Chapitre 7 Les fonctions

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 7 Les fonctions"

Transcription

1 Chapitre7 Lesfonctions 1 Les relations Une relation d'un ensemble A vers une ensemble B établit un lien entre certains éléments de A et certains éléments de B (d'après le livre "Des situations pour apprendre", page 193). Une relation d'un ensemble A vers une ensemble B est définie par un ensemble de couples (x, y) où x A et y B. Dans un tel couple, y est appelé l'image de x. Dans cette relation, A est appelé l'ensemble de départ et B est appelé l'ensemble d'arrivée. On peut représenter une relation par un diagramme sagittal, c'est-à-dire par un ensemble de flèches dont chacune va d'un élément de A à un élément de B. Exercices 1) Soit A = {1; 3; 5} et B = {2; 4; 6} et la relation r = "est plus grand que". a) Etablir le diagramme sagittal de la relation r. b) Etablir l'ensemble des couples qui définit la relation r. c) Soit D = l'ensemble des éléments de A qui ont au moins une image par r. Ecrire D en extension, ce qui signifie écrire tous ses éléments entre accolades, et représenter D sur le diagramme ci-dessus. d) Soit I = l'ensemble des éléments de B qui sont l'image par r d'au moins un élément de A. Ecrire I en extension, ce qui signifie écrire tous ses éléments entre accolades, et représenter I sur le diagramme ci-dessus. 2) Voici trois relations de l'ensemble R des réels vers R lui-même : r 1 = "a comme carré" r 2 = "a comme racine carrée" r 3 = "est le carré de". Chaque relation est définie par un ensemble de couples (x,y). a) Traduire chacune des trois relations par une équation liant x à y. b) Dans chacun des trois cas, représenter dans le plan x, y la courbe ayant comme équation l'équation obtenue en a).

2 Corrigé 2 1) a) b) Ensemble des couples qui définit la relation r : {(3; 2); (5; 2); (5; 4)}. c) D = {3; 5}. d) I = {2; 4}. 2) a) Si (x, y) est un couple de r 1, x a comme carré y donc x 2 = y ou y = x 2. Si (x, y) est un couple de r 2, x a comme racine carrée y donc x = y ou y = x. Si (x, y) est un couple de r 3, x est le carré de y donc x = y 2. b) Relation r 2 = "a comme racine carrée". Relation r 1 = "a comme carré". Relation r 3 = "est le carré de".

3 Fonctions 3 Définition Une fonction de A vers B est une relation de A vers B telle que tout élément de A soit l'origine d'un couple au plus de cette relation. Autrement dit, une relation f de A vers B est une fonction si et seulement si, x A, - soit x a une image unique par f; - soit x n'a aucune image par f. Domaine de définition d'une fonction Si f est une fonction de A vers B, si a A, f est définie en a si a possède une image par f. L'ensemble des éléments de A en lesquels f est définie est le domaine de définition de f. On l'appelle aussi le domaine de f. On le note dom f. Ensemble-image Si f est une fonction, l'ensemble-image de f est l'ensemble des images par f. On le note im f. Fonction dans R Une fonction de R vers R est appelée une fonction dans R. On la note f : x f(x). f(x) est appelée l'expression analytique de f. Graphe d'une fonction Le graphe d'une fonction f : x f(x) est, dans le plan x, y, l'ensemble des points (x; f(x)). C'est donc la courbe d'équation y = f(x). On le note G f. G f y = f(x) Exercices 3) a) La relation r de l'exercice 1) est-elle une fonction? Pourquoi? b) Trouver une autre relation de A vers B, qui soit une fonction. 4) a) Parmi les 3 relations de l'exercice 2), lesquelles sont des fonctions et pourquoi? Ce qui suit ne concerne que celles qui sont des fonctions. b) Quel est leur domaine de définition? c) Quel est leur ensemble-image? d) Quelle est leur expression analytique? e) Quel est leur graphe?

4 5) Voici quatre courbes. Pour chacune d'elles, répondre aux questions ci-dessous. 4 Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3 Courbe 4 a) Cette courbe est-elle le graphe d'une fonction et pourquoi? Si oui, b) Quel est le domaine de définition de cette fonction? c) Quel est son ensemble-image?

5 7 8) Placer ces quelques points du graphe G f de la fonction f : x x 3 et esquisser ce graphe. x x

6 Corrigé 12 3) a) La relation r de l'exercice 1) n'est pas une fonction car 5 a deux images : 2 et 4. b) Fonction de A vers B : f : x x+1 Autre fonction de A vers B : g: x 2x

7 4) r 1 = "a comme carré". 13 a) r 1 est une fonction car aucun nombre n'a plus d'un carré. b) dom r 1 = R car tout nombre a un carré. c) im r 1 = [ 0; car un carré est un nombre positif ou nul et tout nombre positif ou nul est un carré de nombre réel. d) Expression analytique : r 1 (x) = x 2. e) Graphe : r 2 = "a comme racine carrée". a) r 2 est une fonction car aucun nombre n'a plus d'une racine carrée. b) dom r 2 = [ 0; car tout nombre positif ou nul a une racine carrée et aucun nombre négatif n'a de racine carrée. c) im r 2 = [ 0; car une racine carrée est un nombre positif ou nul et tout nombre positif ou nul est une racine carrée de nombre réel. d) Expression analytique : r 2 (x) = x. e) Graphe : r 3 = "est le carré de". a) r 3 n'est pas une fonction car les nombres positifs sont les carrés de deux nombres. Exemple : si x = 4, y = 2 ou y = 2 car 4 est à la fois le carré de 2 et le carré de 2.

8 5) Courbe 1 14 a) C'est le graphe d'une fonction car aucune valeur de x n'a plus d'une image. Notons f 1 cette fonction. b) dom f 1 = [ 4; 4]. c) im f 1 = [ 2; 2]. Courbe 2 a) C'est le graphe d'une fonction car aucune valeur de x n'a plus d'une image. Notons f 2 cette fonction. b) dom f 2 = [ 5; 1] [1; 5]. c) im f 2 = [ 2; 2]. Courbe 3 a) Ce n'est pas le graphe d'une fonction car toute valeur de x comprise entre 1 et 1 a deux images.

9 Courbe 4 15 a) C'est le graphe d'une fonction car aucune valeur de x n'a plus d'une image. Notons f 4 cette fonction. b) dom f 4 = [ 5; 1] [1; 5]. c) im f 4 = [ 1; 1]. Détermination graphique du domaine et de l'ensemble-image On détermine dom f en projetant G f sur l'axe des x. On détermine im f en projetant G f sur l'axe des y.

10 18 8) Fonction f : x x 3. x x Graphe G f y = x 3

11 10) Fonction f : x 1/x (suite). Graphe G f y = 1 x 21 12) Fonction f : x x (suite). Graphe G f y = x

12 11) Fonction f : x tan(x) (suite). 22 Graphe G f y = tan(x)

13 Fonctions usuelles Cube f : x f(x) = x 3 25 Carré f : x f(x) = x 2 Racine carrée f : x f(x) = x Valeur absolue f : x f(x) = x Racine cubique 3 f : x f(x) = x

14 Identité f : x f(x) = x Inverse f : x f(x) = 1 x 26 Constante f : x f(x) = k k Cosinus f : x f(x) = cosx Sinus f : x f(x) = sinx Tangente f : x f(x) = tanx. Voir exercices 11) et 13).

