CHAPITRE 4 Systèmes d équations

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1 CHAPITRE 4 Systèmes d équations 4.1 Généralités et définitions diverses Equations linéaires à plusieurs inconnues. Définitions : Une équation linéaire est une équation du type : ax = b ax + by = c ax + by + cz = d etc. où x, y et z sont les variables de degré 1 (les inconnues de l'équation) et a, b, c, d les coefficients ( a, b, c, d R ). Exemples : 3x - 5 = x + 3 4x + 2y = 0 2x - y = 4z + 2 Equation linéaire à deux inconnues : Une équation linéaire à deux inconnues est une équation du type : ax + b y = c Une telle équation admet une infinité de solutions. Il y a donc une infinité de couples <x ; y> qui vérifient l'égalité, mais il ne s'agit pas de n'importe lesquels. Exemple : Soit l'équation 3x - 2y = 10. Les couples <2 ; - 2> ; <1 ; - 3,5>; <0 ; - 5> satisfont à cette équation et il en existe bien d'autres dans ce cas. Par contre, les couples <2 ; - 3> ; <0 ; 0> et bien d'autres également ne satisfont pas à cette équation. Définition : L'ensemble-solution S de l'équation ax + by = c est l'ensemble des couples <x ; y> qui la vérifient. Remarque : En fixant une valeur α pour x (α est un paramètre), on obtient une équation du 1 er degré en y : y = c αa b ; S = { <x ; y> x = α ; y = c αa b et α R }. De même, en fixant une valeur β pour y (β est un paramètre), on obtient une équation du 1 er degré en x : x = c βb a S = { <x ; y> x = c βb a ; y = β et β R }. Collège Sismondi (S.Z.) chap. 4, p.1

2 L'ensemble-solution peut aussi s'écrire : S = { <x; y> a x + b y = c }. Equation linéaire à trois inconnues : Une équation linéaire à trois inconnues est une équation du type a x + b y + c z = d. Exemple : Soit l'équation 3 x + 2 y - 4 z = 1. Les triplets <1 ; 1 ; 1> ; <2 ; 0 ; 5 4 > ;< 0 ; 0; 1 > et beaucoup d'autres satisfont à cette équation. Par 4 contre les triplets <0 ; 0 ; 2> ; <0 ; 0 ; 1> et bien d'autres ne satisfont pas à cette équation. L'ensemble-solution S de l'équation a x + b y + c z = d est l'ensemble des triplets <x ; y ; z> qui la vérifient. Remarque : En fixant une valeur α pour x et une valeur β pour y (α et β sont des paramètres), on obtient une équation du 1 er degré en z : z = S ={<x ; y ; z> z = d αa βb c d αa βb c ; ; x = α et y = β et α, β R }. De même, on aurait pu fixer les valeurs pour x, z et trouver y ou pour y, z et trouver x. L'ensemble-solution peut aussi s'écrire : S = { <x ; y> a x + b y + c z = d } Systèmes d'équations. Définition : On appelle système d'équations un ensemble d'équations qui doivent être vérifiées simultanément par un même groupe de valeurs attribuées aux variables (inconnues). Les équations composant le système peuvent comporter plusieurs variables (ou inconnues) et peuvent être de degré supérieur à un (voir l exemple 2 ci-dessous, mais dans ce cas, il ne s'agit pas d'équations linéaires). Exemples : a) Système de 2 équations linéaires à 2 inconnues : a 1 x + b 1 y = c 1 Par exemple, a 2 x + b 2 y = c 2 2x y= 9 x + y = 1 b) Système de 2 équations du deuxième degré à 2 inconnues 2x 2 y 2 = 9 x + 3y = 1 c) Système de 3 équations linéaires à 3 inconnues : a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 Collège Sismondi (S.Z.) chap. 4, p.2

