Chapitre 7 Les fonctions

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1 Chapitre7 Lesfonctions 1 Les relations Une relation d'un ensemble A vers une ensemble B établit un lien entre certains éléments de A et certains éléments de B (d'après le livre "Des situations pour apprendre", page 193). Une relation d'un ensemble A vers une ensemble B est définie par un ensemble de couples (x, y) où x A et y B. Dans un tel couple, y est appelé l'image de x. Dans cette relation, A est appelé l'ensemble de départ et B est appelé l'ensemble d'arrivée. On peut représenter une relation par un diagramme sagittal, c'est-à-dire par un ensemble de flèches dont chacune va d'un élément de A à un élément de B. Exercices 1) Soit A = {1; 3; 5} et B = {2; 4; 6} et la relation r = "est plus grand que". a) Etablir le diagramme sagittal de la relation r. b) Etablir l'ensemble des couples qui définit la relation r. c) Soit D = l'ensemble des éléments de A qui ont au moins une image par r. Ecrire D en extension, ce qui signifie écrire tous ses éléments entre accolades, et représenter D sur le diagramme ci-dessus. d) Soit I = l'ensemble des éléments de B qui sont l'image par r d'au moins un élément de A. Ecrire I en extension, ce qui signifie écrire tous ses éléments entre accolades, et représenter I sur le diagramme ci-dessus. 2) Voici trois relations de l'ensemble R des réels vers R lui-même : r 1 = "a comme carré" r 2 = "a comme racine carrée" r 3 = "est le carré de". Chaque relation est définie par un ensemble de couples (x,y). a) Traduire chacune des trois relations par une équation liant x à y. b) Dans chacun des trois cas, représenter dans le plan x, y la courbe ayant comme équation l'équation obtenue en a).

2 Corrigé 2 1) a) b) Ensemble des couples qui définit la relation r : {(3; 2); (5; 2); (5; 4)}. c) D = {3; 5}. d) I = {2; 4}. 2) a) Si (x, y) est un couple de r 1, x a comme carré y donc x 2 = y ou y = x 2. Si (x, y) est un couple de r 2, x a comme racine carrée y donc x = y ou y = x. Si (x, y) est un couple de r 3, x est le carré de y donc x = y 2. b) Relation r 2 = "a comme racine carrée". Relation r 1 = "a comme carré". Relation r 3 = "est le carré de".

3 Fonctions 3 Définition Une fonction de A vers B est une relation de A vers B telle que tout élément de A soit l'origine d'un couple au plus de cette relation. Autrement dit, une relation f de A vers B est une fonction si et seulement si, x A, - soit x a une image unique par f; - soit x n'a aucune image par f. Domaine de définition d'une fonction Si f est une fonction de A vers B, si a A, f est définie en a si a possède une image par f. L'ensemble des éléments de A en lesquels f est définie est le domaine de définition de f. On l'appelle aussi le domaine de f. On le note dom f. Ensemble-image Si f est une fonction, l'ensemble-image de f est l'ensemble des images par f. On le note im f. Fonction dans R Une fonction de R vers R est appelée une fonction dans R. On la note f : x f(x). f(x) est appelée l'expression analytique de f. Graphe d'une fonction Le graphe d'une fonction f : x f(x) est, dans le plan x, y, l'ensemble des points (x; f(x)). C'est donc la courbe d'équation y = f(x). On le note G f. G f y = f(x) Exercices 3) a) La relation r de l'exercice 1) est-elle une fonction? Pourquoi? b) Trouver une autre relation de A vers B, qui soit une fonction. 4) a) Parmi les 3 relations de l'exercice 2), lesquelles sont des fonctions et pourquoi? Ce qui suit ne concerne que celles qui sont des fonctions. b) Quel est leur domaine de définition? c) Quel est leur ensemble-image? d) Quelle est leur expression analytique? e) Quel est leur graphe?

4 5) Voici quatre courbes. Pour chacune d'elles, répondre aux questions ci-dessous. 4 Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3 Courbe 4 a) Cette courbe est-elle le graphe d'une fonction et pourquoi? Si oui, b) Quel est le domaine de définition de cette fonction? c) Quel est son ensemble-image?

