ISOMETRIES DANS LE PLAN
|
|
- Denis Rivard
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Année Scolaire Isométrie Terminale Association des Professeurs de Mathématiques de la Région de Sikasso et Sympathisants ISOMETRIES DANS LE PLAN 7 ème ASSEMBLEE GENERALE Koutiala Du 28 au 30 Août Présenté par : APROMARS/ section Kadiolo APROMARS_Koutiala_2012 1
2 Introduction En fin de classe de 11 ème SE (1 ere C), les élèves ont déjà étudié les isométries. En terminale il s agira de poursuivre cet entrainement et faire un point sur les isométries. Il est important de noter que l enseignement des «isométries» en terminale sciences exactes (terminale C) se fait dans le chapitre intitulé : «isométries et similitude dans le plan», suivant le découpage du programme. Cet enseignement doit permettre aux apprenants de savoir écrire toutes isométries f et comme composée de symétries orthogonales et déterminer la composée f. Les nombres complexes à sa disposition, l élève pourrait traduire ses transformations en écriture complexe. Nous n avons pas l intention de faire un cours, type à enseigner en classe de terminale SE, mais plutôt «un voyage dans le pays des isométries». Nous vous convions de nous suivre dans notre voyage. 1 Généralité 1.1 Définition On appelle isométrie du plan toute transformation f qui conserve les distances, i.e. pour tous points M 1, M 2, si M 1 = f M 1 et M 2 = f M 2 alors on a : d M 1 ; M 2 = d M 1 ; M 2 Contre-exemple : une homothétie de rapport 2 n est pas une isométrie. 1.2 Déplacement et antidéplacement Définitions Une isométrie qui conserve les angles orientés est un déplacement. Une isométrie qui transforme les angles orientés en leurs opposés est un antidéplacement 2 Isométries usuelles Activité Les triangles 1 et 2 sont deux triangles équilatéraux et isométriques dont deux cotés sont sur la même droite (support) et ont un sommet commun. 1 2 Quelles sont les transformations usuelles qui transforment 1 en 2? Pour chacune donner leurs éléments caractéristiques respectifs. Justifier vos réponses. APROMARS_Koutiala_2012 2
3 2.1 Translation Définition On appelle translation de vecteur u, notée t u, l application du plan E dans lui-même qui à tout point M associe le point M tel que : MM = u. Propriété f est translation si et seulement si pour tous points M et N d images respectives M et N, on a :M N = MN. Théorème 1 Soit M d affixe z et M son image d affixe z. t est la translation de vecteur u d affixe b si et seulement si t a pour écriture complexe z = z + b Démonstration t est la translation de vecteur u d affixe b ce qui signifie que pour tout point M z d image M z, on a MM = u ie que pour tout point M z d image M z, z z = b et donc t a pour écriture complexe z = z + b Théorème 2 La réciproque de la translation de vecteur u est la translation de vecteur u ie t u 1 = t u. Remarque : Une translation n a aucun point fixe. 2.2 Rotation Définition et théorème Définition Soit Ω un point et θ un nombre réel. On appelle rotation de centre Ω et d'angle θ, l'application, qui à tout point M distinct de Ω, associe le point M telle que : ΩM = ΩM et ΩM ; ΩM = θ. On la note r Ω; θ. Exemples : L'application identique est une rotation d'angle 0. r Ω; π est un demi-tour ou une symétrie centrale de centre Ω ou une homothétie de centre Ω et rapport k = 1. APROMARS_Koutiala_2012 3
4 Théorème 3 La réciproque de la rotation de centre Ω et d angle θ est la rotation de centre Ω et d angle θ i.e r Ω,θ 1 = r Ω, θ Remarque : une rotation n a qu un seul point fixe : le centre de la rotation Expression complexe d'une rotation Soit r la rotation de centre Ω et d'angle θ. Les points M et M sont tels que r M = M. Soient ω, z et z les affixes respectives des points Ω, M et M On a : ΩM = ΩM ΩM ; ΩM = θ ce qui équivaut à : z ω = z ω arg z ω z ω = θ Il en résulte que : z ω z ω = cos θ i sin θ = eiθ. Donc z ω = z ω e iθ Expression analytique d une rotation dans le plan Soit r la rotation de centre Ω et d'angle θ. Les points M et M sont tels que r M = M. Soient ω, z et z les affixes respectives des points Ω, M et M Posons : ω = x 0 + iy 0, z = x + iy et z = x + iy. En utilisant la formule z ω = z ω e iθ, On montre que : x x 0 = cos θ x x 0 sin θ y y 0 y y 0 = sin θ x x 0 + cos θ y y 0 On vérifie que c'est de la forme : réels. 2.3 Réflexion Définition x = cos θ x sin θ y + p y = sin θ x + cos θ y + q où p et q sont des nombres Dire que le point M est l image du point M par la réflexion d axe signifie que : Si M appartient à l axe alors M est confondu avec M. Si M n appartient par à alors est la médiatrice du segment MM. On la note S. NB : A l instar de la translation et de la rotation, la réflexion conserve l alignement, les longueurs et distance, le parallélisme et l orthogonalité. Bref, elle ne déforme pas les figures. APROMARS_Koutiala_2012 4
