Cours de probabilités pour les professeurs stagiaires

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1 Centre Régional des Métiers de l Education et de la Formation, Derb Ghalef, Casablanca, Maroc Filière : Secondaire qualifiant Specialité : Mathématiques Cours de probabilités pour les professeurs stagiaires Pr. Khalid HATTAF Année de formation :

2 Table des matières 1 Analyse combinatoire Principe fondamental de dénombrement Arrangements Permutations Combinaisons Cardinal d un ensemble fini Phénomènes aléatoires et théorie des probabilités Phénomènes aléatoires Définitions Exemples Opérations sur les événements Définition d une probabilité Probabilité sur des ensembles finis ou dénombrables Probabilité conditionnelle et indépendance Probabilité conditionnelle Indépendance Variables aléatoires Introduction Loi de probabilité

3 3.2.1 Définition Variable aléatoire discrète Variable aléatoire continue Fonction de répartition Espérance mathématique et moments Espérance mathématique Moments Couple de variables aléatoires Loi conjointe et marginale Cas des variables discrètes Cas des variables continues Variables aléatoires indépendantes

4 Chapitre 1 Analyse combinatoire L analyse combinatoire ou le dénombrement est l étude des différentes façons de ranger les objets d un ensemble fini. 1.1 Principe fondamental de dénombrement Si une opération globale peut se décomposer en p opérations élémentaires successives, cesdernièrespouvants effectuer respectivement den 1,n 2,...,n p façonsdifférentes, alors le nombre nombre de façons différentes permettant d effectuer ces opérations est égal p au produit n k. Exemples : k=1 1. Combien existe-t-il de façons différentes de répondre au hasard à un examen de 8 questions du type vrai ou faux? 2. Déterminer le nombre de numéros téléphoniques marocains qui commencent par 06? 3. On suppose qu un professeur stagiaire parmi vous a oublié le code pin de son téléphone portable qui est formé de quatre chiffres différents. Combien des essais qu il faut faire pour obtenir le code? 1.2 Arrangements Définition Soit E un ensemble de n objets. On appelle arrangement de p objets toute suite ordonnée de p objets pris parmi les n objets. 3

5 Chapitre 1 Analyse combinatoire 4 Propriétés : 1. Le nombre d arrangements avec répétition de p objets pris parmi n est n p. 2. Le nombre d arrangements sans répétition de p objets pris parmi n est : A p n = n! (n p)! = n(n 1)...(n p+1). 1.3 Permutations Définition Soit E un ensemble de n objets. On appelle permutation de n objets tout arrangement n à n. Propriétés : 1. Le nombre de permutations (sans répétition) de n objets distincts est n!. 2. Le nombre de permutations (avec répétition) de n objets dont n 1 sont semblables, n 2 sont semblables,..., n p sont semblables est : n! n 1!n 2!...n p!. 1.4 Combinaisons Définition Soit E un ensemble de n objets. On appelle combinaison de p objets parmi n tout sous ensemble de E contenant p objets choisis sans répétition dans E. Propriétés : 1. Le nombre de combinaisons de p objets pris parmi n est : C p n = Ap n p! = n! p!(n p)!. 2. Cn p = Cn p n. 3. C p 1 n 1 +C p n 1 = Cn p (Formule de Pascal). n 4. (a+b) n = Cn k ak b n k (Formule du binôme de Newton). k=0 5. (a 1 +a a p ) n = généralisée). n 1 +n n p=n n! n 1!n 2!...n p! an 1 1 an anp p (Formule du binôme

6 Chapitre 1 Analyse combinatoire Cardinal d un ensemble fini Définition Soit E un ensemble fini. On appelle cardinal de E le nombre des éléments de E noté card(e) ou E. Théorème Si E et F sont deux ensembles finis alors 1. card(e F) = card(e)card(f), où E F est le produit cartésien de E par F. 2. card(e F) = card(e)+card(f) card(e F). 3. card(a(e,f)) = card(f) card(e), où A(E,F) est l ensemble des applications de E dans F. 4. card(p(e)) = 2 card(e), où P(E) est l ensemble des parties de E.

