2de 10 - Contrôle n 5 de mathémat

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1 Eercice de 0 - Contrôle n 5 de mathémat atiques On représente la trajectoire d un dauphin par la courbe c ci-dessous (l ae des abscisses correspond à la surface de l eau). La courbe c est constituée de paraboles de sommets S et T. Entre les points O et A, la courbe c est la courbe représentative d une fonction trinôme f. Entre les points A et B la courbe c est la courbe représentative d une fonction trinôme g. y 3 S O 0 A B c Partie A: : Etude de la fonc ction f f() peut s'écrire sous trois formes différentes: forme : f() =a + b + c forme : f() = a( )( ) forme 3: f() = a( α) + β ) Donner un nom à chacun de ces trois formes ) Quel est le signe de a? Justifier la réponse par une phrase. 3) Donner les valeurs de c, ; ; α et β. T Partie B: Etude de la fonc ction g ) En vous aidant des coordonnées des points T et A, déterminer l'epression de g() en fonction de. ) Le dauphin peut-il manger un poisson qui est placé au point P de coordonnées ( ; )? Justifier la réponse par un calcul.

2 Eercice Soit f la fonction définie sur [ 0; 0] par f() = et soit c sa courbe représentative. ) Vérifier que les deu epressions suivantes sont égales à f(): ) a) Donner les coordonnées du point d'intersection de la courbe c avec l'ae des ordonnées. b) Donner les coordonnées du (ou des) point(s) d'intersection de la courbe c avec l'ae des abscisses. 3) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [ 0; 0]. ) a) Dresser un tableau donnant le signe de f() en fonction de sur l'intervalle [ 0; 0] b) En déduire les solutions de l'inéquation f() 0 5) Calculer f ( 3 ) Eercice 3 Une entreprise paysagiste doit créer un espace «jardin et terrasse» sur un terrain ABCD de forme carrée de côté 8 m. Le projet présenté au clients, modifiable à souhait, est schématisé sur la figure ci-contre. La partie «jardin» est colorée en gris (carré et triangle ayant un sommet commun). La terrasse occupe le reste du terrain. Le point E peut occuper n'importe quelle position sur le segment [AB]. On note la longueur AE (en m) et f() l'aire du jardin (en m ) c est la courbe représentative de la fonction f. ) Sur quel intervalle I la fonction f est-elle définie? ) Montrer que f() = + 3 On rappelle l'aire d'un triangle: a = base hauteur B h = h 3) Calculer la longueur pour que l'aire du jardin soit égale à la moitié de l'aire du terrain ABCD. ) a) Calculer f() et f(3). b) En déduire les coordonnées du sommet A de la courbe c (Epliquer le raisonnement par une phrase). c) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle I (Justifier le sens de variation par une phrase). d) Est-il possible que l'aire du jardin soit égale au quart de l'aire du terrain ABCD? Justifier la réponse par une phrase. B

3 de 0 - Correction du contrôle n 5 de mathématiques Eercice Partie A ) Forme : forme développée Forme : forme factorisée Forme 3: forme canonique ) a est négatif car la fonction f est croissante puis décroissante. 3) c = 0 (ordonnée du point d'intersection de c avec l'ae des ordonnées) = 0 et = (abscisses des points d'intersection de c avec l'ae des abscisses) α = et β = (abscisse et ordonnée du sommet de c). Partie B ) Les coordonnées du sommet T sont (9; 6) donc α = 9 et β = 6 Par conséquent, g() = a( 9) 6 Les coordonnées de A sont (; 0) donc g() = 0 On a donc: a( 9) 6 = 0 a ( 5) = 6 5a = 6 a = 6 5 Par conséquent, g() = ( ) ) On calcule g(): ( ) g() = 6 = 6 = = = 3, ,8 est différent de donc le dauphin ne peut pas manger le poisson. Eercice ) On développe les deu epressions: 6 = ( 6 + ) = = = f() = = = = f() On a bien vérifié que les deu epressions ci-dessus sont égales à f(). ) a) On utilise la forme développée de f(): a + b + c c = donc les coordonnées du point d'intersection de c avec l'ae des ordonnées sont (0; ) b) On utilise la forme factorisée de f(): a( )( ) = = donc les coordonnées des points d'intersection de c avec l'ae des abscisses sont ;0 et ;0

4 3) On utilise la forme canonique de f(): a( α) + β a = 6 α = 3 β = variation de f ) a) On utilise une forme factorisée de f(): f() = ( ) 6 + = 0 si = = 0 si = = 6 0 signe de ( 6 + ) signe de signe de f() b) s = ; 5) On utilise la forme développée de f() (c'est celle qui nécessite le moins de calculs): f ( 3) = 6 ( 3) = = = Eercice 3 ) I = [0; 8] ) a AEFG = AE EF = = GD CD (8 ) 8 ( 8 ) a FCD = = = = ( 8 ) = 3 f() = a AEFG + a FCD = On a bien montré que f() = ) L'aire du jardin ABCD est égale à 8 8 = 6 m donc on résout l'équation f() = 6 c'est à dire: + 3 = 3 = 0 ( ) = 0 = 0 ou = 0 = 0 ou = La longueur doit donc être nulle ou être égale à m (E est donc confondu avec A ou E est au milieu du semgent [AB] ) ) a) f() = + 3 = + 3 = 9

5 f(3) = = = 9 b) On constate que f() = f(3) On sait que la c est symétrique par rapport à une droite parallèle à l'ae des ordonnées qui passe par son sommet A. On en déduit donc que l'abscisse de A égale à + 3 = L'ordonnée de A est égale à f() = + 3 = = 8 Les coordonnées de A sont donc (; 8) c) f() = a + b + c avec a = a > 0 donc la fonction f est décroissante puis croissante 0 8 variation de f d) Le quart de l'aire du terrain est égale à 6 6 = m D'après le tableau de variation ci-dessus, le minimum de la fonction f est égal à 8 donc l'équation f() = 6 ne peut pas avoir de solution: Il est donc impossible que l'aire du jardin soit égale au quart de l'aire du terrain.