5 7 8) Placer ces quelques points du graphe G f de la fonction f : x x 3 et esquisser ce graphe. x x

6 Corrigé 12 3) a) La relation r de l'exercice 1) n'est pas une fonction car 5 a deux images : 2 et 4. b) Fonction de A vers B : f : x x+1 Autre fonction de A vers B : g: x 2x

7 4) r 1 = "a comme carré". 13 a) r 1 est une fonction car aucun nombre n'a plus d'un carré. b) dom r 1 = R car tout nombre a un carré. c) im r 1 = [ 0; car un carré est un nombre positif ou nul et tout nombre positif ou nul est un carré de nombre réel. d) Expression analytique : r 1 (x) = x 2. e) Graphe : r 2 = "a comme racine carrée". a) r 2 est une fonction car aucun nombre n'a plus d'une racine carrée. b) dom r 2 = [ 0; car tout nombre positif ou nul a une racine carrée et aucun nombre négatif n'a de racine carrée. c) im r 2 = [ 0; car une racine carrée est un nombre positif ou nul et tout nombre positif ou nul est une racine carrée de nombre réel. d) Expression analytique : r 2 (x) = x. e) Graphe : r 3 = "est le carré de". a) r 3 n'est pas une fonction car les nombres positifs sont les carrés de deux nombres. Exemple : si x = 4, y = 2 ou y = 2 car 4 est à la fois le carré de 2 et le carré de 2.

8 5) Courbe 1 14 a) C'est le graphe d'une fonction car aucune valeur de x n'a plus d'une image. Notons f 1 cette fonction. b) dom f 1 = [ 4; 4]. c) im f 1 = [ 2; 2]. Courbe 2 a) C'est le graphe d'une fonction car aucune valeur de x n'a plus d'une image. Notons f 2 cette fonction. b) dom f 2 = [ 5; 1] [1; 5]. c) im f 2 = [ 2; 2]. Courbe 3 a) Ce n'est pas le graphe d'une fonction car toute valeur de x comprise entre 1 et 1 a deux images.

9 Courbe 4 15 a) C'est le graphe d'une fonction car aucune valeur de x n'a plus d'une image. Notons f 4 cette fonction. b) dom f 4 = [ 5; 1] [1; 5]. c) im f 4 = [ 1; 1]. Détermination graphique du domaine et de l'ensemble-image On détermine dom f en projetant G f sur l'axe des x. On détermine im f en projetant G f sur l'axe des y.

10 18 8) Fonction f : x x 3. x x Graphe G f y = x 3

11 10) Fonction f : x 1/x (suite). Graphe G f y = 1 x 21 12) Fonction f : x x (suite). Graphe G f y = x

12 11) Fonction f : x tan(x) (suite). 22 Graphe G f y = tan(x)

13 Fonctions usuelles Cube f : x f(x) = x 3 25 Carré f : x f(x) = x 2 Racine carrée f : x f(x) = x Valeur absolue f : x f(x) = x Racine cubique 3 f : x f(x) = x

14 Identité f : x f(x) = x Inverse f : x f(x) = 1 x 26 Constante f : x f(x) = k k Cosinus f : x f(x) = cosx Sinus f : x f(x) = sinx Tangente f : x f(x) = tanx. Voir exercices 11) et 13).

15 Manipulations de fonctions 27 On a une fonction f : x f(x) et son graphe G f. On fait subir à G f une transformation géométrique, de manière à obtenir un nouveau graphe, G g. Question : quelle est la fonction g : x g(x) dont G g est le graphe? 1) Translations de graphe a) Cas général P (x; y) G g y = g(x) v (v x ; v y ) P 0 (x 0 ; y 0 ) G f y = f(x) G f subit une translation de vecteur v (v x ; v y ). Soit P 0 (x 0 ; y 0 ) un point de G f. La translation l'applique sur un point P(x; y) de G g. v = P 0 P v x = x x 0 v y = y y 0 donc P 0 est un point de G f donc y 0 = f(x 0 ) y v y = f( x v x ) x 0 = x v x y 0 = y v y y = f( x v x ) + v y Mais P est un point de G g donc En comparant ces dernières égalités, on a y = g(x) g(x) = f( x v x ) + v y Si G g est l'image de G f par une translation de vecteur v (v x ; v y ), alors g(x) = f( x v x ) + v y et réciproquement.

