Observateurs pour systèmes à retard variable et inconnu

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1 Observateurs pour systèmes à retard variable et inconnu Alexandre Seuret Thierry Floquet Jean-Pierre Richard LAGIS CNRS UMR 816 Ecole Centrale de Lille BP Villeneuve d Ascq Cedex France. [email protected] [email protected] [email protected] Résumé La synthèse d observateurs pour les systèmes à retards inconnus variables et bornés sur l état et l entrée constitue toujours un problème ouvert. Dans cet article nous présentons une méthode pour le résoudre en utilisant une approche d observateur à modes glissants combinée avec une fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii adéquate. Le résultat qui nécessite que le système vérifie certaines conditions structurelles est mis sous forme d inégalité matricielle linéaire. Un exemple est proposé à titre d illustration. Mots-clés Observateurs à modes glissants Systèmes à retard inconnu Inégalité Linéaire Matricielle. I. Introduction L observation est un thème majeur de l étude des systèmes linéaires et non linéaires. Cet article concerne plus spécifiquement l observation de systèmes linéaires à retards inconnus. Plusieurs auteurs ont déjà abordé l observation des systèmes à retards (voir les synthèses de 18 19) mais le plus souvent l écriture de l observateur fait intervenir la valeur du retard. En d autres termes la connaissance ou la mesure du retard est requise. En outre les observateurs sans retard interne 3 9 nécessitent la connaissance de la sortie du système aux temps courant et retardé. Néanmoins dans le cadre d applications réelles (commande télé-opérée systèmes en réseau par exemple) les hypothèses d invariance ou de connaissance du retard sont peu réalistes et proviennent plus des limites des techniques d identification et d analyse disponibles. Seuls quelques articles présentent des résultats qui ne nécessitent pas la connaissance du retard Ces approches intéressantes concernent les systèmes linéaires et garantissent des performances de type H pour le filtrage des erreurs. Cependant toutes présentent les mêmes limites à savoir que le retard n intervient que dans l état et pas dans l entrée ou la sortie et que les résultats proposés sont indépendants des caractéristiques du retard. Il semble donc pertinent de réduire le conservatisme inhérent aux approches indépendantes du retard en proposant un résultat qui prenne en compte des bornes de variation du retard. Dans cet article nous proposons une méthode combinant les approches du type observateurs à modes glissants avec celles des systèmes à retards et en particulier avec le choix d une fonctionnelle de Lyapunov- Krasovskii adéquate. Les dynamiques de l observateur seront analysées. Dans un souci de simplicité nous supposerons que les retards sur l état et sur la commande sont égaux à h. Nous supposerons aussi qu il existe une borne connue h m telle que h h m t IR +. Dans cet article la notation P > pour P IR n n signifie que la matrice P est symétrique définie positive. A 1 A... A n est la matrice concaténée des matrices A i. Enfin Sym{P } = (P + P T ). II. Présentation du Problème Considérons le système à retard sur l état et sur l entrée : ẋ = Ax + A h x(t h) +Bu + B h u(t h) + Dζ (1) y = Cx x(s) = φ(s) s h m où x IR n u IR m y IR q et ζ IR r sont respectivement les vecteurs d état de commande de sortie et une fonction de perturbation inconnue et bornée qui vérifie : ζ(txu) α 1 (txu) () où α 1 est une fonction réelle connue (une constante par exemple). φ C ( h m IR n ) représente le vecteur des conditions initiales. Les matrices A A h B B h C et D sont supposées connues constantes et de dimensions appropriées. Les hypothèses structurelles suivantes sont requises pour la synthèse de l observateur : A1. rank(ca h B h D) =rank(a h B h D) p A. p < q n A3. Le zéros invariants de (AA h B h DC) sont dans C. La condition A1 garantit qu en utilisant le changement de coordonnées défini dans 8 (Chapitre 6) le système peut s écrire : ẋ 1 = A 11 x 1 + A 1 x + B 1 u ẋ = A 1 x 1 + A x + B u +G 1 x 1 (t h) + G x (t h) (3) +G u u(t h) + D 1 ζ y = Tx où x 1 IR n q x IR q et où G 1 G G u sont de la forme : G 1 = Ḡ1 G = Ḡ G u = Ḡu A11 A 1 = A 1 ()

