ÉLECTRONIQUE NUMÉRIQUE

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1 ÉLECROIQUE 4 ÉLECROIQUE UMÉRIQUE 1. IÉRÊ DES SIGAUX UMÉRIQUES 1.1 ransmission du signal L traitmnt du signal st réalisé ar ds circuits élctroniqus (analogiqus ou numériqus). La grandur hysiqu à msurr : ond d rssion sonor, ond élctromagnétiqu, tmératur, doit êtr convrti n signal élctriqu avant d la traitr, c st l rôl d un catur. L signal st donc un tnsion élctriqu n général onction du tms. Ell st l imag ds variations tmorlls d la grandur hysiqu à msurr. C ty d signal st qualiié d analogiqu (ar oosition aux signaux logiqus ou numériqus) : c st un onction continu du tms : s(t). umérisr un tl signal consist à l rmlacr ar un nsmbl dénombrabl d valurs numériqus. Dans l cas d un signal d duré ini, on ass d un nsmbl non dénombrabl d valurs à un nsmbl ini. Ls nombrs ainsi obtnus sont alors codés n binair ( t 1). Ls avantags associés à ctt convrsion sont nombrux. Qu ls signaux soint transmis (radio, V, ) ou stockés (CD, DVD, ) lur codag sous orm d bit rmt un lctur simliié. En t, soit l nivau lu déass un suil, on détct alors un 1, soit l nivau st inériur, on lit un. Ainsi, dans l cas d un bruit additi d aibl nivau l signal ourra êtr rcuilli d açon arait; c qui n st as l cas our un signal analogiqu. Dans l cas où l bruit additi dvint imortant ar raort au nivau du signal util, on ut alors ctur ds rrurs d détction. Pour luttr contr cs rrurs, on cod n général l signal binair d manièr à air aaraîtr un rdondanc dans l signal. La méthod la lus réandu our détctr un rrur d détction évntull st l ajout d un bit sulémntair à la in d chaqu tram d bits (n général 7) rrésntant la somm modulo d cs 7 bits. À la lctur, il suit alors d vériir qu l bit d contrôl (alé bit d arité) corrsond bin à la somm ds 7 bits lus. Si cll-ci st diérnt, c st qu il y a un rrur d lctur. Il aut alors rlir ls donnés.

2 Ctt méthod rmt sulmnt d détctr un rrur uniqu d transmission ou d lctur. Ell st mis n déaut si l on st n résnc d dux rrurs. Ell n rmt as non lus d corrigr l rrur. D autrs cods lus rormants (cods corrcturs d rrur) rmttnt d détctr l rrur t d la corrigr automatiqumnt. 1. raitmnt du signal La robustss du signal numériqu vis-à-vis du bruit rmt égalmnt d n crér ds cois araits. Ctt suériorité du signal numériqu ar raort à l analogiqu ut êtr constaté sur la qualité sonor d un CD ar raort à un disqu vinyl, ou sur la qualité d l imag t du son d un DVD ar raort à un nrgistrmnt sur casstt VHS, ou ncor ntr la V numériqu () t la V analogiqu. D autr art, l traitmnt d un signal numériqu st n général réalisé ar un calculatur. Il n résult d nombrux avantags ar raort à un traitmnt réalisé grâc à un élctroniqu analogiqu (résistancs, caacités, transistors, amliicaturs oérationnls A.L.I, ). En t, ls rinciaux déauts liés à l élctroniqu analogiqu sont ainsi lvés. Ls roblèms d récision t d disrsion ds comosants élctroniqus (donnés, n général à 5 ou 1%), ainsi qu ls roblèms d dériv n tmératur n xistnt lus n numériqu. La réqunc d couur d un iltr numériqu ut donc êtr maîtrisé lus acilmnt qu n analogiqu. Il n résult égalmnt un grand rroductibilité ntr ls diérnts systèms réalisés. Un autr avantag lié au traitmnt du signal ar calculatur résid dans la acilité d air évolur ls rormancs d un matéril sans modiications d son élctroniqu. En t, si l constructur d un aaril dévlo un traitmnt lus rormant ou corrig crtains rrurs, il st n général acil d modiir l rogramm xécuté ar l calculatur sans modiication élctroniqu du systèm. C st l cas ar xml sur crtains lcturs d DVD d salon our lsquls il st ossibl d mttr à jour la vrsion d l algorithm d décodag vidéo (mg ou 4). Crtains décodurs réalisnt mêm cs miss à jour automatiqumnt. Ctt acilité d évolution st égalmnt utilisé dans l automobil où ds systèms d contrôl (ABS, ESP, contrôl motur, ) sont mis à jour lors ds visits chz l garagist, ou lors d camagns d rals dans l cas d déauts lus imortants. 1.3 Convrsion analogiqu / numériqu Comm nous l avons résnté récédmmnt, l signal élctriqu rovnant d un catur st n général analogiqu. L oération d numérisation corrsond à la succssion d étas : - L échantillonnag qui rmt d rélvr un nsmbl d t. - La quantiication qui allou à chacun d cs échantillons un valur aroché, codé sur un nombr ini d bits ( bits sur l xml d la igur ci-contr). valurs riss à ds instants discrts { } k Ctt oération st réalisé à l aid d un convrtissur analogiqu / numériqu (CA) ; l oération invrs avc un CA.