7 Chapitre 2 Phénomènes aléatoires et théorie des probabilités 2.1 Phénomènes aléatoires Définitions 1. Un résultat est dit au hasard ou aléatoire, lorsque on ne peut pas le prédire, mais on peut observer la variabilité de ce résultat et en déduire une loi de cette variabilité. 2. Une épreuve aléatoire c est une expérience qu on peut répéter dans des conditions identiques et qui donne plusieurs résultats. L ensemble de tous les résultats possibles est appelé ensemble fondamental (ou univers) noté Ω. Il peut être fini ou infini, dénombrable ou non-dénombrable. 3. Un évènement est c est tout ce qui peut se réaliser ou pas à la suite d une experience aléatoire. Il peut être considérer comme une partie de Ω Exemples 1. On considère l expérience suivante : un professeur-stagiaire lance un dé cubique à 6 faces et il note la valeur obtenue sur la face supérieure de ce dé. Quel est l univers associé à cette expérience? Comment d écrire l événement A= obtenir un nombre premier? 2. On jette une pièce de monnaie jusqu à ce que face apparaisse, et on compte le nombre de fois que l on a jeté la pièce? Quel est l univers associé à cette expérience? 6

8 Chapitre 2 Théorie des probabilités 7 3. Si on observe la durée de vie d une ampoule électrique, quel est l univers associé à cette expérience? 4. Si on choisit au hasard un nombre a [0,3] et un autre b [ 2,0], quel est l univers associé à cette expérience? Déterminer l événement B= la distance entre a et b soit plus grande que 3? Opérations sur les événements Mathématiquement, on associe un évènement à une partie de Ω. Les opérations logiques se traduisent par des ensembles. Ā = Ac = CΩ A = Ω A, le complémentaire de A est l événement qui est réalisé si et seulement si A n est pas réalisé. Cet événement est appelé événement contraire. A B désigne un événement qui est réalisé si A ou B est réalisé (au moins un des événements A et B est réalisé). A B désigne un événement qui est réalisé si A et B sont réalisés. Lorsque la réalisation de A entraîne la réalisation de B, on écrit A B désigne l événement impossible et Ω est l événement certain. Si A = {a},a Ω est appelé événement élémentaire. Si A B =, on dit que les événements A et B sont incompatibles. Dans ce cas, A et B ne peuvent pas se réaliser simultanément. 2.2 Définition d une probabilité Un moyen de définir la probabilité d un événement est de le faire en termes de fréquence relative. Définition Quand une expérience est répétée un grand nombre de fois, la fréquence relative de réalisation d un événement élémentaire se rapproche d une valeur particulière appelée la probabilité de cet événement élémentaire. D une manière général, la probabilité d un événement A est donnée par : P(A) = lim n n(a) n, avec n(a) est le nombre de fois où A apparaît dans les n premières répétitions de l expérience. Cette définition possède un inconvénient majeur. Dans le cas du lancer d une pièce par exemple, peut-on être sûr que la proportion de pile va tendre vers une limite et que cette limite sera indépendante de la suite de lancers effectuée? Les partisans de cette

9 Chapitre 2 Théorie des probabilités 8 définition en termes de fréquence relative en faisant remarquer que la convergence est une hypothèse ou un axiome, elle ne peut être remise en question. Il est raisonnable de définir la probabilité par des axiomes plus simples et intuitivement acceptable pour essayer de prouver qu une telle limite existe. La modélisation du calcul des probabilités a été inventée par A. N. Kolmogorov dans le livre intitulé Les fondements de la théorie des probabilités paru en Cette modélisation mathématique est faite à partir d un triplet (Ω,τ,P), permettant de traiter le cas où Ω est infini. L idée de Kolmogorov est que l ensemble τ des événements a une structure de tribu. Rappelons qu un sous-ensemble τ de parties de Ω (i.e., τ P(Ω)) est dite une tribu, ou une σ-algebre, si les axiomes suivants sont vérifiés (i) A τ, A c τ (Stabilité par passage au complémentaire) (ii) Pour toute famille dénombrable (A i ) i IN + i=0 A i τ (Stabilité par réunion dénombrable). Le couple (Ω, τ) est appelé espace probabilisable. d éléments de τ, Définition Soit Ω un ensemble fondamental muni d une tribu d événements τ. On appelle probabilité (ou mesure de probabilité) toute application P de τ dans [0, 1] vérifiant les axiomes suivants : (i) P(Ω) = 1, (ii) Pour toute suite d évènements (A i ) i IN disjoints (pour tout i j, A i A j = ), + P( i=0 A i ) = + i=0 P(A i ). Le triplet (Ω, τ, P) est appelé espace de probabilité ou espace probabilisé. Propriétés Soit (Ω, τ, P) un espace de probabilité. On a alors 1. P( ) = Si (A i ) 0 i n une suite finie d événements disjoints, alors n P( A i ) = i=0 n P(A i ). i=0 En particulier, si A et B sont deux événements disjoints alors P(A B) = P(A)+P(B). 3. Pour tout événement A, P(Ā) = 1 P(A). 4. Si A B alors P(A) P(B) et P(B\A) = P(B) P(A).