15 Manipulations de fonctions 27 On a une fonction f : x f(x) et son graphe G f. On fait subir à G f une transformation géométrique, de manière à obtenir un nouveau graphe, G g. Question : quelle est la fonction g : x g(x) dont G g est le graphe? 1) Translations de graphe a) Cas général P (x; y) G g y = g(x) v (v x ; v y ) P 0 (x 0 ; y 0 ) G f y = f(x) G f subit une translation de vecteur v (v x ; v y ). Soit P 0 (x 0 ; y 0 ) un point de G f. La translation l'applique sur un point P(x; y) de G g. v = P 0 P v x = x x 0 v y = y y 0 donc P 0 est un point de G f donc y 0 = f(x 0 ) y v y = f( x v x ) x 0 = x v x y 0 = y v y y = f( x v x ) + v y Mais P est un point de G g donc En comparant ces dernières égalités, on a y = g(x) g(x) = f( x v x ) + v y Si G g est l'image de G f par une translation de vecteur v (v x ; v y ), alors g(x) = f( x v x ) + v y et réciproquement.

16 Exemple : fonctions dont le graphe est une parabole. 28 G f y = ax 2 G g y = a(x x S ) 2 + y S P (x, y) P 0 (x 0, y 0 ) S (x S, y S ) v (v x ; v y ) S 0 (0, 0) Soit la fonction f : x f(x) = ax 2. Son graphe G f est une parabole de directrice horizontale et de sommet S 0 (0, 0). Soit G g le graphe obtenu à partir de G f par une translation de vecteur v (v x ; v y ). D'après ce qui précède, G g est le graphe d'une fonction g : x g(x) telle que donc g(x) = f( x v x ) + v y g(x) = a( x v x ) 2 + v y [Attention aux notations : f( x v x ) est l'image par la fonction f de ( x v x ), a x v x est le produit du nombre a par le carré de ( x v x ). Le contexte permet de distinguer les deux cas. On sait ici que f est une fonction et a un nombre.] La translation applique S 0 (0, 0) sur S(x S, y S ). Donc v = S 0 S et ( ) 2 v x = x S 0 = x S v y = y S 0 = y S donc g(x) = a( x x S ) 2 + y S Nous retrouvons ici le résultat obtenu dans le chapitre consacré aux paraboles : l'équation d'une parabole P de directrice horizontale et de sommet S(x S, y S ) est P y = a(x x S ) 2 + y S car cette parabole P n'est autre que le graphe G g de la fonction g.

17 b) Translation de k vers la droite (k > 0) 29 P 0 (x 0 ; y 0 ) v (k; 0) G f y = f(x) P (x; y) G g y = f( x k) Une translation de k vers la droite a comme vecteur v (k; 0). Si elle transforme G f en G g, g(x) = f( x v x ) + v y g(x) = f( x k) + 0 g(x) = f( x k) Si G g est l'image de G f par une translation de k vers la droite, alors g(x) = f( x k) et réciproquement. c) Translation de k vers la gauche (k > 0) P (x; y) v ( k; 0) P 0 (x 0 ; y 0 ) G g y = f( x + k) G f y = f(x) Une translation de k vers la gauche a comme vecteur v ( k; 0). Si elle transforme G f en G g, g(x) = f( x v x ) + v y g(x) = f( x ( k)) + 0 g(x) = f( x + k) Si G g est l'image de G f par une translation de k vers la gauche, alors g(x) = f( x + k) et réciproquement.

18 d) Translation de k vers le haut (k > 0) 30 P (x; y) v (0; k) P 0 (x 0 ; y 0 ) G g y = f(x) + k G f y = f(x) Une translation de k vers le haut a comme vecteur v (0; k). Si elle transforme G f en G g, g(x) = f( x v x ) + v y g(x) = f( x 0) + k g(x) = f( x) + k Si G g est l'image de G f par une translation de k vers le haut, alors g(x) = f( x) + k et réciproquement. e) Translation de k vers le bas (k > 0) P 0 (x 0 ; y 0 ) v (0; k) P (x; y) G f y = f(x) G g y = f(x) k Une translation de k vers le bas a comme vecteur v (0; k). Si elle transforme G f en G g, g(x) = f( x v x ) + v y g(x) = f( x 0) + ( k) g(x) = f( x) k Si G g est l'image de G f par une translation de k vers le bas, alors g(x) = f( x) k et réciproquement.

19 2) Etirements et contractions de graphe 31 a) Etirement d'un facteur k autour de l'axe des x (k > 1) Un étirement d'un facteur k autour de l'axe des x transforme G f en G g. Le point P 0 (x 0 ; y 0 ) de G f est transformé en le point P (x; y) : P (x; y) P0 (x 0 ; y 0 ) G g y = kf(x) x x = x 0 = x 0 y = ky 0 y 0 = y k P 0 est un point de G f donc y 0 = f(x 0 ) y k = f x ( ) y = kf( x) Mais P est un point de G g donc y = g(x) G f y = f(x) En comparant ces dernières égalités, on a g(x) = kf( x) Si G g est l'image de G f par étirement d'un facteur k autour de l'axe des x, alors g(x) = kf( x) et réciproquement. b) Contraction d'un facteur k autour de l'axe des x (k > 1) P (x; y) P 0 (x 0 ; y 0 ) G g y = f(x) k G f y = f(x) Une contraction d'un facteur k autour de l'axe des x transforme G f en G g. Le point P 0 (x 0 ; y 0 ) de G f est transformé en le point P (x; y) : x = x 0 y = y x 0 = x 0 y 0 = ky k En adaptant le raisonnement précédent, on obtient g(x) = f( x) k Si G g est l'image de G f par contraction d'un facteur k autour de l'axe des x, alors ( ) g(x) = f x et réciproquement. k

20 c) Etirement d'un facteur k autour de l'axe des y (k > 1) 32 P 0 (x 0 ; y 0 ) P (x; y) G f y = f(x) G g y = f x k Un étirement d'un facteur k autour de l'axe des y transforme G f en G g. Le point P 0 (x 0 ; y 0 ) de G f est transformé en le point P (x; y) : P 0 est un point de G f donc y 0 = f(x 0 ) x = kx 0 y = y 0 x 0 = x k y 0 = y y = f x k Mais P est un point de G g donc y = g(x) En comparant ces dernières égalités, on a g(x) = f x k Si G g est l'image de G f par étirement d'un facteur k autour de l'axe des y, alors g(x) = f x k et réciproquement. d) Contraction d'un facteur k autour de l'axe des y (k > 1) P (x; y) P 0 (x 0 ; y 0 ) G g y = f( kx) G f y = f(x) Une contraction d'un facteur k autour de l'axe des y transforme G f en G g. Le point P 0 (x 0 ; y 0 ) de G f est transformé en le point P (x; y) : x = x 0 x 0 = kx k y y = y 0 = y 0 En adaptant le raisonnement précédent, on obtient g(x) = f( kx) Si G g est l'image de G f par contraction d'un facteur k autour de l'axe des y, alors g(x) = f( kx) et réciproquement.

21 3) Symétries de graphes 33 a) Symétrie par rapport à l'axe des y P (x; y) P 0 (x 0 ; y 0 ) G g y = f( x) G f y = f(x) Une symétrie par rapport à l'axe des y transforme G f en G g. Le point P 0 (x 0 ; y 0 ) de G f est transformé en le point P (x; y) : P 0 est un point de G f donc y 0 = f(x 0 ) y = f( x) x = x 0 y = y 0 x 0 = x y 0 = y Mais P est un point de G g donc y = g(x) En comparant ces dernières égalités, on a g(x) = f( x) Si G g est l'image de G f par une symétrie par rapport à l'axe des y, alors g(x) = f( x) et réciproquement. b) Symétrie par rapport à l'axe des x P 0 (x 0 ; y 0 ) G f y = f(x) Une symétrie par rapport à l'axe des x transforme G f en G g. Le point P 0 (x 0 ; y 0 ) de G f est transformé en le point P (x; y) : x = x 0 x 0 = x y = y 0 y 0 = y En adaptant le raisonnement précédent, on obtient g(x) = f( x) P (x; y) G g y = f( x) Si G g est l'image de G f par une symétrie par rapport à l'axe des x, alors g(x) = f( x) et réciproquement.

