Complexe des Ecoles Privées EL-KHIYAR ilot L

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1 Complexe des Ecoles Privées EL-KHIYAR ilot L Réflexions et rotations dans le plan A) Réflexion I-Définition : Soit une droite donnée On appelle réflexion d axe la transformation qui à tout point M du plan associe le M'tel que : si Malors M' M ; si Malors medmm' Notation : la réflexion d axe est notée s II-Propriétés II-) est l ensemble des points invariants par s II-) s est involutive : s s id s s p II-) Une droite perpendiculaire à est globalement invariante par s II-) Un cercle dont le centre appartient à est globalement invariant par s III- Expression complexe Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé O ; u, v Soit s la réflexion d axe Pour tout point M d affixe z, d image M'd affixe z'par s on a : z' az b où a ab b 0 IV- Conservation : La réflexion conserve le parallélisme, l orthogonalité, l alignement, le contact, l intersection, le barycentre en particulier les milieux, les distances et les aires Transforme un angle orienté en son opposé Une droite perpendiculaire à l axe d une réflexion est globalement invariante par celle-ci Un cercle dont le centre appartient à l axe d une réflexion est globalement invariant par celle-ci B) Rotation I- Définition Soient un point du plan et un nombre réel donnés On appelle rotation de centre et de d angle et on note r, la transformation qui à pour tout point M du plan associe le point M' tel que : si M alors M' et si M' M M alors : M, M' II- Cas particuliers 0 est l application identique du plan La rotation d angle La rotation d angle 0 La rotation d angle n a qu un seul point invariant qui est son centre est une symétrie centrale ou un demi-tour La rotation d angle est un quart de tour direct et celle d angle indirect III- Propriétés Toute rotation est une bijection La bijection réciproque de la rotation Cours et exercices sur les transformations 7 C Prof : Dah O Bahini Page sur est un quart de tour r, est la rotation, r L image d une droite est une droite qui forme avec elle l angle de la rotation Tout cercle dont le centre coïncide avec celui d une rotation est globalement invariant par celle-ci IV-Détermination d une rotation IV-) Une rotation est déterminée par la donnée de deux points distincts et leurs images ou par la donnée de l angle et d un point et son image

2 Complexe des Ecoles Privées EL-KHIYAR ilot L Si r : A A', B alors AB, A'B' et A'B' AB B' IV-) Le centre est l intersection des médiatrices des segments AA' etbb', si elles ne sont pas confondues sinon il est l intersection des droites AB et A'B' Il appartient aussi aux arcs définis par : MA,MA' et MB,MB' V-Expression complexe Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé O ; u, v Soit r la rotation de centre d affixe Pour tout point M d affixe z,, d image M'd affixe z'par i r on a : z' e z, Réciproquement : toute application d expression complexe z' az b où b rotation d angle arga et de centre d affixe a a a est une VI-Conservation : La rotation conserve le parallélisme, l orthogonalité, les angles orientés, l alignement, le contact, l intersection, le barycentre en particulier les milieux, les distances et les aires VII- Rotation vectorielle VII-) Définition On appelle rotation vectorielle d angle notée l application qui à pour tout vecteur u du plan u' u vectoriel P associe le vecteur u'tel que : si u 0 alors u' 0 et siu 0 alors : u,u' VII-) Propriétés La rotation vectorielle est une application linéaire : c est-à-dire qu elle vérifie les deux propriétés : u,vp, u v u v et u,k P, ku k u Soit r, la rotation de centre et d angle La rotation vectorielle d angle est dite associée à r, Dans ce cas nous avons : Si Attention : Si AB A A' r, : B B' alors AB A'B' r A C, CD alors on n a pas nécessairement r, B D AB A'B' Mais si alors r B B', r, A A' Exemple : Soit ABC un triangle On construit, à l extérieur de ABC, trois carrés sur les côtésbc, ACetAB de AP QR centres respectifs P,Qet R Montrer en utilisant une rotation vectorielle que : AP QR Cours et exercices sur les transformations 7 C Prof : Dah O Bahini Page sur

