MATHÉMATIQUES II. Objectif du problème

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1 MATHÉMATIQUES II Objectif du problème Cette introduction est destinée à expliquer le type des résultats obtenus dans le problème Ce dernier ne commence qu à partir du I Dans la démonstration en 1994 du «dernier théorème» de Fermat par Andrew Wiles, les «courbes elliptiques» jouent un rôle central par le biais de l action du groupe SL 2 ( ZZ ) sur le demi-plan ouvert H = { z IC : Im( z) > 0} En effet, il se trouve que l ensemble des courbes elliptiques sur le corps IC est en bijection (à un IC -isomorphisme près) avec l ensemble des réseaux de IC (à une similitude près), lui même en bijection avec l ensemble des orbites du demi-plan H sous l action de SL 2 ( ZZ ) Ce sont quelques propriétés de ces deux derniers ensembles que nous proposons d étudier dans ce problème Partie I - Matrices carrées d ordre 2 à coefficients entiers Soit M 2 ( ZZ ) l ensemble des matrices l anneau ZZ des entiers relatifs carrées d ordre 2 à coefficients dans Dans les parties I, II, III, les lettres a, b, c, d désignent des éléments de ZZ On pose : I 2 = 10 IA - Démontrer que l ensemble M 2 ( ZZ ) est un anneau IB - IB1) Démontrer que l ensemble GL 2 ( ZZ ) des éléments de M 2 ( ZZ ) inversibles dans M 2 ( ZZ ) est un groupe pour la multiplication, appelé le groupe des unités de l anneau M2 ( ZZ ) IB2) Montrer que GL 2 ( ZZ ) si et seulement si ad bc = 1 Concours Centrale-Supélec /7

2 IC - On pose SL 2 ( ZZ ) = M 2 ( ZZ ) : ad bc = 1 ; IC1) Montrer que SL 2 ( ZZ ) est un groupe pour la multiplication des matrices IC2) Déterminer l ensemble des couples (, ) ZZ ZZ tels que la matrice 35 appartienne à SL 2 ( ZZ ) IC3) Déterminer l ensemble des couples (, ) ZZ ZZ tels que la matrice 35 appartienne à GL 2 ( ZZ ) IC4) Quelle est la condition nécessaire et suffisante portant sur le couple (, ) de ZZ ZZ pour qu il existe une matrice appartenant à GL 2 ( ZZ )? ID - Soient S et T les éléments de SL 2 ( ZZ ) définis par S = et T = Pour chacune des trois matrices T, S et TS, répondre aux questions suivantes : ID1) La matrice est-elle diagonalisle, ou à défaut trigonalisle, dans M 2 ( IC )? Donner une forme réduite éventuelle ainsi qu une matrice de passage ID2) La matrice est-elle diagonalisle, ou à défaut trigonalisle, dans M 2 ( IR)? Donner une forme réduite éventuelle ainsi qu une matrice de passage IE - On cherche les matrices A de SL 2 ( ZZ ) telles que A 2 = 10 = I 2 Concours Centrale-Supélec /7

3 IE1) Soit A une telle matrice Montrer que A est diagonalisle dans M 2 ( IR) et préciser les formes réduites diagonales possibles de A IE2) En déduire l ensemble des matrices solutions A IF - On cherche les matrices A de SL 2 ( ZZ ) telles que A 2 = 1 0 IF1) Soit A une telle matrice Montrer que A est diagonalisle dans ( IC ) et calculer la trace Tr( A) de A M 2 IF2) Donner la forme générale des matrices solutions A en fonction des trois paramètres a, b, c et d une relation liant ces trois paramètres IG - IG1) Démontrer que si deux matrices U et V de M 2 ( IR) sont semblles en tant que matrices de M 2 ( IC ), alors elles sont semblles dans M 2 ( IR) IG2) En déduire que les matrices A de SL 2 ( ZZ ) solutions de l équation : A 2 = 1 0 sont semblles dans M 2 ( IR) à la matrice S = 1 0 Partie II - Réseaux de IC H H z IC On note le demi-plan ouvert défini par = { : Im() z > 0} B = ( αβ, ) étant une base de IC considéré comme plan vectoriel réel, on appelle réseau engendré par B l ensemble Λ B = ZZα + ZZβ = { uα + vβ; ( uv, ) ZZ 2 } Pour simplifier les notations, un réseau sera généralement désigné par la lettre Λ, sans préciser quelle base B de IC l engendre IIA - IIA1) De quelle structure algébrique est doté un réseau Λ? IIA2) Démontrer que tout réseau Λ peut être engendré par une base α B = ( αβ, ) de IC telle que -- H β IIA3) Démontrer que pour tout quadruplet ( c,,, d) ZZ 4 et pour tout z IC tel que cz + d 0, on a Im az b ad bc = cz + d Im( z) 2 cz + d Concours Centrale-Supélec /7

