Lois de probabilité continues

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1 Lois de probabilité continues Lois à densité sur un intervalle fini muni d une loi de probabilit P qui attribuait chaque issue sa Toute variable al atoire d finie sur Ω ne prenait qu un nombre fini de valeurs On s int resse maintenant des univers qui contiennent une infinité d issues, par exemple toutes valeurs dans l intervalle Les variables aléatoires utilisées sur ces univers prennent toutes valeurs dans un intervalle donné Définition Densité de probabilité On appelle densité de probabilité sur un intervalle de, toute fonction continue, positive sur et telle que l aire sous la courbe est égale à 1 ua Ainsi toute fonction continue, positive sur est une densité de probabilité si: Définition Loi à densité Soit une densité de probabilité sur un intervalle Dire qu une variable aléatoire suit la loi de densité signifie qu à tout intervalle inclus dans, on associe la probabilité où est le domaine de l aire sous la courbe sur l intervalle Conséquences Pour tout nombre réel Si (Aire sous la courbe délimitée par ) Propriétés Les propriétés des probabilités rencontrées dans le cas discret s étendent au cas continu Ainsi : (Complémentaire) En particulier, si et si Si et alors sont deux intervalles inclus dans, alors Si alors N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 1

2 Exemple est la fonction définie sur l intervalle par la courbe ci-contre : 1) Vérifier que l aire, en unité d aire du domaine coloré est égale à 1 Que peut-on en déduire pour? 2) est une variable aléatoire continue à valeurs dans dont la loi de probabilité a pour densité a) Calculer b) Calculer Définition Espérance mathématique L espérance mathématique d une variable aléatoire un intervalle fermé est dont la densité de probabilité est définie sur Remarque Cette définition prolonge au cadre continu la définition donnée de l espérance d une variable aléatoire discrète Loi uniforme sur La loi uniforme est la loi de phénomènes continus uniformément répartis sur un intervalle Définition Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l intervalle, avec, lorsque sa densité de probabilité est une fonction constante sur Propriété La densité de probabilité de la loi uniforme sur fonction définie sur Preuve La densité de probabilité fonction constante Posons On doit avoir par est la de la loi uniforme sur soit N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 est une Page 2

3 Remarques 1 Si l on choisit au hasard un nombre dans l intervalle, la probabilité que ce nombre soit dans l intervalle est le quotient da la longueur par celle de En effet, pour tout intervalle, 2 Si deux intervalles et ont la même longueur alors D où le nom de loi uniforme Exemple On choisit un nombre au hasard dans l intervalle Par définition la variable aléatoire qui indique le nombre choisi suit la loi uniforme sur ; ; Propriété Espérance mathématique Soit une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l intervalle Alors son espérance est Preuve Exemples d utilisation de la loi uniforme 1) Jeanne a dit qu elle passerait chez Jean entre 18h et 20h30 Quelle est la probabilité qu elle arrive pendant qu il mange entre 19h et 19h30? On note la variable aléatoire égale à l heure d arrivée de Jeanne chez Jean Elle prend ses valeurs dans l intervalle suit une loi uniforme sur La probabilité que Jeanne arrive pendant le repas est 2) Un feu tricolore reste 55 secondes au vert, 5 secondes à l orange et 60 secondes au rouge Un piéton ne peut traverser que lorsque le feu est rouge A 8h00, le feu passe au rouge On s intéresse aux piétons qui se présentent entre 8h00 et 8h05 est la variable aléatoire qui donne, en seconde, le temps écoulé de 8h00 jusqu à l heure d arrivée devant le feu d un piéton désirant traverser On suppose que suit la loi uniforme On veut calculer la probabilité qu un piéton attende moins de 10 secondes puis plus de 20 secondes a) Faire un schéma illustrant la succession des feux b) Pour une attente de moins de 10 secondes, dans quels intervalles de temps doit se situer T? Une attente de moins de 10 secondes signifie que ou ou N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 3

4 En déduire la probabilité que l attente ne dépasse pas 10 secondes Les évènements,, sont deux à deux disjoints donc c) Calculer la probabilité que l attente dure plus de 20 secondes Une attente de plus de 20 secondes signifie que ou Ces évènements sont deux à deux disjoints donc 3) La fonction Rand ou NbrAléat sur TI ou Ran# sur Casio d une calculatrice donne un nombre au «hasard» dans l intervalle Ce nombre aléatoire suit la loi uniforme sur Par exemple la probabilité que est Plus généralement, si et sont deux nombres tels que, la probabilité que est a) Calculer b) Sachant que, quelle est la probabilité de l évènement : «son chiffre des centièmes est 1» Les nombres inférieurs à 0,3 dont le chiffre des centièmes est 1 sont dans les intervalles ou ou c) Calculer l espérance de Lois exponentielles La plupart des phénomènes naturels sont soumis au processus de vieillissement Par exemple, la durée de vie des êtres humains : la probabilit de vivre 40 ans pour un enfant la naissance est de l ordre de 0,98 La probabilité pour une personne de 50 ans de vivre encore 40 ans est environ égale à 0,65 Il existe des phénomènes où il n'y a pas de vieillissement ou d'usure Dans la pratique, ils relèvent d'événements survenant accidentellement et/ou de façon brutale L absence de «mémoire» ou de vieillissement se traduit par le fait qu un ph nom ne a autant de chances de se produire sur un laps de temps donn apr s l instant qu apr s l instant La probabilité qu il survienne aujourd hui sachant qu on l attend depuis un si cle est la même que si on l attendait depuis un jour Les lois exponentielles modélisent ces ph nom nes dont la dur e de vie n est pas affect e par l âge, par exemple la durée de vie d un noyau radioactif ou d un composant lectronique Définition désigne un nombre réel strictement positif Une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre lorsque sa densité de probabilité est la fonction définie sur par N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 4

5 Remarque La fonction définie sur par est bien une densité de probabilité sur : est continue et positive sur et si Or, lorsque tend vers tend vers 0 On a donc Propriétés Pour tous nombres réels :, aussi et donc et tels que Théorème (Propriété de perte de mémoire) Pour tous nombres réels positifs et, La durée de vie évènement sur un laps de temps, ne d pend pas de l âge à partir duquel on considère cet Preuve Pour tous nombres réels positifs et, Proposition Espérance mathématique L espérance mathématique de la loi exponentielle de paramètre est Preuve (Exigible) Pour tout nombre réel positif, on calcule La fonction dérivable sur est le produit des fonctions dérivables et Donc est N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 5

6 Remarque On admet que les variables aléatoires qui suivent une loi exponentielle sont les seules variables aléatoires à densité sans vieillissement Exemple d utilisation de la loi exponentielle La durée de vie d une ampoule d un certain modèle peut être modélisée par une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre où est un réel strictement positif Que vaut sachant que? d où Sachant que l évènement est réalisé, déterminer la probabilité de l évènement On sait que pour tous nombres réels positifs et, On remarque que, d où en prenant et Démontrer que, pour tout réel et, Pour tous nombres réels positifs et, on a : Sachant qu une ampoule a fonctionné 3000 heures, quelle est la probabilité qu elle tombe en panne avant 4500 heures? Déterminer la durée de vie moyenne d une ampoule de ce modèle (on arrondira à l heure près) La durée de vie moyenne est égale à l espérance de, c est-à-dire soit environ 2808 N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 6