Devoir Surveillé Vendredi 8 Avril

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1 Devoir Surveillé Vendredi 8 Avril BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain $\ CC BY: Durée : h Exercice inspiré de Véto 997) 8.5 Dans la savane, les lionnes chassent des gazelles et des zèbres pour le lion. La population de gazelles et de zèbres est suffisamment importante pour que la population de chaque espèce reste stable malgré la chasse. La probabilité pour que les lionnes ramènent une gazelle est de /, celle pour qu elles rapportent un zèbre est de /. Les repas du lion ne sont composés que d une proie à chaque fois. On suppose que la composition d un repas est indépendante des repas précédents. On observe le lion sur une assez grande période. Pour n, on note E n l événement «le lion a mangé une gazelle deux fois de suite, pour la première fois, aux n e et n e repas», et on note u n PE n ). Pour n, on appelle G n l événement «le lion a mangé une gazelle au n e repas», et Z n l événement «le lion a mangé un zèbre au n e repas».. Calculer u, c est-à-dire la probabilité pour que lors des deux premiers repas, le lion ait mangé deux gazelles.. Exprimer les événements E et E 4 en fonction des événements Z i ) i 4 et G i ) i 4. En déduire u et u Calculer PE 4 Z ) et PE 4 G Z ). 4. Soit n 4. Expliquer pourquoi PE n Z ) u n.5 Exprimer de même PE n G Z ) et PE n G G ) 5. Montrer que n 4, u n u n + 9 u n être précis dans le raisonnement).5 6. Donner pour tout n l expression explicite de u n en fonction de n. 7. Pour n, calculer p n, la probabilité de n E i, et chercher sa limite quand n tend vers +. i Interpréter ce résultat. Correction :. D après l énoncé, pour tout n N, PG n ) et PZ n), et les G n sont mutuellement indépendants. ) u PE ) PG G ) PG )PG ). u 4 9. On a d après l énoncé : E Z G G et E 4 Z G G 4. On peut aussi écrire : E 4 G Z G G 4 ) Z Z G G 4 ) union disjointe). On obtient alors en utilisant l indépendance des tirages : u et u 4. Au final, on a le résultat u u

2 . PE 4 Z ) PE 4 Z ) PZ Z G G 4 ) PZ ) PZ ) PE 4 G Z ) PE 4 G Z ) PG Z ) 4 7 Il n est pas évident que E 4 et Z sont indépendants. PG Z G G 4 ) PG Z ) Note: On pouvait deviner les résultats en lisant la question suivante. 4. PE n Z ) PZ E n ) PZ ) Rédaction : Notons F n l événement «à partir du e repas, le lion mange gazelles de suite pour la première fois aux n e et n e repas» F n a la même probabilité que E n. On peut écrire Z E n Z F n, et comme F n ne concerne que les repas à n, Z et F n sont indépendants. Donc PZ F n ) PZ )PF n ). D où PE n Z ) PF n ) PE n ) u n Rédaction : Sachant que Z est réalisé, obtenir E signifie que les tirages à n forment une séquence de taille n qui vérifie la propriété : «le lion mange gazelles de suite pour la première fois aux deux derniers repas». Cette séquence est donc élément de E n. Ainsi, sachant Z, tout se passe comme si le compteur de gazelle était remis à, et que l expérience recommence au deuxième repas. Donc obtenir E n à partir de Z signifie que les a la même probabilité qu obtenir E n à partir du début. De même, PE n G Z ) PE n ) u n, car si G Z est réalisé, on recommence à zéro à partir du repas seuls les repas à n sont comptabilisés pour obtenir G de suite) Enfin, PE n G G ), car si G G est réalisé, alors E est réalisé, donc pas E n car n 4). 5. Les événements Z, G Z, G G forment un système complet d événements. On applique la formule des probabilités totales pour exprimer PE n ) : PE n ) PE n Z )PZ ) + PE n G Z )PG Z ) + PE n G G )PG G ) D où d après la question précédente) u n u n + 9 u n 4 9 On attends la description du système complet d événements, ou la relation : E n E n Z ) E n G Z ), union disjointe. 6. La suite u n ) vérifie une relation de récurrence linéaire, d équation caractéristique r r 9, qui admet comme solutions et. Donc il existe deux réels a et b tels que n, u n a n donne 4 9 a 9 + 4b 9, donc 4 a + 4b n n + b ) )

3 n donne 4 7 a 7 + 8b, donc 4 a + 8b. 7 Ces équations donnent a 4 et b. Donc n, u n 4 n 4) ) n + ) n ) n+ 4 n+ ce qu on peut vérifier avec ) Il faut savoir faire ces petits calculs sans erreurs. 7. Les E i sont à disjoints, à cause du terme pour la première fois. En effet, si un tirage ω E i E j, avec i < j, il est clair que l événements deux gazelles sont mangées deux fois de suites a lieu pour la première fois au repas i et i, et donc pas en j et j. Ainsi : p n n PE i ) n u i somme de suites géométriques). On obtient : i i n ) i+ n p n 4 i i n ) i 4 ) i ) n ) 4 ) ) [ ) n+ ) n i ) i ) + ) n ] 4 4 ) ) n+ + ) n+ ) n ) ) ) n ) n+ Après simplification cela donne : p n ) n+ Donc p n. n+ L événement «le lion mange gazelles de suite» se produit donc de manière quasi-certaine.