4 IIB - IIB1) Démontrer que si deux bases B = ( ω 1, ω 2 ) et B = ( ω 1 ω, 2 ) de IC telles que ω 1 ω H et H ω 2 ω 2 engendrent le même réseau Λ, alors il existe une matrice SL 2 ( ZZ ) ω telle que 1 = ω 2 IIB2) Étudier la réciproque IIC - On considère un réseau Λ engendré par une base B = ( ω 1, ω 2 ) de IC telle que ω H ω 2 Déterminer l ensemble des couples (, ) ZZ 2 tels que B = ( ω 1 ω, 2 ) avec ω 1 = 3ω 1 + 5ω 2 et ω 2 = cω 1 + dω 2 soit une base de IC engendrant également le réseau Λ IID - Pour tout complexe τ IC\IR on note Λ τ le réseau engendré par la base (,) τ 1 de IC On suppose que τ H Trouver la condition nécessaire et suffisante pour qu un élément τ H vérifie Λ τ = Λ τ Partie III - Similitudes directes de centre un réseau laissant stle Si Λ est un réseau et z un nombre complexe, on pose zλ = { zρ ; ( ρ Λ) } On dit que deux réseaux Λ et Λ sont semblles s il existe λ IC * tel que Λ = λλ IIIA - IIIA1) Démontrer que tout réseau Λ est semblle à un réseau Λ τ où τ H IIIA2) Démontrer que deux réseaux Λ τ et Λ τ, où (, ττ ) H H, sont semblles si et seulement si il existe une matrice aτ + b SL 2 ( ZZ ) telle que τ = cτ + d ω 1 ω 2 O Concours Centrale-Supélec /7

5 La fin de la partie III montre qu il existe des similitudes directes de centre O, autres que des homothéties, laissant stle un réseau donné Λ IIIB - Soit Λ un réseau IIIB1) Indiquer, sans faire de démonstration, le lien existant entre l ensemble S( Λ) = { z IC ; zλ Λ} et l ensemble des similitudes directes σ de centre O laissant stle le réseau Λ, c est-à-dire telles que σλ ( ) Λ IIIB2) Quel est l ensemble des homothéties de centre O laissant stle le réseau Λ? En déduire l ensemble S( Λ) IR IIIB3) De quelle structure algébrique est doté l ensemble S( Λ)? IIIB4) B = ( ω 1, ω 2 ) étant une base de IC, on pose τ ω 1 = Comparer les ensembles S Λ et S( Λ B τ ) ω 2 IIIB5) Quelle relation d inclusion existe-t-il entre les ensembles S( Λ τ ) et Λ τ? IIIC - τ étant un complexe de IC\IR, on considère le réseau Λ τ engendré par la base ( τ, 1) de IC IIIC1) On suppose que l ensemble S( Λ τ ) n est pas réduit à ZZ Montrer que τ est alors racine d un polynôme du second degré à coefficients dans ZZ IIIC2) Réciproquement, on suppose que τ est racine non réelle d un polynôme P( X) = ux 2 + vx + w du second degré à coefficients u, v, w dans ZZ a) Montrer que S( Λ τ ) n est pas contenu dans IR b) Que dire des ensembles S( Λ τ ) et Λ τ si u = 1? Partie IV - Action du groupe Γ des homographies associées à SL 2 ( ZZ ) sur l ensemble H Dans cette dernière partie, on étudie l action de ce groupe Γ sur l ensemble H On introduit au IVD un sous-ensemble fondamental F de H On montre aux questions IVE et IVF que Γ est engendré par les homographies s et t associées aux matrices S et T introduites au ID et qu un système de représentants des orbites de Γ est constitué par les points de F À toute matrice A = aτ + b de SL 2 ( ZZ ) on associe l application g : H IC définie par : τ H, g( τ) = cτ + d Concours Centrale-Supélec /7