10 Chapitre 2 Théorie des probabilités 9 5. Si A et B deux événements, mais ne sont pas nécessairement disjoints, alors Exercice : Démontrer ces propriétés. P(A B) = P(A)+P(B) P(A B). 2.3 Probabilité sur des ensembles finis ou dénombrables Soient Ω un ensemble fondamental fini ou dénombrable et τ = P(Ω). Soit ω ω, on note par P ω la probabilité du singleton {ω} et par P i la probabilité du singleton {ω i }, i I IN. Proposition Si P est une probabilité sur (Ω,τ) alors : (i) P ω 0, (ii) w ΩP ω = 1, (iii) A Ω, w A P ω = P(A) et par convention w P ω = 0. Exemple important (Probabilité uniforme) : Soit Ω un ensemble fondamental fini tel que Ω = {ω 1,ω 1,...,ω n }. On suppose que P 1 = P 2 =... = P n = p. Dans ce cas, on dit que les événements sont équiprobables et il est facile de prouver que la probabilité d un événement quelconque A est donnée par : P(A) = card(a) card(ω). Exercice : On jette un dé parfait (i.e. on a la même probabilité d obtenir chaque face). Quelle la probabilité d obtenir un nombre pair? Proposition Soit P ω Ω une famille qui vérifiée : ω Ω, P ω 0 et w ΩP ω = 1. Alors il existe une unique probabilité tels que P(ω) = P ω et pour tout A Ω P(A) = w AP ω.

11 Chapitre 2 Théorie des probabilités 10 Exemples : 1. La loi binomiale : c est la probabilité sur Ω = {0,1,...,n} définie par P k = C i n pk (1 p) n k, où (n,p) IN [0,1] 2. La loi de Poison : c est la probabilité sur Ω = IN définie par P k = λk k! e λ, où k IN et λ [0,+ ) est le paramètre. 3. La loi géométrique : c est la probabilité sur Ω = IN définie par P k = (1 a)a k où a [0,1) est le paramètre. 2.4 Probabilité conditionnelle et indépendance Dans tout ce qui suit, (Ω,τ,P) est un espace probabilisé fixé Probabilité conditionnelle Définition Soient A et B deux événements avec P(A) 0. On définit la probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé par : P(B/A) = P(A B). P(A) On dit aussi la probabilité de B relativement à A. Exemple : Une urne contient 10 boules rouges et 6 boules noires. On effectue deux tirages successifs sans mettre la première boule dans l urne (tirage sans remise). Quelle est la probabilité d obtenir une boule rouge puis une boule noire? Proposition (Formule des probabilités composées) Soient A i, (i=1,...,n), des événements, alors P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 )P(A 2 /A 1 )P(A 3 /A 1 A 2 )...P(A n /A 1 A 2... A n 1 ). Remarque.SiA n A n 1... A 2 A 1,alorslaformuledesprobabilitéscomposées devient P(A n ) = P(A 1 )P(A 2 /A 1 )P(A 3 /A 2 )...P(A n /A n 1 ). Proposition (Formule des probabilités totales) Soit (A i ) i I IN une partition au plus dénombrablede Ω constitué d événements vérifiant P(A i ) 0. Alors P(B) = P(B/A i )P(A i ). i I

