1 Décimaux relatifs. Introduction (Rappels) 1.1 Addition et soustraction (rappels) Maths 4 e 1. Décimaux relatifs

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1 Maths 4 e 1. Décimaux relatifs Décimaux relatifs Introduction (Rappels) Pour calculer une expression algébrique on effectue, dans cet ordre : 1. Les calculs entre parenthèses ; 2. Les multiplications et les divisions ; 3. Les additions et les soustractions. Lorsque des opérations (,, + ou ) de même priorité se suivent, on les effectue dans l ordre de lecture (de gauche à droite). Exemple : ( ) = (3 + 20) = = = 47 Pour simplifier les expressions algébriques on supprime les parenthèses inutiles (seules les parenthèses modifiant les règles de priorité doivent être conservées) et on ommet le signe de la multiplication avant une lettre ou une parenthèse. La barre de fraction remplace les parenthèses autour du numérateur et du dénominateur. Exemple : l expression (2 3) (4 + 5) s écrit 2 3(4 + 5) la formule : p = 2 π r, s écrit aussi : p = 2πr h (b + ) h(b + ) la formule : =, s écrit aussi : = ou encore = h b ddition et soustraction (rappels) Nombre relatifs : Un nombre relatif est un nombre précédé d un signe : + pour les nombres positifs ou pour les nombres négatifs. Le nombre sans son signe s appelle la distance à l origine du nombre (ou sa valeur absolue). Deux nombres ayant la même distance à l origine et des signes contraires sont dits opposés. Exemples : ( 3) et (+3) sont opposés ; (+5) est l opposé de ( 5) ; ( 7, 32) est l opposé de (+7, 32). Règle d addition des nombres relatifs : 1. Si les deux nombres sont de même signe il faut additionner leurs distances à l origine et faire précéder le résultat du signe commun à ces deux nombres ; 2. Si les deux nombres sont de signes contraires il faut calculer la différence de leurs distances à l origine et faire précéder le résultat du signe du plus éloigné de l origine. Exemples : (+5) + (+7) = (+12) ; ( 4) + ( 3) = ( 7) ; ( 6) + (+11) = (+5) ; (+7) + ( 9) = ( 2) Règle de soustraction des nombres relatifs : Soustraire un nombre c est additionner son opposé (on utilise ensuite les règles d addition pour calculer le résultat de la soustraction). Exemples : (+5) (+2) = (+5) + ( 2) = (+3) ; ( 3) (+9) = ( 3) + ( 9) = ( 12) ; F.onomi 1/28 prog 2007

2 Maths 4 e 1. Décimaux relatifs ( 7) ( 3) = ( 7) + (+3) = ( 4) ; (+2) ( 1) = (+2) + (+1) = (+3) Simplification d écriture d une somme algébrique : Une somme algébrique est une suite d additions et de soustractions de relatifs. Pour calculer une somme algébrique on calcule les opérations successives dans l ordre de lecture (de gauche à droite). Dans une somme algébrique on peut supprimer les parenthèses pour écrire l expression sous la forme d une suite d addition d additions et de soustractions de nombres positifs. Exemple : ( 7) + ( 3) ( 8) + (+3) (+2) = = = = 1 2 = Multiplication et division Règle des signes : Signe du produit ou d un quotient de deux nombres relatifs : 1. Si les deux nombres sont de même signe le résultat est positif ; 2. Si les deux nombres sont de signes contraires le résultat est négatif. Pour multiplier deux nombres relatifs on calcule le signe du résultat à l aide de la règle des signes et on l applique au produit de leurs distances à l origine ; de même pour diviser en calculant le quotient. Exemples : 7 8 = 56 ; 3 ( 4) = 12 ; Propriété : Le carré d un nombre relatif est toujours positif. Exemple : ( 5) 2 = ( 5) ( 5) = 5 5 = 5 2 = Parenthèses 4 5 = 4 5 ; = 3 2. Il y a deux types de parenthèses : changement de priorités et délimiteurs des nombres relatifs. Pour supprimer les parenthèses il faut tenir compte des règles de priorité. On calcule dans cet ordre : 1. Le contenu des parenthèses les plus intérieures ; 2. Les puissances ; 3. Les multiplications et les divisions ; 4. Les additions et les soustractions Des opérations successives de même priorité sont effectuées dans l ordre de lecture. Exemples : Délimiteurs de nombres relatifs : 3 ( 5) + ( 3) = 15 3 = 12 Parenthèses de changement de priorité : 2 (5 7) = = = 4 ; ( 5) 2 = 25, mais 5 2 = 25 ; (5 2) 2 = 10 2 = 100, mais = 5 4 = 20 Suppression des parenthèses précédées du signe moins ( ) : 7 2 ( ) = = = = 12+1 = 13 avec des lettres : 4 (x + 2 b) = 4 x 2 + b = 2 x + b 5x + 4 (x + 2 3x) = 5x + 4 x 2 + 3x = 7x + 2 F.onomi 2/28 prog 2007

3 Maths 4 e 2. Fractions Fractions Rappels des règles de calcul sur les fractions Transformer et simplifier une fraction : si on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur d une fraction par un même nombre (non nul), on obtient une fraction égale. Pour additionner ou soustraire deux fractions il est nécessaire qu elle aient le même dénominateur ; on peut alors additionner ou soustraire les numérateurs en gardant le dénominateur commun. a c + b c = a + b c a c b c = a b c Si les fractions n ont pas le même dénominateur il faut d abord les transformer pour obtenir deux fractions ayant le même dénominateur : on dit que l on réduit ces fractions au même dénominateur. Le produit de deux fractions est une fraction dont le numérateur est égal au produit des numérateurs et le dénominateur est égal au produit des dénominateurs. a b c d = a c b d Remarque : Il est en général utile de simplifier la fraction obtenue. Exemples : = = 8 10 = = = = = 3 12 = = = = = Fractions de nombres relatifs Une fraction est l écriture du quotient de deux nombres. Ces deux nombres peuvent être des nombres relatifs. On calcule alors le signe de la fraction en utilisant la règle des signes d un quotient. Exemples : 3 +4 = 3 4 ; 1 5 = 1 5 ; 7 2 = 7 2 Opposé d une fraction : les fractions sont des nombres et deux nombres sont opposées si leur somme est nulle ; les fractions a ( b et a b sont opposées en effet : a b a b = a a = 0 ). b b = 0 Exemples : L opposé de 7 2 est 7 2 ; l opposé de 4 5 est ddition et soustraction de fractions Pour additionner ou soustraire des fractions de relatifs, on utilise d abord les règles d addition et de soustraction des relatifs : soustraire un nombre c est additionner son opposé et additionner un nombre c est soustraire son opposé. F.onomi 3/28 prog 2007