16 Exemple : fonctions dont le graphe est une parabole. 28 G f y = ax 2 G g y = a(x x S ) 2 + y S P (x, y) P 0 (x 0, y 0 ) S (x S, y S ) v (v x ; v y ) S 0 (0, 0) Soit la fonction f : x f(x) = ax 2. Son graphe G f est une parabole de directrice horizontale et de sommet S 0 (0, 0). Soit G g le graphe obtenu à partir de G f par une translation de vecteur v (v x ; v y ). D'après ce qui précède, G g est le graphe d'une fonction g : x g(x) telle que donc g(x) = f( x v x ) + v y g(x) = a( x v x ) 2 + v y [Attention aux notations : f( x v x ) est l'image par la fonction f de ( x v x ), a x v x est le produit du nombre a par le carré de ( x v x ). Le contexte permet de distinguer les deux cas. On sait ici que f est une fonction et a un nombre.] La translation applique S 0 (0, 0) sur S(x S, y S ). Donc v = S 0 S et ( ) 2 v x = x S 0 = x S v y = y S 0 = y S donc g(x) = a( x x S ) 2 + y S Nous retrouvons ici le résultat obtenu dans le chapitre consacré aux paraboles : l'équation d'une parabole P de directrice horizontale et de sommet S(x S, y S ) est P y = a(x x S ) 2 + y S car cette parabole P n'est autre que le graphe G g de la fonction g.

17 b) Translation de k vers la droite (k > 0) 29 P 0 (x 0 ; y 0 ) v (k; 0) G f y = f(x) P (x; y) G g y = f( x k) Une translation de k vers la droite a comme vecteur v (k; 0). Si elle transforme G f en G g, g(x) = f( x v x ) + v y g(x) = f( x k) + 0 g(x) = f( x k) Si G g est l'image de G f par une translation de k vers la droite, alors g(x) = f( x k) et réciproquement. c) Translation de k vers la gauche (k > 0) P (x; y) v ( k; 0) P 0 (x 0 ; y 0 ) G g y = f( x + k) G f y = f(x) Une translation de k vers la gauche a comme vecteur v ( k; 0). Si elle transforme G f en G g, g(x) = f( x v x ) + v y g(x) = f( x ( k)) + 0 g(x) = f( x + k) Si G g est l'image de G f par une translation de k vers la gauche, alors g(x) = f( x + k) et réciproquement.

18 d) Translation de k vers le haut (k > 0) 30 P (x; y) v (0; k) P 0 (x 0 ; y 0 ) G g y = f(x) + k G f y = f(x) Une translation de k vers le haut a comme vecteur v (0; k). Si elle transforme G f en G g, g(x) = f( x v x ) + v y g(x) = f( x 0) + k g(x) = f( x) + k Si G g est l'image de G f par une translation de k vers le haut, alors g(x) = f( x) + k et réciproquement. e) Translation de k vers le bas (k > 0) P 0 (x 0 ; y 0 ) v (0; k) P (x; y) G f y = f(x) G g y = f(x) k Une translation de k vers le bas a comme vecteur v (0; k). Si elle transforme G f en G g, g(x) = f( x v x ) + v y g(x) = f( x 0) + ( k) g(x) = f( x) k Si G g est l'image de G f par une translation de k vers le bas, alors g(x) = f( x) k et réciproquement.

