HLMA101 : Algèbre linéaire et Analyse 1
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- Marie-Agnès Beaupré
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1 HLMA101 : Algèbre linéaire et Analyse 1 PARTIE B Algèbre linéaire et Géométrie
2 Chapitre B.2 Systèmes linéaires
3 B.2.A) NOTION DE SYSTÈME LINÉAIRE.
4 Recherche d intersection d espaces affines Exercice. Soit P = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + 3y z = 0} P a = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + (1 + a)y z = 5} Discuter en fonction de a R l intersection P P a. Réponse. par un méthode élémentaire. Etape 1. On cherche une écriture paramétrique de P. O est un point de P le plan directeur de P est dirigé par 3 1 u = 2 v = 0 0 2
5 Recherche d intersection d espaces affines Exercice. Soit P = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + 3y z = 0} P a = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + (1 + a)y z = 5} Discuter en fonction de a R l intersection P P a. Réponse. par un méthode élémentaire. Etape 1. On cherche une écriture paramétrique de P. P = { T tu+sv (O), (t, s) R 2} 3 1 u = 2 v = 0 0 2
6 Recherche d intersection d espaces affines Exercice. Soit P = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + 3y z = 0} P a = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + (1 + a)y z = 5} Discuter en fonction de a R l intersection P P a. Réponse. par un méthode élémentaire. Etape 1. On cherche une écriture paramétrique de P. P = { ( 3t + s, 2t, 2s), (t, s) R 2}
7 Recherche d intersection d espaces affines Exercice. Soit P = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + 3y z = 0} P a = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + (1 + a)y z = 5} Discuter en fonction de a R l intersection P P a. Réponse. par un méthode élémentaire. Etape 2. On cherche un point de P P a M(x, y, z) P P a (M P a ) et (M P)
8 Recherche d intersection d espaces affines Exercice. Soit P = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + 3y z = 0} P a = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + (1 + a)y z = 5} Discuter en fonction de a R l intersection P P a. Réponse. par un méthode élémentaire. Etape 2. On cherche un point de P P a M(x, y, z) P P a ( (t, s) R 2, x = 3t + s, y = 2t, z = 2s) et (2x + (1 + a)y z = 5)
9 Recherche d intersection d espaces affines Exercice. Soit P = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + 3y z = 0} P a = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + (1 + a)y z = 5} Discuter en fonction de a R l intersection P P a. Réponse. par un méthode élémentaire. Etape 2. On cherche un point de P P a M(x, y, z) P P a ( (t, s) R 2, x = 3t + s, y = 2t, z = 2s) et (2a 4)t = 5
10 Recherche d intersection d espaces affines Exercice. Soit P = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + 3y z = 0} P a = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + (1 + a)y z = 5} Discuter en fonction de a R l intersection P P a. Réponse. par un méthode élémentaire. Etape 3. On a donc 2 cas a = 2 Alors (2a 4)t = 5 n est pas possible a 2 Alors t = 5/(2a 4)
11 Recherche d intersection d espaces affines Exercice. Soit P = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + 3y z = 0} P a = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + (1 + a)y z = 5} Discuter en fonction de a R l intersection P P a. Réponse. par un méthode élémentaire. Etape 3. On a donc 2 cas a = 2 P P a = a 2 Alors t = 5/(2a 4) et P P a = { ( 3t + s, 2t, 2s), s R, t = } 5 2a 4
12 Recherche d intersection d espaces affines Exercice. Soit P = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + 3y z = 0} P a = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + (1 + a)y z = 5} Discuter en fonction de a R l intersection P P a. Réponse. par un méthode élémentaire. Etape 3. On a donc 2 cas a = 2 P P a = a 2 Alors t = 5/(2a 4) et {( P P a = 15 ) 2a 4 + s, 5 a 2, 2s On reconnaît l équation d une droite. }, s R
13 Recherche d intersection d espaces affines Remarque : On a deux écritures de P P a Ecriture en compréhension : P P a = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + 3y z = 0 Ecriture paramétrique : et 2x + (1 + a)y z = 5} a = 2 : P P a = {( a 2 : P P a = 15 ) 2a 4 + s, 5 a 2, 2s }, s R Objectif. Décrire une méthode (robuste) pour passer de l un à l autre.
14 Recherche d intersection d espaces affines Remarque : On a deux écritures de P P a Ecriture en compréhension : P P a = {(x, y, z) R 3 t.q. 2x + 3y z = 0 Ecriture paramétrique : et 2x + (1 + a)y z = 5} a = 2 : P P a = {( a 2 : P P a = 15 ) 2a 4 + s, 5 a 2, 2s }, s R Exemple. Quelle méthode pour déterminer la nature de {(x, y, z, t) R 4, 2x + 3y z = 0 et x + y t = 4}?
