[EXERCICES TS VERS BAC BANC] a. Démontrer que l équation g(x)=0 admet sur [0;+ [ une unique solution. On note α cette solution.

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1 Polynésie septembre 2010 Partie1 Soit g la fonction définie sur [0;+ [ par 1. Déterminer la limite de g en Étudier les variations de la fonction g. 3. Donner le tableau de variations de g. 4. a. Démontrer que l équation g(x)=0 admet sur [0;+ [ une unique solution. On note α cette solution. b. À l aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d amplitude 10 2 de α. c. Démontrer que. 5. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x Partie2 Soit A la fonction définie et dérivable sur [0;+ [ telle que 1. Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, A (x) a le même signe que g(x), où g est la fonction définie dans la partie En déduire les variations de la fonction A sur [0;+ [. Partie3 On considère la fonction f définie sur [0;+ [ par f On note(c) sa courbe représentative dans un repère orthonormé Pour tout réel x positif ou nul, on note : M le point de(c) de coordonnées (x ; f(x)), P le point de coordonnées (x ; 0), Q le point de coordonnées (0; f(x)). 1. Démontrer que l aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse α. On rappelle que le réel α a été défini dans la partie Le point M a pour abscisse α. La tangente (T) en M à la courbe(c) est-elle parallèle à la droite (PQ)? Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Cours GAUTIER exercices révision TS exponentielle, suites, probabilité 1

2 Pondichéry avril 2011 Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure. On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups. 1. Le joueur lance une fléchette. 5 points 0 point 0 point 3 points On note p 0 la probabilité d obtenir 0 point. On note p 3 la probabilité d obtenir 3 points. On note p 5 la probabilité d obtenir 5 points. On a donc p 0 +p 3 +p 5 =1. Sachant que et que déterminer les valeurs de p 0, p 3 et p 5 2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette. On note G 2 l évènement : «le joueur gagne la partie en 2 lancers». On note G 3 l évènement : «le joueur gagne la partie en 3 lancers». On note P l évènement : «le joueur perd la partie». On note p(a) la probabilité d un évènement A. a. Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que. On admettra dans la suite que. b. En déduire p(p). 3. Pour une partie, la mise est fixée à 2 Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5. S il gagne en trois lancers, il reçoit 3. S il perd, il ne reçoit rien. On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. a. donner les valeurs de X b. Donner la loi de probabilité de X. c. Déterminer l espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur? Cours GAUTIER exercices révision TS exponentielle, suites, probabilité 2

3 Nouvelle Calédonie novembre 2009 Dans un zoo, l unique activité d un manchot est l utilisation d un bassin aquatique équipé d un toboggan et d un plongeoir. On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu il le reprenne est 0,3. Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu il le reprenne est 0,8. Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d être choisis. Pour tout entier naturel n non nul, on considère l évènement : T n : «le manchot utilise le toboggan lors de son n-ième passage.» P n : «le manchot utilise le plongeoir lors de son n-ième passage.» On considère alors la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n 1 par : u n =p(t n ) où p(t n ) est la probabilité de l évènement T n 1. a. Donner les valeurs des probabilités p(t 1 ), p(p 1 ) et des probabilités conditionnelles p T1 (T 2 ), p P1 (T 2 ). b. Montrer que p(t 2 )=. c. Démontrer que pour tout entier n 1, u n+1 =0,1u n +0,2. d. À l aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite (u n ). 2. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n 1 par : v n =u n. a. Démontrer que la suite (v n ) est géométrique de raison. Préciser son premier terme. b. Exprimer v n en fonction de n. En déduire l expression de u n en fonction de n. c. Calculer la limite de la suite (u n ). Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1.e.? Antilles-Guyane juin 2011 Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct. On prendra 2cm pour unité graphique. On appelle J le point d affixe i. 1. On considère les points A, B, C, H d affixes respectives a= 3 i, b= 2+4i, c=3 i et h= 2. Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l exercice. Cours GAUTIER exercices révision TS exponentielle, suites, probabilité 3

4 2. Montrer que J est le centre du cercle C circonscrit au triangle ABC. Préciser le rayon du cercle C. 3. Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe En déduire que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires. Dans la suite de l exercice, on admet que H est l orthocentre du triangle ABC, c està-dire le point d intersection des hauteurs du triangle ABC. 4. On note G le centre de gravité du triangle ABC. Déterminer l affixe g du point G. Placer G sur la figure. 5. Montrer que le centre de gravité G, le centre du cercle cironcscrit J et l orthocentre H du triangle ABC sont alignés. Le vérifier sur la figure. 6. On note A le milieu de [BC] et K celui de [AH]. Le point A a pour affixe a. Déterminer l affixe du point K. b. Démontrer que le quadrilatère KHA J est un parallélogramme. Pondichéry avril 2010 On considère la suite (u n ) n N définie par: u 0 =1 et pour tout n N, u n+1 = u n +n Calculer u 1, u 2 et u a. Démontrer que pour tout entier naturel n 4, u n 0. b. En déduire que pour tout entier naturel n 5, u n n 3. c. En déduire la limite de la suite (u n ) n N. 3. On définit la suite (v n ) n N par: pour tout n N, v n = 2u n +3n a. Démontrer que la suite (v n ) n N est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme. b. En déduire que: pour tout n N, u n = c. Soit la somme S n définie pour tout entier naturel n par: S n = Déterminer l expression de S n en fonction de n Cours GAUTIER exercices révision TS exponentielle, suites, probabilité 4

5 Centre étrangers juin 2010 Soit f la fonction définie sur l intervalle [0;+ [ par: f(x)= Le but de cet exercice est d étudier des suites (u n ) définies par un premier terme positif ou nul u 0 et vérifiant pour tout entier naturel n : u n+1 =f (u n ). 1. Étude de propriétés de la fonction f a. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [0;+ [. b. Résoudre dans l intervalle [0;+ [ l équation f(x)=x. On note α la solution. c. Montrer que si x appartient à l intervalle [0 ;α], alors f(x) appartient à l intervalle [0;α]. De même, montrer que si x appartient à l intervalle [α ; + [ alors f(x) appartient à l intervalle [α;+ [. 2. Étude de la suite (u n ) pour u 0 =0 Dans cette question, on considère la suite (u n ) définie par u 0 =0 et pour tout entier naturel n : u n+1 =f (u n ) a. représenter les courbes d équations y=x et y= f(x). Placer le point A0 de coordonnées (u 0 ; 0), et, en utilisant ces courbes, construire à partir de A 0 les points A 1, A 2, A 3 et A 4 d ordonnée nulle et d abscisses respectives u 1, u 2, u 3 et u 4. Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite (u n )? b. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, 0 u n u n+1 α. c. En déduire que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite. Cours GAUTIER exercices révision TS exponentielle, suites, probabilité 5