3 d) Système de 2 équations linéaires à 4 inconnues 3x + 2y + 5z + w = 15 x 2y + 2z 2w = 7 On a vu ci-dessus qu'une équation linéaire à plusieurs inconnues est vérifiée par une infinité des couples qui forment son ensemble des solutions. Résoudre simultanément plusieurs équations, signifie chercher l'ensemble des couples (triplets, etc. ) qui appartiennent au deux (trois,etc.) ensembles à la fois. L'ensemble-solution d'un système d'équations est donc l'ensemble composé de toutes les valeurs (une pour chaque inconnue) vérifiant simultanément chacune des équations du système. Exemples : 1. Dans le cas d'un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues, l'ensemble-solution sera composé de tout couple < x 0 ; y 0 > vérifiant les 2 équations du système. L'ensemble-solution sera donc : S = { <x ; y> a x + b y = c } { <x ; y> a' x + b' y = c' } Il y a 3 cas possibles : i) Une seule solution x 0, y 0 S = { <x 0 ; y 0 > } ii) Pas de solution : S = Ø iii) Une infinité de solutions S = { <x ; y> a x + b y = c } 2. Dans le cas d'un système d'équations à 3 inconnues, l'ensemble-solution sera composé de tout triplet <x 0 ; y 0 ; z 0 > vérifiant toutes les équations du système. On retrouve les cas possibles, à savoir une solution unique, pas de solution ou une infinité de solutions. x + y + z = 8 Soit le système suivant : 2y + z = 5 z = 3 Dans ce cas, le triplet <4; 1; 3> vérifie toutes les équations et c est le seul. S = { <4 ; 1 ; 3> } Définition : Deux systèmes sont équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions. Exemple : Les systèmes 3x + 2y = 4 et 2x 5y = 9 5x 3y = 13 sont deux systèmes équivalents. x + 7y = 5 En effet <2 ; -1> est le seul couple qui satisfait au premier et au deuxième système. Contre-exemple : Les systèmes 3x + 2y = 4 2x 5y = 9 et 5x 3y = 8 x + y = 4 En effet le couple <2 ;-1> satisfait au premier système, mais pas au second. ne sont pas deux systèmes équivalents. Collège Sismondi (S.Z.) chap. 4, p.3

4 Contre-exemple: Les systèmes 3x + 2y = 4 2x 5y = 9 ne sont pas équivalents. et 6x 4y = 8 15x +10y = 12 L'ensemble des solutions du premier système est S = { <2 ; -1> }, alors que le deuxième système admet une infinité de solutions S = { <x ; y> x = α ; y = 4 3α 2 aussi le couple <2 ; -1>, mais ce n'est pas le seul. et α R } parmi lesquelles il y a Définition : Un système d'équations linéaires est dit triangulé si chacune de ses équations possède une inconnue de moins que la précédente. Exemples : 1. 3x + 5y 7z = 56 x + 8y = 3 & 5x = x + 6y 2z = 8 x + 2y = 4 Il est facile de déterminer l'ensemble des solutions d'un système triangulé. En effet, si la dernière équation d'un système ne contient qu'une seule inconnue, on trouve facilement la solution de ce système. De cette dernière équation, on tire la valeur de l'inconnue qui y figure; puis, en remplaçant cette valeur dans les autres équations du système, on obtient un nouveau système triangulé, dont la dernière équation ne contient qu'une seule inconnue. Il suffit de répéter ce procédé autant de fois qu'il y a d'inconnues. Ainsi, dans le premier exemple ci-dessus, 3x + 5y 7z = 56 x + 8y = 3 & x = 3 x = 3 et 5y 7z = y = 6 d'où x = 3, y = 3 4, z =... Si la dernière équation d'un système contient plus d'une inconnue (deux par exemple), on ajoute une équation du type paramétrique x = α et on procède comme précédemment. Ainsi, dans le deuxième exemple ci-dessus, 5x + 6y 2z = 8 x + 2y = 4 5x + 6y 2z = 8 x + 2y = 4 & x = α x = α et 6y 2z = 8 5α 2y = 4 + α d'où x = α, y = y = 4 +α 2 = 2 + α 2, z =... Collège Sismondi (S.Z.) chap. 4, p.4

5 4.2 Méthodes de résolution de systèmes d'équations Méthode de résolution par triangulation. Comme on l'a vu ci-dessus, un système triangulé permet de trouver facilement les solutions. Une des méthodes de résolution de systèmes consistera donc à faire subir des transformations au système jusqu'au moment où l'on obtienne un système triangulé en utilisant les principes d'équivalence énoncés ci-dessous. Premier principe d'équivalence des systèmes En multipliant les deux membres d'une équation d'un système par un même nombre non nul, on obtient un système équivalent.! A = B C = D αa = αb C = D et α 0 Deuxième principe d'équivalence des systèmes En additionnant à une équation d'un système une autre équation du même système, on obtient un système équivalent.! A = B C = D! A + C = B + D C = D Lorsqu'on applique ces deux principes simultanément, on dit que l'on fait une combinaison linéaire des premiers membres et des deuxièmes membres des équations concernées. Il est possible de transformer un système donné en un système triangulé équivalent, en remplaçant certaines équations par une combinaison linéaire d'équations du système. Exemple : Soit le système de trois équations à trois inconnues 4x 3y + z = 9 3x + 2y 5z = 9 & 2x + 8y + 3z = 0 On décide, par exemple, de conserver la première équation et de l'utiliser pour faire disparaître l'inconnue z dans les deux autres équations. Pour cela, on va additionner à la deuxième équation la première multipliée par 5, puis on va additionner à la troisième équation la première multipliée par - 3. En fait, on applique simultanément les deux principes énoncés ci-dessus : 4x 3y + z = 9 3x + 2y 5z = 9 & 2x + 8y + 3z = on obtient : 4x 3y + z = 9 23x 13y = 36 & 10x +17y = 27 Ce nouveau système contient une inconnue de moins dans les deux dernières équations. On décide alors de conserver la deuxième équation et de l'utiliser pour supprimer l'inconnue y dans la dernière équation. Pour cela il faut multiplier la deuxième équation par 17 et la troisième par 13 et Collège Sismondi (S.Z.) chap. 4, p.5