19 2) Etirements et contractions de graphe 31 a) Etirement d'un facteur k autour de l'axe des x (k > 1) Un étirement d'un facteur k autour de l'axe des x transforme G f en G g. Le point P 0 (x 0 ; y 0 ) de G f est transformé en le point P (x; y) : P (x; y) P0 (x 0 ; y 0 ) G g y = kf(x) x x = x 0 = x 0 y = ky 0 y 0 = y k P 0 est un point de G f donc y 0 = f(x 0 ) y k = f x ( ) y = kf( x) Mais P est un point de G g donc y = g(x) G f y = f(x) En comparant ces dernières égalités, on a g(x) = kf( x) Si G g est l'image de G f par étirement d'un facteur k autour de l'axe des x, alors g(x) = kf( x) et réciproquement. b) Contraction d'un facteur k autour de l'axe des x (k > 1) P (x; y) P 0 (x 0 ; y 0 ) G g y = f(x) k G f y = f(x) Une contraction d'un facteur k autour de l'axe des x transforme G f en G g. Le point P 0 (x 0 ; y 0 ) de G f est transformé en le point P (x; y) : x = x 0 y = y x 0 = x 0 y 0 = ky k En adaptant le raisonnement précédent, on obtient g(x) = f( x) k Si G g est l'image de G f par contraction d'un facteur k autour de l'axe des x, alors ( ) g(x) = f x et réciproquement. k

20 c) Etirement d'un facteur k autour de l'axe des y (k > 1) 32 P 0 (x 0 ; y 0 ) P (x; y) G f y = f(x) G g y = f x k Un étirement d'un facteur k autour de l'axe des y transforme G f en G g. Le point P 0 (x 0 ; y 0 ) de G f est transformé en le point P (x; y) : P 0 est un point de G f donc y 0 = f(x 0 ) x = kx 0 y = y 0 x 0 = x k y 0 = y y = f x k Mais P est un point de G g donc y = g(x) En comparant ces dernières égalités, on a g(x) = f x k Si G g est l'image de G f par étirement d'un facteur k autour de l'axe des y, alors g(x) = f x k et réciproquement. d) Contraction d'un facteur k autour de l'axe des y (k > 1) P (x; y) P 0 (x 0 ; y 0 ) G g y = f( kx) G f y = f(x) Une contraction d'un facteur k autour de l'axe des y transforme G f en G g. Le point P 0 (x 0 ; y 0 ) de G f est transformé en le point P (x; y) : x = x 0 x 0 = kx k y y = y 0 = y 0 En adaptant le raisonnement précédent, on obtient g(x) = f( kx) Si G g est l'image de G f par contraction d'un facteur k autour de l'axe des y, alors g(x) = f( kx) et réciproquement.

21 3) Symétries de graphes 33 a) Symétrie par rapport à l'axe des y P (x; y) P 0 (x 0 ; y 0 ) G g y = f( x) G f y = f(x) Une symétrie par rapport à l'axe des y transforme G f en G g. Le point P 0 (x 0 ; y 0 ) de G f est transformé en le point P (x; y) : P 0 est un point de G f donc y 0 = f(x 0 ) y = f( x) x = x 0 y = y 0 x 0 = x y 0 = y Mais P est un point de G g donc y = g(x) En comparant ces dernières égalités, on a g(x) = f( x) Si G g est l'image de G f par une symétrie par rapport à l'axe des y, alors g(x) = f( x) et réciproquement. b) Symétrie par rapport à l'axe des x P 0 (x 0 ; y 0 ) G f y = f(x) Une symétrie par rapport à l'axe des x transforme G f en G g. Le point P 0 (x 0 ; y 0 ) de G f est transformé en le point P (x; y) : x = x 0 x 0 = x y = y 0 y 0 = y En adaptant le raisonnement précédent, on obtient g(x) = f( x) P (x; y) G g y = f( x) Si G g est l'image de G f par une symétrie par rapport à l'axe des x, alors g(x) = f( x) et réciproquement.