5 Remarques : L ensemble des points fixes d une réflexion est son axe. La réflexion est appelée dans les classes antérieures par la symétrie axiale ou la symétrie orthogonale. Théorème 4 La réciproque de la réflexion d axe est la réflexion d axe ie S 1 = S Activité 2 Le plan est muni d un repère orthonormé O, I, J. Soit la droite d équation : y = x. Déterminer l expression analytique et l écriture complexe de S. 3 Composition et décomposition d isométries 3.1 Définition et propriété Définition On appelle Identité, on note Id, l application f du plan telle que pour tout point M, f M = M Propriété Le composé de deux isométries est une isométrie. Attention! En général, l ordre de composition des transformations est important, cette opération n est pas commutative : g f f g. 3.2 Composée de deux translations Théorème 5 La composée de deux translation est une translation : t v t w = t v+w 3.3 Composée de deux rotations Théorème 6 Soient r 1 et r 2 deux rotation d angle respectifs θ 1 et θ 2. On a : Si θ 1 + θ 2 0 2π alors r 1 r 2 est une translation. Si θ 1 + θ 2 0 2π alors r 1 r 2 est une rotation d angle θ 1 + θ 2. Démonstration Dans le plan orienté, r 1 et r 2 ont pour écritures complexes respectives z = e iθ 1z + b 1 et z = e iθ 2z + b 2 APROMARS_Koutiala_2012 5
6 Il en résulte que r 1 r 2 a pour écriture complexe z = e iθ 1 z = e iθ 2z + b 2 + b 1 ou encore z = e i θ 1+ θ 2 z + e iθ 1b 2 + b 1. Ainsi, r 1 r 2 a une écriture complexe de la forme z = az + b avec a = 1, c est dont une rotation ou une translation. Par suite : Si θ 1 + θ 2 0 2π, e i θ 1+ θ 2 = 1 et z = z + e iθ 1b 2 + b 1 alors r 1 r 2 est une translation. Si θ 1 + θ 2 0 2π alors r 1 r 2 n est plus une translation, donc c est une rotation d angle θ 1 + θ 2. Remarques Pour situer le centre de r 1 r 2, on sait que : Si θ 1 + θ 2 0 2π alors r 1 r 2 est une rotation d angle θ 1 + θ 2 mais le théorème ne nous donne pas son centre. On peut le situer en cherchant les images A et B par r 1 r 2 de deux points particuliers A et B Illustration graphique Soient r 1 et r 2 deux rotation d angles respectifs θ 1 et θ 2. Soient A et B deux points du plan. On a : r 2 A = A 2, r 2 B = B 2, r 1 A 2 = A et r 1 B 2 = B. Les droites et D sont les médiatrices respectives de AA et BB. Le point Ω,l intersection de et D, est le centre de la rotation r 1 r 2. D Le centre de la rotation sera alors le point d intersection des médiatrices de AA et BB. Si θ 1 + θ 2 0 2π alors r 1 r 2 est une translation. On peut trouver son vecteur en cherchant l image A par r 1 r 2 d un point particuliera. Le vecteur de r 1 r 2 est alors le vecteur AA APROMARS_Koutiala_2012 6
7 3.4 La composée d une rotation et d une translation Théorème 7 Soient t une translation et r une rotation d angle θ tel que θ 0 2π. Alors, t r et r t sont des rotations d angle θ non nul. Démonstration Dans le plan orienté, r et t ont respectivement pour écriture complexe z = e iθ z + b 1 et z = z + b 2 d où celle de r t est z = e iθ z + b 2 + b 1 = e iθ z + e iθ b 2 + b 1. Or θ 0 2π, donc r t est une rotation d angle θ. De façon analogue on montre que t r est une rotation d angle θ. Remarque Pour situer le centre de r t (respectivement t r), on cherche l image A et B de deux points particulier A et B par r t (respectivement par t r). Le centre de la rotation sera alors le point d intersection des médiatrices AA et BB 3.5 Composée de deux réflexions Propriété La symétrie axiale est une application involutive, i.e. pour toute droite D, S D S D = Id Théorème 8 Soient s 1 et s 2 deux réflexions d axe respectifs 1 et 2 de vecteurs directeurs respectifs u 1 et u 2. Si 1 et 2 sont parallèles alors s 1 s 2 est une translation de vecteur 2u tel que t u 2 = 1 Si 1 et 2 sont sécantes en Ω alors s 1 s 2 est une rotation de centre Ω et d angle 2 u 2, u 1 Illustration 1 H 1 H 2 Soient D 1 et D 2 deux droite parallèles et M un point du plan. Si H 1 est le projeté orthogonal de M sur D 1, on a M 1 = S D1 M tel que MM 1 = 2MH 1 = 2H 1 M 1 Si H 2 est le projété orthogal de M 1 sur D 2, on a M 2 = S D2 M 1 tel que M 1 M 2 = 2M 1 M 2 = 2M 1 H 2. D où MM 2 = MM 1 + M 1 M 2 = 2 MH 1 + M 1 H 2 = 2H 1 H 2 APROMARS_Koutiala_2012 7
