Géométrie Plane. Introduction

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1 Géométrie Plane Introduction La géométrie est une branche des mathématiques primordiale dans l'enseignement secondaire. Une initiation à ce domaine débute dès l'école primaire, pour ensuite être étudié de la classe de sixième à la terminale. Le terme géométrie dérive du grec de geômetrês qui signifie «géomètre, arpenteur» et vient de gê «terre» et métron «mesure». Ce serait donc «la science de la mesure du terrain». Place du thème dans les programmes. Ecole primaire : Géométrie perceptive et instrumentée.. Collège : Sixième : Etude des triangles usuels et de figures planes avec notions de parallélisme et de perpendicularité, du cerle, caractérisation des quadrilatères usuels par des propriétés. Découverte d'une transformation géométrique, la symétrie axiale. Cinquième : Reprise du programme de sixième. Nouveautés : parallélogramme, cercle circonscrit à un triangle, symétrie centrale. Quatrième : Reprise des programmes antérieurs. Nouveautés : Théorème de Pythagore, théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d'un triangle, agrandissement et réduction. Troisième : Reprise du programme de 4 e sur agrandisseme et réduction. Relations trigonométriques dans un triangle rectangle, configuration de Thalès, polygônes réguliers.. Lycée : Seconde : La finalité est l'étude de problème dont la résolution repose sur des calculs de distance, la démonstration d un alignement de points ou du parallélisme de deux droites, la recherche de l'intersection de deux droites, en mobilisant des techniques de la géométrie plane repérée. Découverte des vecteurs.

2 Première : Produit scalaire, cercle trigonométrique, vecteur directeur, condition de colinéarité de vecteurs, expression d'un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires, équation cartésienne de droite. Terminale : Nombres complexes. L'exercice proposé par le jury C'est un exercice de géométrie plane s'adressant à des élèves en classe de quatrième. L'exerice fait appel au théorème de Pythagore, philosophe et mathématicien grec du VI e s. a.v. J-C, ainsi qu'à sa réciproque. Les élèves doivent utiliser le théorème dans le calcul de la longueur de la diagonale d'une feuille de format A4 et sa réciproque pour déterminer si une feuille de dimensions données est ou non de format A4. Ainsi l'exercice aspire à une application du théorème, mais revêt également une réflexion sur la logique et sur la question «qu'est-ce que le format A4»? Plan de la présentation : 1) Analyse des Productions des Elèves. 2) Correction de l'exercice. 3) Proposition d'exercices sur le Thème. 1) Analysez les productions des élèves. Elève 1 : 1) Pas de calcul, pas d'utilisation du théorème. Probablement mesuré avec la règle ou repris la valeur de l'énoncé pour la diagonale. Seulement fait un dessin en reportant les longueurs. 2) Aucune justification. Il se content de déclarer que c'est bien feuille A4. Elève 2 : 1) Sa réponse décontenance. 4 diagonales? Peut-être les a-t-il orienté. Il a trouvé deux mesures différentes, l'une étant un arrondi correcte, l'autre une troncature. On ne sait pas comment il les a trouvé. 2) Ayant trouvé une mesure identique à celle de l'énoncé et l'autre proche, il affirme

3 que c'est presque une feuille A4 et que c'est donc bon sans plus de justifications. Elève 3 : 1) Bon calcul, bon théorème, mais calcul direct, aucunes précisions. Erreur de calcul, 29² et non 29,7². Sinon, bon arrondi et bon raisonnement. 2) Conclut avec un schéma et se trompe en reportant sa valeur trouvée sur la diagonale et non celle de l'énoncé. Sur le fond réponse correct, pas feuille A4, p-e un parallélogramme, mais d'avantage de justification n'étaient pas de trop. Elève 4 : 1) Précis, réponse correcte, bonne rédaction. Illustre avec un schéma et cite le th. 2) Cite bien la réciproque du th. et conclut correctement, excepté un petit lapsus, une feuille A4 étant rectangulaire et non carrée. En effet, au lieu de dire que le triangle n'est pas rectangle ou qu'il n'y a pas d'angle droit, ou que la feuille n'est pas rectangulaire, il dit qu'elle n'est pas carrée. On peut également souligner, que l'élève compare la valeur de l'énoncé avec sa valeur arrondie et non avec la valeur exacte (ou l'arrondie de la machine). Elève 5 : 1) Représente avec un schéma. Un peu rapide, pas de rédaction, mais réponse juste. Pas d'homogénéité dans sa réponse en rajoutant l'unité à la fin du calcul. Parle de l'égalité de Pythagore, précise bien le triangle et où est l'angle droit. 2) Rédige à l'envers : il écrit que AB²+ AD² = BD² au lieu de regarder si AB²+ AD² est égal à BD². Problème de rédaction, il écrit que deux nombres sont égaux, puis juste après que non. Il parle encore d'égalité de Pythagore et non de la réciproque. Bonne conclusion 36,3² 21² + 29,7². A noter : certains élèves parlent d'égalité, d'autres de théorème de Pythagore. 2) Corrigez cet exercice comme vous le feriez devant une classe dont vous préciserez le niveau. Au tableau.

4 3) Proposez deux ou trois exercices sur le thème Géométrie Plane. Exercice : Troisième 1) Merry souhaite connaître la hauteur d'un arbre en mètre. Il parvient à mesurer la hauteur de la branche la plus basse, puis la distance du pied de l'arbre à l'ombre de cette branche et enfin la distance de cette ombre à l'ombre du sommet. Il obtient respectivement les mesures suivantes : 120cm, 150cm et 600cm. Quelle est la hauteur de cette arbre? 2) Pippin voudrait-lui connaître la profondeur en mètre d'un puit. Le diamètre de celui-ci est de 120cm. En se plaçant à 0,5m du bord, Pippin peut aligner son œil, situé à 110cm du sol, avec le bord du puits et le coin opposé du fond du puits. Quelle est la profondeur en mètre du puits? Cet exercice permet de fonctionnaliser le théorème de Thalès. Il peut également amener à une shématisation de la situation. Petit bonus : conversion simple d'unité. Exercice : Seconde ABCD est un carré et EAB et FBC sont deux triangles équilatéraux. Un élève rencontre cette disposition lors d un cours de maths, et déclare que les points D,E et F sont alignés. Prouvez-le! Cet exercice, grand classique de démonstration d'alignement de points, peut être résolu de façons diverses et variées, et peut être proposé à plusieurs niveaux de scolarité.

5 Exercice : Première S Soit ABCD un carré de côté 1. Soit I le milieu de [AB], J celui de [BC]. Montrer que les droites DI et AJ sont orthogonales. Exercice permettant de démontrer un résultat particulier, non trivial, à savoir une orthogonalité dans une figure connue depuis le primaire, le carré. Le résultat peut se démontrer de plusieurs façons.