22 c) Symétrie par rapport à l'origine 34 P 0 (x 0 ; y 0 ) G f y = f(x) G g y = f( x) P (x; y) Une symétrie par rapport à l'origine transforme G f en G g. Le point P 0 (x 0 ; y 0 ) de G f est transformé en le point P (x; y) : P 0 est un point de G f donc y 0 = f(x 0 ) Mais P est un point de G g donc y = f( x) y = f( x) y = g(x) x = x 0 y = y 0 x 0 = x y 0 = y En comparant ces dernières égalités, on a g(x) = f( x) Si G g est l'image de G f par une symétrie par rapport à l'origine, alors g(x) = f( x) et réciproquement. Exercices 14) Voici le graphe d'une fonction f : x f(x). Représenter sur papier quadrillé les graphes de g : x g(x) = f(x/2) h : x h(x) = f(x) + 2 i : x i(x) = f( x) j : x j(x) = f(2x) k : x k(x) = f(x + 2) l : x l(x) = f( x) m : x m(x) = 2f(x)

23 15) Voici le graphe d'une fonction g : x g(x). Exprimer g(x) à l'aide d'une fonction usuelle. 35 a) b) c) d) e) f)

24 g) 36 h) i) j) k) 16) a) Si f(x) = x 3 + cos(x), f(x 2) + 7 = b) Si f(x 3) = x , f(x) = x 3 c) Si f(x + 2) =1+ x 2 + sinx, f(x) 1=

25 37 d) Si f(x) = cos(x) + sin(x 1), f(x + 1) = e) Si f(x) = 3, f(5x) = f) Si f(x) = x 3, f(2x) = g) Si f(3x) = cos(3x) + 3x, f(x) = h) Si f(x) = x 3, f(x) + 1 = 17) Dans les graphiques suivants sont représentés : 3 - en pointillés le graphe G f de la fonction f : x f(x) = x, - en trait plein le graphe d'une nouvelle fonction, obtenu par une transformation de G f. Déterminer dans chaque cas l'expression analytique de la nouvelle fonction. a) a : x a(x) b) b : x b(x)

26 c) c : x c(x) 38 d) d : x d(x) e) e : x e(x) 18) Soit f : x f(x) = x. Représenter le graphe de a : x a(x) = 2f(x) b : x b(x) = f(2x) c : x c(x) = f(x +1) d : x d(x) = f(x) +1 e : x e(x) = f( x) g : x g(x) = f(x)

27 Corrigé des exercices 39 14) Dans chaque graphique, le graphe de f est représenté en trait fin en pointillé et le graphe de la nouvelle fonction (g, h, i, j, k, l, ou m) en trait épais et plein. g : x g(x) = f(x/2) h : x h(x) = f(x) + 2 i : x i(x) = f( x)

28 j : x j(x) = f(2x) k : x k(x) = f(x + 2) 40 l : x l(x) = f( x) m : x m(x) = 2f(x)

29 15) Expression de g(x) à l'aide d'une fonction usuelle. 41 a) Fonction usuelle : f : x f(x) = x 2. G f est transformé en G g par une translation de vecteur v (3; 2). ( ) + v y ( ) + 2 ( ) g(x) = f x v x = f x 3 = x 3 = x 2 6x = x 2 6x +11 v x = 3 v y = 2. b) Fonction usuelle : f : x f(x) = x. G f est transformé en G g par une translation de vecteur v (3; 2). ( ) + v y ( ) + 2 g(x) = f x v x = f x 3 = x v x = 3 v y = 2.

30 42 c) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g par un étirement d'un facteur 2 autour de l'axe des x. g(x) = 2f(x) = 2cos(x) d) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g par une symétrie par rapport à l'axe des x. g(x) = f(x) = cos(x) e) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g par une contraction d'un facteur 2 autour de l'axe des y. g(x) = f(2x) = cos(2x) f) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g par un étirement d'un facteur 2 autour de l'axe des y. g(x) = f(x/2) = cos(x/2)

31 g) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g à la fois par un étirement d'un facteur 2 autour de l'axe des y et par un étirement d'un facteur 2 autour de l'axe des x. g(x) = 2f(x/2) = 2cos(x/2) 43 h) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g à la fois par une contraction d'un facteur 2 autour de l'axe des y et par un étirement d'un facteur 2 autour de l'axe des x. g(x) = 2f(2x) = 2cos(2x) i) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g par une translation de 1 vers le haut. g(x) = f(x) + 1 = cos(x) + 1 j) Fonction usuelle : f : x f(x) = sin(x) G f est transformé en G g par une translation de 1 vers le haut. g(x) = f(x) + 1 = sin(x) + 1