12 Chapitre 2 Théorie des probabilités 11 Remarque important. En pratique, on utilise très souvent cette formule des probabilités totales en conditionnant successivement par un événement et son contraire, c est-à-dire en prenant tout simplement une partition de type (A,Ā), ce qui donne P(B) = P(B/A)P(A)+P(B/Ā)P(Ā). Proposition (Formule de Bayes) Soit (A i ) i I IN une partition au plus dénombrablede Ω constitué d événements vérifiant P(A i ) 0. Alors P(A j /B)) = P(B/A j)p(a j ) P(B/A i )P(A i ). Cette formule dit aussi formule de probabilité des causes. i I Indépendance Intuitivement, deux événements A et B sont indépendants lorsque le fait de savoir que l un quelconque de ces deux événements est réalisé ne modifié pas la probabilité de la réalisation de l autre. Le but de cette section est de préciser ceci mathématiquement et de l étendre à plus de deux événements. Définition (Indépendance de 2 événements) Deux évènements A et B sont dits indépendants si : P(A B) = P(A)P(B). Si P(A) 0 alors P(B/A) = P(B) et on trouve on retrouve la notion intuitive d indépendance : le fait que A se soit réalisé ne modifié pas la probabilité de la réalisation de B. Conséquence : Si A et B sont indépendants alors les couples (Ā,B), (A, B) et (Ā,B) et (Ā, B) sont indépendants. Exercice : Démontrer cette conséquence. Définition (Indépendance 2 à 2 et indépendance mutuelle) Soit (A i ) i I IN une suite d événements. On dit qu ils sont : 2 a 2 indépendants si pour tout couple (i,j) avec i j, A i et A j sont independants; mutuellement indépendants si pour toute partie finie J I, on a P( A i ) = P(A i ). i J i J

13 Chapitre 2 Théorie des probabilités 12 Il est clair que l indépendance mutuelle implique l indépendance 2 à 2. Mais la réciproque est fausse comme le montre l exemple suivant. Exemple : On jette deux pièces de monnaie bien équilibrées. On considère les événements suivants : A = pile apparait sur la premire piece, B = pile apparait sur la deuxime piece, C = pile apparait sur une seule des deux pieces. Vérifier que les événements A, B et C sont 2 a 2 indépendants, mais ils ne sont pas mutuellement indépendants.

14 Chapitre 3 Variables aléatoires 3.1 Introduction La notion de variable aléatoire permet de modéliser des phénomènes aléatoires, on associe à chaque résultat d une épreuve une grandeur mathématique, très souvent un nombre. Mathématiquement parlons, une variable aléatoire réelle X sur un espace probabilisé (Ω,τ,P) est une application de Ω vers IR telle que l inverse de chaque intervalle de IR soit un événement de Ω. Notons que si Ω est un ensemble au plus dénombrable (fini ou dénombrable) alors toute partie de Ω est un événement. Dans ce cas, toute application de Ω vers IR est une variable aléatoire. 3.2 Loi de probabilité Définition Définition La distribution ou la loi de probabilité d une variable aléatoire X sur un ensemble fondamental Ω, est la probabilité P X définie par : P X (B) = P(X 1 (B)) = P(X B) pour tout un intervalle de B de IR. Plusieurs cas se présente suivant des valeurs prises par X. Ces valeurs peuvent être discrètes ou non et l ensemble des valeurs prises par X est notée X(Ω). 13