22 c) Symétrie par rapport à l'origine 34 P 0 (x 0 ; y 0 ) G f y = f(x) G g y = f( x) P (x; y) Une symétrie par rapport à l'origine transforme G f en G g. Le point P 0 (x 0 ; y 0 ) de G f est transformé en le point P (x; y) : P 0 est un point de G f donc y 0 = f(x 0 ) Mais P est un point de G g donc y = f( x) y = f( x) y = g(x) x = x 0 y = y 0 x 0 = x y 0 = y En comparant ces dernières égalités, on a g(x) = f( x) Si G g est l'image de G f par une symétrie par rapport à l'origine, alors g(x) = f( x) et réciproquement. Exercices 14) Voici le graphe d'une fonction f : x f(x). Représenter sur papier quadrillé les graphes de g : x g(x) = f(x/2) h : x h(x) = f(x) + 2 i : x i(x) = f( x) j : x j(x) = f(2x) k : x k(x) = f(x + 2) l : x l(x) = f( x) m : x m(x) = 2f(x)

23 15) Voici le graphe d'une fonction g : x g(x). Exprimer g(x) à l'aide d'une fonction usuelle. 35 a) b) c) d) e) f)

24 g) 36 h) i) j) k) 16) a) Si f(x) = x 3 + cos(x), f(x 2) + 7 = b) Si f(x 3) = x , f(x) = x 3 c) Si f(x + 2) =1+ x 2 + sinx, f(x) 1=

25 37 d) Si f(x) = cos(x) + sin(x 1), f(x + 1) = e) Si f(x) = 3, f(5x) = f) Si f(x) = x 3, f(2x) = g) Si f(3x) = cos(3x) + 3x, f(x) = h) Si f(x) = x 3, f(x) + 1 = 17) Dans les graphiques suivants sont représentés : 3 - en pointillés le graphe G f de la fonction f : x f(x) = x, - en trait plein le graphe d'une nouvelle fonction, obtenu par une transformation de G f. Déterminer dans chaque cas l'expression analytique de la nouvelle fonction. a) a : x a(x) b) b : x b(x)

26 c) c : x c(x) 38 d) d : x d(x) e) e : x e(x) 18) Soit f : x f(x) = x. Représenter le graphe de a : x a(x) = 2f(x) b : x b(x) = f(2x) c : x c(x) = f(x +1) d : x d(x) = f(x) +1 e : x e(x) = f( x) g : x g(x) = f(x)

27 Corrigé des exercices 39 14) Dans chaque graphique, le graphe de f est représenté en trait fin en pointillé et le graphe de la nouvelle fonction (g, h, i, j, k, l, ou m) en trait épais et plein. g : x g(x) = f(x/2) h : x h(x) = f(x) + 2 i : x i(x) = f( x)

28 j : x j(x) = f(2x) k : x k(x) = f(x + 2) 40 l : x l(x) = f( x) m : x m(x) = 2f(x)

29 15) Expression de g(x) à l'aide d'une fonction usuelle. 41 a) Fonction usuelle : f : x f(x) = x 2. G f est transformé en G g par une translation de vecteur v (3; 2). ( ) + v y ( ) + 2 ( ) g(x) = f x v x = f x 3 = x 3 = x 2 6x = x 2 6x +11 v x = 3 v y = 2. b) Fonction usuelle : f : x f(x) = x. G f est transformé en G g par une translation de vecteur v (3; 2). ( ) + v y ( ) + 2 g(x) = f x v x = f x 3 = x v x = 3 v y = 2.

30 42 c) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g par un étirement d'un facteur 2 autour de l'axe des x. g(x) = 2f(x) = 2cos(x) d) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g par une symétrie par rapport à l'axe des x. g(x) = f(x) = cos(x) e) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g par une contraction d'un facteur 2 autour de l'axe des y. g(x) = f(2x) = cos(2x) f) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g par un étirement d'un facteur 2 autour de l'axe des y. g(x) = f(x/2) = cos(x/2)

31 g) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g à la fois par un étirement d'un facteur 2 autour de l'axe des y et par un étirement d'un facteur 2 autour de l'axe des x. g(x) = 2f(x/2) = 2cos(x/2) 43 h) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g à la fois par une contraction d'un facteur 2 autour de l'axe des y et par un étirement d'un facteur 2 autour de l'axe des x. g(x) = 2f(2x) = 2cos(2x) i) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g par une translation de 1 vers le haut. g(x) = f(x) + 1 = cos(x) + 1 j) Fonction usuelle : f : x f(x) = sin(x) G f est transformé en G g par une translation de 1 vers le haut. g(x) = f(x) + 1 = sin(x) + 1

32 44 k) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g à la fois par une contraction d'un facteur 2 autour de l'axe des y et par une symétrie par rapport à l'axe des x. g(x) = f(2x) = cos(2x) 16) a) Si f(x) = x 3 + cos(x), f(x 2) + 7 = ( x 2) 3 + cos(x 2) + 7 b) Si f(x 3) = x x 3 + 2, f(x) = x + 1 x + 2 c) Si f(x + 2) =1+ x 2 + sinx, f(x + 2) =1+ ( x + 2 2) 2 + sin( x + 2 2), f(x) =1+ ( x 2) 2 + sin( x 2), f(x) 1=1+ ( x 2) 2 + sin( x 2) 1 = ( x 2) 2 + sin( x 2) = x 2 2x sin( x 2) d) Si f(x) = cos(x) + sin(x 1), f(x + 1) = cos(x + 1) + sin(x + 1 1) = cos(x + 1) + sin(x) e) Si f(x) = 3, f(5x) = 3 f) Si f(x) = x 3, f(2x) = (2x) 3 = 8x 3 g) Si f(3x) = cos(3x) + 3x, f(x) = cos(x) + x h) Si f(x) = x 3, f(x) + 1 = x 3 + 1

33 3 17) Fonctions dont le graphe est transformé du graphe G f de f : x f(x) = x, 45 a) a : x a(x) G f est transformé en G a par un étirement d'un facteur 2 autour de l'axe des x. Par exemple, le point (8; 2) de G f est transformé en le point (8; 4) de G a ; le point (1; 1) de G f est transformé en le point (1; 2) de G a. 3 a(x) = 2f(x) = 2 x b) b : x b(x) G f est transformé en G b par une contraction d'un facteur 2 autour de l'axe des y. Par exemple, le point (8; 2) de G f est transformé en le point (4; 2) de G b ; le point (1; 1) de G f est transformé en le point (1/2; 1) de G b. b(x) = f(2x) = 3 2x

34 c) c : x c(x) 46 G f est transformé en G c par une symétrie par rapport à l'axe des x. Par exemple, le point (8; 2) de G f est transformé en le point (8; 2) de G c ; le point (1; 1) de G f est transformé en le point (1; 1) de G c. 3 c(x) = f(x) = x d) d : x d(x) v x = 2 G f est transformé en G d par une translation de vecteur (2; 1). v y = 1. Par exemple, le point (0; 0) de G f est transformé en le point (2; 1) de G d ; le point (1; 1) de G f est transformé en le point (3; 0) de G d. 3 d(x) = f(x v x ) + v y = f(x 2) 1= x 2 1 e) e : x e(x) G f est transformé en G e par une translation horizontale de 3 unités vers la gauche. Par exemple, le point (0; 0) de G f est transformé en le point ( 3; 0) de G e ; le point (1; 1) de G f est transformé en le point ( 2; 1) de G e. 3 e(x) = f(x + 3) = x + 3

35 18) f : x f(x) = x. 47 a : x a(x) = 2f(x) = 2 x G f est transformé en G a par un étirement d'un facteur 2 autour de l'axe des x. b : x b(x) = f(2x) = 2x G f est transformé en G b par une contraction d'un facteur 2 autour de l'axe des y. c : x c(x) = f(x +1) = x +1 G f est transformé en G c par une translation horizontale d'une unité vers la gauche.