32 44 k) Fonction usuelle : f : x f(x) = cos(x) G f est transformé en G g à la fois par une contraction d'un facteur 2 autour de l'axe des y et par une symétrie par rapport à l'axe des x. g(x) = f(2x) = cos(2x) 16) a) Si f(x) = x 3 + cos(x), f(x 2) + 7 = ( x 2) 3 + cos(x 2) + 7 b) Si f(x 3) = x x 3 + 2, f(x) = x + 1 x + 2 c) Si f(x + 2) =1+ x 2 + sinx, f(x + 2) =1+ ( x + 2 2) 2 + sin( x + 2 2), f(x) =1+ ( x 2) 2 + sin( x 2), f(x) 1=1+ ( x 2) 2 + sin( x 2) 1 = ( x 2) 2 + sin( x 2) = x 2 2x sin( x 2) d) Si f(x) = cos(x) + sin(x 1), f(x + 1) = cos(x + 1) + sin(x + 1 1) = cos(x + 1) + sin(x) e) Si f(x) = 3, f(5x) = 3 f) Si f(x) = x 3, f(2x) = (2x) 3 = 8x 3 g) Si f(3x) = cos(3x) + 3x, f(x) = cos(x) + x h) Si f(x) = x 3, f(x) + 1 = x 3 + 1

33 3 17) Fonctions dont le graphe est transformé du graphe G f de f : x f(x) = x, 45 a) a : x a(x) G f est transformé en G a par un étirement d'un facteur 2 autour de l'axe des x. Par exemple, le point (8; 2) de G f est transformé en le point (8; 4) de G a ; le point (1; 1) de G f est transformé en le point (1; 2) de G a. 3 a(x) = 2f(x) = 2 x b) b : x b(x) G f est transformé en G b par une contraction d'un facteur 2 autour de l'axe des y. Par exemple, le point (8; 2) de G f est transformé en le point (4; 2) de G b ; le point (1; 1) de G f est transformé en le point (1/2; 1) de G b. b(x) = f(2x) = 3 2x

34 c) c : x c(x) 46 G f est transformé en G c par une symétrie par rapport à l'axe des x. Par exemple, le point (8; 2) de G f est transformé en le point (8; 2) de G c ; le point (1; 1) de G f est transformé en le point (1; 1) de G c. 3 c(x) = f(x) = x d) d : x d(x) v x = 2 G f est transformé en G d par une translation de vecteur (2; 1). v y = 1. Par exemple, le point (0; 0) de G f est transformé en le point (2; 1) de G d ; le point (1; 1) de G f est transformé en le point (3; 0) de G d. 3 d(x) = f(x v x ) + v y = f(x 2) 1= x 2 1 e) e : x e(x) G f est transformé en G e par une translation horizontale de 3 unités vers la gauche. Par exemple, le point (0; 0) de G f est transformé en le point ( 3; 0) de G e ; le point (1; 1) de G f est transformé en le point ( 2; 1) de G e. 3 e(x) = f(x + 3) = x + 3

35 18) f : x f(x) = x. 47 a : x a(x) = 2f(x) = 2 x G f est transformé en G a par un étirement d'un facteur 2 autour de l'axe des x. b : x b(x) = f(2x) = 2x G f est transformé en G b par une contraction d'un facteur 2 autour de l'axe des y. c : x c(x) = f(x +1) = x +1 G f est transformé en G c par une translation horizontale d'une unité vers la gauche.

36 d : x d(x) = f(x) +1= x G f est transformé en G d par une translation verticale d'une unité vers le haut. e : x e(x) = f( x) = x = x G f est transformé en G e par une symétrie par rapport à l'axe des y. g : x g(x) = f(x) = x G f est transformé en G g par une symétrie par rapport à l'axe des x.