3 . ÉCHAILLOAGE.1 Périodisation du sctr Pour comrndr dans qulls conditions l signal analogiqu s(t) st échantillonnabl sans rt d inormation, nous allons introduir la onction ériodiqu γ (t) ci-dssous («ign d imulsions»), ainsi qu l signal échantillonné s ( t) = γ( t) s( t). γ (t) étant -ériodiqu, ll s décomos n séri d Fourir, soit, n rnant γ (t) air : nπ ( ) = Cn cos t = Cn cos(nπ n = n = γ t t), n introduisant la réqunc d échantillonnag On calcul aisémnt : C n 1 = = ε ε γ( t)cos(nπ cos(nπ t)dt = t)dt = ε sin( nπ nπ γ( t)cos(nπ ε) = 1 =. t)dt sinc( nπ Lorsqu ε, l signal s ( ) n contint qu ls inormations s (), s ), s ), t C n, indéndant d n. t s(t) ut ll aussi s décomosr n signaux sinusoïdaux (c. transormé d Fourir) t ossèd l sctr ci-contr : Pour un sul comosant sinusoïdal d réquncs ± d s : S S s = S cos( πt + ψ ) = cos( πt ψ ) + cos(πt + ψ ), on a : s ( t) = γ( t) s ( t) = S = n= S { cos[ π( n ) t ψ ] + cos[ π( n + ) t + ψ ]} n= ( t cos(π t + ψ )cos(nπ t) Ainsi l sctr d ) n ± avc S l amlitud : ε) ( (

4 L sctr d s ( t) st donc ériodiqu, d ériod Si l sctr d st borné à un réqunc maximal max (ou si la arti du sctr > max st d amlitud négligabl dvant cll d la arti < max ), l moti d c sctr s réèt, cntré sur ls réquncs n.. héorèm d Shannon Pour qu l oération d échantillonnag soit révrsibl, c st-à-dir our ouvoir rassr sans rt d inormation d s ( ) à s(t), il n aut as qu ls diérnts motis du sctr s t chvauchnt. Il st donc nécssair d avoir > max max soit max : héorèm d Shannon : la réqunc d échantillonnag doit êtr suériur ou égal à dux ois la réqunc maximal du signal On ourra alors rtrouvr l signal d origin s(t) ar iltrag ass-bas. max.3 Rlimnt d sctr Si l sctr du signal a un amlitud non négligabl our ds réquncs suériur à (réqunc d yquist), ds comosants ictivs aaraissnt dans l sctr du signal échantillonné, comosants qui n sont as résnts dans l sctr du signal rél.