36 d : x d(x) = f(x) +1= x G f est transformé en G d par une translation verticale d'une unité vers le haut. e : x e(x) = f( x) = x = x G f est transformé en G e par une symétrie par rapport à l'axe des y. g : x g(x) = f(x) = x G f est transformé en G g par une symétrie par rapport à l'axe des x.

37 Détermination analytique du domaine de fonctions 49 Dans les exercices qui suivent, nous utiliserons les notions suivantes. Une fonction partout définie est une fonction dont le domaine est R. La condition d'existence (CE) d'une fonction f : x f(x) est la condition que doit vérifier x pour que f(x) existe. Exercices 20) Parmi les fonctions usuelles (pages 25 et 26), chercher celles qui ne sont pas partout définies et, pour ces fonctions usuelles non partout définies, exprimer la CE et le domaine. 21) Déterminer la CE et le domaine des fonctions suivantes. a) f : x f(x) = (x + 1) 2 b) f : x f(x) = x +1 c) f : x f(x) = sin(x + 1) d) f : x f(x) = tan x + π 2 e) f : x f(x) = 1 x 2 f) f : x f(x) = x g) f : x f(x) = tan( 3x) h) f : x f(x) = 3 x i) 1 f : x f(x) = 2 5x 2 j) f : x f(x) = 3 2x k) f : x f(x) = 3+ 2 x +1 l) f : x f(x) = 2 8x 1 6 m) f : x f(x) = 2 + 3cos 3x π 4 n) f : x f(x) = 2 + 3tan 3x π 4

38 Fonctions usuelles non partout définies 50 Seules trois des fonctions usuelles ne sont pas partout définies. Fonction inverse f : x f(x) = 1 x CE : x 0 dom f = R \ {0} ou dom f = ; 0[ ]0; Fonction racine f : x f(x) = x CE : x 0 dom f = [0;

39 51 Fonction tangente f : x f(x) = tan(x) CE :... et x 3π 2 et x π 2 et x π 2 et x 3π 2 et x 5π 2 et... ou CE : x π 2 + kπ, k Z dom f = R \...; 3π 2 ; π 2 ; π 2 ; 3π 2 ; 5π 2 ;... ou dom f = R \ π 2 + kπ; k Z

40 Corrigé des exercices 52 20) Voir pages 50 et ) Détermination de la CE et du domaine d'une fonction. a) f : x f(x) = (x + 1) 2 Pas de CE. dom f = R. b) f : x f(x) = x +1 CE : x +1 0 x 1 dom f = [ 1; c) f : x f(x) = sin(x + 1) Pas de CE. dom f = R. d) f : x f(x) = tan x + π 2 CE : x + π 2 π 2 + kπ, k Z x kπ, k Z dom f = R \ {kπ; k Z} e) f : x f(x) = CE : x 2 0 x 2 dom f = R \ {2} 1 x 2 f) f : x f(x) = x CE : x 0 x 0 dom f = ; 0] g) f : x f(x) = tan( 3x) CE : dom f = R \ 3x π 2 + kπ, k Z x 1 π kπ, k Z x π 6 + k π 3, k Z π 6 + k π 3 ; k Z h) f : x f(x) = 3 x CE : x 0 dom f = [0; 1 i) f : x f(x) = 2 5x 2 CE : 5x 2 0 5x 2 x 2 5 dom f = R \ 2 5 j) f : x f(x) = 3 2x CE : 3 2x 0 2x 3 2x 3 x 3 2 dom f = ; 3 2 k) f : x f(x) = x +1 CE : x +1 0 x 1 dom f = [ 1; l) f : x f(x) = CE : 8x 1 0 8x 1 x 1 8 dom f = R \ x 1 6 m) f : x f(x) = 2 + 3cos 3x π 4 Pas de CE. dom f = R.

41 n) f : x f(x) = 2 + 3tan 3x π 4 53 CE : 3x π 4 π 2 + kπ, k Z 3x π 2 + π 4 + kπ, k Z 3x 3π 4 + kπ, k Z x 1 3π kπ, k Z x π 4 + k π 3, k Z dom f = R \ π 4 + k π 3 ; k Z A retenir Les fonctions de l'exercice 21) résultent toutes de manipulations de fonctions usuelles et, dans ces cas, on ne rencontre que trois types de CE. 1 er type de CE Dénominateur 0. Exemple : 1 f(x) = x +1 CE : 2x e type de CE Expression sous radical 0. Exemple : f(x) = 5 2x CE : 2x e type de CE Argument d'une tangente π + kπ, k Z. 2 Exemple : f(x) = 5tan( 2x + 1) + 3. CE : 2x +1 π + kπ, k Z. 2

Généralités sur les fonctions, cours, première S

Généralités sur les fonctions, cours, première S Généralités sur les fonctions, cours, première S F.Gaudon septembre 009 Table des matières Notions préliminaires sur les fonctions. Ensemble de dénition...................................... Courbe représentative......................................

Plus en détail

GENERALITES SUR LES FONCTIONS

GENERALITES SUR LES FONCTIONS GENERALITES SUR LES FONCTIONS I. Notion de fonction numérique : 1 1) Définition, notations et vocabulaire : Soit D une partie de l'ensemble des réels. Lorsqu'à un réel x de D on associe un réel y, on définit

Plus en détail

1 e S - programme 2011 mathématiques ch.3 cahier élève Page 1 sur 30 Ch.2 : Fonctions de référence Partir d'un bon pied. sur IR.

1 e S - programme 2011 mathématiques ch.3 cahier élève Page 1 sur 30 Ch.2 : Fonctions de référence Partir d'un bon pied. sur IR. 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 1 sur 30 Ch : Fonctions de référence Partir d'un bon pied Exercice n A page 46 : Maîtriser le vocabulaire de base relatif aux fonctions Vrai ou

Plus en détail

Rappels et compléments sur les fonctions

Rappels et compléments sur les fonctions Rappels et compléments sur les fonctions Ceci complète le cours du livre : chapitre 1 (pages 8 à 29) et les connaissances du cours de seconde. Définition d'une fonction numérique de la variable réelle

Plus en détail

Fonctions et équations

Fonctions et équations Le Centre d éducation en mathématiques et en informatique Ateliers en ligne Euclide Atelier n o Fonctions et équations c 014 UNIVERSITY OF WATERLOO Ateliers en ligne Euclide Atelier n o # FONCTIONS ET

Plus en détail

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités Chapitre 5 Généralités sur les fonctions numériques 5.1 Généralités Définition 5.1 Une fonction numérique permet d associer à chaque nombre x d un ensemble D un autre nombre que l on note f(x). On note

Plus en détail

Chapitre 3 Compléments sur les fonctions

Chapitre 3 Compléments sur les fonctions A) Rappels Chapitre 3 Compléments sur les fonctions 1) Fonctions affines f(x) = a x + b La courbe est une droite, de coefficient directeur a et d'ordonnée à l'origine b. b est l'ordonnée du point d'intersection

Plus en détail

Chapitre 4 : Manipulations graphiques

Chapitre 4 : Manipulations graphiques Chapitre 4 : Manipulations graphiques 1 Les fonctions de référence 1.1 La fonction identité = Il s agit de l équation d une droite passant par l origine et de pente 1 ( = + avec =1 et =0). x y Dom f :

Plus en détail

Plan d'étude d'une fonction. , f x = f x alors f est impaire.