3 Complexe des Ecoles Privées EL-KHIYAR ilot L C) Composée de deux réflexions I- D axes parallèles La composée de deux réflexions d axes parallèles est une translation En effet s' s est une translation de vecteur u IJ où I est un point de et J son projeté orthogonal sur ' La composée n est pas commutative : s' s s s' II- D axes sécants La composée de deux réflexions d axes sécants est une rotation En effet s s est une rotation de centre O où O est le point ' d intersection de et ', ' Lorsque et ' sont perpendiculaires en O alors s' s s s' so c est le seul cas où la composée est commutative III- Décomposition d une translation Toute translation de vecteur u peut se décomposer en le produit de deux réflexions d axes parallèles ; l un des axes est arbitraire admettant u comme vecteur normal et d angle Soit une droite de vecteur normal u Ils existent deux droites uniques t s s s s ' t '' t u où et ' '' u u '' et ' telles que : IV- Décomposition d une rotation Toute rotation d angle et de centre O peut se décomposer en le produit de deux réflexions d axes sécants en O ; l un des axes est arbitraire passant par O Soit une droite passant par O Ils existent deux droites uniques r s s s s où O, ' r et '' r ' '' O, O, '' et ' telles que : D- Composée de deux rotations I- De même centre La composée de deux rotations r et O, r O, ' de même centre O et d angles et ' est une rotation de centre O et d angle ' La composition est commutative : r O, ' r O, r O, r O, ' Soit R o l ensemble des rotations de centre O L ensemble R o muni de la loi de composition des applicationsnoté R, o est un groupe commutatif II- De centres différents Soient r et O, r O', ' deux rotations de centres différents O et O'et d angles et ' Soit la droite passant par O et O' On peut décomposer r et O, r : O', ' r s s s s et r O, ' ' O', ' s s s s On trouve alors : r r s ' s s s s ' s On ramène O', ' O, ainsi la composée de deux rotations de centres différents à celle de deux réflexions Deux cas sont possibles : ' ' 0 alors r O', ' r O, est une translation Cours et exercices sur les transformations 7 C Prof : Dah O Bahini Page sur

4 Complexe des Ecoles Privées EL-KHIYAR ilot L ' ' 0 alors r r est une rotation d angle O', ' O, ' La composition n est pas commutative : r r r r O', ' O, O, O', ' La composée de deux rotations de centres différents est une translation ou une rotation Il n y a pas de relation générale permettant de déterminer le centre de cette composée ou son vecteur La composée de deux symétries centrales est une translation : sb sa t AB III-Composée d une rotation et d une translation La composée d une rotation r O, et d une translation t u de vecteur u est une rotation d angle La composition n est pas commutative : t r O, r u O, t u Isométries du plan I- Définition On appelle isométrie du plan toute application qui conserve les distances Soit f une transformation qui à tout bipoint A,B associe le bipoint A',B' f est une isométrie si et seulement si A'B' AB Exemples ; Les translations, les rotations et les réflexions sont des isométries du plan Une homothétie de rapport k k n est pas une isométrie II- Propriétés Toute isométrie est une bijection et sa bijection réciproque est une isométrie La composée de deux isométries est une isométrie L isométrie conserve le produit scalaire L isométrie conserve les angles géométriques Lemme : Si A est un point invariant par une isométrie f alors pour tout point M d image M' M' M la médiatrice de MM' contient A Lemme : Si A et B sont deux points distincts invariants par une isométrie f alors tout point M de la droite AB est invariant par f III- Détermination des isométries du plan Une isométrie qui a trois points, non alignés, invariants est l identité du plan Une isométrie qui a deux points invariants A et B, qui n est pas l identité du plan, est la réflexion d axe AB Une isométrie qui a un seul point invariant A est une rotation de centre A Une isométrie qui n a pas de point invariant est une translation ou une symétrie glissante Conclusion : Une isométrie du plan est une réflexion ou la composée de deux ou de trois réflexions au plus Les isométries du plan sont : les translations, les rotations, les réflexions et les symétries glissantes IV- Classification des isométries Une isométrie conserve les angles orientés ou les transforme en leurs opposés IV- ) Déplacement Une isométrie qui conserve les angles orientés est appelée un déplacement Les déplacements du plan sont les translations et les rotations IV- ) Antidéplacement Cours et exercices sur les transformations 7 C Prof : Dah O Bahini Page 4 sur