6 ensuite additionner la deuxième à la troisième, en appliquant à nouveau simultanément les deux principes. 4x 3y + z = 9 23x 13y = 36 & 10x +17y = On obtient alors le système triangulé 4x 3y + z = 9 23x 13y = 36 & 261x = 261 Il est facile de résoudre un tel système. On trouve S = { < 1; -1; 2>} On peut vérifier aisément qu'il s'agit bien de la solution du système de départ ainsi que de tous les systèmes intermédiaires Systèmes d'équations linéaires (trois situations possibles). Lorsqu'on considère un système d'équations linéaires, trois situations sont possibles : cas a cas b cas c Le système a autant d'équations que d'inconnues Le système a plus d'équations que d'inconnues. Le système a moins d'équations que d'inconnues. Cas a Si le système a autant d'équations que d'inconnues, on peut (en général) transformer le système en un système équivalent et triangulé, dont la dernière équation ne contient qu'une inconnue. A partir de cette situation on trouve facilement la solution du système; c'est-à-dire le couple, le triplet,.., le n-uplet commun aux équations du système. Collège Sismondi (S.Z.) chap. 4, p.6

7 Cas b Si le système a plus d'équations que d'inconnues, on peut séparer le système en deux parties (à choix) : une partie avec autant d'équations que d'inconnues (partie qui sera triangulée) et une autre où l'on garde les équations restantes : A partir de cette situation, on trouve la solution satisfaisant à la première partie du système (celle qui a été triangulée). On contrôle ensuite que la solution trouvée vérifie également les équations restantes (celles de la deuxième partie). Cas c Si le système a moins d'équations que d'inconnues, on peut transformer le système en un système équivalent et triangulé, dans lequel chaque équation possède une inconnue de moins que la précédente, la dernière équation possédant plus d'une inconnue. Dans un tel cas, on ajoute des équations du type x = α, y = β afin d'avoir autant d'équations que d'inconnues et de pouvoir trianguler. Remarque : Parfois, lors de la triangulation d'un système, une équation disparaît. Dans ce cas, on aboutit à une relation du type 0 = 0 pouvant être éliminée, puisqu'elle ne pose aucune condition pour les variables considérées. Ceci signifie que les équations de départ n'étaient pas indépendantes Méthode de Cramer pour systèmes de 2 équations à 2 inconnues. Soit le système a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 On triangule ce système en vue d'éliminer y : a 1 x + b 1 y = c 1 b 2 a 2 x + b 2 y = c 2 b 1 a 1 x + b 1 y = c 1 (a 1 b 2 a 2 b 1 )x= b 2 c 1 b 1 c 2 et, si et seulement si a 1 b 2 a 2 b 1 0, on trouve x = b 2 c 1 b 1 c 2 a 1 b 2 a 2 b 1. Collège Sismondi (S.Z.) chap. 4, p.7