2 où Ḡ1 IR p (n q) Ḡ IR p q Ḡ u IR p m A 11 IR (q p) (n q) A 1 IR p (n q) et T est une matrice orthogonale. Les conditions A permettent de décomposer le système en deux sous-parties. La première représentant les variables non mesurables x 1 n est pas affectée par les termes retardés et les perturbations. A1 est une condition structurelle qui impose aux termes retardés d appartenir à l espace des sorties. Ainsi plus la sortie y a une dimension élevée plus il sera possible de satisfaire cette condition. La condition A3 correspond a une condition de stabilité du système. Elle signifie que la paire de matrices (A 11 A 11 ) est detectable. Dans cet article nous utiliserons le lemme suivant : Lemme 1: 13 Pour toutes matrices A P > et P 1 > l inégalité A T P 1 A P < est équivalente à l existence d une matrice Y telle que : P A T Y T Y A Y Y T + P 1 <. III. Synthèse de l observateur L observateur à mode glissant proposé est : ˆx 1 = A 11ˆx 1 + A 1 x + B 1 u A 11 Le + LT T (G l Te + ν) ˆx = A 1ˆx 1 + A x + B u + A 1 Le +G 1ˆx 1 (t ĥ) + G x (t ĥ) + G uu(t ĥ) T T (G l (ȳ ŷ) + ν) + G 1 Le (t ĥ) ŷ = T ˆx (5) où le gain linéaire G l est une matrice de Hurwitz L est de la forme L avec L IR (n q) (q p) et ν est une fonction discontinue à définir. Le retard utilisé dans (5) ĥ h m est une valeur qui peut-être choisie arbitrairement ou si possible en fonction de caractéristiques pressenties du retard. Il se peut aussi que ce retard ĥ soit variable au cours du temps. Par exemple ĥ pourrait correspondre à une estimation nominale du retard variable. On remarque que les termes non retardés qui dépendent de x sont connus car ils sont proportionnels à la sortie y. La fonction discontinue ν est donnée par : { ρ(tyu) Pyey ν = P ye y si e y (6) sinon. Le gain ρ reste à définir. On peut alors introduire les variables d erreur e y = y ŷ e 1 = x 1 ˆx 1 et e = x ˆx qui conduisent à : ė 1 = A 11 e 1 L ( T T G l Te + T T ν ) +A 11 Le ė = A 1 e 1 + G 1 e 1 (t h) + D 1 ζ (7) +T T ν + ξ + (T T G l T + A 1 L)e G 1 Le (t ĥ) où la fonction de perturbation ξ : IR IR p est alors égale à : ξ = G 1 (ˆx 1 (t h) ˆx 1 (t ĥ)) +G (x (t h) x (t ĥ)) (8) +G u (u(t h) u(t ĥ)). En utilisant le changement de coordonnées T L suivant T L = on définit les nouvelles coordonnées ē 1 et ē = In q L T e y dont les dynamiques sont : ē 1 = ē = (A 11 + LA 1 )ē 1 TA 1 ē 1 + TG 1 ē 1 (t h) +TG 1 L(e (t h) e (t ĥ)) +G l ē + Tξ + TD 1 ζ + ν Comme précédemment le terme retardé e (t h) e (t ĥ) est considéré comme une perturbation. On obtient : ē 1 = ē = (A 11 + LA 1 )ē 1 TA 1 ē 1 + TG 1 ē 1 (t h) +G l ē + ν + Tξ + TD 1 ζ (9) (1) où la nouvelle fonction de perturbation due au retard inconnu est ξ : IR IR p définie par : ξ = ce qui s écrit aussi : G 1 (ˆx 1 (t h) ˆx 1 (t ĥ)) +G (x (t h) x (t ĥ)) +TG 1 L(e (t h) e (t ĥ)) +G u (u(t h) u(t ĥ)) ξ = G 1 G G 1L G u h t ĥ ˆx1(s) ẋ (s) ė (s) u(s) (11) ds. (1) ξ est une fonction dépendant uniquement de ˆx 1 ẋ ė et u qui sont des variables connues par l observateur. Il est alors légi de supposer l existence d une fonction scalaire α connue qui vérifie : ξ α (t ˆx 1 x e u). (13) Remarque 1: Pour garantir l existence de α u doit être une fonction temporelle continue par morceaux. Il est maintenant possible de donner une expression de la fonction ρ en se référant aux techniques introduites dans le cadre de la synthèse de loi de commande 11. Soit γ un réel positif on pose : ρ(t ˆx 1 x u) = D 1 α 1 (t ˆx 1 x u) + α (t ˆx 1 x u) + γ (1) Théorème 1: Sous les conditions A et (13) et pour toute matrice de Hurwitz G l le système (1) est asymptotiquement stable pour tout retard h h m s il existe des matrices symétriques définies positives P 1 et R 1 IR (n q) (n q) P IR q q une matrice symétrique Z IR q q et une matrice W IR (n q) (q p) telles que les conditions LMI suivantes soient réalisées : ψ A T 11 P1 + AT 11 W T (A 1 + G 1) T T T P P 1 + h mr 1 < (15) G T l P + PG l + h mz R 1 (TG 1) T P P TG 1 Z (16) où ψ = A T 11P 1 + P 1 A 11 + A T 11W T + WA 11. Le gain L est donné par L = P 1 1 W.