5 Complexe des Ecoles Privées EL-KHIYAR ilot L Une isométrie qui transforme les angles orientés en leurs opposés est appelée un antidéplacement Les antidéplacements du plan sont les réflexions et les symétries glissantes V-Détermination d une isométrie Une isométrie est déterminée par la donnée de trois points non alignés et leurs images ou par sa nature et deux points distincts et leurs images Soient A,B et A',B' deux bipoints tels que A'B' AB 0 Il existe un déplacement unique transformant A,B en A',B' et il existe aussi un antidéplacement unique transformant A,B en A',B' V- Composée de deux isométries La composée de deux déplacements est un déplacement La composée de deux antidéplacements est un déplacement La composée d'un déplacement et d'un antidéplacement est un antidéplacement La réciproque d'un déplacement est un déplacement et la réciproque d'un antidéplacement est un antidéplacement VI- Symétrie glissante VI-) Description Une symétrie glissante peut se présenter comme composée: - De trois réflexions d axes non parallèles et non concourants - D une rotation et d une réflexion dont l axe ne contient pas le centre de la rotation - D une réflexion et d une translation dont le vecteur n est pas normal à l axe de la réflexion VI-) Forme réduite d une symétrie glissante Toute symétrie glissante f peut se mettre sous la forme : f s t t s où u est un vecteur directeur de C est la u u forme réduite de f On remarque que l ordre de composition, dans ce cas, est indifférent est appelé l axe de la symétrie glissante et u son vecteur Le milieu d un point et son image par f appartient à l axe la symétrie glissante : MM' La composée f f est une translation de vecteur u : f f t s s t t t t u u u u u Exercice : ABCDest un carré direct de centre O On désigne par I,J,K et L les milieux respectifs des segments AB, BC, CD et DA a) Montrer qu il existe un antidéplacement unique f tel que : f B A et f A D b) Montrer que f est symétrie glissante puis donner sa forme réduite On pose : g sac sjl sda a) Donner la nature de g et déterminer gd et ga Que remarquez-vous? b) En déduire la forme réduite de g et une décomposition f en produit de trois réflexions Exercice : Soit ABCun triangle rectangle en A et direct et f sbc sac sab Montrer que f est un antidéplacement Montrer que f est symétrie glissante Donner la forme réduite de f Exercice : Cours et exercices sur les transformations 7 C Prof : Dah O Bahini Page 5 sur

6 Complexe des Ecoles Privées EL-KHIYAR ilot L A et B sont deux points du plan orienté P r A est la rotation de centre A et d angle M' ra M r B est la rotation de centre B et d angle et M'' r B M et Montrer que le point J milieu dem'm'' est fixe et appartient au cercle de diamètreab a) Montrer que pour tout point M de P distinct de A et B on a : MM',MM'' MA,MB b) En déduire l ensemble des points M du plan P tels que M,M' et M'' soient alignés Exercice 4 : OABC est un carré tel que OA,OC On désigne par r la rotation de centre O et d angle et r' la rotation de centre B et d angle et s la symétrie centrale de B Déterminer la nature et les éléments caractéristique de f r' s r AC Caractériser l application g s' f A-t-on s' f f s' Soit s' la symétrie orthogonale d axe On note par le centre du carré Soit h t S' ( (t ) la translation de vecteur OA ) OA OA Caractériser l application h Exercice 5 : Soit C un cercle de centre O et de rayon r A et B sont deux points de C diamétralement opposés A tout point M de C on associe le point M tel que ABMM' soit un parallélogramme M milieu demm' lorsque M décrit a) Déterminer le lieu géométrique du point C privé de A et B b) Déterminer le lieu géométrique du point M centre de gravité du triangle BM'M lorsque M décrit C privé de A et B Soit M'' le symétrique de A par rapport à M et soit M le point d intersection des droites OM'' et BM Déterminer le lieu géométrique du point M lorsque M décrit C privé de A et B MA et MB et le point K milieu du segment On considère les points I et J milieux respectifs de IJ a) Déterminer le lieu géométrique 4 du point K lorsque M décrit C privé de A b) Soit L le point d intersection des droites BK et AM - Déterminer le barycentre du système : A,, B,, M, -Reconnaître le barycentre du système : A,, M, - Déterminer le lieu géométrique 5 du point L lorsque M décrit C privé de A et B Exercice 6 : ( SN 004) Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCDde centre O et de coté a Soient I, J, K et L les milieux respectifs des segments AB, BC, CD et DA et soit H l intersection des droites (AJ) et (DI) L objectif de cet exercice est l étude de quelques propriétés de la configuration précédente Faire une figure illustrant les données précédentes que l on complétera au fur et à mesure (On pourra prendre AB a 8cm et la droite (AB) horizontale) Cours et exercices sur les transformations 7 C Prof : Dah O Bahini Page 6 sur

