) = X 4 y X x = X(X x) + 4 y = X xx + 4 y; le discriminant associé est = 4(x + y 4). Si >, A possède deux valeurs propres distinctes et est

Plus en détail

Sujets de bac : Exponentielle

Sujets de bac : Exponentielle Sujets de bac : Exponentielle Sujet : Polynésie septembre 2002 On considère la fonction définie sur par ) Etudier la parité de. 2) Montrer que pour tout,. 3) Déterminer les ites de en et en. Donner l interprétation

Plus en détail

Type bac janvier Corrigé

Type bac janvier Corrigé Exercice (Métropole 24) Commun à tous les élèves Type bac janvier 27 - Corrigé Partie A ) L image de par la fonction f est : f () +e. Le point d abscisse sur la courbe C, représentative de la fonction

Plus en détail

Mathématiques 11ème Sciences Production de Mathematikos Votre Ticket pour l Excellence en Maths. Exemple. Exemple

Mathématiques 11ème Sciences Production de Mathematikos Votre Ticket pour l Excellence en Maths. Exemple. Exemple Classe : 11 ème Sciences CHAPITRE 5 SUITES NUMÉRIQUES Domaine : Sciences, Mathématiques et Technologies Compétences : Résoudre une situation problème Composantes : Diagnostiquer la situation problème,

Plus en détail

Devoir surveillé n 5 19 janvier 2011

Devoir surveillé n 5 19 janvier 2011 Devoir surveillé n 5 19 janvier 2011 Term ES Eercice 1 : (4 points) Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On a tracé ci-contre sa courbe représentative C dans un repère orthonormal. On note f

Plus en détail

Bibliothèque d exercices L1 Feuille n 10. Suites

Bibliothèque d exercices L1 Feuille n 10. Suites Bibliothèque d exercices Énoncés L Feuille n 0 Suites Convergence Exercice Soit (u n ) n N une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si (u n ) n converge vers un réel l alors (u n )

Plus en détail

Chapitre 12. Suites récurrentes

Chapitre 12. Suites récurrentes Chapitre 1 L'objectif de ce chapitre est de recenser les quelques théorèmes permettant l'étude des suites dénies par récurrence (u n+1 = f(u n )) et les diérentes méthodes s'appuyant dessus. I Quelques

Plus en détail

Convergence des suites monotones

Convergence des suites monotones Convergence des suites monotones Suites majorée, minorée, bornée Définition Une suite (u # ) est majorée par un nombre réel M si pour tout n N, u # M Une suite (u # ) est minorée par un nombre réel m si

Plus en détail

Polynômes de Legendre sur [0,1], quadratures de Gauss

Polynômes de Legendre sur [0,1], quadratures de Gauss Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss Énoncé Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss On définit les suites de polynômes (U n ) et (P n ) de la manière suivante : U = 1 n 1,

Plus en détail

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de u n et v n Déterminer si possible,

Plus en détail

Annales Logarithme népérien

Annales Logarithme népérien Annales Logarithme népérien Antilles Guyane Juin 2012 (5 points) Commun à tous les candidats Soit la suite définie pour tout entier naturel non nul par 1) Calculer et. 2) a) Démontrer que, pour tout entier

Plus en détail

Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct

Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct Exercice III.1 Ch3-Exercice1 Soient α et u 0 deux réels donnés. Soit alors (u n ) une suite géométrique définie par u n = αu n 1. Donner le terme général de

Plus en détail

Chapitre 9. La fonction exponentielle

Chapitre 9. La fonction exponentielle Chapitre 9. La fonction exponentielle Le chapitre sur la fonction exponentielle est quasiment indissociable du chapitre suivant sur la fonction logarithme népérien. I. Définition de la fonction exponentielle

Plus en détail

Suites numériques (1 re partie)

Suites numériques (1 re partie) Chapitre 1 Suites numériques (1 re partie) I Prérequis I.1 Définition d une suite Définition. Une suite numérique est une liste de nombres réels «numérotés» par les nombres entiers naturels. N R On peut

Plus en détail

Chapitre 4 : Fonctions exponentielles

Chapitre 4 : Fonctions exponentielles Chapitre 4 : Fonctions exponentielles I. Activité : Construction de la fonction : avec > 0 Soit > 0 un réel strictement positif, ( ) est la suite géométrique définie pour tout entier par =. Comme ( ) est

Plus en détail