3 Preuve. Soit la fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii : V = ē T 1 P 1 ē 1 + ē T P ē + ē T h m t+θ 1 (s)r 1 ē 1 (s)dsdθ. En utilisant la transformation suivante : ē 1 (t h) = ē 1 et en dérivant (17) on obtient : où V = t h (17) ē 1 (s)ds (18) ē T 1 Sym{(A 11 + LA 1 ) T P 1 }ē 1 +ē T G T l P + P G l ē +Sym { ē T P T(A 1 + G 1 )ē 1 } ρ(tyu) P ē + h m ē T 1 R 1 ē 1 +η 1 + η ē T 1 (s)r 1 ē 1 (s)ds η 1 = ē T P TG 1 t h ē 1 (s)ds η = ē T P T D 1 ζ + ξ. (19) () Les conditions LMI (16) permettent d écrire pour tout vecteur X : En particulier pour X = X T R 1 (TG 1) T P P TG 1 Z X ē 1 (s) ē on a : ē P G 1 ē 1 (s) ē T Z ē + ē T 1 (s)r 1 ē 1 (s). Puis en intégrant cette relation par rapport à la variable s on majore η 1 : η 1 t h ēt Z ē ds + ē T t h 1 (s)r 1 ē 1 (s)ds η 1 h m ē T Z ē + ē T 1 (s)r 1 ē 1 (s)ds. (1) D après la définition (1) de ρ et sachant que T est orthogonale : η ρ(tyu) P ē γ P ē. () En prenant compte des majorations (1) () et sachant que ē 1 = (A 11 + LA 11 )ē 1 V est majorée par : V Sym { ē T 1 P 1 (A 11 + LA 11 )ē 1 +ē T P (A 1 + G 1 )ē 1 +ē T P G l ē } +h m ē T 1 (A 11 + LA 1 ) T R 1 (A 11 + LA 1 )ē 1 +h m ē T Z ē γ P e ce qui peut encore s écrire : V avec Ψ = ē1 ē T Ψ ē1 ē γ P ē (3) ψ 1 (A 1 + G 1) T T T P P T(A 1 + G 1) G T l P + PG l + h mz et où ψ 1 = (A 11 + LA 11 ) T P 1 + P 1 (A 11 + LA 11 ) +h m (A 11 + LA 11 ) T R 1 (A 11 + LA 11 ) () Cette condition n est pas du type LMI car elle comporte des termes non linéaires dans la première ligne et la première colonne. Cependant il est nécessaire que cette composante soit définie négative pour garantir la négativité de V. En utilisant le Lemme 1 on transforme ce problème en LMI. ψ (A 11 + LA 11) T Y T (A 1 + G 1) T T T P Y Y T + h mr 1 <. (5) G T l P + PG l + h mz En imposant Y = P 1 et en définissant W = P 1 L la condition LMI du théorème apparaît. Finalement si (15) et (16) sont satisfaites (5) est aussi vérifiée. Ainsi la dynamique de l erreur est asymptotiquement stable. IV. Propriétés dynamiques Corollaire 1: D après la synthèse de l observateur du Théorème 1 le système entre en régime glissant sur la surface S = {ē = } en temps fini. Preuve. Soit la fonction de Lyapunov candidate : V = ē T P ē (6) En différenciant (6) le long de (1) on obtient : V = ē T (G T l P + P G l )ē + ē T P T T T ν +A 1 ē 1 + G 1 ē 1 (t h) + D 1 ζ + ξ. Le fait que G l est de Hurwitz et (6) conduisent à la majoration suivante : V P ē A 1 e 1 + G 1 e 1 (t h) γ. (7) D après le Théorème 1 l erreur ē 1 est asymptotiquement stable. Ainsi il existe un temps t et un réel positif δ tels que t t A 1 e 1 + G 1 e 1 (t h) γ δ. Ceci conduit à : t t V δ P ē δ λ min (P ) V. (8) où λ min (P ) est la plus petite valeur propre de P. En intégrant cette dernière inégalité différentielle on conclut que le système entre en régime glissant sur la surface S en temps fini. V. Observateur à convergence exponentielle Dans cette partie la convergence de l observateur est améliorée en imposant un critère de convergence exponentielle. En dépit du retard variable et inconnu le théorème suivant assure que la dynamique de l erreur est α stable. La stabilité exponentielle est un moyen d assurer la rapidité de convergence de l observateur. Comme dans 16 pour tout α > le système (1) est dit α stable ou exponentiellement stable et de degré de convergence α s il existe un réel β 1 tel que les solutions e(t;t φ) pour toute condition initiale φ vérifient : e(tt φ) β φ e α(t t). (9) Théorème : Sous les conditions A et (13) le système (1) est α stable pour tout retard h h m s il existe des matrices symétriques définies positives P 1 R 1 et R IR (n q) (n q) P IR q q une matrice symétrique Z IR q q et une matrice W IR (n q) (q p) telles que les

