Fluctuations du travail et de la chaleur dans des systèmes mécaniques hors d équilibre

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1 Fluctuations du travail et de la chaleur dans des systèmes mécaniques hors d équilibre Frédéric Douarche Laboratoire de Physique de l ENS Lyon CNRS UMR Novembre 2005 F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

2 Plan de l exposé 1 Contexte scientifique Motivations 2 Fluctuations thermiques à l équilibre 3 Système expérimental 4 Mesure de réponse 5 Relations de Jarzynski & Crooks 6 Relations de Gallavotti-Cohen & Cohen-van Zon F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

3 Contexte scientifique Motivations Mécanique statistique d équilibre Signature de l équilibre thermodynamique? Mécanique statistique hors d équilibre Variation d énergie libre F d un système entre deux états d équilibre lors d une transformation quelconque (réversible/ irréversible)? Chaleur dissipée par un système lors d une transformation quelconque (régime transitoire/ stationnaire)? Motivations générales Thermodynamique des systèmes mésoscopiques (travail, énergie libre, chaleur, température,...) Dynamique hors d équilibre (stochastique) de ces systèmes Fonctions de corrélation, théorèmes de fluctuation F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

4 Variation d énergie libre F Égalité de Jarzynski F = F B F A = β 1 ln e βw Relation de Crooks P(W ) = P β(w F) ( W )e Chaleur dissipée / puissance injectée : théorèmes de fluctuation Théorème de Fluctuation Stationnaire π τ (p) + O(1/τ)] eτ[σ+p pour π τ ( p) Théorème de Fluctuation Transitoire τ π τ (p) π τ ( p) = eτσ+p quel que soit τ F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

5 Circuit électrique RC I(t) Q(t) C R T Charge aux bornes du condensateur : loi de Kirchoff R dq(t) dt Constante de temps τ = 1/RC + 1 C Q(t) = 0 Pas de résonance (fréquence de coupure ω c = RC = τ 1 ) Solution exponentielle Q(t) = Q 0 e t/τ t τ 0 F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

6 Fluctuations thermiques à l équilibre (1) Bruit Johnson-Nyquist aux bornes d une impédance R dq(t) dt = 1 C Q(t)+ζ(t), ζ(t) = 0, ζ(t)ζ(t ) = β 2 δ(t t ) Variance du bruit (f.e.m. aléatoire) : théorème d équipartition 1 2C VarQ(t) t τ 1 2 k BT β 2 = 2R k B T Théorème fluctuation-dissipation : filtrage linéaire de fonctions aléatoires S V (ω) = ˆχ(ω) 2 S ζ (ω) = 4R k BT 1 + (RCω) 2 4R k BT pour ω τ 1 F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

7 Modèle : oscillateur harmonique amorti k m X(t) fluide visqueux η,t Position de l oscillateur : équation de Newton m dv (t) dt = k X(t) ηv (t) Constante de temps τ relax = 2m/η = γ 1 Résonance ω 0 = k/m ω 0 = ω 2 0 γ2 3 régimes (γ ω 0 ) : oscillant amorti, apériodique, critique X(t) = ( X 0 cosω 0 t + ω 1 0 (γx 0 + V 0 ) sinω 0 t) e γt t τ relax 0 F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

8 Fluctuations thermiques à l équilibre Equation de Langevin (processus d Ornstein-Uhlenbeck) dv (t) m = k X(t) ηv (t) + ζ(t) dt ζ(t) = 0, ζ(t)ζ(t ) = β 2 δ(t t ) Variance du bruit (force aléatoire) : théorème d équipartition m 2 VarV(t) t τ relax 1 2 k BT β 2 = 2η k B T Théorème fluctuation-dissipation : filtrage linéaire de fonctions aléatoires S X (ω) = ˆχ(ω) 2 S ζ (ω) = 4η k B T ( mω 2 + k) 2 + (ηω) 2 F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

9 Filtre du 1 er et du 2ème ordre Fonction réponse S ζ (ω) ˆχ(ω) S X (ω) = ˆχ(ω) 2 S ζ (ω) ˆχ 1 (ω) = 1 1 ircω, ˆχ 2(ω) = 1 mω 2 + k iηω F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