4 Maths 4 e 2. Fractions Si les fractions ont le même dénominateur, on additionne ou on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun ; sinon on réduit d abord les fractions au même dénominateur. Exemples : 3 ( ) = = = 1 4 ; 5 ( 8 7 ) = = = Multiplication de fractions On applique d abord la règle des signes pour déterminer le signe du produit. On calcule ensuite le produit des fractions dont le numérateur est le produit des numérateurs et le dénominateur est le produit des numérateurs. Exemples : = = 21 8 ; 8 ( 9 5 ) = = 2 5 = 10 ( 9 9 ; 3 ) 4 ( 12 ) = = Inverse Un nombre est l inverse d un autre nombre, si leur produit est égal à 1. L inverse du nombre a (non nul) est 1 a, car a 1 a = a a = 1 (le nombre 1 a a 1 ). L inverse de la fraction a b est la fraction b a, car a b b a = ab ba = 1. Exemples : L inverse de 7 2 est 2 7, car = = 1 ; l inverse de 4 13 est 13 4, car 4 ( ) = 1 4 Remarque : Un nombre et son inverse sont toujours de même signe. ttention : Ne pas confondre inverse et opposé. est aussi noté 2.5 Division Diviser par un nombre (non nul), c est multiplier par l inverse de ce nombre. Diviser b par a, c est multiplier b par 1 a (en effet : b 1 a = b 1 = b a a ). pplication : diviser un nombre x par une fraction c est multiplier ce nombre x par l inverse de cette fraction ; ce nombre peut également lui-même être une fraction. x a b = x b a = x b a Exemples : ; c d a b = c d b a = c b d a 10 = = 15 2 ; preuve : c d a b = bd c d bd a b = = = bc da = c d b a = 15 2 F.onomi 4/28 prog 2007

5 Maths 4 e 3. Puissances Puissances 3.1 Puissance et exposant Définition : n étant un nombre entier positif, on note a n le produit de n facteurs tous égaux au nombre a. a n se lit «a puissance n». Dans l écriture a n, le nombre n s appelle aussi l exposant. Exemples : 2 5 = = 32 ; 7 2 = 7 7 = 49 ; 4 3 = = 64. Cas particuliers : a 2 se lit aussi «a au carré» et a 3 se lit aussi «a au cube» (par analogie avec la géométrie où a 2 mesure l aire d un carré de côté de longueur a et a 3 le volume d un cube de côté de longueur a). 3.2 Règles de calcul sur les puissances En utilisant la définition ci-dessus, on démontre aisément les formules suivantes : a n a m = a n+m et a n a m = an m et (a n ) m = a n m Exemples : = = 2 10 = 1024 ; = 56 3 = 5 3 = 125 ; 0, 1 3 = 0, 1 0, 1 0, 1 = 0, 001 ; ( 3) 2 = ( 3) ( 3) = 9 ; ( 3) 3 = ( 3) ( 3) ( 3) = 27 ; (2 3 ) 4 = 2 (3 4) = 2 12 = Règles de priorité : Dans l écriture algébrique, le calcul d une puissance est prioritaire sur les multiplications et les divisions (ainsi que les additions et soustractions!) Exemples : = = 300, mais (3 10) 2 = 30 2 = 900 ; de même = = 69, mais (5 + 4) 3 = 9 3 = 729. ttention : Les règles de calcul ci-dessus ne s appliquent qu aux produit ou au quotient de deux puissances d un même nombre! Pour une somme ou une différence on ne peut pas les utiliser : il faut calculer les puissances, puis additionner ou soustraire. Pour un produit ou un quotient de puissances de deux nombres différents, il faut calculer ces puissances, puis multiplier ou diviser. Exemples : = = 24 ; = = 100 ; = = 145 ; 54 2 = 625 = 39, Exercice : Les calculs de puissances donnent souvent des nombres très grands dépassants les possibilités des calculatrices : Calculer N = x y 4 86y 2, pour x = et y = 531 (réponse N = 1). Calculer P = x y 4 278y 2, pour x = et y = (réponse P = 1). F.onomi 5/28 prog 2007

6 Maths 4 e 3. Puissances Exposant négatif Par simplification a3 a = 1 ; la généralisation de la seconde règle ci-dessus permet d écrire 5 a2 a 3 a = 5 a 2. Cet exemple permet de définir l écriture d une puissance comportant un exposant entier relatif (quel que soit le signe de l entier relatif n) : a n = 1 a n Exemples : = = = 1 25 = 0, 01 ; = = 2 1 ; = 3 ( 4) = 3 4 = 81. Remarques : 1. Les règles énoncées ci-dessus restent valables pour tous les exposants entiers relatifs (quels que soient leurs signes) ; 2. On remarque que a = a 1 et que l inverse de a s écrit aussi a 1 1 : a = a 1 ; 3. Pour des exposants n et m égaux, la seconde règle permet d écrire pour tout nombre a non nul a 0 = 1 (en effet si n = m, alors an a = an m a = a n n = a 0, or par simplification an n a = 1). n 3.4 Notation scientifique En sciences on utilise souvent des nombres très grands ou très petits qui nécessiteraient un très grand nombre de zéros (à gauche ou à droite de la virgule). Pour faciliter l écriture et la lisibilité de tels nombres on utilise les puissances de 10. Exemples : = = ou encore 1, = 1, : cette dernière écriture est l écriture scientifique du nombre De même la notation scientifique du nombre 0, est 2, Définition : L écriture scientifique d un nombre est l écriture de ce nombre sous la forme du produit d un nombre décimal supérieur ou égal à 1 et inférieur à 10, par une puissance de 10. Exemples : = 1, ; 0, = 2, Utilisation de la calculatrice : Les calculatrices scientifiques possède une touche permettant de saisir directement l exposant de la puissance de 10 (par exemple la touche 10 x ). insi pour entrer 0, on saisit 0, x 5. Pour calculer des expressions comportant des nombres écrits en notation scientifique il faut regrouper les décimaux d une part et les puissances de 10 de l autre. Exemples : 6, = 6, = 30, = 3, = 3, ; = ( 3) = 17, = 1, = 1, F.onomi 6/28 prog 2007