8 On a un vecteur fixe indépendant de M, ainsi ; S D2 S D1 = t 2H1 H 2. L ordre de la composition est important. On a : S D1 S D2 = t 2H2 H 1 et H 1 H 2 = H 2 H 1 Illustration 2 Soient D 1 et D 2 deux droites concourantes en I et M un point du plan. Soit M 1 = S D1 M et M 2 = S D2 M 1 alors IM = IM 1 = IM 2 et mes IM, IM 2 = mes IM, IM 1 + mes IM 1, IM 2 mes IM, IM 2 = 2 θ 1 + θ 2 est invariante). (la mesure l angle M 2 est donc l image de M par la rotation de centre I et d angle 2θ où θ est la mesure de l angle de droite D 1, D 2 Propriétés Toute translation de vecteur v peut être décomposée d une infinité de façon comme composée de deux réflexions dont les axes sont normaux à v ; l un d eux pouvant être choisi arbitrairement. Toute rotation r d angle θ peut être décomposée, d une infinité de manières différentes possibles, comme s 1 s 2, composée de deux réflexions d axes 1 et 2 sécants au centre de cette rotation et telle que θ = 2 u 2, u 1 avec u 1 et u 2 les vecteurs directeurs respectifs des axes 1 et 2. ( l un des deux axes est choisi arbitrairement) 3.6 Composée d une translation et d une réflexion Cette partie est traitée comme une activité de recherche. Ainsi nous allons essayer de voir le type d isométrie qui se cache derrière les composées t u s et s t u où t u et s sont respectivement la translation de vecteur u non nul et la réflexion d axe. Partons d abord avec t u s puis déduisons s t u. On peut envisager plusieurs cas suivant ce qu est le vecteur de translation par rapport à l axe de la réflexion. Cas 1 : le vecteur u est vecteur normal de Soit l image de la droite par la translation de vecteur 1 2 u. 1 2 u u APROMARS_Koutiala_2012 8
9 Ainsi on a : t u s = s s s = s s s = s s s = s Id = s Par suite t u s = s Donc t u s est réflexion d axe. D une manière analogue, en remplaçant par image de la droite par la translation de vecteur 1 2 u, on montre que s t u est aussi réflexion d axe. Conclusion Lorsque le vecteur de translation est normal à l axe de la réflexion, la composée de cette translation par de cette réflexion ( ou cette réflexion par cette translation) est une autre réflexion dont l axe est parallèle au premier. Cas 2 : le vecteur u est un vecteur directeur de Jusqu à ce moment les isométries que nous connaissons sont soit une rotation soit une translation ou une réflexion. Dans notre cas s t u (ou t u s ) est elle une rotation? une translation? ou une réflexion? On peut reformuler cette question par : la composée s t u admet-elle au moins un point fixe? Supposons que s t u admette au moins un point fixe F. Soit F l image de F par la translation t u. D où FF = u, F et F sont distinct puisque u est non nul. On a : s t u F = F et t u F = F s F = F. Il en résulte que est la mediatrice de FF. Si F est sur l axe alors F = F. Ce qui est absurde car F et F sont distincts. Supposons que F n est pas sur u étant un vecteur directeur de, les vecteurs u et FF sont orthogonaux. Ce qui est aussi absurde car nous avions montré que ces deux vecteurs était égaux. Ces absurdités nous permettent de dire que s t u n est ni une rotation (un point fixe qui est son centre), ni une réflexion (les points fixes sont ceux de l axe de la réflexion). Ceci étant, nous pouvons relancer l analyse en essayant de répondre à la question suivante : s t u est-elle une translation? Plaçons nous dans la situation suivante : A et B sont deux points du plan tels que B appartienne à et que A ne l appartienne pas. Soient A et B leurs images respectives par la translation de vecteur u. Appelons A l image de A par s. On a : s t u A = A et s t u B = B u APROMARS_Koutiala_2012 9