37 Détermination analytique du domaine de fonctions 49 Dans les exercices qui suivent, nous utiliserons les notions suivantes. Une fonction partout définie est une fonction dont le domaine est R. La condition d'existence (CE) d'une fonction f : x f(x) est la condition que doit vérifier x pour que f(x) existe. Exercices 20) Parmi les fonctions usuelles (pages 25 et 26), chercher celles qui ne sont pas partout définies et, pour ces fonctions usuelles non partout définies, exprimer la CE et le domaine. 21) Déterminer la CE et le domaine des fonctions suivantes. a) f : x f(x) = (x + 1) 2 b) f : x f(x) = x +1 c) f : x f(x) = sin(x + 1) d) f : x f(x) = tan x + π 2 e) f : x f(x) = 1 x 2 f) f : x f(x) = x g) f : x f(x) = tan( 3x) h) f : x f(x) = 3 x i) 1 f : x f(x) = 2 5x 2 j) f : x f(x) = 3 2x k) f : x f(x) = 3+ 2 x +1 l) f : x f(x) = 2 8x 1 6 m) f : x f(x) = 2 + 3cos 3x π 4 n) f : x f(x) = 2 + 3tan 3x π 4

38 Fonctions usuelles non partout définies 50 Seules trois des fonctions usuelles ne sont pas partout définies. Fonction inverse f : x f(x) = 1 x CE : x 0 dom f = R \ {0} ou dom f = ; 0[ ]0; Fonction racine f : x f(x) = x CE : x 0 dom f = [0;

39 51 Fonction tangente f : x f(x) = tan(x) CE :... et x 3π 2 et x π 2 et x π 2 et x 3π 2 et x 5π 2 et... ou CE : x π 2 + kπ, k Z dom f = R \...; 3π 2 ; π 2 ; π 2 ; 3π 2 ; 5π 2 ;... ou dom f = R \ π 2 + kπ; k Z

40 Corrigé des exercices 52 20) Voir pages 50 et ) Détermination de la CE et du domaine d'une fonction. a) f : x f(x) = (x + 1) 2 Pas de CE. dom f = R. b) f : x f(x) = x +1 CE : x +1 0 x 1 dom f = [ 1; c) f : x f(x) = sin(x + 1) Pas de CE. dom f = R. d) f : x f(x) = tan x + π 2 CE : x + π 2 π 2 + kπ, k Z x kπ, k Z dom f = R \ {kπ; k Z} e) f : x f(x) = CE : x 2 0 x 2 dom f = R \ {2} 1 x 2 f) f : x f(x) = x CE : x 0 x 0 dom f = ; 0] g) f : x f(x) = tan( 3x) CE : dom f = R \ 3x π 2 + kπ, k Z x 1 π kπ, k Z x π 6 + k π 3, k Z π 6 + k π 3 ; k Z h) f : x f(x) = 3 x CE : x 0 dom f = [0; 1 i) f : x f(x) = 2 5x 2 CE : 5x 2 0 5x 2 x 2 5 dom f = R \ 2 5 j) f : x f(x) = 3 2x CE : 3 2x 0 2x 3 2x 3 x 3 2 dom f = ; 3 2 k) f : x f(x) = x +1 CE : x +1 0 x 1 dom f = [ 1; l) f : x f(x) = CE : 8x 1 0 8x 1 x 1 8 dom f = R \ x 1 6 m) f : x f(x) = 2 + 3cos 3x π 4 Pas de CE. dom f = R.

41 n) f : x f(x) = 2 + 3tan 3x π 4 53 CE : 3x π 4 π 2 + kπ, k Z 3x π 2 + π 4 + kπ, k Z 3x 3π 4 + kπ, k Z x 1 3π kπ, k Z x π 4 + k π 3, k Z dom f = R \ π 4 + k π 3 ; k Z A retenir Les fonctions de l'exercice 21) résultent toutes de manipulations de fonctions usuelles et, dans ces cas, on ne rencontre que trois types de CE. 1 er type de CE Dénominateur 0. Exemple : 1 f(x) = x +1 CE : 2x e type de CE Expression sous radical 0. Exemple : f(x) = 5 2x CE : 2x e type de CE Argument d'une tangente π + kπ, k Z. 2 Exemple : f(x) = 5tan( 2x + 1) + 3. CE : 2x +1 π + kπ, k Z. 2