Traitement du Signal. Echantillonnage des Signaux

Transcription

1 Traitmnt du Signal Jams L. Crowly Duxièm Anné ENSIMAG 2000/2001 Séanc 5 : 20 octobr 2000 Echantillonnag ds Signaux Formul du Jour :... 1 Echantillonnag ds Signaux... 2 L modèl général d'un échantillonnur idéal...3 La transormé d Fourir d'un suit d dltas...4 Schéma d l'échantillonag...6 Théorèm d Shannon...7 Rappl du modèl idéal d'un échantillonnur...9 Schématiqumnt...10 Filtr Anti-rplimnt...11 Schèma d'un dispositi d traitmnt numériqu du signal s(t) A/N DFT F(ω) IDFT N/A F{s(t)} Formul du Jour : La Fréqunc Nyquist : N = 2 = 1 2

2 Echantillonnag ds Signaux Soit un signal continu : t Si l'on vut traitr un signal par voi numériqu à l'aid d'un calculatur, il aut l rprésntr au préalabl par un suit d valurs numériqus ponctulls prélvés régulièrmnt ou irrégulièrmnt. Un tl prélèvmnt st applé échantillonnag. Un échantillonag rprésnt un signal par un suit d valurs ponctulls : t La rprésntation numériqu ds échantillons rquirt un opération complémntair d quantiication t d codag, dont la natur t ls conséquncs sont xaminés dans l prochain séanc. L'nsmbl réalis un onction d convrsion analogiqu-numériqu A/N, (Dit Analog to Digital ou A/D n Anglais) x(n) t Rvrsibilité : Suls ls conditions théoriqus, irréalisabls paraitmnt dans la pratiqu (voir théorèm d Paly-Winr), prmttnt un rconstitution xact du signal analogiqu à partir d ss échantillons. La procédur d'échantillonnag introduit toujours un distorsion quil convint d limitr à un nivau accptabl. 5-2

3 L modèl général d'un échantillonnur idéal L modèl général d'un échantillonnur idéal st : x i (t) δ T (t) x i (t) =. δ Τ (t) = δ(t n ) n= par convntion on dit qu = 1, t qu x i (n) = x i (n ) On put assimilr théoriqumnt la suit idéal d'échantillons prélvés avc un cadnc ix = 1 T à un signal x i (t) obtnu par la multiplication du signal analogiqu par un onction d'échantillonnag idéalisé : L onction pign ("Unit Impuls Train" or "Sampling Function") i (t) = δ Τ (t) = δ(t n ) = n=- n=- δ(t n ) 5-3

4 La Transormé d Fourir d'un suit d dltas La transormé d Fourir d'un onction pign st un onction pign, d poids = 1. {δ Τ (t)} = { n=- δ(t n )} = δ () = k= La orm d la transormé d Fourir X () = X (ω/2π) dvint : X () = X() * δ () = X( k ) k= δ( k ) Not : Un échantillonnag n tmps impliqu un périodicité n réqunc. En général, l spctr X(ω) du signal échantilloné st noté ntr π ω π. t l spctr X() du signal échantilloné st noté ntr Dmonstration : Par suit d Fourir : δ(t n ) = n=- α n jnω ο t n=- (x) = α n jn2π o x n=- ω o = 2π ls coicints sont dtrminé par l'intgral dans la priod [ - 2, 2 ]. α n = 1 /2 δ(t) jnω ο t dt = 1 T - /2 Donc : δ(t n ) = 1 T n=- n=- jnω ο t = 1 j n(2π/ ) t n=- ou bin δ(t n ) = 1 δ(t) jn(2π/ )t (Rétard n phas par n 2π ) 5-4

5 { n=- δ(t n )} = 1 n=- { j2π n/ } = 1 n=- δ(ω 2πn ) { δ(t n )} = n=- 1 n=- δ(ω 2πn ) ou n avc = 1 { δ(t n 1 )} = n=- n= δ( n ) = δ () 5-5

6 Schéma d l'échantillonag Spctr d'un échantillonnur idéal : X() Spctr du signal analogiqu : X() Spctr du signal après échantillonnag (idéalisé) : Rplié autour du réqunc d Nyquist. X() N = 2 = N N 0 N 2 N 2 5-6

7 Théorèm d Shannon Un signal analogiqu ayant un largur d band ini limité à 2F hz n put êtr rconstitué xactmnt à partir d ss échantillons x(n t) qu si cux-ci ont été prélvés avc un périod = 1 1 2F. Spctr du signal analogiqu : X() F N F F F N Pour qu la répétition périodiqu d c spctr n déorm pas l moti répété, Il 1 aut t il suit qu la réqunc d répétition = T (la réqunc d'échantillonnag) soit égal ou supériur à 2 ois la réqunc maximum F du signal. F N = 2 5-7

8 Exmpl : Pour un sinusoïd, Cos(2π o t), la réqunc d'échantillonnag minimal st dux échantillons par cycl. = λ 2 = ou = o 2T (Cycl/échantillon) Soit un réqunc d'échantillonag. Si la réqunc du signal, o, st supériur à 2 c-à-d : si o = 2 + tl qu > 0 par : alors, la séqunc d'échantillons st assimilé à un suit d réqunc alias tl qu : alias = 2. c-à-d : E 2 { Cos( 2πt ( 2 + ))} = Cos( 2πt ( 2 )) 5-8

9 Rappl du modèl idéal d'un échantillonnur L modèl général d'un échantillonnur idéal E 2 {} st : x i (t) x i (t) =. δ Τ (t) = δ T (t) δ(t n ) n= par convntion on dit qu = 1, t qu x i (n) = x i (n ) La transormé d Fourir d'un onction pign st un onction pign, d poids = 1 T. {δ Τ (t)} = { n=- δ(t n )} = δ () = k= δ( k ) La orm d la transormé d Fourir X () = X (ω/2π) dvint : X () = X() * δ () = X( k ) k= Not : Un échantillonnag n tmps impliqu un périodicité n réqunc. En général, l spctr X(ω) du signal échantilloné st noté ntr π ω π. t l spctr X() du signal échantilloné st noté ntr

10 Schématiqumnt Spctr d'un échantillonnur idéal : X() Spctr du signal analogiqu : X() Spctr du signal après échantillonnag (idéalisé) : Rplié autour du réqunc d Nyquist. X() N = 2 = N N 0 N 2 N

11 Filtr Anti-rplimnt Ain d'évitr c rplimnt d spctr, Il st indispnsabl d'introduir un préiltrag du signal analogiqu avant d procédr à l'échantillonnag. g (t) x (n ) δ (t) L iltr Anti-rplimnt (ou iltr d gard) parait srait un iltr pass-bas idéal d band passant B = 2. Tout iltr anti-rplimnt rél comport un band d transition qui rport la band passant limit B M au dlà d la band passant ctiv. Spctr Rél Spctr Idél F max F max Nous allons voir dans ls séancs suivants qu'on spécii ls caractéristiqu d un iltr avc un gabarit n donnant ds paramètrs: δ p : ω p ω a : δ a : L ondulation n band passant Drnièr réqunc passant prmièr réqunc atténué L ondulation n band atténué. H(ω) 1 + δ p 1 δ p 1 δ a ω ω p ω c ω a 1 + δ a π 5-11