15 Chapitre 3 Théorie des probabilités Variable aléatoire discrète Dans ce cas X(Ω) est fini ou dénombrable. Si X(Ω) = {x 1,x 2,...,x n } ou X(Ω) = {x 1,x 2,...,x n,...} alors loi de de probabilité de X est entièrement déterminée par la donnée des P i = P(X = x i ). De plus, on a P i 0 et P i = 1. i Exemple : On lance un dé bien équilibré. Si le résultat est pair, le joueur gagne le triple du résultat. Si le résultat est impair, le joueur pert le double du résultat. Soit X la variable aléatoire représentant le gain du joueur. Donner les valeurs possibles de X et sa loi de probabilité Variable aléatoire continue Dans ce cas X(Ω) est une réunion d intervalles de IR et loi de de probabilité de X est entièrement déterminée par la donnée des P(X x), pour tout x IR. Exemple : On tire sur une cible circulaire de rayon R > 0. Supposons que tous les tirs atteignent la cible et que la probabilité d atteindre une partie de la cible est proportionnelle à l aire de cette partie. Soit X la variable aléatoire qui indique la distance du point d impact au centre de la cible. Donner les valeurs possibles de X et sa loi de probabilité. 3.3 Fonction de répartition Définition On appelle appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X l application F : IR IR définie par : Propriétés : F(x) = P X (],x]) = P(X ],x]) = P(X x). i) La fonction de répartition est croissante. ii) La fonction de répartition a pour limite 0 en et 1 en +. iii) La fonction de répartition est continue à gauche en tout point. iv) Pour tous réels a et b tels que a b, P(a < X b) = F(b) F(a). Définition Si la fonction de répartition F d une variable aléatoire continue est dérivable sur IR, sauf peut être en un nombre fini de points, et si pour tout x IR on a : P(X x) = F(x) = x f(t)dt,

16 Chapitre 3 Théorie des probabilités 15 avec f est la dérivée de F. On dit que X est une variable aléatoire absolument continue que f est la densité de probabilité (ou fonction de distribution) de X. Remarque : i) Si X est absolument continue de densité de probabilité f on a : Pour tous réels a et b tels que a b, P(a X b) = b f(t)dt = F(b) F(a). a + f(t)dt = 1 et f(t) 0, t IR. ii) Si X est une variable aléatoire discrète on a : Pour tous réels a et b tels que a b, P(a X b) = m i=n P(X = x i), où x i [a,b]. Dans ce cas, F(x) = k i=1 P(X = x i) où x 1,x 2,...,x k x et que F est une fonction en escalier. 3.4 Espérance mathématique et moments Espérance mathématique Définition Soit X une variable aléatoire réelle. Si X prend les valeurs x 1, x 2,..., x n, l espérance de X est définie par : E(X) = n x i P(X = x i ). i=1 Si X prend une infinité dénombrable de valeurs x 1, x 2,..., et +, l espérance de X est définie par : + i=1 x i P(X = x i ) < E(X) = + i=1 x i P(X = x i ). Si X est absolument continue de densité de probabilité f, l espérance de X est définie par : E(x) = + tf(t)dt Moments Définition 3.4.2

17 Chapitre 3 Théorie des probabilités 16 On appelle moment d ordre k d une variable aléatoire X le nombre réel m k défini par : m k = E(X k ). On appelle moment centré d ordre k d une variable aléatoire X le nombre réel µ k défini par : µ k = E((X E(X)) k ). On appelle variance k d une variable aléatoire X le nombre réel V(X) défini par : V(X) = µ 2 = E((X E(X)) 2 ) = E(X 2 ) (E(X)) 2. On appelle ecrart-type d une variable aléatoire X le nombre positif σ défini par : σ = V(X). 3.5 Couple de variables aléatoires Loi conjointe et marginale Définition Soient X et Y deux variables aléatoires. La loi conjointe (ou loi de probabilité) de (X,Y) est définie par sa fonction de répartition : F(x,y) = P(X x,y y), où (X x,y y) = {X x} {X y}. Les lois marginales du couple (X,Y) sont la loi de X, et la loi de Y Cas des variables discrètes Soient X et Y deux variables discrétes. La loi du couple (X,Y) est définie par la donnée des probabilités P(X = x,y = y). De plus, la loi marginale de chacune des variables du couple peut se déduire de la loi conjointe. Par exemple, on retrouve la loi marginale de la variable X en sommant sur toutes les valeurs prises par Y : x X(Ω), P(X = k) = P(X = x,y = y). y Y(Ω) Dans le cas où les variables sont discrètes et prennent un fini nombre de valeurs, on écrit en général la loi du couple sous la forme d un tableau. Exemple : On lance 3 fois une pièce de monnaie bien équilibrée. Soit X la variable aléatoire prenant respectivement les valeurs 0 et 1 selon le premier jet donne pile ou