5 Ctt règl ait aaraîtr la nécssité d l xistnc d un réqunc maximal dans un signal our ouvoir l échantillonnr. Pour un signal d duré ini, ctt réqunc maximal n xist as, n général. Il aut donc utilisr un iltr ass-bas (alé iltr anti-rlimnt) our limitr ls réquncs du signal qu l on désir échantillonnr. Prnons l xml d un signal musical. L orill humain n st snsibl aux réquncs qu jusqu à khz dans l millur ds cas. On choisit ainsi d iltrr ls signaux musicaux à khz d manièr à n consrvr qu ls réquncs inériurs. C signal iltré st nsuit échantillonné à 44,1 khz, codé t gravé sur un comact-disc. La réqunc d échantillonnag st choisi avc un marg ar raort à la réqunc minimal rquis ar l théorèm d Shannon (4 khz) our ouvoir iltrr lus acilmnt lors d la rconvrsion du signal numériqu vrs l signal analogiqu. Illustrons l roblèm du rlimnt d sctr our un signal sinusoïdal s(t) d réqunc = 1 Hz. S il st échantillonné à = 5 Hz > = Hz : l critèr d Shannon st rscté, il y a lus d un échantillon ar dmi-ériod (ronds sur l courb ci-dssous) t la sinusoïd s(t) st corrctmnt décrit. Si s(t) st échantillonné à = 15 Hz < = Hz : l critèr d Shannon n st lus rscté, il n y a lus assz d échantillons (croix sur la courb ci-dssous) t c st un sinusoïd d réqunc lus bass qui aaraît. L sctr du signal rél contint dux rais our ls réquncs ±. L t d l échantillonnag st un réétition ériodiqu du sctr rél : on rtrouv dans l intrvall, = 75 Hz d réquncs rrésnté à l oscillosco un rai corrsondant à

6 la réqunc translaté d : rai ictiv d réqunc = 5 Hz qui n xist as dans l signal rél, alors qu la rai réll d réqunc n aaraît as! ( ) + Comm =, la rai ictiv t la rai réll sont symétriqus ar raort à la réqunc d yquist : on arl d rlimnt d sctr..4 Analogi avc la stroboscoi C st c hénomèn qu l on ut constatr lorsqu l on rgard un rou qui tourn lorsqu ll st ilmé. On voit souvnt aaraîtr un vitss d rotation diérnt d la vitss d avancmnt réll d la charrtt. Parois mêm, la rou smbl allr n sns invrs. Cla st dû au ait qu un ilm corrsond à un échantillonnag d un hénomèn continu ar un succssion d hotos riss à intrvalls régulirs. Pour l cinéma, la réqunc d échantillonnag st n général d 4 imags ar sconds t 5 our ls standards rançais ou uroén d la télévision. Ainsi tous ls hénomèns ériodiqus dont la réqunc st suériur à 1 Hz vont s rlir réquntillmnt. On ut égalmnt constatr l mêm résultat lorsqu l on obsrv un écran d ordinatur ilmé à la télévision. La réqunc d raraîchissmnt ds imags d un écran d ordinatur st n général comris ntr 5 t 8 Hz ; ctt réqunc va donc s rlir t l on va voir aaraîtr un réqunc lus bass. À la dat t la rou a tourné d l angl n a accès qu à ds angls orintés θ = π t 1. En hotograhiant la rou tous ls = on (1) θ k = πk = πk. On constat qu our un réqunc d rotation θ () k = a =, on aurait : (1) π( ) k = πk = πk kπ = πk = θk. La réqunc aarnt (la 3 lus bass) st ici a =. Dans l xml d la igur où = =, la réqunc 3 1 aarnt vaut a = < : la rou smbl tournr n sns invrs. L hénomèn d rlimnt trouv ds alications quand on l utilis à bon scint : c st l rôl d la stroboscoi qui rmt d analysr ds hénomèns raids. Ls rmirs à s y êtr intérssés sont ds scintiiqus d la in du XIXèm siècl qui étudièrnt ainsi ls mouvmnts d la cours d crtains animaux. On ut mêm igr un hénomèn d réqunc quand = (on rtrouv bin un réqunc null our l rlimnt d ar raort à = ) t msurr récisémnt ctt réqunc.