6 IVA - IVA1) Montrer que l on a g ( H) H On identifie dorénavant g avec l application de H vers H qu elle induit Lorsque la matrice A parcourt SL 2 ( ZZ ), l application correspondante g de H vers H décrit un ensemble noté Γ Dans la suite de cette question on s intéresse aux propriétés de la surjection SL 2 ( ZZ ) Γ Φ: Aa g IVA2) Montrer que Φ( A) o Φ( A ) = Φ( AA ) En déduire que la loi o de composition des applications est une loi interne sur Γ IVA3) Pour tout A SL 2 ( ZZ ), montrer que Φ( A) est une bijection de H sur H et que l on a [ Φ( A) ] 1 = Φ( A 1 ) En déduire que ( Γ, o ) est un groupe IVA4) Montrer que Φ( A) = id H [ A = ± I 2 ] IVA5) a) Résoudre l équation Φ( A ) = Φ( A) b) En utilisant les matrices S et T définies en ID, vérifier que le groupe ( Γ, o ) n est pas commutatif IVB - IVB1) Montrer que le cercle C( ω, R) de centre ω IC et de rayon R > 0 a pour équation z 2 ( ωz + ωz) + ω 2 = R 2 À quelle condition nécessaire et suffisante ce cercle est-il inclus dans H? IVB2) On appelle l application de vers associée à la matrice s H H S = 10 définie au ID, c est-à-dire l élément s = Φ( S) de Γ Déterminer l image par s d un cercle C( ω, R) inclus dans H IVC - IVC1) Trouver l image par s d une droite D incluse dans H, c est-à-dire d une droite D d équation y = β, avec β > 0 IVC2) Trouver l image par s d une demi-droite D + d équation x = α, où α IR, incluse dans H y > 0 Concours Centrale-Supélec /7

7 IVD - On introduit le sous-ensemble de, défini par F = τ H : τ 1, Re τ 1 ( ) -- 2 On appelle l application de vers associée à la matrice F t H H H T = 11 définie au ID, c est-à-dire l élément t = Φ( T) de Γ Représenter graphiquement l ensemble F et ses images t( F) et t 1 ( F) par les applications t et t 1 IVE - On note G le sous-groupe de Γ engendré par l ensemble { st, } Soit τ un élément de H IVE1) Montrer qu il existe un élément g 0 G tel que ( g G) Im( g( τ) ) Im( g 0 ( τ) ) IVE2) On pose alors τ = g 0 ( τ) Démontrer qu il existe un entier m ZZ tel que Re t m 1 ( ( τ )) -- 2 IVE3) Vérifier que t m ( τ ) 1 et en conclure que t m ( τ ) F IVF - On peut démontrer le résultat suivant, que l on admettra ici : si τ F et si pour un élément g Γ, avec g id, on a g( τ) alors H F τ est un point frontière de, autrement dit on a F Re( τ) = ± 1 ou 2 -- τ = 1 En utilisant ce résultat ainsi que ceux de la section IVE, démontrer que G = Γ Indication : on pourra considérer un point τ intérieur à F (c est-à-dire τ F ) et son image g( τ) par g Γ FIN Concours Centrale-Supélec /7