7 Maths 4 e 4. Calcul littéral et équations Calcul littéral et équations 4.1 Calcul littéral En mathématique on utilise des lettres pour représenter des nombres inconnus. Le calcul littéral consiste à faire certains calculs avec des lettres représentant des nombres. Par exemple si x représente un nombre, on peut écrire 3x+2x = 5x ou encore 10x2 2x = 5x. Rappel des formules de distributivité : k(a + b) = ka + kb et k(a b) = ka kb Quand on utilise la distributivité pour supprimer les parenthèses, on dit qu on développe l expression (exemple : 5(x 2) = 5x 10). Quand on utilise la distributivité dans l autre sens en ajoutant des parenthèses, on dit qu on factorise l expression (exemple : x 2 + 3x = x(x + 3) ; on dit que «x est mis en facteur»). Réduire une expression c est la calculer au maximum en regroupant les termes semblables. Exemple : x 2 + 3x 10 7x 2 + 3x 2 = 4x 2 4x Développement de (a + b)(c + d) Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Preuve : (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd Exemples : (3x + 1)(7 x) = 3x 7 3x x + 7 x = 21x x x = x x + 7 ; (7x + 8)(2x 5) = 7x 2x 7x x 8 5 = 14x 2 19x 40 ; (x+2)(x 2) (3x 8+5 x) = x 2 2x+2x 4 (2x 3) = x 2 4 2x+3 = x 2 2x Équations Une équation est une égalité entre deux expressions comportant un nombre inconnu représenté par une lettre : c est l inconnue. Résoudre une équation c est trouver la valeur de l inconnue pour laquelle l égalité est vraie. Pour résoudre une équation on transforme l égalité en utilisant les règles suivantes : On peut additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d une égalité ; On peut multiplier ou diviser les deux membres d une égalité par un même nombre non nul. Exemples : 2x + 4 = 12 ; 2x = 12 4 ; 2x = 8 ; 2x 2 = 8 2 ; x = 4 3(x 5) 6 = 2x (5x + 3) ; 3x 15 6 = 2x 5x 3 ; 3x 21 = 3x 3 ; 3x x = 3x x ; 6x = 18 ; x = 18 6 ; x = 3 9 x = 6 ; 9 x x = 6x ; 9 = 6x ; 9 6 = 6x 6 ; x = 9 6 ; x = 3 2 F.onomi 7/28 prog 2007

8 Maths 4 e 5. pplication de la proportionnalité pplication de la proportionnalité 5.1 Représentation graphique de la proportionnalité Définion : Deux séries de valeurs sont proportionnelles si tous les quotients de valeurs correspondantes sont égaux ; le nombre ainsi obtenu est appelé coefficient de proportionnalité. En multipliant les valeurs d une ligne par le coefficient de proportionnalité on obtient les valeurs de l autre ligne. Exemple : Le tableau de valeurs suivant est un tableau de proportionnalité. En effet tous les quotients x 1, 2 sont égaux : y 1 = 1, 8 1, 5 = 3 2, 5 = 6 5 = 2, 4 2 = 3, 6 = 1, 2. 3 x 1,2 1, ,4 3,6 y 1 1,5 2, Le coefficient de proportionnalité est égal à 6 ou 1,2 : en multipliant les valeurs de la seconde ligne par 6 on obtient les valeurs correspondantes de la première ligne. En divisant 5 5 les valeurs de la première ligne par 6 (ou les multipliant par son inverse 5 ) on obtient les 5 6 valeurs de la seconde ligne. Représentation graphique : Si on représente les couples de valeurs correspondantes d un tableau de proportionnalité dans un repère, on obtient des points alignés sur une droite passant par l origine du repère. Exemple : L exemple ci-dessus permet de tracer 6 points, tous alignés sur une droite. Les points construits à partir des valeurs du tableau de proportionnalité ont pour coordonnées (1, 2; 1) ; (1, 8; 1, 5) ; (3; 2, 5) ; (6; 5) ; (2, 4; 2) et (3, 6; 3). y 5 3 2,5 2 1,5 1 O 1,2 1,8 2,4 3 3,6 6 x 5.2 Utilisation de la proportionnalité Calculer une quatrième proportionnelle c est calculer une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité. x 6 a 7,2 Exemple : Calculer les valeurs a et b dans le tableau suivant : y 5 3,5 b Pour que tableau soit un tableau de proportionnalité, tous les quotients des valeurs correspondantes doivent être égaux, soit 6 5 = a 3, 5 = 7, 2 b d où 6 5 = a 3, 5 et après résolution de l équation a = 3, = 4, 2 et 6 5 = 7, 2 b soit après résolution de l équation b = 7, = 6. F.onomi 8/28 prog 2007