Plan d'étude d'une fonction. , f x = f x alors f est impaire. 1 Recherche de l'ensemble de définition Plan d'étude d'une fonction. Fonctions rationnelles. f x existe si le dénominateur n'est pas nul. 2n Fonctions avec radical du type. f x existe si la quantité sous

Plus en détail

Les polynômes du second degré. Niveau : Première S. Vincent OBATON, Enseignant de mathématiques au lycée Stendhal de Grenoble

Les polynômes du second degré. Niveau : Première S. Vincent OBATON, Enseignant de mathématiques au lycée Stendhal de Grenoble Les polynômes du second degré Niveau : Première S Vincent OBATON, Enseignant de mathématiques au lycée Stendhal de Grenoble 1 I. Les trinômes du second degré 1. Grille d'auto-évaluation AN01 AN0 AN03 A

Plus en détail

Formulaire des fonctions usuelles

Formulaire des fonctions usuelles Université d Orléans Formulaire des fonctions usuelles Licence 1 de Mathématiques Groupe 2 Baptiste Morelle 29/09/2008 Page 1 sur 28 Page 2 sur 28 Table des matières Fonctions particulières... 4 Fonction

Plus en détail

Formules importantes pour la fonction quadratique

Formules importantes pour la fonction quadratique Formules importantes pour la fonction quadratique Avec la forme générale f(x) = ax 2 + bx + c 1- Orientation de la parabole Si a> 0, la parabole sera ouverte vers le haut Si a

Plus en détail

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 12

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 12 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur I) Dérivation Ce que dit le programme : Nouveautés par rapport à la première : Dérivée de la composée et écriture différentielle (pour la physique)

Plus en détail

AIDE-MÉMOIRE Fonction

AIDE-MÉMOIRE Fonction Collège / 1MA / Fonction / 2016-2017 AIDE-MÉMOIRE Fonction http://dcpe.net/poii/sites/default/files/cours%20et%20ex/cours-ma1-fonction.pdf TABLE DES MATIERES 3.A. La signification de fonction...2 3.B.

Plus en détail

Pré-calcul 40S Solutions

Pré-calcul 40S Solutions Pré-calcul 40S Solutions Table des matières Pratique : l addition et la soustraction de fonctions... 2 Pratique : la multiplication et la division de fonctions... 3 Pratique : la composition de fonctions...

Plus en détail

COURS DE BTS, premie re anne e.

COURS DE BTS, premie re anne e. COURS DE BTS, premie re anne e. Contenu ALGORITHMIQUE...3 I GENERALITES...3 II AVEC UNE CALCULATRICE....3 III L instruction conditionnelle....4 IV La boucle itérative....5 V La boucle conditionnelle....5

Plus en détail

GENERALITES SUR LES FONCTIONS

GENERALITES SUR LES FONCTIONS GENERALITES SUR LES FONCTIONS I. Notion de fonction numérique : ) Définition, notations et vocabulaire : Soit D une partie de l'ensemble des réels. Lorsqu'à un réel x de D on associe un réel y, on définit

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 04 05 L Économie Cours de M. Desgraupes Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques Séance 0 : Fonctions usuelles

Plus en détail

FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE

FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE I/ Fonctions polynômes et rationnelles a- Fonctions polynômes Une fonction polynôme (ou plus simplement un polynôme) est une fonction définie sur R par: f (x) = a n

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail

Chapitre 3 Compléments sur les fonctions

Chapitre 3 Compléments sur les fonctions Chapitre 3 Compléments sur les fonctions A) Fonction valeur absolue f(x) = x 1) Définition La valeur absolue d un nombre réel est obtenue en retirant le signe s il est négatif. Autrement dit, x = x si

Plus en détail

REVISIONS POUR LES VACANCES. Généralités sur les fonctions

REVISIONS POUR LES VACANCES. Généralités sur les fonctions Année 2016-2017 PCSI ( Baggio ) REVISIONS POUR LES VACANCES Vous devez connaître parfaitement tous les résultats donnés ici sur les généralités de fonctions, sur les fonctions exponentielles et logarithmes

Plus en détail

Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique

Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique FORMULES ET THÉORÈMES Carré du nombre i On définit le nombre i de la façon suivante. i = 1 Forme algébrique d'un nombre complexe Tout nombre complexe z peut s'écrire sous une forme algébrique. z = a +

Plus en détail

MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 12 E ANNÉE. Trigonométrie. Résultat d apprentissage général : Développer le raisonnement trigonométrique.

MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 12 E ANNÉE. Trigonométrie. Résultat d apprentissage général : Développer le raisonnement trigonométrique. MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 12 E ANNÉE Trigonométrie A1. Démontrer une compréhension des angles en position standard exprimés en degrés et en radians. [CE, L, R, V] Résultat d apprentissage général : Développer

Plus en détail

Mathématiques. Fonctions : domaine, opérations, parité, périodicité, extrema, fonctions élémentaires

Mathématiques. Fonctions : domaine, opérations, parité, périodicité, extrema, fonctions élémentaires Mathématiques Fonctions : domaine, opérations, parité, périodicité, extrema, fonctions élémentaires Pierre Mathonet Département de Mathématique Faculté des Sciences Liège, printemps 06 Relations entre

Plus en détail

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 11

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 11 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur I) Dérivation ) Définition et interprétation géométrique : Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R et a I. La fonction est dérivable

Plus en détail

6. Equations du deuxième degré et les paraboles

6. Equations du deuxième degré et les paraboles - - 6. Deuxième Degré 6. Equations du deuxième degré et les paraboles 6. Equation du deuxième degré à une inconnue et ses coefficients Une équation du deuxième degré (ED) à une inconnue est une équation

Plus en détail

Chap 5. Dérivation. Pré requis : généralités sur les fonctions ; fonctions usuelles ; limite réelle d'une fonction en a.