18 Chapitre 3 Théorie des probabilités 17 face. Y désigne le nombre de pile obtenu. Déterminer la loi conjointe du couple (X,Y) et les lois de X et Y. Définitions : Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes. (i) On appelle covariance de X et Y le réel défini par : Cov(X,Y) = E[ ( X E(X) )( Y E(Y) ) ] = E(XY) E(X)E(Y). (ii) On appelle coefficient de corrélation de X et Y le réel défini par : ρ(x,y) = Cov(X,Y) σ(x)σ(y). (iii) On dit que deux variables aléatoires X et Y sont non corrélées si (iv) X et Y sont dites indépendantes si Cov(X,Y) = 0. (x,y) X(Ω) Y(Ω) P(X = x,y = y) = P(X = x)p(x = y), cela signifie que pour tout couple (x,y) X(Ω) Y(Ω), les événements {X = x} et {Y = y} sont indépendants. Propriétés : Soient X et Y deux variables aléatoires et a, b, c, d des réels. Alors, on a les propriétés suivantes : (i) Cov(X,Y) = Cov(Y,X), (ii) Cov(X,X) = V(X), (iii) ρ(ax +b,cy +d) = ρ(x,y), (iv) ρ(x,y) [ 1,1], (v) ρ(x,y) = 1 a,b IR,Y = ax +b. Théorème Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes. On a alors : (i) E(XY) = E(X)E(Y), (ii) V(X +Y) = V(X)+V(Y), en particulier Cov(X,Y )=0. Exemple : Une urne contient 4 boules blanches, 2 boules noires et 4 boules rouges. On extrait de cette urne 3 boules au hasard et sans remise. Soit X le nombre de boules blanches et Y le nombre de boules noires figurant dans l échantillon. 1. Quelle sont les valeurs prises par X et Y? 2. Calculer la loi de probabilité du couple (X,Y) et en déduire le tableau à double entré. 3. Calculer Cov(X,Y) et ρ(x,y).

19 Chapitre 3 Théorie des probabilités Cas des variables continues Dans ce cas (X,Y) prend ses valeurs dans un domaine D IR 2. Soit f une fonction à valeurs réelles définie et continues dans D et qui satisfait aux propriétés suivantes : f(x,y) 0, (x,y) D f(x,y)dxdy = 1. On munit D d une loi de probabilité en posant P({(x,y) A}) = f(x,y)dxdy, A D. D A La fonction f est appelée densité de probabilité du couple (X,Y). La fonction de répartition du couple (X,Y) de densité f est donnée par : F(x,y) = P(X x,y y) = x y f(s, t)dsdt, Réciproquement, si F est donnée, il suffit de dériver(lorsque c est possible) pour obtenir f(x,y) = 2 F s t (x,y). Lorsque (X,Y) est un couple de variables aléatoires de densité f, chacune des variables X et Y admettent des densités que l on appelle densités marginales. On obtient les densités marginales de X et de Y de la manière suivante P(X A) = P(X A,Y IR) ( = A IR f(x,y)dy) dx = f X (x)dx. A Par conséquent, nous avons f X (x) = IR f(x,y)dy. Par symétrie des rôles de x et de y, on obtient f Y (y) = IR f(x,y)dx. Exemple : Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires dont la densité conjointe est donnée par { 2e f(x,y) = x e 2y, (x,y) IR 2 +; 0, sinon. Quelle est la loi marginale de la variable X? Calculer la probabilité de l événement (X < Y).

20 Chapitre 3 Théorie des probabilités Variables aléatoires indépendantes Définition Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si pour tout intervalle A et B de IR on a : P(X A,Y B) = P(X A)P(Y B), où (X A,Y B) = {X A} {X B}. Définition Les variables aléatoires X 1, X 2,..., X n sont mutuellement indépendantes si pour tous intervalles A 1,..., A n de IR on a : P(X 1 A 1,...,X n A n ) = n P(X i A i ). i=1