9 Maths 4 e 5. pplication de la proportionnalité ppliquer un pourcentage. Rappel : Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100 (le symbole % remplace la fraction ). ppliquer un pourcentage t% c est appliquer un coefficient de proportionnalité en multipliant par t 100. Exemple : Thomas a été élu délégué de sa classe avec 60 % des voix. Combien de camarades ont voté pour lui sachant que les 25 élèves de sa classe étaient présents le jour de l élection? 60 % de 25 représentent = 15 ; il a donc eu 15 voix. 100 Exercice : Dans une classe de quatrième de 20 élèves 80 % des élèves ont choisi l llemand en seconde langue (le reste l Espagnol). Parmi les 68 élèves des trois autres classes regroupées pour l enseignement de la seconde langue 25 % des élèves ont choisi l llemand. Calculer le pourcentage global d élèves de quatrième ayant choisi l llemand pour seconde langue. Solution : Dans la classe de 20 élèves 20 80, soit 16 élèves ont choisi l llemand et pour les 68 élèves 100 des trois autres classes 68 25, soit 17 élèves ont choisi l llemand, ce qui fait un total de 33 germanistes 100 seconde langue pour un total de 88 élèves de quatrième. Le pourcentage de germaniste seconde langue en quatrième est donc de 33 37, 5 = 0, 375 =, soit 37, %. 5.3 Grandeurs quotients Une grandeur quotient est une grandeur qui se calcule par le quotient de deux autres grandeurs. La vitesse moyenne est une grandeur quotient, car elle se calcule par le quotient de la distance parcourue par la durée nécessaire pour parcourir cette distance : v = d t. Exemples : Si un véhicule parcourt 64 km en 40 minutes, sa vitesse moyenne est v = d t = = = 96 km/h (40 min vaut = 2 d heure) ; Dans le vide la lumière se propage à la vitesse de km/s. À cette vitesse, combien de temps met la lumière du Soleil pour parvenir jusqu à la surface de la Terre, sachant qu elle tourne à environ km autour du Soleil. Puisque v = d, on peut aussi écrire t = d t v encore 8 min et 20 s environ., d où t = = 500, soit 500 s ou Il existe d autres grandeurs quotients : la consommation de carburant d un véhicule : consommation = la pression : pression = force répartie sur une surface aire de la surface ; volume de carburant longueur du trajet ; F.onomi 9/28 prog 2007

10 Maths 4 e 5. pplication de la proportionnalité la puissance : puissance = énergie durée. Exercice : Pour effectuer la montée d un col un cycliste met 40 min, puis 20 min pour parcourir le même trajet à la descente. 1. Si la longueur de la montée est de 18 km, calculer : (a) la vitesse moyenne de montée ; (b) la vitesse moyenne de descente ; (c) la vitesse moyenne sur l ensemble du parcours. 2. Si il effectue l aller-retour à la vitesse moyenne de 30 km/h, calculer : (a) la longueur de la montée ; (b) la vitesse moyenne de montée ; (c) la vitesse moyenne de descente. Solution : 1. (a) la vitesse moyenne de montée est v = (b) la vitesse moyenne de descente est v = = = 27 km/h ; = 18 3 = 54 km/h. (c) la vitesse moyenne sur l ensemble du parcours est v = = 36 km/h. 2. (a) Il a mis 1 heure au total pour effectuer l aller-retour à la vitesse moyenne de 30 km/h, donc la distance totale est d = v t = 30 1 = 30 km ; la longueur de la montée est donc de 15 km ; (b) la vitesse moyenne de montée est v = (c) la vitesse moyenne de descente est v = Conversion des unités horaires = = 22, 5 km/h ; = 15 3 = 45 km/h. 1 h = 60 min donc 1 min = 1 60 h 1 min = 60 s donc 1 s = 1 60 min 1 h = s donc 1 s = h On utilise la proportionnalité pour faire les changements d unités. Exemples : 1. Convertir les durées suivantes en heures décimales : 1 h 57 min ; 2 h 27 min 45 s et 3 min 18 s. 2. Convertir les durées suivantes en h-min-s : 3,7 h ; 2,05 h ; 13,6 min et 0,7625 h. Solution : 1. 1 h 57 min vaut = 1, 95 h ; 60 2 h 27 min 45 s vaut = 2, 4625 h ; min 18 s vaut , 3 = 3, 3 min = = 0, 055 h ,7 h égale 3 h (0, 7 60) min, soit 3 h 42 min ; 2,05 h égale 2 h (0, 05 60) min, soit 2 h 03 min ; 13,6 min égale 13 min (0, 6 60) s, soit 0 h 13 min 36 s ; 0,7625 h égale (0, ) min, soit 45,75 min ou 45 min (0, 75 60) s et donc 0 h 45 min 45 s. F.onomi 10/28 prog 2007

11 Maths 4 e 6. Ordre et inégalités Ordre et inégalités 6.1 Ordre Sur la droite graduée orientée dans le sens de lecture (de gauche à droite) le nombre a est plus grand que le nombre b si a est situé à droite de b (ceci étant vrai quels que soient les signes des nombres a et b). Définition : Le nombre a est supérieur au nombre b si la différence a b est positive : a > b si a b > 0. (Si a b = 0, alors a = b et si a b < 0, alors a < b). Exemples : 5 > 2, car 5 2 = 3 et 3 > 0 ; 3 > 7 car 3 ( 7) = = 4 et 4 > Effet de l addition sur l ordre Théorème : a, b et c étant des nombres relatifs quelconques, les sommes a + c et b + c sont rangées dans le même ordre que les nombres a et b. (par addition ou soustraction d un même nombre aux deux membres d une inégalité on obtient une nouvelle inégalité de même sens). Exemples : si x + 2 < 7, alors x < 7 2 et par suite x < 5 ; si 3x 10 > 3 + 2x, alors 3x x > 3 + 2x x et par suite x > Effet de la multiplication sur l ordre Théorème : a et b étant deux nombres quelconques et c un nombre positif non nul, alors les produits ac et bc sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b. Exemples : si x < y, alors 3x < 3y ; si 2x > 10, alors 2x 1 2 > et par suite x > 5. ttention : Si le nombre c est négatif le théorème ci-dessus est faux! Exemple : 2 < 3, mais 1 2 > 1 3 (car 2 > 3). 6.4 pproximations et encadrements La valeur approchée au millième donnée par la calculatrice pour 2 est 1, 414, on peut alors écrire un encadrement du nombre 2 : 1, 414 < 2 < 1, 415. Le théorème sur la conservation de l ordre par multiplication par un nombre positif permet de comparer des nombres écrits en notation scientifique : 1, < 1, , car 1, 405 < 1, 504 et > 0 Si les puissances de 10 sont différentes, il suffit de comparer les exposants des puissances de 10 : 1, > 5, , car 12 > 23 F.onomi 11/28 prog 2007