7 Complexe des Ecoles Privées EL-KHIYAR ilot L Etude d une rotation r a) Montrer qu il existe une unique rotation r qui transforme A en I et J en D b) Soit R le quart de tour vectoriel direct, montrer que R(AJ) ID, en déduire l angle de la rotation r c) On se propose, dans cette question de déterminer le centre de la rotation r par trois méthodes : Méthode : Montrer que les points, A, H et I d une part et, J, H et D d autre part sont cocycliques en déduire une construction de Méthode : Déterminer r (L) puis r or (L)et montrer que appartient à (IL) en précisant sa position sur (IL) Méthode : Déterminer une droite ( ), (où S est la réflexion par rapport à telle que r S (AC) os ( ) l axe associé) puis déterminer deux réels et tels que : bar (A, );(C, ) Caractérisation de quelques transformations et étude de leurs actions sur le rectangle ABJL a) Déterminer r (B) Déduire des questions précédentes l image du rectangle ABJL par r b) Soit g l antidéplacement qui transforme K en J et laisse C invariant Reconnaître g et préciser l image du rectangle ABJL par g c) Soit r la transformation définie par : r S (JL) os (AC) Déterminer la nature de r, donner ses éléments caractéristiques et préciser l image du rectangle ABJL par r Exercice 7 : On considère deux carrés directs ABCDet AEFG On complète la figure par les parallélogrammes BAGK et EADL Soient P,Q,R,S les centres respectifs de ABCD,ADLE,AEFG,AGKB On considère la rotation vectorielle d angle Etablir que (BE) DG, DG CK puis que (CL) CK En déduire que CLFK est un carré A l'aide d'une homothétie bien choisie, prouver que PQRS est un carré Etablir que (PA) PB et que (AE) AG En déduire que (PE) PK Conclure 4 Etablir que KE FE BE et que DF DG AE En déduire que (BE) DG et que (FE) AE En déduire que (KE) DF Que peut-on en déduire pour les segments [KE] et [FD]? Exercice 8 : I) On considère, dans le plan orienté, un triangle ABCnon isocèle On cherche à construire trois points P,Q et R tels que les triangles CQP,BPR et ARQsoient équilatéraux directs On désigne par r,r etr les rotations d angle et de centres respectifs ABetC Question préliminaire Montrer que r r est une rotation dont le centre est différent de C Que peut-on dire des centres des rotations : r r etr r? Analyse de la configuration cherchée a) Faire un figure approximative b) Montrer que r r r est une symétrie centrale de centre Q c) Montrer que le triplet solution est unique Construction de la solution C' r r r C a) Construire le point b) Construire les points P r Q et R r P c) Montrer que les triangles CQP,BPRet ARQ répondent à la question Cours et exercices sur les transformations 7 C Prof : Dah O Bahini Page 7 sur

