Si A (d), alors le symétrique du point A par rapport à la droite (d) est lui-même.

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1 I. Figures symétriques Définition : CHAPITRE : SYMETRIE AXIALE Deux figures sont symétriques par rapport à une droite, si en pliant autour de cette droite, les deux figures se superposent. Cette droite est appelé l axe de la symétrie. Exemples : Vocabulaire : On dit que (F) et (F ) sont symétriques par rapport à la droite (d). On dit aussi que la figure F 2 est le symétrique de la figure F 1 par rapport à la droite (d). Ou bien (F ) est l image de (F) par la symétrie d axe (d). II. Symétrique d un point (admise) Soit A un point et (d) une droite Si A (d), alors le symétrique du point A par rapport à la droite (d) est lui-même. Si A (d), alors le symétrique du point A est le point A tel que (d) soit la médiatrice du segment [AA ] (la perpendiculaire passant par le milieu du segment) Exemples : Si A (d) : Si A (d) : Les points A et A sont symétriques par rapport à la droite (d).

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4 III. Propriétés de la symétrie axiale 1 ) Symétrique d une droite (admise) Le symétrique d une droite par rapport à une droite est une droite On dit aussi que : La symétrie centrale conserve l alignement Soient trois points P, N et M appartenant à une droite (Δ) ( Soient P, N et M leurs symétriques respectifs par rapport à une droite (d) On sait que les points P, N et M sont alignés et que les points P, N et M sont leurs symétriques par rapport à (d) Or la symétrie axiale conserve l alignement Donc les points P, N et M sont alignés Remarques : Les droites ( ) et ( ) ) sont symétriques par rapport à la droite (d) Le point d intersection des droites ( ) ( et ( ) ) appartient à la droite (d). 2 ) Symétrique d un segment Propriétés : (admises) Le symétrique d un segment par rapport à une droite est un segment de même longueur. On dit aussi que : La symétrie centrale conserve les longueurs. Les segments [AB] et [A B ] sont symétriques par rapport à la droite (d) Or la symétrie axiale conserve les longueurs Donc AB = A B

5 3 ) Symétrique d un cercle Le symétrique d un cercle par rapport à une droite est un cercle de même rayon et les centres de ces cercles sont symétriques par rapport à cette droite. Soit un cercle de centre A et de rayon 2 cm et (d) une droite. Soit le symétrique de par rapport à la droite (d), on appelle A son centre. Le point A est donc le symétrique du point A par rapport à (d) et les cercles et ont le même rayon, c'est-à-dire 2 cm. 4 ) Symétrique d un angle: Propriété (admise) Le symétrique d un angle par rapport à une droite est un angle de même mesure On dit aussi que : La symétrie axiale conserve la mesure des angles. Sur la figure ci-dessous, les angles CAB et C A B sont symétriques par rapport à (d) Or la symétrie axiale conserve la mesure des angles Donc CAB = C A B 5 ) Symétrique d un milieu : Propriété (admise) : La symétrie axiale conserve les milieux I est le milieu du segment [AB] et A, B et I sont les symétriquess respectifs de A, B et I par rapport à une droite (Δ) Or la symétrie axiale conserve les milieux Donc I est le milieu de [A B ]

6 IV. Axe de symétrie Définition : Lorsque le symétrique d une figure par rapport à une droite est la figure elle-même, on dit que cette droite est un axe de symétrie de la figure. Exemples : Un rectangle admet exactement deux axes de symétrie : Un losange admet exactement deux axes de symétrie : Un carré admet exactement quatre axes de symétrie : Un cercle admet une infinité d axes de symétries : toutes les droites passant par le centre du cercle. La bissectrice d un angle est l axe de symétrie de cet angle Méthode de construction de la bissectrice : On veut tracer la bissectrice de l angle xoy 1. On trace un arc de cercle de centre O, il coupe la demi-droite [Ox) en A et la demi-droite [Oy) en B 2. On trace deux arcs de cercles de même rayon centrés en A et en B, ils se coupent en C 3. La droite (OC) est la bissectrice de l angle xoy x A

7 3 ) Symétrique d un polygone Le symétrique d un polygone par rapport à une droite est un polygone de mêmes mesures. Les triangles ABC et A B C sont symétriques par rapport à la droite (d) La symétrie centrale conserve la mesure des angles et les aires. On sait que triangles ABC et A B C sont symétriques par rapport à la droite (d) Or la symétrie axiale conserve les longueurs, la mesure des angles et les aires. Donc : A B = AB les triangles ABC et A B C ont la même aire A C B = ACB

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