Si une isométrie fixe trois points non alignés de P, c est l identité de P.

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1 Isométries du plan Nous allons représenter les isométries du plan par des opérations algébriques. ais un peu de géométrie sera nécessaire au préalable. Nous considérons ici le plan euclidien P, c est-à-dire le plan muni de la distance usuelle : d(a, B) désigne la distance entre deux points A et B; c est la longueur du segment AB éfinition Une isométrie du plan est une fonction f : P P telle que pour tous points A et B dans P, on ait d( f (A), f (B)) d( A, B). En d autres termes, f conserve les distances entre les points. Nous notons i l ensemble des isométries du plan. Nous verrons plus loin que c est un groupe sous la composition, et que toute isométrie est une bijection P P éfinition Une isométrie f fixe le point P si f ( ). Un tel point s appelle un point fixe de f Théorème Si une isométrie fixe trois points non alignés de P, c est l identité de P. Rappelons que l identité de P est la fonction id : P P telle que id( ) pour tout point dans P. C est bien une isométrie. émonstration Prenons trois points fixes A, B, C non alignés de l isométrie f. Remarquons qu un point du plan est entièrement déterminé par les distances d(a, ), d(b, ), d(c, ) (voir figure 18.1); pour s en convaincre, il suffit de regarder l intersection des trois cercles de rayon d(a, ), d(b, ) et d(c, ) centrés respectivement en A, B et C. Comme f est une isométrie, on a d(a, ) d( f ( A), f ( )) d( A, f ( )),d(b, ) d(b, f ( )),d(c, ) d(c, f ( )). Comme et f ( ) ont les mêmes distances à A, B, C, on doit avoir f ( ). 155

2 B A C Figure 18.1 Ceci est vrai quel que soit, donc f id. u 18.4 éfinition Soit une droite du plan P. La réflexion (ou la symétrie) par rapport à est la fonction f décrite dans la figure 18.2, où H est la projection orthogonale de sur, et d(, H) d(h, f ( )). H f() Figure Théorème Une réflexion est une isométrie. 156

3 A H B K C f(a) A f() Figure 18.3 émonstration Prenons A et comme en figure Traçons les parallèles AB et A C à la droite. On obtient deux rectangles AKHB et KA CH. On a donc les égalités de distances d(a, B) d( A, C) et d(b, H ) d(h, C). Comme on a, par définition de la figure, d(, H) d(h, ), on en déduit d(, B) d(c, ) Les deux triangles rectangles AB et A C ont donc les deux côtés adjacents à l angle droit égaux. Ils sont donc égaux, et d(a, ) d( A, ), i.e d(a, ) d( f (A), f ( )). Lorsque A et ne sont pas du même côté de, un raisonnement analogue conduit à la même conclusion. Ceci est vrai quel que soient les points A et, et f est une isométrie. u Le lecteur remarquera qu une réflexion par rapport à la droite fixe tous les points de Théorème Si une isométrie, distincte de l identité, fixe deux points distincts, c est une réflexion. émonstration Soit f l isométrie et A, B deux points fixes distincts de f. Soit la droite AB; nous montrons que f est la réflexion par rapport à. Soit P. 157

4 A B f () Figure 18.4 Prenons d abord, comme dans la figure Comme f est une isométrie, on a d(a, ) d( A, f ( )) et d(b, ) d(b, f ( )). Un coup d oeil à la figure montre que f ( ) doit être comme représenté (on ne peut pas avoir f ( ), sinon f id d après le th. 18.3). L égalité des distances ci-dessus montre que est la médiatrice du segment f ( ). Par suite f ( ) est le symétrique de par rapport à. Si, alors les égalités de distance ci-dessus montrent que f ( ). onc f est la réflexion par rapport à. Nous pouvons, par le choix d une origine et d un repère orthonormé, identifier le plan euclidien avec C (cf. chap. 8). Si les points, correspondent aux nombres complexes z, z, leur distance d(, ) est égale au module z z Si donc l on identifie P avec C, une isométrie est une fonction f : C C telle que z, z C, f (z) f ( z ) z z u 18.7 éfinition Soient a, b des nombres complexes. Les fonctions f a, b et f a, b de C dans C sont définies par : f a, b (z) az b, f a, b az b. On a f a, b f c, d (z) f a, b (cz d) a(cz d) b acz ad b f ac, ad b (z). où f a, b f c, d f ac, ad b (18.1) 158

5 e manière tout-à-fait analogue à ci-dessus, on vérifie les formules f a, b f c, d f ac, ad b f a, b f c, d f ac, ad b (18.2) f a, b f c, d f ac, ad b (utiliser le fait que z z est un homomorphisme d anneau, cf. exercice 8.9) Théorème Si l on identifie le plan euclidien P à C, alors l ensemble i des isométries du plan s identifie à l ensemble qui est un groupe sous la composition. émonstration ontrons d abord que i est un groupe. i f a,b a,b C, a 1 f a,b a,b C, a 1, Comme a 1 c implique ac 1 ac, les formules (18.1) et (18.2) montrent que la composée de deux fonctions dans i est encore dans i e plus, id f 1, 0, donc i est un monoïde. La formule (18.1) montre que la fonction réciproque de f a, b est f a 1, a 1b ; de même, la dernière des formules (18.2) montre que la fonction réciproque de f a, b est f 1 1 a, a b. onc i est un groupe, car a 1 a 1 1 a 1 On remarquera que si a 1 alors a a 1, donc on peut 1 1 aussi écrire : f a, b fa, a b et f a, b f a, ab (en particulier, f 1 1 a, 0 = f a,0 et f a, 0 f a, 0 ). En conclusion i est un groupe. ontrons maintenant que chaque fonction dans i est une isométrie. On a en effet f a, b (z) f a, b ( z ) az b (az b) a(z z ) a z z z z, puisque a 1; de plus f a, b (z) f a, b ( z ) az b (az b) a(z z ) a(z z ) a z z z z onc f a, b et f a, b sont des isométries. Il reste à vérifier que toute isométrie est dans i. Soit f une isométrie quelconque. Posons b f (0) et a ( f 1, b f )(1). On a ( f 1, b f )(0) f 1, b (b) b b 0. onc f 1, b f fixe 0 et envoie 1 sur a. e plus, c est une isométrie, comme produit de deux isométries. onc a est de module 1 car 1 d(1, 0) d(a, 0) a. Posons g f a, 0 f 1, b f. abord, f a, 0 et f 1, b f 159