4 Exercice Étude d une suite d intégrales et application au calcul d une somme t n. Pour tout entier naturel n, on note I n dt, montrer en utilisant un encadrement que + t I n converge et déterminer sa limite..5. Montrer que I n n..5 n ) k. Pour tout n N, on note S n. Montrer que.5 k + k n N, S n dt + t + )n I n+ 4. En déduire que la suite S n ) n converge vers ln) Déterminer un équivalent de ln S n, quand n tend vers +. Correction :. La technique est simple : on part d une estimation globale que l on intègre. Ce qui donne : D où par encadrement t [, ], + t. t [, ], lim I n. t n tn + t tn. t n dt I n t n dt n + ) }{{} I n n + }{{} Attention, ce n est pas parce que t [, [, lim t n +t que I n tends vers.. Il faut utiliser une intégration par parties, avec les fonctions : Cela donne : u t) t n ut) n+ tn+ vt) +t v t) I n t n + t dt [ t n+ ] n + + t) + n + n + ) + n + +t). t n+ + t) dt. t n+ + t) dt 4

5 Il faut ensuite utiliser la technique vue à la question précédente : On en déduit : t [, ], + t) t [, ], et donc I n n + ) On peut aussi écrire I n t n + t tn. donc n + )I n + n. t n+ n + ) + n + o) + t) dt. t n+ + t) dt n + ). ) n + ) + o n + Question relativement dure, puisque l intégration par parties n est pas donnée.. Considérons n N, on a : dt + t + )n I n+ + ) n t n+ + t t) n+ t) On reconnaît alors la somme des termes d une suite géométrique. Cela donne : D où la relation : 4. On a lim I n, et donc dt. Il faut savoir repérer les sommes connues. dt n + t + )n I n+ ) k t k dt k n ) k t k dt k n ) k k + k n N, S n lim S n S n. dt + t + )n I n+. dt dt, on obtient facilement : + t [ ] + t dt ln + t) 5 ln).

6 5. On a I n+ Exercice Soit : Gx) x n+) n donc S n ln) ) n n. Étude d une fonction définie par une intégrale x ln t + t dt.. Déterminer l ensemble de définition de G.. Montrer que G est de classe C sur son ensemble de définition..5. Calculer G Que peut-on en conclure? Correction :. Pour que Gx) soit défini, il est nécessaire que [ x, x] ou [x, x ]) soit inclus dans R + donc il est nécessaire que x >, ainsi D g R + Rédaction : Réciproquement, considérons x >, la fonction t ln t +t étant continue sur R +, on a alors : si x, [ x, x] R+, donc Gx) existe, si x, [x, x ] R+, donc Gx) existe. Rédaction : La fonction ϕ : t ln t +t étant continue sur R +, elle admet des primitives sur cet intervalle. Notons Ψ une de ces primitives, on a alors : ) x >, Gx) Ψx) Ψ. x Ce qui montre que G est définie sur R +. La deuxième rédaction est plus simple puisqu elle permets de gagner du temps pour les questions suivantes. Il faut rédiger ces questions avec rigueur, par exemple G n est pas la primitive de ϕ.. La fonction ϕ : t ln t +t étant continue sur R +, sa primitive Ψ est de classe C, L écriture ) x >, Gx) Ψx) Ψ x assure alors que G est de classe C comme composée de fonctions de classe C.. On a alors pour x > G x) ϕx) + ) x ϕ par dérivation des fonctions composées, x ln x + x + lnx) x ) + x ln x + x ln x + x. Beaucoup d erreurs dans la dérivation des fonctions composées! 4. La fonction G ayant une dérivée nulle sur l intervalle R +, elle est constante. Pensez à préciser intervalle. On attends évidement le calcul de cette constante. 6