Chap 5. Dérivation. Pré requis : généralités sur les fonctions ; fonctions usuelles ; limite réelle d'une fonction en a. Chap 5 Dérivation Pré requis : généralités sur les fonctions ; fonctions usuelles ; limite réelle d'une fonction en a. Objectifs : faire le lien entre nombre dérivé et tangente à la courbe en un point

Plus en détail

GÉNÉRALITÉS. f étant définie sur un intervalle de borne, f(x) = L si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les

GÉNÉRALITÉS. f étant définie sur un intervalle de borne, f(x) = L si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les 1 Limites GÉNÉRALITÉS Définitions Dans les énoncés suivants, L et a sont deux réels. f étant définie sur un intervalle de borne +, f(x) = L si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs

Plus en détail

Introduction universitaire aux mathématiques. Notes de cours. 1 re année du Bachelier en Sciences chimiques

Introduction universitaire aux mathématiques. Notes de cours. 1 re année du Bachelier en Sciences chimiques Introduction universitaire aux mathématiques Notes de cours re année du Bachelier en Sciences chimiques Introduction Ce cours se donne comme objectif principal de rappeler et fixer quelques notions mathématiques

Plus en détail

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ TRINÔME DU SECOND DEGRÉ Définition On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur IR qui, à x associe f(x) = ax 2 + bx + c, a, b et c étant trois réels avec a 0. Exemple Les

Plus en détail

EXERCICES 1S DERIVATION

EXERCICES 1S DERIVATION EXERCICES S DERIVATION Nombre dérivé ; utilisation des formules On trouvera les solutions après la liste des exercices Ne les consultez pas trop vite! EX : Calculer la fonction dérivée de la fonction f

Plus en détail

Bloc 1 Régularité et algèbre (+- 26 cours)

Bloc 1 Régularité et algèbre (+- 26 cours) Bloc 1 Régularité et algèbre (+- 6 cours) 3 Exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire des prédictions et prendre des décisions éclairées. RÉSULTATS D APPRENTISSAGE

Plus en détail

Corrigé du TD 2 : Fonctions simples

Corrigé du TD 2 : Fonctions simples Corrigé du TD : Fonctions simples Exercice : Fonctions élémentaires. Cas f(x) = Il est clair qu il n y a aucun problème de définition et que cette fonction est définie pour tout x réel. De plus, la fonction

Plus en détail

FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE

FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE 1 sur 6 I. Définition Une fonction polynôme de degré f est définie sur R par f (x) = ax + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels donnés et a 0. Exemples : - f(

Plus en détail

Chapitre Fonctions linéaires et affines 3 ème

Chapitre Fonctions linéaires et affines 3 ème Chapitre Fonctions linéaires et affines 3 ème (Chapitre 8 en 2008/2009) Déterminer par le calcul l image d un nombre donné et l antécédent d un nombre donné. Déterminer une fonction affine à partir de

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions I Ensemble de définition On appelle fonction f un procédé, qui, à tout nombre x d un ensemble, associe un nombre f (x). Définition : L ensemble de définition d une fonction

Plus en détail

Chapitre Fonctions linéaires et affines 3 ème

Chapitre Fonctions linéaires et affines 3 ème Chapitre Fonctions linéaires et affines 3 ème Déterminer par le calcul l image d un nombre donné et l antécédent d un nombre donné. Déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres

Plus en détail

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie I) PRELIMINAIRES Voir activité II) LIMITE D UNE FONCTION EN + et ) Limite infinie en + et Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme

Plus en détail

Chapitre 1 - L algèbre de base

Chapitre 1 - L algèbre de base Mathématique d appoint 4 e édition Table des matières Chapitre 1 - L algèbre de base 1.1 Les ensembles de nombres 1.2 Les intervalles 1.3 Les relations entre deux ensembles 1.4 Les opérations sur les ensembles

Plus en détail

DERIVATION. ou f'(x 0 ) = lim. h 0

DERIVATION. ou f'(x 0 ) = lim. h 0 DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE a) Tangente et nombre dérivé Aux origines la dérivation, était un problème purement géométrique : il s'agissait de connaître le coefficient directeur ou pente

Plus en détail

Première S Exercices Comportements asymptotiques - études de fonction

Première S Exercices Comportements asymptotiques - études de fonction Exercices Comportements asymptotiques - études de fonction Exercice 1 : Recherche d'asymptote f est la fonction définie sur ]-2;+ [ par : f(x) = -x² + x + 3 x + 2 a) Déterminer trois réels a,b et c tels

Plus en détail

ETUDES DE FONCTIONS. Méthode : Déterminer l expression d une fonction polynôme de degré 2

ETUDES DE FONCTIONS. Méthode : Déterminer l expression d une fonction polynôme de degré 2 ETUDES DE FONCTIONS I. Fonctions polynômes de degré 1. Définition Une fonction polynôme de degré f est définie sur IR par des nombres réels donnés et a 0. ax bx c, où a, b et c sont Exemples : - f x x

Plus en détail

Chapitre 3. Généralités sur les fonctions numériques. 3.1 Généralités

Chapitre 3. Généralités sur les fonctions numériques. 3.1 Généralités Chapitre 3 Généralités sur les onctions numériques 3.1 Généralités Déinition 3.1 Une onction numérique permet d associer à chaque nombre x d un ensemble D un autre nombre que l on note (x). On note : :

Plus en détail

1. TYPES DE FONCTIONS LINÉAIRES

1. TYPES DE FONCTIONS LINÉAIRES 1. TYPES DE FONCTIONS LINÉAIRES Une fonction linéaire (ou de proportionnalité directe) est définie de la manière suivante, où m est un nombre réel quelconque. Les fonctions linéaires se représentent dans

Plus en détail

Une notion de fonction en sciences. Fonctions : domaine, opérations, parité périodicité extrema, fonctions élémentaires

Une notion de fonction en sciences. Fonctions : domaine, opérations, parité périodicité extrema, fonctions élémentaires Fonctions : domaine, opérations, parité périodicité extrema, fonctions élémentaires Présentation provisoire Pierre Mathonet Département de Mathématique Faculté des Sciences Liège, le mars 05 Une notion

Plus en détail

FONCTIONS. représente une fonction. ne représente pas une fonction

FONCTIONS. représente une fonction. ne représente pas une fonction FONCTIONS Activité de recherche : Stratégie d entreprise Une entreprise fabrique des ballons de rugby. Sa production quotidienne peut varier de à 000 ballons. Le coût total, en centaines d euros, pour

Plus en détail

FONCTIONS USUELLES. Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction.

FONCTIONS USUELLES. Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction. A 00-0 FONCTIONS USUELLES Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction. Exponentielles, logarithmes, puissances. Exponentielle

Plus en détail

Chapitre 1 Les nombres complexes

Chapitre 1 Les nombres complexes Chapitre 1 Les nombres complexes A) Définition et propriétés de base (rappels) 1) Définition a) On appelle C l'ensemble des nombres complexes. Un nombre complexe s'écrit z a bi, où a et b sont des réels

Plus en détail

Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

Chapitre 6: Fonctions trigonométriques FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 95 Chapitre 6: Fonctions trigonométriques Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée, rapports trigo Requis pour: Croissance, Optimisation. 6.1 Quelques rappels

Plus en détail

Fonctions de référence 1

Fonctions de référence 1 Fonctions de référence Les fonctions sinus et cosinus. Définitions Le plan étant muni d un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir

Plus en détail

Etude des fonctions usuelles

Etude des fonctions usuelles Etude des fonctions usuelles 1. Introduction Soit f une fonction réelle de la variable réelle, on a vu que ces fonctions sont souvent définies par des formules, c est-à-dire définies par des epressions

Plus en détail

En enroulant l'axe des réels chaque réel «b» marque sur le cercle un point unique B. B est le point associé au réel «b» et on le note alors M(b).

En enroulant l'axe des réels chaque réel «b» marque sur le cercle un point unique B. B est le point associé au réel «b» et on le note alors M(b). Angles et Trigonométrie I º] Rappels : repérage d'un point sur le cercle trigonométrique Le sens direct est aussi appelé sens trigonométrique ou sens positif Un cercle trigonométrique est un cercle de

Plus en détail

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en Chaudronnerie Industrielle Chapitre Fonctions de référence...3 I Fonctions affines...3 a) Signe d'une fonction affine...3 II

Plus en détail

Cours informel sur la fonction réciproque.