8 Complexe des Ecoles Privées EL-KHIYAR ilot L II) On désigne par I,KetM les centres des triangles ARQ, BPRetCQPet cherche à étudier le triangle IKM On désigne par r,r'etr'' les rotations d angle et de centres respectifs IKetM a) Montrer que r r' r''est l application identique b) En déduire que r r'est une rotation de centre M dont on précisera l angle c) On pose r s set r' s soù s,s ets sont des réflexions à déterminer d) Montrer alors que le triangle IKM est équilatéral Soit G le centre de gravité PQR a) Montrer que AP IG Trouver deux autres relations similaires b) En utilisant des isométries adéquates, montrer que AP BQ CR c) En déduire que G est aussi le centre de gravité de IKM et de ABC On désigne par J le centre de gravité du triangle RAB, par L celui de PBC et par N celui de QCA Quelle est la nature du polygone IJKLMN? Exercice 9 : Soit ABCun triangle rectangle en A, isocèle et direct On note D le milieu deac Déterminer l ensemble des isométries laissant le triangle ABCglobalement invariant Soit la droite parallèle à AB passant par C et D' r D et f sdd' sad sbc Montrer que sda sbc sbc s A, En déduire que f est une symétrie glissante dont on précisera le vecteur et l axe Exercice 0 : ABC est un triangle de sens direct dans le plan orienté P A l extérieur de ce triangle, on construit les carrés BAHI, BDEC, CFGA et les parallélogrammes BIJD et CEKF On note r la rotation de centre B et d angle, r' la rotation de centre C et d angle ; t la translation de vecteur BD ; t' la translation de vecteur KF, f t r et g r' t' Montrer que f est la rotation d angle et de centre O centre du carré BDEC Quelle est l image de A par f? Montrer que g f 4 Quelle est l image de K par g? 5 Déduire de tout ce qui précède que le triangle AJK est rectangle et isocèle en A et que O est le milieu de son hypoténuse Exercice : Dans un plan orienté, on considère deux points fixes distincts A et B On pose R A et RB les rotations de centre A et B respectivement et dont une mesure de l angle est Pour tout point M du plan, on note M et M les images respectives de M par ) On considère la transformation : T RB R A a) Construire le point C image du point A par T b) Déterminer la nature et les éléments caractéristique de T c) En déduire la nature du quadrilatère MMCA a) Déterminer et construire l ensemble décrit par le point R et R ) On suppose que le point M décrit le cercle ( ) de diamètreab M quand M décrit ' le milieu du segmentbc Comparer les vecteurs b) Soit le milieu du segment AB et et AC Cours et exercices sur les transformations 7 C Prof : Dah O Bahini Page 8 sur A B '

9 Complexe des Ecoles Privées EL-KHIYAR ilot L c) Déterminer l ensemble décrit par le point I milieu de MM Exercice : Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC, tel que : AB AC et AB, AC Soient I, J, K les milieux respectifs de BC,CA et AB quand M décrit On appelle R la rotation de centre I et l angle dont une mesure est et T la translation de vecteur BC On pose f R T et g T R a) Déterminer l image de K par f et l image de J par g b) Préciser la nature et les éléments caractéristique de f et g a) Déterminer la nature de la transformation g f ( f étant l application réciproque de f ) b) Chercher l image de A par g f et caractériser alors cette application c) Soit M un point quelconque du plan ; M l image de M par f et M l image de M par g Quelle est la nature de quadrilatère ACM M? Exercice : On considère le plan orienté P ; soient A et B deux points distincts de P ; pour tout point M de P on appelle M' l image de M par la rotation r A de centre A et d angle et M'' l image de M par la rotation r B de centre B et d angle ) De l étude de B A, déduire que pour tout point M de P le milieu de M'M'' est un point fixe J dont on déterminera qu il appartient au cercle de diamètre AB ) Le but de cette question est de déterminer l ensemble des points M pour lesquels M, M', M'' sont alignés a) Pour tout point M de P distinct de A et B, démontrer que MM',MM'' MA,MB b) En déduire l ensemble des points M du plan tels que M, M', M'' soient alignés Exercice 4 : Dans un plan orienté, on considère un carré ABCD de sens direct, de centre O On pose : I D C ; K S AB(C) ; J B K et I' I J a) Montrer qu il existe une seule rotation r telle que : r(d) B et r(i) J Caractériser r b) Quelle est la nature du triangle AIJ? a) Vérifier que le quadrilatère IOJB est un parallélogramme, en déduire que I' (BD) b) Soit l antidéplacement défini par D) B et (I) J Montrer que est une symétrie glissante, préciser son axe, puis déterminer son vecteur On désigne par r' la rotation de centre A et d angle On pose g r' t S DB DB et g(i) Caractériser alors g 4 a) Montrer que S AB S AC r, en déduire que r(c) K b) Déterminer et construire la droite image de la droite BC par r 5 a) Montrer que t S CK SAB b) Caractériser l application h S t CA Exercice 5 : Déterminer g(d) Cours et exercices sur les transformations 7 C Prof : Dah O Bahini Page 9 sur