7 3. QUAIFICAIO Suit à l oération d échantillonnag, nous somms assés d un signal continu n tms à un nombr ini d valurs numériqus. Cndant, c vctur d donnés n ut as êtr dirctmnt traité ar un calculatur. En t, du ait d la structur élctroniqu d tout calculatur, il n sait analysr qu ds nivaux d tnsion binairs ( volt corrsondant à, t +V volts corrsondant à 1). Ls donnés numériqus à traitr dvront donc êtr codés ar un structur binair. Ctt oération st alé la quantiication. Contrairmnt à l échantillonnag, ctt oération n s ctu as sans rt. L ait d codr un chir sur un crtain nombr d bits s accomagn d un aroximation. L calculatur n sait traitr qu un nombr ini d valurs numériqus quantiiés. L as d quantiication t la récision d un CA déndnt du nombr d bits n sorti, alé résolution. Pour un CA à bits, l nombr d états ossibls n sorti st, c qui rmt d xrimr ds signaux numériqus d à 1 n cod binair naturl. Un CA st caractérisé égalmnt ar la lag d variation acctabl d la tnsion analogiqu d ntré, alé Plin Echll (FS our Full Scal n anglais) t qu nous notrons v PE. La lin échll st divisé n autant d lags d égal dimnsion (cas d la quantiication uniorm) qu il y a d états ossibls d la sorti numériqu. Chaqu lag st associé à un cod numériqu rrésntant la tnsion analogiqu d ntré. La igur ci-dssous rrésnt la caractéristiqu d transrt idéal (sans déaut) n scalir d un CA à ou 3 bits. vpe L quantum q = st la dimnsion ds lags. Ls tnsions d suil v kq k = our 1 k { 1, } corrsondnt aux transitions ntr ls cods d sorti. On a ici un quantiication linéair ar déaut ; la droit d transrt idéal n ointillés corrsond à un CA d résolution. Plus la résolution st élvé, lus la sorti numériqu st un imag récis du signal analogiqu d ntré comm on l voit sur l tablau suivant our v PE = 1 V : q 8 39,1 mv 1 9,77 mv 1,44 mv µv L rrur d quantiication (ou d codag) st la diérnc ntr la valur du signal échantillonné t la valur analogiqu d ntré corrsondant au cod d sorti (corrsondanc donné ar la droit d transrt idéal), l rrur d codag st xrimé n

8 q. La igur suivant donn l rrur d codag d un CA à 3 bits our un quantiication linéair ar déaut : L rrur d codag st comris ntr t q. Ainsi tous ls signaux analogiqus comris ntr v 3 t v 4, ar xml, sont rrésntés ar l cod binair 11. On ut diminur ctt rrur n utilisant un quantiication linéair cntré : Ls caractéristiqus récédnts sont clls d CA uniolairs dont la tnsion analogiqu d ntré st ositiv. Bin souvnt, un mêm CA ut êtr coniguré égalmnt n mod biolair d açon à acctr un tnsion analogiqu d ntré négativ ou ositiv (la lag d v PE variation st alors symétriqu ntr t caractéristiqu d transrt corrsondant : v PE ). La igur ci-dssous résnt la La dynamiqu maximal qu l on ut obtnir (raort ntr la tnsion maximal admissibl t la tnsion minimal qu l on ut codr) st d 1 soit n décibls : dyn = log( 1) log 6 (our grand). L choix du nombr d bits st donc ixé ar la récision rquis. Par xml our d la musiqu haut idélité gravé sur un CD, on utilis un quantiication sur 16 bits soit un dynamiqu d 96 db. On ut augmntr la dynamiqu tout n minimisant l nombr d bits mloyés n utilisant un quantiication non uniorm. C ty d quantiication consist à allour un as d quantiication lus in our ls aibls tnsions t augmntr l as au ur t à msur qu l amlitud croit.