6 fixent 0, donc g aussi; ensuite, g(1) ( f a, 0 f 1, b f )(1) f a, 0 (a) aa 1, donc g fixe 1. Comme g fixe 0 et 1, g est, d après le th. 18.6, soit l identité, soit la réflexion par rapport à l axe des x; cette réflexion n est autre que la fonction z z, i.e f 1,0. onc, dans le premier cas, f a, 0 f 1, b f id, ce qui implique f f 1, b f a, 0 f a,b ; dans le deuxième cas, f a, 0 f 1, b f f 1, 0, ce qui implique f f 1, b f a, 0 f 1, 0 f a, b. ans tous les cas f est dans i, ce qui achève la preuve. u Nous allons maintenant «classifier» (comme on dit en mathématiques) les isométries du plan; nous avons déjà vu l identité, et les réflexions éfinition La rotation d angle autour du point A est la fonction P P décrite dans la figure f() d(a, ) = d(a, f()) A Rotation d'angle autour de A Figure 18.5 Une translation de vecteur v est la fonction décrite dans la figure v f() f() v Translation de vecteur v Figure 18.6 Une transflexion de droite et vecteur v (où et v sont parallèles) est la fonction P P décrite dans la figure

7 v H f() f () v d(h, ) d(h, ) Transflexion de droite et vecteur v Figure 18.7 Une rotation consiste donc à faire tourner le point autour d un point A, d un angle donné; A est point fixe de la rotation; c est l unique point fixe si la rotation n est pas l identité. Une translation revient à déplacer d un vecteur donné v le point ; il n y a pas de point fixe si v 0. Et une transflexion est une réflexion suivie d une translation parallèle à la droite fixe de la réflexion; il n y a pas de point fixe si v 0, mais la droite est invariante (la définition d invariante suit). Lorsque v 0, la transflexion est une réflexion éfinition Soit f : P P une fonction. Une partie E de P est invariante sous f si f (E) E. Un point fixe est donc une partie invariante réduite à un point. La classification des isométries sera faite dans les exercices : on y montre que toute isométrie est soit une rotation, soit une translation, soit une transflexion. Exercices résolus *1. a) ontrer que l ensemble des isométries qui fixent 0, noté i 0, est un sous-groupe de i. b) ontrer que : f a, b (resp. f a, b ) i 0 b ontrer que d f a, b a,b C, a 1 est un sous-groupe normal de i. Une isométrie dans d s appelle un déplacement (on dit aussi que c est une isométrie qui préserve l orientation). 161

8 *3. a) ontrer que d 0 d i 0 est un sous-groupe normal de i 0. b) ontrer que d 0 f a,0 a C, a 1. c) ontrer que d 0 est isomorphe au groupe multiplicatif des nombres complexes de module ontrer que si a= e i, f a, 0 est la rotation d angle autour de 0. *5. ontrer que si a= e 2i, f a, 0 est la réflexion par rapport à la droite passant par 0, et qui fait un angle avec l axe des x (cf. figure 18.8) 0 = 0 = 2 0 x Figure ontrer que si une isométrie fixe exactement un point, c est une rotation (on peut choisir l origine comme ce point fixe, et appliquer les ex. 1, 4 et 5). *7. ontrer qu une rotation est un produit de deux réflexions (utiliser l ex. 5). 8. ontrer qu une isométrie est une translation si et seulement si elle est de la forme f 1, b. Soit t l ensemble des translations. ontrer que t est un sous-groupe normal de i, isomorphe au groupe C additif. *9. ontrer qu un déplacement soit a au moins un point fixe, soit est une translation (résoudre l équation z f a, b (z)). En déduire que d {rotations} {translations}. 10. ontrer que le produit de deux isométries qui ne sont pas des déplacements est un déplacement. 162

9 Exercices non résolus 11. ontrer qu une translation est un produit de deux réflexions (cf. figure 18.9). K P H HP v H K PK 2 HK 2v Figure 18.9 *12. Soit f une isométrie qui n est pas un déplacement. ontrer que c est un produit t r, où t est une translation et r une réflexion (utiliser la preuve du th. 18.8). Soit v le vecteur de la translation t, la droite des points fixes de r, v w u, où w (resp. u ) est perpendiculaire (resp. parallèle) à, et la droite décrite dans la figure u v w ontrer que t t Figure t, où t (resp. t ) est la translation de vecteur u (resp. w ). 163

10 Utiliser l exercice 11 pour montrer que t r r, où r est la symétrie par rapport à En déduire que f est la transflexion de droite et vecteur u. *13. Le groupe diédral d ordre n est n f a,0 a n 1 f a,0 an 1.. ontrer que c est un sous-groupe de i 0, de cardinalité 2n. ontrer que si n 2, n est l ensemble des isométries f telles que f E E, où E est l ensemble des racines n-èmes de l unité (montrer d abord que f 0 0 ). 14. ontrer que i admet d comme sous-groupe normal d indice deux et que i / d est isomorphe à Z /2Z. *15. Trouver tous les éléments d ordre fini dans i. 164