12 Maths 4 e 7. Statistiques Statistiques Introduction L utilité des statistiques est de résumer une série de renseignements en un nombre réduit de valeurs. Ces valeurs doivent permettre l interprétation la plus simple possible tout en donnant l image plus fidèle possible de la série de valeurs initiales. Exemple : La moyenne des notes d un élève résume l ensemble de ses notes ; cependant il ne faut pas trop résumer les informations : on pourrait par exemple indiquer les notes minimales et maximales de cet élève pour mieux représenter son travail (ceci permet, par exemple, de comparer des élèves ayant des moyennes égales ou voisines). 7.1 Rappels : classes, effectifs et fréquences Pour une série de valeurs, on regroupe les valeurs identiques, voisines ou semblables en classes. Le nombre de valeurs d une classe est l effectif de cette classe. La somme des effectifs de toutes les classes est l effectif total (c est le nombre total de valeurs de la série). La fréquence d une classe de valeurs est le quotient de l effectif de cette classe par l effectif total de la série de valeurs. 7.2 Moyenne pondérée La moyenne d une série de valeurs numériques est le quotient de la somme de toutes les valeurs de cette série par son effectif total. On appelle cette moyenne une moyenne pondérée. Elle se calcule en remplaçant la somme des valeurs de chaque classe par le produit de la valeur de cette classe, ou sa moyenne, par l effectif de cette classe. Exemple 1 : On donne la série de valeurs suivante représentant le nombre d enfants par famille des élèves d une classe : 2, 3, 1, 2, 4, 3, 3, 5, 2, 2, 3, 4, 2, 5, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 2 et 1 près avoir rangé ces valeurs par classes on obtient le tableau suivant dans lequel figurent les effectifs et les fréquences exprimées également en pourcentages : Nombre Effectifs Fréqu % % % % % Moyenne :m = = , 8 La moyenne du nombre d enfants par famille est 2,8 enfants. Exemple 2 : Tailles des élèves d un groupe. F.onomi 12/28 prog 2007

13 Maths 4 e 7. Statistiques t (cm) t < t < t < t < t < t Effectifs Fréqu % % % % % % Calcul de la moyenne : pour chaque classe on prend la moyenne des valeurs extrêmes de la classe. 142, , , , , , 5 5 m = = , 3 La moyenne des tailles des élèves de ce groupe est 154,3 cm. Exemple 3 : Répartition des bacheliers par séries à la session 2000 du baccalauréat : séries : L ES S STI STL STT autres et "pro" Effectifs Fréqu. 11,4 % 14,6 % 26,5 % 7,2 % 1,2 % 15,8 % 23,2 % L effectif total vaut = Remarque : La somme des fréquences est égale à 99,9 % ( 100 %) à cause des approximations au dixième. 7.3 Diagrammes Il existe différents type de diagrammes. Les principaux utilisés sont : le diagramme à barres ou à bâtons ; ce type de diagramme est particulièrement adapté à la représentation de séries de valeurs numériques à valeurs entières (Exemple 1 : Nombre d enfants par famille) ou de valeurs non numériques (Exemple 3 : Nombre de bacheliers par séries) ; l histogramme (ou diagramme à barres jointives) ; ce type de diagramme est particulièrement adapté à la représentation de séries de valeurs numériques décimales (Exemple 2 : Taille des personnes d un groupe, ou de phénomènes dépendant du temps avec de nombreux exemples fournis par l histoire ou la géographie) ; le diagramme circulaire ; ce type de diagramme est particulièrement adapté à la représentation de séries de valeurs non numériques (Exemple 3 : Répartition des bacheliers par séries, sondage d opinion,... ) F.onomi 13/28 prog 2007

14 Maths 4 e 7. Statistiques Exemple 1 : Exemple 2 : Effectifs Nb diagramme à bâtons des effectifs Effectifs histogramme des effectifs t (cm) Exemple 3 : Effectifs S (26,5 %) ES (14,6 %) L (11,4 %) (1,2 %) STL STI (7,2 %) STT (15,8 %) autres et "pro" (23,2 %) L ES S STI STL STT... série diagramme circulaire des fréquences diagramme à barres des effectifs F.onomi 14/28 prog 2007

15 Maths 4 e 8. Triangles, milieux et parallèles Triangles, milieux et parallèles 8.1 Droite des milieux et parallèles dans un triangle Dans le triangle C les points I et J sont les milieux respectifs des côtés [] et [C]. Théorème : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux des côtés du triangle, alors elle est parallèle au troisième côté. Théorème : Dans un triangle, si un segment joint les milieux de deux des côtés du triangle, alors ce segment mesure la moitié du troisième côté. Preuve : Soit K le symétrique de I par rapport à J ; par I J K construction le quadrilatère ICK est un parallélogramme puisque ses diagonales ont le même milieu ; par suite () est parallèle à (CK) et, les côtés opposés ayant même longueur deux à deux, I = CK ; or I étant le milieu de [] : I = I ; on a donc montré que les côtés [I] et [CK] du quadrilatère non croisé CKI sont parallèles et égaux ce qui prouve que c est un parallélogramme; on en déduit que (IJ) est parallèle au côté (C) et IJ = 1 C puisque J est le milieu de [IK]. 2 C Théorème : Dans un triangle, si une droite est parallèle à un côté et passe par le milieu d un second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. I J (d) Preuve : Soit J le milieu du côté [C]. Montrons que la droite (d) passe par J : or dans un triangle la C droite passant par les milieux de deux des côtés est parallèle au troisième côté donc les droites (IJ) et (C) sont parallèles, or (d) est parallèle à (C) ; par suite (IJ) et (d) sont parallèles et sécantes en I ; on déduit que les droites (IJ) et (d) sont confondues, ce qui prouve que la droite (d) passe par le milieu du côté [C]. Exercice résolu : Dans le losange CD de centre O et de côté 4 cm, le point M est le milieu du côté [D]. 1. a. Montrer que la droite (MO) est parallèle à (). b. Montrer que le triangle MO est nécessairement isocèle : on précisera en quel sommet. 2. Montrer que (MO) coupe le côté [C] en son milieu. Solution : 1. a. Les diagonales d un losange se coupe (perpendiculairement) en leur milieu, donc O est le milieu de [D] ; alors dans le triangle D, la droite (MO) passe par les milieux des côtés [D] et [D] : elle est donc parallèle au troisième côté (). b. Le même théorème permet d affirmer que le segment [MO] mesure la moitié du côté [], c est-à-dire 2 cm (car = 4 cm). 2. D après la question 1. la droite (MO) est parallèle au côté () du triangle D ; or par hypothèse (M O) coupe le côté [D] en son milieu M ; par conséquent (M O) coupe le troisième côté du triangle en son milieu. F.onomi 15/28 prog 2007