Cours informel sur la fonction réciproque. Cours informel sur la fonction réciproque. Ce cours aborde de nombreuses parties du programme de terminale scientifique. Les parties qui n'appartiennent pas au programme seront signalées par le sigle hp,

Plus en détail

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours Analyse re année IUT GEA Notes de cours Jean-Marie Favreau Année 200 20 Remarque : l introduction de ce cours, présentée en quelques minutes, de manière interactive, permet de placer quelques rappels simples,

Plus en détail

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Lycée Paul Doumer 0-04 TS Cours Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Contents Équation du second degré. Racines carrées..................................... Équation du second degré à

Plus en détail

CONTINUITE ET CONVEXITE

CONTINUITE ET CONVEXITE CONTINUITE ET CONVEXITE I. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite

Plus en détail

Interrogation n 1. Interrogation n 1. Interrogation n 1. Interrogation n 1. Interrogation n 1. Interrogation n 1. Interrogation n 1.

Interrogation n 1. Interrogation n 1. Interrogation n 1. Interrogation n 1. Interrogation n 1. Interrogation n 1. Interrogation n 1. 1) Soit x R. Linéariser cos 3 (x) sin (x) ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) (1 i)z + z + 5 + 5i = 0 b) z z + 1 i = 0 1) Soit x R. Linéariser cos 3 (x) sin (x) ) Résoudre dans C les équations

Plus en détail

Fonctions. fonction constante droite parallèle à l'axe des abscisses. fonction linéaire Droite passant par l'origine

Fonctions. fonction constante droite parallèle à l'axe des abscisses. fonction linéaire Droite passant par l'origine I Image, antécédent Soit f une fonction de I dans R avec I Ϲ R. Pour tout réel y, on appelle antécédent de y par f, les réels x tels que f(x) = y. Une fonction f est définie sur I si tout x possède une

Plus en détail

Règle Table de valeurs Représentation graphique

Règle Table de valeurs Représentation graphique Faire le point Pages 5, 6, 7 et 8 du manuel La fonction quadratique La fonction quadratique, aussi appelée «fonction polnomiale de degré», est une fonction dont la règle est un polnôme de degré à une variable.

Plus en détail

Trigonométrie 1.0 OLIVIER LÉCLUSE CREATIVE COMMON BY-NC-SA

Trigonométrie 1.0 OLIVIER LÉCLUSE CREATIVE COMMON BY-NC-SA Terminale S Trigonométrie 1.0 OLIVIER LÉCLUSE CREATIVE COMMON BY-NC-SA Octobre 2013 Table des matières Objectifs 5 Introduction 7 I - Définition - dérivabilité 9 A. Construction Sinus et Cosinus...9 B.

Plus en détail

Table des matières. Cours

Table des matières. Cours Table des matières Chapitre 1 Étude de fonctions 11 I. Réels et intervalles... 12 A. L ensemble des réels... 12 B. Les intervalles de réels... 12 II. Les fonctions numériques... 13 A. Principe... 13 B.

Plus en détail

Chapitre 4 : Fonctions de référence (1)

Chapitre 4 : Fonctions de référence (1) La notion de fonction a été vue au chapitre 1. Cette leçon met l'accent sur certaines fonctions que l'on retrouve au lycée : fonction carrée, fonction inverse, fonction racine carrée,... etc. La deuxième

Plus en détail

POLYNOMES. Table des matières. Fonction polynôme. I.1 Fonction polynôme de degré n

POLYNOMES. Table des matières. Fonction polynôme. I.1 Fonction polynôme de degré n POLYNOMES Table des matières I Fonction polynôme 1 I.1 Fonction polynôme de degré n.................................. 1 I.2 Egalité de deux polynômes................................... 1 I.3 Racine d un

Plus en détail

Dérivation et fonctions trigonométriques

Dérivation et fonctions trigonométriques Dérivation et fonctions trigonométriques 1. Compléments sur la dérivation Théorème. Soit une fonction à valeurs positives dérivable sur un intervalle. Alors est dérivable sur et. Soit. La fonction est

Plus en détail

LES FONCTIONS DE REFERENCE

LES FONCTIONS DE REFERENCE I. Les fonctions affines : LES FONCTIONS DE REFERENCE Définition : On appelle fonction affine toute fonction définie sur IR, ou sur un intervalle de IR, par f : a + b avec a et b deu nombres réels. Propriétés

Plus en détail

x² - 6x = (x - )² - x² + 4x = (x + )² - x² + 8x = ( )² - x² + 3x = ( )² -

x² - 6x = (x - )² - x² + 4x = (x + )² - x² + 8x = ( )² - x² + 3x = ( )² - 1 ère ES1 Le second degré Introduction à la factorisation feuille n 1 Partie 1 : correction 1) Factoriser les expressions suivantes : x² - 8x + 16 x² + 6x + 9 16x² - 81 ( 4x 1 )² - 9 ( 2x 1 )² - ( x +

Plus en détail

ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES

ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES I. La continuité : Définition : ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES 1 ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Graphiquement, on reconnaît qu'une fonction est continue sur un

Plus en détail

x f(x)

x f(x) Limites de fonctions I) Limite d une fonction en plus l infini Etudier la ite d une fonction f en + c est étudier le comportement des nombres f(x) lorsque x tend vers +. ) Exemples Exemple : x 0 20 30

Plus en détail

MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 11 e ANNÉE. Algèbre et nombre. Résultat d apprentissage général : Développer le raisonnement algébrique et le sens du nombre.

MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 11 e ANNÉE. Algèbre et nombre. Résultat d apprentissage général : Développer le raisonnement algébrique et le sens du nombre. MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 11 e ANNÉE Algèbre et nombre 1. Démontrer une compréhension de la valeur absolue de nombres réels. [R, V] 2. Résoudre des problèmes comportant des opérations impliquant des radicaux

Plus en détail

MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 11 E ANNÉE. Algèbre et nombre. Résultat d apprentissage général : Développer le raisonnement algébrique et le sens du nombre.

MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 11 E ANNÉE. Algèbre et nombre. Résultat d apprentissage général : Développer le raisonnement algébrique et le sens du nombre. MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 11 E ANNÉE Algèbre et nombre A1. Démontrer une compréhension de la valeur absolue de nombres réels. [R, V] A. Résoudre des problèmes comportant des opérations impliquant des radicaux

Plus en détail

Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré

Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré 1 Rappels 1. Carré d une somme : 2. Carré d une différence : 3. Différence de deux carrés : Pour tous réels a et b, a + b) 2 =........ Pour

Plus en détail

Exercices de Mathématiques 1 ère S

Exercices de Mathématiques 1 ère S Exercices de Mathématiques 1 ère S Pour préparer la rentrée en TS Fonctions, équations et inéquations Exercice 1 1. Pour quelle(s) valeur(s ) de m, l'équation x² - (m+1) x +4 = 0 a-t-elle une seule solution

Plus en détail

Chapitre 7 Fonctions de référence

Chapitre 7 Fonctions de référence Chapitre 7 Fonctions de référence I. Fonction carré ) Définition La fonction carré est la fonction f définie sur R qui, à chaque réel x, associe son carré x 2. f : R R x x 2 L'image de - et de par f est.