4 conditions LMI suivantes soient réalisées : où ψ α 1 A T 11 P1 + AT 11 W T + αp 1 (A 1 + b G 1) T T T P P 1 + h mr 1 Y T + Y + αp + h mz b mp TG 1 h mb mp TG 1 R 1 h mr < (3) R 1 b (TG 1) T P b P TG 1 Z. (31) ψ1 α = A T 11P 1 + P 1 A 11 + αp 1 +A T 11W T + WA 11 + R b = (1 + e αhm )/ b m = ( 1 + e αhm )/ Les gains sont donnés par L = P 1 1 W et G l = P 1 Y. Preuve. En introduisant la nouvelle variable ē α i = e αt ē i dans (1) la convergence asymptotique de ē α implique que ē soit α stable. L équation (1) devient : ē α 1 = ē α = (A 11 + LA 1 + αi)ē α 1 TA 1 ē α 1 + (ν + Tξ + TD 1 ζ) e αt +e αh TG 1 ē α 1 (t h) + (G l + αi)ē α (3) On remarque que e αh = b + b m où est une fonction réelle inconnue vérifiant 1. La fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii candidate est : V α = 1 P 1 ē α 1 + P ē α + αt h m ē t+θ 1 (s)r 1 ē α 1 (s)dsdθ. En différenciant (33) le long de (3) on obtient : (33) V α = 1 Sym{P 1 (A 11 + LA 11 + αi)}ē α 1 + P T(A 1 + b G 1 )ē α +η1 α + η α + η3 α + η α + P (G l + αi) + (G l + αi) T P ē α +h m ė αt 1 R 1 ė α 1 t h ėαt 1 (s)r 1 ė α 1 (s)ds (3) η1 α = t P b TG 1 t h ėα 1 (s)ds η α = P b m TG 1 e α 1 η3 α = t (35) P b m TG 1 t h ėα 1 (s)ds η α = P (ν + Tξ + TD 1 ζ) e αt. En utilisant la même méthode que dans le Théorème 1 (31) permet de majorer η 1 : η1 α h m Z ē α + 1 (s)r 1 ē α 1 (s)ds. (36) En appliquant la majoration standard qui pour toute matrice R > de dimension n n et pour tous vecteurs a et b de R n assure que ±a T b a T R 1 a + b T Rb à η α avec a T = P b m TG 1 b = e α 1 et R = R on obtient : η α b m P TG 1 R 1 b m(tg 1 ) T P T ē α + 1 R ē α 1. (37) En utilisant cette même majoration pour η α 3 avec a T = P b m TG 1 b = ė α 1 (s) et R = R 1 on obtient : η3 α h m b m P TG 1 R1 1 b m(tg 1 ) T P T ē α + 1 (s)r 1 ē α 1 (s)ds. (38) Les fonctions ν et ρ de (1) restant inchangées on a : η α γ P ē. (39) Puis la combinaison de (36-39) avec l expression de la dérivée de V α conduit à : V T α ē1 ē Ψ α ē 1 ē γ P ē () avec : Ψ α ψ α = 11 (A 1 + G 1 ) T T T P ψ α ψ11 α = Sym{P 1 (A 11 + LA 11 + αi)} + (A 11 + LA 11 + αi) T R 1 (A 11 + LA 11 + αi) ψ α = G T l P + P G l + αp + h m Z +h m b m P TG 1 R 1 (TG 1) T P b m +b m P TG 1 R1 1 (TG 1) T P b m. (1) Le Lemme 1 appliqué de la même manière que dans le Théorème 1 conduit à : ψ α 1 A T 11 P1 + AT 11 W T + αp 1 (A 1 + G 1) T T T P P 1 + h mr 1 < () ψ α Enfin en imposant Y = P G l le complément de Schur permet de retrouver les conditions LMI (3). Ainsi si (3) et (31) sont satisfaites la dérivée de la fonctionnelle (33) est définie négative. Remarque : On remarque que pour α = dans le Théorème on montre que le système est asymptotiquement stable. Soit le système (3) avec : A 11 = 1 A 1 = A = 1 1 G 1 = T = G u = 1 1 VI. Exemple A 1 = G = D 1 = B 1 = B = (3) Le retard inconnu du système observé est de la forme h = h m (1 + sin(ω 1 t)) dont la borne maximale est h m =.3s et dont la fréquence est ω 1 =.5s 1. La commande utilisée est de la forme u = u sin(ω t) avec u = et ω = 3. Les résultats en