8 De manière semblable, on triangule le même système en vue d'éliminer x : a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a 1 a 1 x + b 1 y = c 1 (a 1 b 2 a 2 b 1 )y = a 1 c 2 a 2 c 1 et, si et seulement si a 1 b 2 a 2 b 1 0, on trouve y = a 1c 2 a 2 c 1 a 1 b 2 a 2 b 1. Définitions : 1. Un tableau de la forme M = a 1 b 1 a 2 b 2 ', à 2 lignes et 2 colonnes s'appelle une matrice 2 x 2. & 2. Le déterminant D de la matrice M est le nombre réel égal à a 1 b 2 - a 2 b 1, c'est-à-dire égal à la différence entre le produit des termes de la diagonale principale et le produit des termes de la diagonale secondaire de la matrice. M = a 1 b 1 a 2 b 2 ' est la matrice des coefficients du système & a 1 x + b 1 y = c 1 ; a 2 x + b 2 y = c 2 D = a 1 b 2 - a 2 b 1 est le déterminant de M. M x = c 1 b 1 ' est la matrice obtenue à partir de M lorsque l'on remplace a c 2 b 1 et a 2 par c 1 et c 2 ; 2 & D x = c 1 b 2 - c 2 b 1 M y = a 1 c 1 a 2 c 2 ' est la matrice obtenue à partir de M lorsque l'on remplace b 1 et b 2 par c 1 et c 2 & D y = a 1 c 2 - a 2 c 1 En utilisant la méthode de Cramer, on trouve donc S = {< Dx D ; Dy >}, mais elle est utilisable si et D seulement si a 1 b 2 a 2 b 1 0 Remarque : Si D = 0 (avec a 1, b 1, a 2, b 2 non tous nuls), le système peut être impossible ou indéterminé, selon les valeurs que prendront Dx et Dy Si D = 0 (avec a 1 = b 1 = a 2 = b 2 = 0), alors le système est impossible si c 1 ou c 2 est non nul, il est indéterminé si c 1 = c 2 = 0. Remarque historique : Les Chinois avaient trouvé une idée similaire pour résoudre des systèmes longtemps avant notre ère. Le concept de déterminant a été mis en place par Cramer à la fin du 17 e siècle, profitant des travaux de Leibniz ( ) utilisant des systèmes d'indices. Collège Sismondi (S.Z.) chap. 4, p.8

9 4.3 Applications Dans votre cursus scolaire au collège, vous aurez l occasion de rencontrer à maintes reprises les systèmes. Par exemple, pour déterminer l intersection de deux droites, il faudra résoudre un système de deux équations à deux inconnues ou pour déterminer l intersection de trois plans, il faudra résoudre un système de trois équations à trois inconnues. Bien sûr, plus généralement, avec les systèmes, nous pouvons résoudre des problèmes où plusieurs inconnues sont en jeu. D ailleurs, en utilisant les systèmes, on aurait pu résoudre une partie des problèmes vus précédemment Exemple : 1. L économat cantonal passe une commande de 500 blocs de deux qualités différentes, l une au prix de gros de Fr 1.- et l autre au prix de Fr 1,40.- à une papeterie de la place Si le montant total est de Fr 572.-, quelle quantité de chaque qualité, la papeterie doit-elle livrer? i. Soit x : le nombre de bloc de la 1 ère qualité et y : le nombre de blocs de la 2 e qualité ii. iii. x + y = x +1,4 y = 572 x + y = x +1,4y = x + y = 500 x = x = 320 0,4 y = 72 y = 180 y = 180 iv. S = {<320 ; 189>} v. La papeterie doit livrer 320 blocs à Fr. 1.- et 180 blocs à Fr. 1, = 500 vi. Vérification : ok, les calculs sont exacts ,4 180 = Trois solutions contiennent un certain acide. La 1 ère (solution A) en contient 10, la 2 e (sol. B) en contient 30 et la 3 e en contient 50 (sol. C). Un chimiste aimerait utiliser les trois solutions pour obtenir 50 litre d un mélange contenant 32 de cet acide. S il veut utiliser deux fois plus de solution C à 50 que de solution B à 30, quelle quantité de chaque solution devra-t-il utiliser? i. Sot x, la quantité de solution A, y, la quantité de solution B et z, la quantité de solution C x + y + z = 50 ii. 0,1 x + 0,3 y + 0,5 z = 0,32 50 & z = 2y iii. x + y + z = 50 x + 3y + 5z = 16 & 2y z = 0 x + y + z = 50 1 x + 3y + 5z = & 2y z = 0 x + y + z = 50 2y + 4z = & 2y z = 0 4 x + y + z = 50 2y z = 0 & 10y = 110 x = = 17 & z = 2 11= 22 & ' y = 11 iv. S = {<17 ; 11 ; 22>} Collège Sismondi (S.Z.) chap. 4, p.9

10 v. Le chimiste doit utiliser 17 litres de la solution A, 11 litres de la solution B et 22 litres de la solution C = = 50 vi. Vérification : 0, , ,5 22 = 0, ,7 + 3,3 +11 = 16 & 22 = 2 11 & 22 = 2 11 ok, les calculs sont exacts, les 3 équations sont vérifiées. Collège Sismondi (S.Z.) chap. 4, p.10