7 On a alors : x >, Gx) G). Exercice 4 Chaîne de Markov GE) Une puce effectue des sauts aléatoires sur les trois sommets du triangle ABC. À chaque saut, elle peut soit sauter sur place, soit sauter vers un des deux autres sommets. Les probabilités pour que chaque saut de départ s effectue en A, B ou C sont respectivement a, b et c. On note A n respectivement B n et C n ) les événements «Après le n-ième saut, la puce est au point A» respectivement B, C), et a n, b n, c n leur probabilités respectives. Enfin, pour tout point M et N appartenant à {A, B, C}, on note P MN la probabilité que le saut s effectue de M vers N.. Soit n N. Montrer que a n+ p AA a n + p BA b n + p CA c n. Exprimer de même b n+ et c n+ en fonction de a n, b n et c n. ] [. Soit a,. Dans cette question, pour tous points M et N appartenant à {A, B, C} avec.5 M N, on pose p MN a et p MM a. a) Montrer la relation a n+ a)a n + a. b) En déduire l expression de a n en fonction de n..5 c) Déterminer de même une expression de b n en fonction de n..5 d) En déduire la limite de chacune des suites a n ) n N, b n ) n N et c n ) n N. Comment peut-on interpréter ce résultat.. Dans cette question, on suppose p AA, p BA p BB et p CA p CB p CC. a) Comment interpréter la condition p AA?.5 b) Déterminer les valeurs p MN manquantes..5 c) Montrer que c n ) n N est une suite géométrique et en déduire une expression de c n en.5 fonction de n, de c et de b. d) Montrer la relation : b n+ 5 6 b n+ 6 b n, pour tout n N. En déduire l expression de b n.5 en fonction de n et de c. e) Déterminer les limites des suites b n ) n N et c n ) n N. En déduire la limite de la suite a n ). Comment interpréter ce résultat? Correction :. Les événements A n, B n, C n ) forment un système complet d événements. Ainsi en utilisant les probabilités totales : pa n+ ) pa n+ A n ) + pa n+ B n ) + pa n+ C n ) p An A n+ )pa n ) + p Bn A n+ )pb n ) + p Cn A n+ )pc n ) Or p An A n+ ) est la probabilité que la puce reste en A sachant qu elle est en A au temps n, c est donc p AA. De même, p Bn A n+ ) p BA et p Cn A n+ ) p CA. D autre part, pa n ) a n et pb n ) a n, pc n ) c n par définition. Ainsi, on obtient : ) a n+ p AA a n + p BA b n + p CA c n. 7

8 Il est implicite que les probabilités de saut au temps n ne dépendent que de la position de la puce. On attends les mots Formule des probabilités totales, systèmes complets d événements, et la relation p An A n+ ) p AA. Pas de points si le raisonnement est mal rédigé. De même on obtient : ) b n+ p AB a n + p BB b n + p CB c n et c n+ p AC c n + p BC b n + p CC c n.. a) En remplaçant dans la relation ), on a : a n+ a)a n + ab n + ac n a)a n + ab n + c n ) a)a n + a a n ) car a n + b n + c n a)a n + a La relation a n + b n + c n provient du fait que A n, B n, C n ) est un système complet d événement. Si vous ne voyez pas cette relation, utilisez la réponse pour vous guider. b) La suite a n ) est arithmético-géométrique. On cherche l tel que a n l est géométrique : a n+ l a)a n + a l a)a n l) + a al. Il faut donc a al soit l, puisque a. Ainsi : a n premier terme a ) et de raison a). On conclut : a n + a)n a ). ) est géométrique, de c) On a : b n+ p AB a n +p BB b n +p CB c n donc en remplaçant : b n+ a)b n +aa n +b n ) a)b n + a. On a donc la même expression et de même : b n + a)n b ). d) On a < a <, donc < a <, en particulier a <, et donc : a)n. Il fut montrer que a <! On en déduit lim n a n et lim n b n. Comme a n + b n + c n, on a aussi lim n c n. Quelque soit la probabilités a, b, c ) de départ, les trois positions sont équiprobables si on laisse la puce faire suffisaient de saut. Cela provient de la symétrie : on peut échanger les rôles des points {A, B, C}. On attends l équiprobabilité.. a) p AA signifie que si la puce est en A elle y reste indéfiniment. 8

9 b) On a : p AB p AC p BC. En effet, si la puce est en A alors elle a trois possibilités : rester en A, aller en B, aller en C, et donc : p AA + p AB + p AC. Comme p AB et p AC sont positifs, on obtient les deux premières relations. La troisième provient de p BA + p BB + p BC. Note : la rédaction précise de la démonstration de la formule p AA + p AB + p AC est : A, B, C ) est un système complet d événements donc : pa ) pa A ) + pb A ) + pc A ) pa )p A A ) + pa )p A B ) + pa )p A C ) pa )p A A ) + pa )p A B ) + pa )p A C ) pa )p AA + p AB + p AC ). En divisant par pa ), on obtient la relation. c) On écrit les relations ) et ) : a n+ a n + b n + c n b n+ b n + c n c n+ c n. Il est alors clair que c n ) est géométrique de raison et donc : c n c d) On a : b n+ b n + c n, donc : c n b n+ b n n ). b n+ b n+ + c n+ b n+ + 9 c n b n+ + b n+ ) 9 b n 5 6 b n+ 6 b n. Il faut savoir faire ces petits calculs : on veut simplement éliminer c n avec les relations de la questions précédentes pour se ramener à une suite récurrente linéaire d ordre. La suite b n ) est donc récurrente linéaire d ordre. L équation caractéristique est : r 5 6 r + 6, qui admet comme solution et. On sait alors que pour tout n N, b n s écrit sous la forme : b n α n + β. Avec les relations n au rang : b α + β, au rang : b α + β, mais on sait aussi : b b + c. On obtient donc le système : α + β b α + β b + c soit β c α + β b + c 9 l l l l β c, soit α b + c.

10 Au final : b n b + c ) n c n. e) Comme <, on a : lim c n, puis comme, et c n, on a aussi n lim b n. De la relation n N, a n + b n + c n, on déduit lim a n. Ce résultat s interprète car la puce finit toujours par passer en A et donc par y rester.