10 Par suite AA = AA + A A = u + A A = BB + A A BB Donc s t u n est pas une translation sinon on aurait AA = BB. Nous pouvons donc conclure que s t u n est ni une translation, ni une rotation, ni réflexion. Cette nouvelle isométrie est appelée symétrie glissée. Activité : la composition est rarement commutative. Montrer que dans notre cas s t u = t u s Démonstration (voir annexe) Nous devons montrer que pour tout point A, on a : t u s A = s t u A Possibilité 1 : A Soit A l image de A par t u. On a : s t u A = s A = A et t u s A = t u A = A. Donc pour tout point A de l axe, t u s A = s t u A. Possibilité 2 : A Soient B, A et A deux points tels que s A = B, t u A = A et s A = A On a : s t u A = A. Nous devons montrer que t u B = A. Le vecteur u étant un vecteur directeur de, les droites AA et IJ sont parallèles. De plus, les droites AI et A J étant perpendiculaires à l axe, elle sont parallèles. Il en résulte que le quadrilatère AA JI est un parallélogramme. D où AA = u = IJ et AI = A j Comme I et J sont les milieux respectifs des segments AB et AA, on a : IB = AI = A j = JA. Par suite : IJA Best un parallélogramme, d où BA = IJ = u Donc t u B = A. Par conséquent t u s A = A. On peut donc conclure que pour point A, on a : t u s A = s t u A Cas 3 : le vecteur u n est pas un vecteur directeur de et n y est pas normal Le vecteur u peut être vu comme étant la somme d un vecteur directeur v de et de l un de ses vecteurs normaux w. Par suite, on a : t u = t v t w = t w t v s t u = s t w t v = s t w t v = s t v APROMARS_Koutiala_
11 En effet w étant normal à, s t w est une réflexion d axe qui parallèle à. En plus v étant un vecteur directeur de, il est aussi un vecteur directeur de. Par conséquent : s t v est une symétrie glissée. On peut conclure que si le vecteur u n est pas un vecteur directeur de et n y est pas normal alors s t u est une symétrie glissée. De même : t u s = t v t w s = t v t w s w est normal à c estune réflexion d axe parall èle à = t v s v est parall èle à c estune symetrie gliss ée On peut donc résumer que la composée réflexion et d une translation est soit une autre réflexion d axe parallèle (lorsque le vecteur de translation est normal à l axe de symétrie) soit symétrie glissée. 3.7 Composée d une rotation et d une réflexion Considérons la rotation r A,α et la réflexion s. On suppose que l angle α 0 2π. r A,α peut être vue comme une composée de deux réflexions s D et s D dont les axes sont sécants en A et dont l angle orienté D; D mesure 1 2 α. Nous choisissons la droite D tel que D alors on a : r A,α s = s D s D s = s D s D s Axes parall èles c estune translation de vecteur u normal aux axes = s D t u u n estnormal à D c est une symetrie glis sée Avec un raisonnement analogue on montre que est s r A,α aussi une symétrie glissée. On peut donc conclure que la composée d une rotation et d une réflexion est une symétrie glissée. Attention! la symétrie glissée s t u n est pas nécessairement la symétrie glissée t u s. (voir annexe) Théorème 9 L ensemble des isométries est formé de l identité, des translations, des réflexions, des rotations et des symétries glissées. Toutes isométries peut se décomposer en produit de réflexions. Remarque Un déplacement est la composée d un nombre pair de réflexion et un antidéplacement d un nombre impair de réflexion. APROMARS_Koutiala_
12 3.8 Reconnaissance des isométries selon le nombre de points invariants Théorème 10 Soit f une isométrie du plan Si f admet trois points invariants, non alignés, alors f = Id Si f est différente de Id et admet deux points invariants, distincts, A, B, alors f est une symétrie d axe AB. Si f admet un seul point invariant alors f est une rotation de centre ce point. Si f n admet aucun point invariant alors f est une translation ou une symétrie glissée. Activité-bilan A la fin de ce voyage, on pourrait faire l inventaire des espèces dans le fameux pays des isométries. Quels les espèces dans le pays? Quels les particularités de chacune des espèces? Exercice 1 Exercices On donne deux points distincts O 1 et O 2 et deux angles α 1 et α 2. Soient r 1 et r 2 deux rotations de centre respectifs O 1, O 2 et d angles orientés respectifs α 1, α 2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de r 2 r 1. Exercice 2 Soit t u la translation de vecteurs u et r A,α la rotation de centre A et d angle α. Déterminer la composée t u r A,α. Exercice 3 Soit ABC un triangle isocèle en A et r la rotation de centre A et d angle α = AB, AC. A tout point M, distinct de B et C, on associe le point M tel que : M = r M. 1) Démontrer que : Mes MC, M C Mes MC, MB + α π 2) En déduire le lieu des points M tels que les points C, M et M soient alignés. Exercice 4 Le plan est muni du repère orthonormé O, i, j. Soient : x y = 1 : y = 2 et D : x + y = 1, déterminer la nature et les éléments caractéristiques de s s D et s s D. APROMARS_Koutiala_
13 Annexe u est un vecteur directeur de fig_s t u fig_t u s. APROMARS_Koutiala_
Représentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailSi deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailCorrection : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailLa géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détail5 ème Chapitre 4 Triangles
5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailNombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation
1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailDevoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés :
LM323 Envoi 2 2009-2010 Contenu de cet envoi Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigé du devoir 1. Un exercice de révision sur le chapître 1. Exercices sur l inversion. Corrigés
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailCONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En
Plus en détailCompter à Babylone. L écriture des nombres
Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailSTATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détailChapitre 2 : Vecteurs
1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailTriangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailLes droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites
I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailSéquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire
Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailEXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2
EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailPROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Plus en détailSéquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire
Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailCOURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
Plus en détailDurée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
Plus en détailPEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?
PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une
Plus en détailExercice numéro 1 - L'escalier
Exercice numéro 1 - L'escalier On peut monter un escalier une ou deux marches à la fois. La figure de droite montre un exemple. 1. De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de une marche?
Plus en détailPriorités de calcul :
EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailCours de mathématiques Première année. Exo7
Cours de mathématiques Première année Eo7 2 Eo7 Sommaire Logique et raisonnements 9 Logique 9 2 Raisonnements 4 2 Ensembles et applications 9 Ensembles 20 2 Applications 23 3 Injection, surjection, bijection
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailExercices de géométrie
Exercices de géométrie Stage olympique de Bois-le-Roi, avril 2006 Igor Kortchemski Exercices vus en cours Exercice 1. (IMO 2000) Soient Ω 1 et Ω 2 deux cercles qui se coupent en M et en N. Soit la tangente
Plus en détailL ALGORITHMIQUE. Algorithme
L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailMais comment on fait pour...
Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition
Plus en détailDeux disques dans un carré
Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailLe contexte. Le questionnement du P.E.R. :
Le contexte Ce travail a débuté en janvier. Le P.E.R. engagé depuis fin septembre a permis de faire émerger ou de réactiver : Des raisons d être de la géométrie : Calculer des grandeurs inaccessibles et
Plus en détailDate : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détailChapitre 14. La diagonale du carré
Chapitre 4 La diagonale du carré Préambule Examinons un puzzle tout simple : on se donne deux carrés de même aire et on demande, au moyen de quelques découpages, de construire un nouveau carré qui aurait
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailCorrigé Exercice 1 : BRIDE HYDRAULIQUE AVEC HYPOTHÈSE PROBLÈME PLAN.
TD 6 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 1/1 Corrigé Exercice 1 : BRIDE HYDRAULIQUE AVEC HYPOTHÈSE PROBLÈME PLAN. Question : Réaliser le graphe de structure, puis compléter
Plus en détail4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE
4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Introduction. 1. 1 Justication historique. La résolution de l'équation du degré (par la méthode de Cardan) amena les mathématiciens italiens du seizième 3ème siècle
Plus en détailGéométrie dans l espace
Géométrie dans l espace Mabrouk Brahim Université Virtuelle de Tunis 2007 Ce cours a pour objet la présentation des différents concepts de la géométrie de l espace comme une continuation de ceux vus en
Plus en détail