simulations sont donnés dans les figures suivantes. Les figures 1 et présentent les erreurs d observation du système pour α = et α =. Les figures 3 et montrent la comparaison entre l état réel et l état estimé. pour α =. On remarque que le fait d augmenter le coefficient d exponentialité α accélère la rapidité de convergence de l erreur. Dans ces conditions le Théorème assure la convergence exponentielle de l observateur pour α = vers le système réel. Les gains de l observateur sont alors : L = G l = ()

5 6 e x1 e x e y1 e y x 11 ^x 11 x 1 ^x Fig. 1. Simulation de l erreur d observation pour α = et h m = Fig. 3. Comparaison entre les variables x 1 et ˆx 1 pour α = 6 e x1 e x e y1 e y 3 y 11 y 1 ^y 11 ^y Fig.. Simulation de l erreur d observation pour α = et h m = Fig.. Comparaison entre les variables x et ˆx pour α = Sachant que le système (3) est stable ces dynamiques sont bornées. La fonction α (t ˆx 1 x e u) choisie dans cette simulation est donc simplement une constante K = 7. VII. Conclusion Le problème de la synthèse d un observateur pour des systèmes à retard inconnu à la fois sur l état et la commande a été résolu pour une classe de systèmes vérifiant les conditions A1-3. Les théorèmes présentés sous forme d inégalités matricielles linéaires (LMI) garantissent la convergence asymptotique (Théorème 1) ou exponentielle (Théorème ) connaissant la borne maximale du retard. Références 1 J.-P. Barbot T. Boukhobza et M. Djemaï Sliding mode observer for triangular input form. 35th IEEE CDC 99 Conference on Decision and Control Kobe Japan H. H. Choi et M. J. Chung Robust Observer-based H controller design for linear uncertain -delay systems. Automatica 33(9) pp M. Darouach Linear functional observers for systems with delays in the state variables. IEEE trans. on Automatic Control 6(3) pp March 1. M. Darouach P. Pierrot et E. Richard Design of reduced-order observers without internal delays. IEEE Trans. on Automatic Control (9) pp M. Darouach M. Zasadzinski et S. J. Xu Full-order observers for linear systems with unknown inputs. IEEE Trans. on Automatic Control vol. 39 pp C.E. de Souza R.E. Palhares et P.L.D. Peres Robust H filtering for uncertain linear systems with multiple -varying state : An LMI approach. 38th IEEE CDC 99 Conference on Decision and Control Phoenix AZ pp S. V. Drakunov et V. I. Utkin Sliding mode observers. Tutorial. 3th IEEE CDC 99 Conference on Decision and Control New- Orleans LA December Edwards C. et Spurgeon S. K. Sliding Mode Control : Theory and Applications Taylor & Francis F. W. Fairmar Kumar et E. Richard Design of reduced-order observers without internal delays. IEEE trans. on Automatic Control (9) pp T. Floquet J.-P. Barbot W. Perruquetti et M. Djemaï On the robust fault detection via a sliding mode disturbance Observer. International Journal of control 77(7) pp E. Fridman F. Gouaisbaut M. Dambrine et J.-P. Richard Sliding mode control of systems with -varying delays via a descriptor approach. Int. J. System Sc. Vol. 3 No.8-9 pp July 3. 1 E. Fridman U. Shaked et L. Xie Robust H Filtering of linear systems with -varying delay. IEEE Trans. on Automatic Control vol. 8 pp L.-S. Hu J. Huang et H.-H. Cao Robust digital model predicitve control for linear uncertain systems with saturations. IEEE Trans. on Automatic Control vol. 9(5) pp

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