16 Maths 4 e 8. Triangles, milieux et parallèles Droites parallèles coupant deux sécantes Considérons la figure ci-dessous : (C) /( C ) C C Théorème de Thalès : si les points et C appartiennent respectivement aux côtés [] et [C] et que les droites (C) et ( C ) sont parallèles, alors les deux triangles C et C sont proportionnels et on peut écrire : = C C = C C Exercice : Pour la figure ci-dessus, calculer C et C sachant que : = 9 ; = 5 ; C = 12 ; C = 7 Solution : on sait que : les points et C appartiennent respectivement aux côtés [] et [C] ; les droites (C) et ( C ) sont parallèles alors on peut utiliser le théorème de Thalès pour affirmer que les triangles C et C sont proportionnels et écrire : = C C = C C ce qui permet de calculer C et C après avoir remplacé les longueurs connues : 5 9 = C 12 = 7 C d où le calcul de C : C = = 20 ( 6, 67) 3 et le calcul de C : C = = 63 (= 12, 6). 5 Remarques : le théorème de Thalès permet de calculer des mesures inconnues dans une situation de proportionnalité ; le théorème réciproque de la droite des milieux est un cas particulier du théorème de Thalès dans le cas où le rapport de proportionnalité est égal à 2 ou 1 2. F.onomi 16/28 prog 2007

17 Maths 4 e 8. Triangles, milieux et parallèles grandissement - réduction Lorsque deux figures ont la même forme et des longeurs proportionnelles on dit que l une est l agrandissement ou la réduction de l autre. Dans un agrandissement ou une réduction les angles sont conservés, donc la perpendicularité et le parallélisme. Les mesures ne sont pas conservées, mais les proportions sont conservées, donc en particulier le milieu et l équidistance. Le coefficient de proportionnalité est le rapport d agrandissement ou de réduction. Exemple : Sur la figure ci-dessous la figure F est un agrandissement de la figure F. Le rapport d agrandissement est le coefficient k = = C C = C D CD =... Inversement F est une réduction de la figure F. Le rapport d agrandissement est le coefficient inverse k = = C = CD =... C C D E E D F D F C C Les deux figures F et F sont proportionnel. De plus les côtés proportionnels étant parallèles on retrouve des triangles en situation de Thalès comme par exemple les triangles O et O. Sur cette figure O est un agrandissement du triangle O et le rapport d agrandissement est alors : k = O O = O O = Inversement en considérant que O est une réduction du triangle O, le rapport de réduction vaut : k = O = O = O O F.onomi 17/28 prog 2007

18 Maths 4 e 9. Triangle rectangle Triangle rectangle Définition : Dans un triangle rectangle le côté opposé à l angle droit s appelle l hypoténuse. 9.1 Triangle rectangle et cercle circonscrit Théorème : L hypoténuse d un triangle rectangle est un diamètre de son cercle circonscrit. ou bien (autre formulation) Le milieu de l hypoténuse d un triangle rectangle est le centre de son cercle circonscrit. Exemple : Le triangle C est rectangle en : son hypoténuse [C] est un diamètre de son cercle circonscrit. Preuve : Soit C est un triangle rectangle en. Soit O le milieu de son hypoténuse et D le symétrique de par rapport à O. lors le quadrilatère DC est un rectangle, car c est un parallélogramme puisque ses diagonales se coupent en leur milieu et il a un angle droit (en ). Or les diagonales d un rectangle ont la même longueur donc O est équidistant de, et C, ce qui prouve que O est bien le centre du cercle circonscrit au triangle C et D par suite [C] un diamètre de ce cercle. Théorème : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle au sommet opposé à ce diamètre qui est l hypoténuse. O C Preuve (voir figure ci-dessus) : Soit un triangle C inscrit dans le cercle de diamètre [C]. Soit O le milieu de [C] et D le symétrique de par rapport à O. On sait que O est le milieu des diagonales [D] et [C] du quadrilatère DC et de plus D = C, ce qui prouve que DC est un rectangle ; par suite C est bien un triangle rectangle en. Exercice : Soit C un triangle quelconque. Le cercle de diamètre [] recoupe la droite (C) en H. 1. Montrer que [H] est la hauteur issue de dans le triangle C. 2. Montrer que H appartient au cercle de diamètre [C]. Solution : 1. Par construction le cercle de diamètre [] est circonscrit au triangle H, or si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle au sommet opposé à ce côté, donc H est rectangle en H. 2. On a montré que les droites (H) et (C) sont perpendiculaires donc le triangle CH est rectangle en H, or si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit, ce qui prouve que le cercle de diamètre [C] est le cercle circonscrit à CH et donc que le point H appartient bien au cercle de diamètre [C]. H C F.onomi 18/28 prog 2007

19 Maths 4 e 9. Triangle rectangle Relation de Pythagore Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l angle droit. Preuve : Soit un triangle rectangle dont les côtés de l angle droit mesurent respectivement a et b et l hypoténuse mesure c. c b a c a c a Fig.1 Fig.2 b a a b L aire hachurée de la fig.1 vaut exactement c 2 car c est l aire d un carré délimité par quatre triangles rectangles identiques disposés dans les angles d un carré de côté a + b de la fig.1. La somme des aires hachurées de la fig.2 est égale à a 2 + b 2 et elle est égale à l aire hachuré de la fig.1 puisqu elle est obtenue par déplacement des quatre triangles rectangles dans le grand carré (sans vide entre eux ni superposition) comme sur la fig.2. Ceci prouve que c 2 = a 2 + b 2. b a c b c a b a c b b utre preuve : Dans un triangle rectangle dont l hypoténuse mesure a et les côtés de l angle droit respectivement b et c, la hauteur issue de l angle droit coupe l hypoténuse en deux partie de longueurs x et y et le triangle initial en deux deux triangles rectangles comme sur la figure suivante : c x h a y h b y h Les trois triangles sont proportionnels (car leurs angles sont égaux deux à deux) et on peut donc écrire : x c = c a et y b = b a, d où x = c2 b2 et y = a a, or x + y = a, ce qui permet d écrire : c2 a + b2 a = a et par suite que : a 2 = b 2 + c 2 ; ce qui achève la démonstration. Exemples : 1. Soit C un triangle rectangle en tel que = 12 et C = 16. Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur de l hypoténuse C. En effet d après le théorème de Pythagore le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l angle droit, donc C 2 = 2 + C 2 = = = 400 ; alors C = 400 = Soit un triangle MNP rectangle en P tel que MN = 7 et MP = 4. Le théorème de Pythagore permet de calculer le côté manquant P N. En effet d après le théorème de Pythagore MN 2 = MP 2 + P N 2, alors P N 2 = MN 2 MP 2 = = = 33 et P N = 33 5, est la valeur exacte de la longueur P N et 5,745 est une valeur approchée arrondie au millième. Remarque : Pour résoudre ce type d exercice on a besoin de calculer la racine carrée d un nombre a, c est-à-dire le nombre dont le carré donne a. Pour cela on utilise la touche de la calculatrice. Exemple : La racine carrée de 9 est 3 car 3 2 = 9 ; on écrit 9 = 3. Mais la racine carré de 2 n est pas un nombre décimal : F.onomi 19/28 prog 2007 b x c