10 Complexe des Ecoles Privées EL-KHIYAR ilot L Soit ABCD un carré direct, de centre O On désigne par la médiatrice du segment AD ; le point définie par A AD et f S h A; avec S la symétrie orthogonale d axe et ha; l homothétie de centre A et de rapport Quelle est la nature de f? Déterminer le rapport de f f Que peut-on déduire? Déterminer a) Déterminer fo b) Soit B' le milieu du segmentb Montrer que l axe ' de f est la médiatrice du segmentob' 4) On pose t ha; h ; a) Montrer que t est une translation b) Déterminer t En déduire le vecteur u de t c) Soit ' l axe de f ; montrer que S' S t d) En décomposant convenablement t, montrer que ' est la droite passant par et perpendiculaire à AD Exercice 6 : Dans le plan orienté, on considère un carré ABCD de centre O tel que AB, AD Soit M un point de la droite BD, on note P le projeté orthogonal de M sur la droite AB et Q le projeté orthogonal de M sur la droite AD A/ On note P' et Q' les projeté orthogonaux de M respectivement sur DC et BD ) On suppose M B a) Soit h l homothétie de centre B telle que h(d) M Quelle sont les images par h des points A et C? Montrer que PM, MQ' b) Démontrer qu il existe une rotation r telle que : r(p) M et r(m) Q' Donner les éléments caractéristiques de r Quelle est l image de Q par r? En déduire que, pour tout M de la droite ; la droite MC est orthogonale à la droite PQ B/ Pour un point M de la droite BD on note M la médiatrice de PQ )a) Démontrer qu il existe une rotation r telle que r (B) A et r (A) D Donner les éléments caractéristiques de r b) Quelle est l image de P par r? ) En déduire que lorsque M décrit la droite BD la droite M passe par un point fixe ) Soit m le milieu du segment PQ ; Déterminer l ensemble des points m lorsque le point M décrit le segmentbd Exercice 7 : On considère trois triangles OAB, OCD et OEF équilatéraux et directs On désigne par P,Qet R les BC, DE et FA Cet exercice propose trois méthodes pour montrer milieux respectifs des segments que le triangle PQR est équilatéral direct I) Rotation vectorielle : Etablir les deux égalités suivantes : PQ CD BO OE et PR CO OF BA Cours et exercices sur les transformations 7 C Prof : Dah O Bahini Page 0 sur

11 Complexe des Ecoles Privées EL-KHIYAR ilot L Soit la rotation vectorielle d angle Montrer que PQ PR Conclure II) Transformations : Faire une figure sur laquelle vous faites apparaitre les points P',Q'et R'tels que les quadrilatères BOCP',DOEQ'etFOAR'soient des parallélogrammes Soit r la rotation de centre O et d angle On considère la transformation f r t BO a) Montrer que f est une rotation dont on précisera l angle f B et préciser le centre de f b) Déterminer c) Déterminer f P' d) En déduire que le triangle P'DA est équilatéral direct On considère la transformation g t r t OA DO a) Montrer que g est une rotation dont on précisera l angle b) Déterminer gd et préciser le centre de g c) Déterminer gq' et la nature du triangle P'Q'R' d) En utilisant une homothétie adéquate, montrer que le triangle PQR et équilatéral direct III) Nombres complexes : On munit le plan d un repère orthonormé direct d origine O Exprimer les affixes z B,zD et zf respectivement en fonction de z A,zC et z E a) Exprimer alors z P,z Q et z R i b) Vérifier que z R zp e zq zp Conclure Cours et exercices sur les transformations 7 C Prof : Dah O Bahini Page sur