15 Systèmes linéaires Définition. On dit d une équation d inconnues x 1,..., x n qu elle est linéaire, s il existe a 1,..., a n dans K et b K tels que cette équation s écrit a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b. Exemple. Parmi les équations suivantes, d inconnues (x, y, z, t), lesquelles sont linéaires : i) x + y + z + t = 4, ii) xy = 1, iii) exp(2x) + y = 0. Définition. On appelle système linéaire un ensemble (fini) d équations linéaires. Exemple. On écrit les équations dans une accolade : { x + y + z + t = 4 x y + z t = 0
16 Systèmes linéaires Définition. On dit d une équation d inconnue (x 1,..., x n ) qu elle est linéaire, s il existe a 1,..., a n dans K et b K tels que cette équation s écrit a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b. Exemple. Parmi les équations suivantes, d inconnues (x, y, z, t), lesquelles sont linéaires : i) x + y + z + t = 4, ii) xy = 1, iii) exp(2x) + y = 0. Définition. On appelle système linéaire un ensemble (fini) d équations linéaires. Exemple. On écrit les équations dans une accolade : { x + y + z + t = 4 x y + z t = 0
17 Résolution d un système Définition. On appelle solution tout n-uplet tel qu en attribuant aux inconnues du système les valeurs de ce n-uplet, les différentes équations du système sont satisfaites. Résoudre un système c est donner une représentation paramétrique de son ensemble de solution. Exemple. (0,0,2,2) est une solution de { x + y + z + t = 4 x y + z t = 0 L ensemble des solutions de ce système est {(2 α, 2 β, α, β), (α, β) R 2 }
18 Résolution d un système Définition. On appelle solution tout n-uplet tel qu en attribuant aux inconnues du système les valeurs de ce n-uplet, les différentes équations du système sont satisfaites. Résoudre un système c est donner une représentation paramétrique de son ensemble de solution. Exemple. x = 0,y = 0,z = 2,t = 2 est une solution de { x + y + z + t = 4 x y + z t = 0 L ensemble des solutions de ce système est {x = 2 α, y = 2 β, z = α, t = β, (α, β) R 2 }
19 Résolution d un système Définition. On appelle solution tout n-uplet tel qu en attribuant aux inconnues du système les valeurs de ce n-uplet, les différentes équations du système sont satisfaites. Résoudre un système c est donner une représentation paramétrique de son ensemble de solution. Définition. Si un système linéaire n admet pas de solution, on dit qu il est incompatible.
20 Différentes écritures d un système linéaire Matrice des coefficients { x + 2y + 4z = 5 2x 5y + 7z = 12
21 Différentes écritures d un système linéaire Matrice des coefficients { 1 x + 2 y + 4 z = 5 2 x + ( 5) y + 7 z = 12
22 Différentes écritures d un système linéaire Matrice des coefficients { 1 x + 2 y + 4 z = 5 2 x + ( 5) y + 7 z = 12 ( )
23 Différentes écritures d un système linéaire Matrice des coefficients { 1 x + 2 y + 4 z = 5 2 x + ( 5) y + 7 z = 12 ( 4 )
24 Différentes écritures d un système linéaire Matrice des coefficients { 1 x + 2 y + 4 z = 5 2 x + ( 5) y + 7 z = 12 ( 4 ) -5
25 Différentes écritures d un système linéaire Matrice des coefficients { 1 x + 2 y + 4 z = 5 2 x + ( 5) y + 7 z = 12 ( ) 2 5 7
26 Différentes écritures d un système linéaire Matrice des coefficients Définition. Soit un système linéaire d inconnues (x 1,..., x n ) formé des d équations : a i,1 x 1 + a i,2 x a i,n x n = b i pour i = 1,..., d On appelle matrice des coefficients, le tableau à d lignes et n colonnes et dont le coefficient à l intersection de la i-ème ligne et de la j-ième colonne et a i,j. Exemple. { 2x + 3y 4z + 5t = 10 x + 7z + 10t = 2 Notation. (a i,j ) 1 i d,1 j n
27 Différentes écritures d un système linéaire Matrice des coefficients Définition. Soit un système linéaire d inconnues (x 1,..., x n ) formé des d équations : a i,1 x 1 + a i,2 x a i,n x n = b i pour i = 1,..., d On appelle matrice des coefficients, le tableau à d lignes et n colonnes et dont le coefficient à l intersection de la i-ème ligne et de la j-ième colonne et a i,j. Exemple. ( ) Notation. (a i,j ) 1 i d,1 j n
28 Différentes écritures d un système linéaire Matrice augmentée Définition. On contruit la matrice augmentée d un système en adjoignant à la matrice des coefficients les données des équations en dernière colonne. Exemple. Exercice. Soit la matrice augmentée : { 2x + 3y 4z + 5t = 10 x + 7z + 10t = 2 Combien le système a-t-il d inconnues? Combien a-t-il d équations? Construire un système dont c est la matrice augmentée.