20 Maths 4 e 9. Triangle rectangle , ; 1, et ( 2) 2 = 2. Théorème réciproque de Pythagore : Si le carré de la longueur de l un des côtés d un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle au sommet opposé au plus grand côté ; ce côté est l hypoténuse. Exemple 1 : Soit un triangle EFG dont les côtés mesurent EF = 13, FG = 5 et EG = 12. Montrer que le triangle EFG est rectangle. On précisera en quel point. EF étant le plus grand côté, si le triangle EFG est rectangle c est nécessairement en G. On a sait que EF 2 = 13 2 = 169 et EG 2 + GF 2 = = = 169, ce qui montre que EF 2 = EG 2 +GF 2, alors le théorème réciproque de Pythagore permet d affirmer que le triangle EFG est rectangle en G. Exemple 2 : La corde à treize nœuds. Depuis plus de ans les artisans du bâtiment (maçons et charpentiers) utilisent une corde comportant treize nœuds régulièrement répartis pour tracer des perpendiculaires (équerre) : En joignant le premier et le treizième nœud, on obtient une boucle formée de douze intervalles de même longueur. On peut tendre cette boucle au moyen de piquets ou de clous pour former un triangle dont les sommets sont des nœuds (voir ci-contre). On obtient donc un triangle dont les côtés mesurent respectivement 3, 4 et 5, l unité étant la longueur d un intervalle entre deux nœuds. Si ce triangle est rectangle c est nécessairement au sommet opposé au côté de longueur 5, car c est le plus grand côté. lors comme 5 2 = 25 et = = 25, on peut affirmer que pour ce triangle le carré de la longueur de l un des côtés est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. La relation de Pythagore étant vérifiée, le théorème réciproque de Pythagore permet d affirmer que le triangle obtenu est rectangle au sommet opposé au côté de longueur égale à 5. Exercice résolu : Soit un triangle C rectangle en tel que = 2 et C = 1. Soit D un point tel que D = 3 et CD = Calculer la valeur exacte de C. 2. Montrer que le triangle CD est rectangle. On précisera en quel point. Solution : 1. Le triangle C est rectangle en donc le théorème de Pythagore permet d écrire C 2 = 2 + C 2 = = = 5, alors C = Dans le triangle CD on sait que C 2 = 5 (d après 1.), D 2 = 3 2 = 9 et CD 2 = 2 2 = 4 ; alors C 2 + CD 2 = = 9 ce qui prouve que C 2 + CD 2 = D 2 et par conséquent le théorème réciproque de Pythagore permet d affirmer que le triangle CD est rectangle en C. F.onomi 20/28 prog 2007

21 Maths 4 e 10. Cosinus d un angle aigu Cosinus d un angle aigu Introduction Dans un triangle MOH rectangle en H, M et H sont deux points appartenant respectivement à [OM] et [OH] tels que les droites (MH) et (M H ) soient parallèles. Le théorème de Thalès permet de d affirmer que les triangles OHM et OH M sont proportionnels et que : M M OH OH = OM OM = H M HM l égalité des deux premiers quotients permet d écrire OH = OH OM OM. Ceci prouve que le rapport OH des côtés de l angle H OM OM est égal au rapport OH des OM côtés de l angle ĤOM. Or les angles H OM et ĤOM sont égaux (angle commun aux deux triangles OHM et OH M ). Le rapport OH ne dépend que de l angle ĤOM : on l appelle le cosinus de l angle ĤOM. OM 10.1 Cosinus d un angle aigu Dans un triangle OHM rectangle en H on considère l angle aigu ĤOM : le côté [OH] s appelle le côté adjacent à l angle ĤOM ; le côté [HM] s appelle le côté opposé à l angle ĤOM. Définition : Dans le triangle OHM rectangle en H le cosinus de l angle aigu ĤOM est : cos ĤOM = OH OM = côté adjacent hypoténuse Exemple : Dans le triangle OHM ci-contre tel que OH = 4 et MH = 3 le théorème de Pythagore permet de calculer OM = OH2 + HM 2 = 5, alors cos ĤOM = OH OM = 4 5 = 0, 8 mais pour l angle ÔMH on peut aussi écrire : cos ÔMH = MH OM = 3 5 = 0, 6 Remarque : le cosinus d un angle est un nombre sans unité et toujours inférieur à 1. En effet, c est un rapport de longueur et, l hypoténuse étant toujours le plus grand côté d un triangle rectangle, le quotient de la longueur du côté adjacent par celle de l hypoténuse est toujours inférieur à 1. Théorèmes : si deux angles ont la même mesure, alors ils ont le même cosinus ; si deux angles aigus ont le même cosinus, alors ils ont la même mesure. O O H H M H F.onomi 21/28 prog 2007