10 Système expérimental (1) : oscillateur en flexion g 01 b 1 a 1 Encastrement Electrode l 1 ζ d ζ 0 α ζ ζ mes Miroir Rayon laser Vue de 3/4 Vue de haut Dimensions : en règle générale l 1 10 mm, a 1 1 mm, b µm m 10 3 g, ν Hz dans l air F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

11 Système expérimental (2) : oscillateur en torsion Encastrement g l 1 Courant électrique h 2 x mes θ 0 θ Circuit électrique Miroir d 2 l 2 θ l 1 d 1 d Encastrement Rayons laser Vue de 3/4 Vue de haut Dimensions : en règle générale } { l 1 4 mm, d mm, h 1 50 µm mm g, m l 5 l 2 2 mm, d 2 8 mm, h 2 1 mm ν Hz dans l air F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

12 Phd. E 0 (1 + ei[ϕ π/2] )(ẑ + ŷ) E 0 (1 ei[ϕ π/2] )(ẑ ŷ) Wollaston E 0 (ẑ + e i(ϕ π/2) ŷ) λ/4 Wollaston E 0 (1 + eiϕ )(ˆx + ŷ) E 0 (ˆx + e iϕ ŷ) Phd. E 0 (1 eiϕ )(ˆx ŷ) E 0 (ˆx + ŷ) x Calcite y z E 0 ẑ E 0 ŷ (Aller) E 0 ẑ E 0 e iϕ ŷ (Retour) Miroirs F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

13 Système de détection : interféromètre différentiel Intensité mesurée par les 4 photodiodes (2 bras) I i± = I 0 [ 1 ± cos(ϕ + ψi ) ], δ = λϕ 2πn, ψ i = π 2 δ i,2 Mesure du contraste : électronique de conditionnement faible bruit C i = I i+ I i I i+ + I i = cos (ϕ + ψ i ), C = C 1 + ic 2 = e iϕ 2 bras : sensibilité C/ ϕ indépendante de ϕ Inversion numérique δ F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

14 Mesure de réponse (1) Mesurer la réponse ˆχ(ω) = 1 mω 2 +k i(k +ηω) Force électrostatique : F ε 0S 2d 2 V 2 Rayons laser Rayons laser Encastrement Piste conductrice d E Piste conductrice d E x Electrode V Alternative (i) V Alternative (ii) Dans l air : OK (attention à piézoélectricité) Dans un liquide : problème de la polarisabilité F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

15 Mesure de réponse (2) Mesurer la réponse ˆχ(ω) = 1 mω 2 +k i(k +ηω) Force magnétique : F 3µ 0 2π (NS) 2 R 3 d 7 I 2 F = 2l 2 B I Rayons laser Axe de rotation B F = 0 B Axe de rotation Poudre magnétique Solénoïde V E d df Idl F = 0 Idl df x (i) B varie (ii) I varie Air/liquide : OK (problème de la polarisabilité) F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

16 Une preuve simple? Théorie thermodynamique des perturbations (Peierls, Bogoliubov) PSfrag T Energie du petit système en contact avec le thermostat (T) E(x) = E 0 (x) + V (x), x = (p,q) Fonction de partition Z = e βe(x) dx Z = Z 0 ρ 0 (x)e βv (x) dx = Z 0 e βv, 0 ρ 0(x) = Z 1 0 e βe 0(x) Energie libre F = β 1 lnz F = F 0 β 1 ln e βv 0 F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

17 Approche dynamique : corps soumis à l action d une force extérieure λ(t) variable dans le temps Système libre à l équilibre Système forcé λ(t) 0 V 0 E t(x) = E 0 (x) λ(t) 0 V 0 E t(x; λ) = E 0 (x) + V t(x; λ) 0 E t (x, λ) dépend explicitement du temps au moyen de λ(t) t de t (x, λ) dt = E t(x, λ) t = E(x, λ) dλ λ dt Travail W t fourni au corps dans l intervalle de temps (0,t) W t = t 0 E(x, λ) dλ t λ ds ds = de s (x, λ) ds = E t E 0 = V t 0 ds F t = F 0 β 1 ln e βwt 0 F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

18 Test du théorème de fluctuation transitoire (3) F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

19 Test du théorème de fluctuation transitoire (4) F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20

20 Sensibilité de la statistique A A A A B B B B M(t) C C C C t F. Douarche (ENSL/LP) Fluctuations travail/chaleur 30 Novembre / 20