29 Différentes écritures d un système linéaire Matrice augmentée Définition. On contruit la matrice augmentée d un système en adjoignant à la matrice des coefficients les données des équations en dernière colonne. Exemple. ( ) Exercice. Soit la matrice augmentée : Combien le système a-t-il d inconnues? Combien a-t-il d équations? Construire un système dont c est la matrice augmentée.
30 B.2.B) EXEMPLES DE RÉSOLUTIONS DE SYSTÈME.
31 Un premier exemple simple On veut résoudre le système (S) 2x + 4y z = 0 (S) y + z = 1 z = 0 On procède par substitution
32 Un premier exemple simple On veut résoudre le système (S) 2x + 4y 0 = 0 (S) y + 0 = 1 z = 0 On procède par substitution
33 Un premier exemple simple On veut résoudre le système (S) 2x + 4y = 0 (S) y = 1 z = 0 On procède par substitution
34 Un premier exemple simple On veut résoudre le système (S) 2x = 0 (S) y = 1 z = 0 On procède par substitution
35 Un premier exemple simple On veut résoudre le système (S) x = 2 (S) y = 1 z = 0 On procède par substitution
36 Un premier exemple simple On veut résoudre le système (S) x = 2 (S) y = 1 z = 0 On procède par substitution et on obtient l ensemble solution : {( 2, 1, 0)}
37 Systèmes triangulaires supérieures Définition. On dit qu un système linéaire est carré s il a autant d équations que d inconnues. Définition. On dit qu un système linéaire carré à n équations est triangulaire supérieur si sa matrice de coefficients (a i,j ) 1 i,j n, satisfait : a i,j = 0, 1 j < i n. Exercice. Quelles matrices correspondent à des systèmes triangulaires supérieurs : ( )
38 Systèmes triangulaires supérieures Résolution Théorème. Soit (S) un système triangulaire supérieur à n équations : a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,2 x a 2,n x n = b 2... a n,n x n = b n. Si on a : a i,i 0 i {1,..., n}, ce système admet une unique solution donnée par la formule de récurrence descendante : ( x i = 1 b i a i,i n k=i+1 a i,k x j ) i {n,..., 1}.
39 Exemple On considère le système de paramètres (a, b) R 2 x + y + z + t = 0 ay + z + 2t = 1 az t = 1 at = b
40 Exemple a = 1, b quelconque x + y + z = b y + z = 1 2b z = 1 + b t = b
41 Exemple a = 1, b quelconque x + y = b ( 1 + b) y = 1 2b ( 1 + b) z = 1 + b t = b
42 Exemple a = 1, b quelconque x + y = 1 2b y = 2 3b z = 1 + b t = b
43 Exemple a = 1, b quelconque x = 1 + b y = 2 3b z = 1 + b t = b L ensemble des solutions du système est : {( 1 + b, 2 3b, 1 + b, b)}.
44 Exemple On considère le système de paramètres (a, b) R 2 x + y + z + t = 0 ay + z + 2t = 1 az t = 1 at = b
45 Exemple a = 0, b = 1 x + y + z + t = z + 2t = 1 0 t = 1 0 = 1
46 Exemple a = 0, b = 1 x + y + z + t = z + 2t = 1 0 t = 1 0 = b La troisième équation est impossible! Le système est incompatible. L ensemble solution est vide.
47 Exemple On considère le système de paramètres (a, b) R 2 x + y + z + t = 0 ay + z + 2t = 1 az t = 1 at = b
48 Exemple a = 0, b = 0 x + y + z + t = 0 z + 2t = 1 t = 1 0 = 0 La troisième équation est automatique! On l enlève du système.
49 Exemple a = 0, b = 0 x + y + z + t = 0 z + 2t = 1 t = 1
50 Exemple a = 0, b = 0 x + z + t = y z + 2t = 1 t = 1 On peut voir le nouveau système comme un système triangulaire supérieur en l inconnue (x, z, t) avec un paramètre : y.
51 Exemple a = 0, b = 0 x + z = y 1 z = 1 t = 1 On peut voir le nouveau système comme un système triangulaire supérieur en l inconnue (x, z, t) avec un paramètre : y.
52 Exemple a = 0, b = 0 x = y z = 1 t = 1 On peut voir le nouveau système comme un système triangulaire supérieur en l inconnue (x, z, t) avec un paramètre : y. L ensemble des solutions est : {( y, y, 1, 1), y R}.
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