9 Grâc à ctt tchniqu on ut codr inmnt ls signaux d aibl nivau tout n évitant un évntull saturation our ls signaux d ort amlitud. Ls quantiications non uniorms à as logarithmiqus sont ar xml utilisés our codr ls signaux d téléhoni ix. La quantiication ut égalmnt ntraînr un autr ty d rrur qu la siml rrur d arrondi : l rrur d saturation. En t, l nombr d nivau d quantiication étant ini, on n ut rcvoir qu ds signaux d amlitud maximal rédéini. Si un signal d amlitud suériur st résnt, il sra écrêté. ous vnons d voir commnt transormr un signal analogiqu n signal numériqu t ls avantags qui découlnt d ctt convrsion. ous avons vu qu un signal était, n général un onction du tms (signal d télécommunication, signal audio,...). Cndant ls notions résntés s aliqunt égalmnt aux imags. Cll-ci uvnt êtr considérés comm l xtnsion à dimnsions d un signal. Ls axs x t y d l imag rmlacnt l ax tmorl du signal. 4. AALYSE SPECRALE UMÉRIQUE 4.1 Princi L algorithm FF (Fast Fourir ransorm : transormé d Fourir raid) a été mis au oint n 1965 ar Cooly t uky, uis amélioré ar Hadamard. Il corrsond à un transormé d Fourir discrèt où un arti du signal d duré a st échantillonné n valurs, soit our ls oscilloscos numériqus ls lus courants : 48 oints du domain tmorl ( = 11). L signal FF aiché à l écran contint 14 oints qui vont du continu (CC) à la réqunc d yquist (réqunc d échantillonnag divisé ar dux). a st la ériod d échantillonnag 1 = = st la réqunc d échantillonnag a 4. Problèms liés à a ini Ls échantillons sont ris sur un duré ini (corrsondant souvnt à la arti cntral d la largur visibl d l écran d l oscillosco). Ls calculs suosnt qu l signal s(t) dont on rchrch la transormé d Fourir st ériodiqu t qu l moti à l écran corrsond à un ériod a = ( 1) (ctt onction, a riori diérnt d la onction réll, s all «ériodisé d s» : l algorithm calcul donc coicints d un séri d Fourir our ds n n réquncs =, avc n =,1,,..., 1). Suls sont aichés ls réquncs a 1 corrsondant à n =,1,,...,, c st-à-dir jusqu à la réqunc d yquist.

10 Pour oints d acquisition donné, la résolution n réqunc st d autant millur qu 1 a st grand : l écart ntr dux rais du sctr calculés ar l algorithm diminu. a Dans l cas d un signal ériodiqu, si l signal s(t) analysé contint un nombr ntir d ériods, il n a as d discontinuité dans la ériodisé. En rvanch, dans l cas où la arti du signal échantillonné n contint as un nombr ntir d ériods, la onction FF réalis l analys d Fourir d un signal ériodiqu discontinu, ls discontinuités étant rovoqués ar ls transitions ntr ls oints d début t d in. L t st l aarition d rais arasits autour ds réquncs qu contint réllmnt l signal. L ait d aliqur un nêtr au signal s(t) chang c signal d sort qu ls valurs d début t d in soint rochs l un d l autr, c qui réduit ls discontinuités. Dans l cas d un signal transitoir s(t), la duré d l échantillonnag a doit êtr suisammnt grand our qu l évolution signiicativ d s(t) y soit contnu. L choix d un nêtr FF (diérnts nêtrs uvnt êtr imlémntés slon l logicil) résult d un comromis ntr la résolution n réqunc t la récision n amlitud. Il dénd donc n arti d c qu l on vut msurr t ds caractéristiqus du signal sourc : La nêtr rctangulair, Rctangular, corrsond à cll d l échantillonnag (as d nêtr aliqué). Ell convint our ds signaux ériodiqus contnant un nombr ntir d ériods t our ds signaux transitoirs qui n ont as d discontinuités ntr l début t la in d la nêtr. La nêtr d Hanning s avèr util our ds signaux ériodiqus lorsqu l on chrch un bonn résolution n réqunc t our un utilisation général, notammnt our séarr dux réquncs rochs ou our ctur ds msurs d réqunc. La récision n amlitud st moins bonn qu avc Flatto. La nêtr à sommt lat, Flatto, st la miux adaté our ctur ds msurs d amlitud. La récision n réqunc st moins bonn qu avc Hanning. 4.3 Problèms liés à l échantillonnag L échantillonnag st comm on l a vu, rsonsabl d un ériodisation du sctr avc un ériod. Il aut donc échantillonnr avc un réqunc suisant max our évitr l rlimnt d sctr. éanmoins, l nombr d échantillons = étant limité, rndr tro grand rvint à rndr a = tro tit, t donc à rdr n résolution réquntill. Sau évntul roblèm d stockag ou d tms d calcul, on rnd maximal si on a l choix, uis on s assur qu l critèr d yquist st vériié, tout n limitant la valur d our gardr la résolution n réqunc souhaité. On évit nin d air aaraîtr ds discontinuités n aisant l calcul d la FF ntr dux oints d mêm ordonné ou n utilisant un nêtrag. max

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