Plus en détail

Second degré (1ESL) Page 1/9

Second degré (1ESL) Page 1/9 TRINÔME DU SECOND DEGRÉ Activité de recherche : Résoudre un problème démographique A l issue d une étude, des démographes font des projections concernant la population de deux villages A et B de la campagne

Plus en détail

Exercices du chapitre 8 avec corrigé succinct

Exercices du chapitre 8 avec corrigé succinct Exercices du chapitre 8 avec corrigé succinct Exercice VIII.1 Ch-Exercice7 Soient les deux lois définies sur R de la manière suivante. Étant donnés deux couples (x, y) et (x, y ) de R, on pose : (x, y)

Plus en détail

Généralités sur les fonctions - corrigé

Généralités sur les fonctions - corrigé Généralités sur les fonctions - corrigé Exercice 1 : La courbe ci-contre représente une fonction f. En utilisant le graphique, répondre aux questions. 1. Donner l'ensemble de définition de f. d f = [ 5;7]

Plus en détail

Table des matières. Cours. Méthodes. Entraînement Corrigés Chapitre 1 Les trinômes du second degré 11

Table des matières. Cours. Méthodes. Entraînement Corrigés Chapitre 1 Les trinômes du second degré 11 Table des matières Chapitre 1 Les trinômes du second degré 11 I. Les trinômes du second degré : caractérisation... 1 II. Variations des fonctions trinôme du second degré... 13 III. Représentation graphique...

Plus en détail

Fonctions de référence

Fonctions de référence Fonctions de référence 1. Rappel sens de variation d'une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R f est croissante sur I si pour tout nombre a et b de I tels que a < b alors f(a)

Plus en détail

I. Equation et inéquation du second degré

I. Equation et inéquation du second degré I. Equation et inéquation du second degré Théorème : Soient a, b et c des nombres réels avec a non nul, on appelle discriminant et on note Δ le nombre b 2 4ac. L équation ax 2 + bx + c = 0, - admet deux

Plus en détail

Produit cartésien de deux intervalles (Document de préparation #1)

Produit cartésien de deux intervalles (Document de préparation #1) Produit cartésien de deux intervalles (Document de préparation #1) Le produit cartésien de deux intervalles A et B, noté A x B, est l'ensemble de tous les couples dont la première coordonnée est un élément

Plus en détail

LES FONCTIONS DE REFERENCE

LES FONCTIONS DE REFERENCE L équipe des professeurs de mathématiques Lycée Stendhal J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion. Stendhal

Plus en détail

Bilans Révisions pour la 1 S

Bilans Révisions pour la 1 S Bilans Révisions pour la 1 S Fonctions Intervalles Déterminer l ensemble de définition d une fonction Déterminer l image d un nombre a par une fonction Déterminer les antécédents éventuels d un nombre

Plus en détail

Contenu de la section

Contenu de la section Contenu de la section Étude de fonction Approximation de Taylor Périodicité Contenu de la section Étude de fonction Périodicité Interprétation de la dérivée seconde Asymptotes Périodicité Définition Un

Plus en détail

LES FONCTIONS. Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y.

LES FONCTIONS. Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y. LES FONCTIONS I - RAPPELS I-1 - Définition Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y. L ensemble des point tel f(x)=y est représenté

Plus en détail

DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE. a) Tangente et nombre dérivé. Ch2 : Dérivation (TES)

DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE. a) Tangente et nombre dérivé. Ch2 : Dérivation (TES) DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE a) Tangente et nombre dérivé Aux origines la dérivation, était un problème purement géométrique : il s'agissait de connaître le coefficient directeur ou pente

Plus en détail

CALCUL LITTÉRAL : CORRIGÉS

CALCUL LITTÉRAL : CORRIGÉS Seconde 7, année 2013-2014 CALCUL LITTÉRAL Exercices: corrigés 1/6 CALCUL LITTÉRAL : CORRIGÉS Exercice 1 DÉVELOPPER A(x) = (4x 1) 2 + (3x 2)(x + 4) = (16x 2 8x + 1) + ( 3x 2 + 12x 2x 8 ) = 16x 2 8x + 1

Plus en détail

Pour démarrer la classe de terminale S. Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S. Paul Milan

Pour démarrer la classe de terminale S. Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S. Paul Milan Pour démarrer la classe de terminale S Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S Paul Milan 8 novembre 015 Table des matières 1 Second degré 7 1 Forme canonique............................. 7 Racines du

Plus en détail

GENERALITES SUR LES FONCTIONS

GENERALITES SUR LES FONCTIONS Chapitre I GENERALITES SUR LES FONCTIONS I. RAPPELS SUR LES FONCTIONS A) Définition Définir une fonction c est définir un procédé qui permet à tout nombre d un intervalle donné d associer un autre nombre.

Plus en détail

Fonctions de référence, classe de seconde

Fonctions de référence, classe de seconde Fonctions de référence, classe de seconde F.Gaudon 3 juillet 2009 Table des matières 1 fonctions anes 2 2 Fonctions carré 4 3 Fonction inverse 6 4 Équations 8 5 Fonctions polynômes du second degré 9 1

Plus en détail

FONCTONS USUELLES - INTRODUCTION

FONCTONS USUELLES - INTRODUCTION FONCTONS USUELLES - INTRODUCTION Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page perso JGCUAZ.FR rubrique mathématiques) a été conçu pour aider les élèves de seconde générale

Plus en détail

de trigonométrie FORMULES D'ADDITION cos a b cosa cosb sinasin b sin a b sina cosb cosasin b sin2a 2sina cosa FORMULES DE LINÉARISATION cos a 1 cos2a

de trigonométrie FORMULES D'ADDITION cos a b cosa cosb sinasin b sin a b sina cosb cosasin b sin2a 2sina cosa FORMULES DE LINÉARISATION cos a 1 cos2a Compléments de trigonométrie FORMULES D'ADDITION cos a b cosa cosb sinasin b cos a b cosa cosb sinasin b sin a b sina cosb cosasin b sin a b sina cosb cosasin b cosa cosa sina cosa sina sina sina cosa

Plus en détail

Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch,

Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch, Un peu d histoire La notion de dérivée a vu le jour au XVII e siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui la nomme fluxion et qui la définit comme «le quotient ultime de deux accroissements évanescents».

Plus en détail

CH II Les fonctions inverse, racine carrée et cube. 1. Compléter le tableau de valeurs de la. x ,5 0 0, f(x)

CH II Les fonctions inverse, racine carrée et cube. 1. Compléter le tableau de valeurs de la. x ,5 0 0, f(x) CH II Les fonctions inverse, racine carrée et cube. I) La fonction f : x x 1 : Soit f la fonction définie sur [-5 ; 5] par f(x) = x 1. Compléter le tableau de valeurs de la fonction et tracer celle-ci

Plus en détail

Fonctions de référence et fonctions associées, cours, première STI2D

Fonctions de référence et fonctions associées, cours, première STI2D Fonctions de référence et fonctions associées, cours, première STI2D F.Gaudon 28 juin 215 Table des matières 1 Fonctions de référence 2 1.1 Fonction carré.......................................... 2 1.2

Plus en détail

Chapitre 6. Fonctions trigonométriques

Chapitre 6. Fonctions trigonométriques Chapitre 6 Fonctions trigonométriques Corrigés des exercices-tests Vrai La hauteur issue de M dans le triangle OIM est également médiane Donc le triangle OIM est isocèle en M Étant aussi isocèle en O,

Plus en détail

I - Définitions et premiers calculs ex 1 à 3

I - Définitions et premiers calculs ex 1 à 3 I - Définitions et premiers calculs ex à 3 Définitions On appelle fonction linéaire de coefficient a toute fonction qui, à tout nombre noté x, associe le nombre a x (c'est-à-dire x a x où a est un nombre.

Plus en détail

Mathématiques Pré-calcul 30S

Mathématiques Pré-calcul 30S Mathématiques Pré-calcul 30S Les fonctions quadratiques 1.1 Démontrer une compréhension de la fonction quadratique Vocabulaire - parabole - minimum - sommet - maximum - axe de symétrie - forme canonique

Plus en détail