22 Maths 4 e 10. Cosinus d un angle aigu Utilisation de la calculatrice À chaque angle correspond un cosinus et à chaque nombre positif inférieur à 1 correspond un angle aigu unique. Si on connaît la mesure d un angle on peut calculer son cosinus à l aide de la touche cos de la calculatrice. insi, un anle étant connus dans un triangle rectangle, si on connaît l hypoténuse on peut calculer le côté adjacent à cet angle et inversement, si on connaît le côté adjacent on peut calculer l hypoténuse. Exemple : Dans le triangle OHM rectangle en H ci-dessus, ĤOM = 30 o. lors la calculatrice donne cos 30 o 0, 866 si OM = 5, alors cos ĤOM = OH OM ce qui permet de calculer OH = OM cos ĤOM 5 0, 866 4, 33 si OH = 2, alors cos ĤOM = OH OM OH ce qui permet de calculer OM = cos ĤOM 2 2, 31 0, 866 Si on connaît les mesures des deux côtés d un angle aigus dans un triangle rectangle, alors on peut calculer une valeur approchée de la mesure de cet angle en utilisant la touche cos -1 ou acs de la calculatrice (touche de couleur en général : shift par exemple). Exemple : Dans le triangle OHM rectangle en H ci-dessus, si les côtés de l angle ĤOM mesurent OH = 7 et OM = 11, alors cos ĤOM = OH OM = 7 0, ceci permet de calculer une valeur approchée de l angle ĤOM à l aide de la calculatrice : ĤOM 50, 48 o 50 o au degré près. Remarque : on peut ensuite calculer l autre angle aigu de ce triangle rectangle, car les angles aigus d un triangle rectangle sont complémentaires : ÔMH = 90 o ĤOM 90 o 50 o = 40 o F.onomi 22/28 prog 2007

23 Maths 4 e 11. Distance dans le plan Distance dans le plan 11.1 Distance entre deux points Définition : La distance entre deux points est plus court chemin entre ces deux points. ( ) Exemple : Dans le plan la distance entre deux points et est la longueur du segment []. Médiatrice et distance : La médiatrice d un segment est l ensemble de tous les points équidistants des extrémités de ce segment. Exemple : ( ) est la médiatrice du segment [] ; elle partage le plan en deux demi-plans ; tous les points du demi-plan contenant sont plus proches de que de ; tous les points de l autre demi-plan (qui contient ) sont plus proches de que de. M M < M Inégalité triangulaire : Dans un triangle la somme des longueurs de deux des côtés est toujours supérieure au troisième côté. Preuve : Dans le plan la ligne droite est le plus court chemin entre deux points. Exemple : Dans le triangle M de la figure ci-dessus, on peut écrire : M +M >, M + > M et + M > M Distance d un point à une droite Définition : La distance d un point à une droite est le plus court chemin de ce point à un point de la droite. M Théorème : La distance d un point à une droite est la distance de ce point au pied de la hauteur abaissée sur cette droite. P H (d) Exemple : Sur la figure ci-contre la distance du point M à la droite (d) est la distance MH, H étant l intersection de la droite (d) avec sa perpendiculaire issue de M. Preuve : H est le pied de la hauteur issue de M abaissée sur (d) ; P est un point de (d) distinct de H ; dans le triangle MHP rectangle en H par construction, le théorème de Pythagore permet d écrire MP 2 = MH 2 + HP 2, or HP 2 est un nombre positif et non nul, car P est distinct de H ; par suite MP 2 est toujours plus grand que MH 2 et donc MP > MH ; ce raisonnement vaut pour tout point P de (d) distinct de H, ce qui prouve que MH est la plus petite distance de M à un point de la droite (d). issectrice et distance : La bissectrice d un angle est l ensemble de tous les points équidistants des deux côtés de cet angle. Exercice résolu : Calculer l aire du triangle C tel que = 5, C = 4 et C = 50 o. Solution : Soit H le pied de la hauteur issue de C dans le triangle C. Les angle aigus d un triangle rectangle étant complémentaires, alors dans le triangle CH rectangle en H : ÂCH = 90 o 50 o = 40 o F.onomi 23/28 prog 2007

24 Maths 4 e 11. Distance dans le plan et cos ÂCH = CH C. Ceci permet de calculer la distance de C à la droite (), c est-à-dire la hauteur issue de C : CH = C cos ÂCH = 4 cos 40 o ( 3, 06) ; et par suite = b h 5 4 cos 40o = 2 2 = 10 cos 40 o 7, Positions relatives d une droite et d un cercle Le nombre de points d intersection d une droite et d un cercle dépend de la différence (r h) entre le rayon r du cercle et la distance h du centre de ce cercle à la droite : si (r h) < 0 il n y a pas d intersection : la distance du centre du cercle à la droite est supérieure au rayon du cercle ; sur la figure la distance OH est supérieure au rayon r du cercle : la droite (d 1 ) ne coupe pas le cercle de centre O ; si (r h) = 0 il y a un point d intersection : la distance du centre du cercle à la droite est égale au rayon du cercle ; la droite coupe le cercle en un seul point : on dit que la droite est tangente au cercle ; sur la figure la distance OH est égale au rayon r du cercle : la droite (d 2 ) coupe le cercle de centre O au point T ; c est le point de tangence entre la droite (d 2 ) et le cercle ; le rayon [OT] est perpendiculaire à la droite (d 2 ) en T ; si (r h) > 0 il y a deux point d intersection : la distance du centre du cercle à la droite est inférieure au rayon du cercle ; la droite coupe le cercle en deux points distincts, extrémités d une corde de ce cercle ; sur la figure la distance OH est inférieure au rayon r du cercle : la droite (d 3 ) coupe le cercle de centre O en deux points et. H (d 1 ) T (d 2 ) H (d 3 ) O O O r < h r = h r > h Théorème : La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon issu du point de contact avec ce cercle. Exercice : Construire les tangentes à un cercle donné de centre O issues d un point M extérieur au cercle. Solution : Le cercle de diamètre [OM] coupe le cercle de centre O en deux points et ; les triangles OM et OM sont inscrit dans le cercle de diamètre [OM], donc ils sont rectangles respectivement en et ; par suite la droite (M) est perpendiculaire au rayon [O] : c est une tangente au cercle de centre O issue du point M ; de même pour (M). O M F.onomi 24/28 prog 2007

25 Maths 4 e 12. Triangles Triangles 12.1 Médiatrices (rappel) Définition : Le cercle circonscrit à un triangle est le plus petit cercle passant par les trois sommets du triangle. Théorème : Les trois médiatrices des côtés d un triangle sont concourantes au centre du cercle circonscrit à ce triangle. Preuve : Soit O l intersection des médiatrices des côtés [] et [C] du triangle C ; le point O appartenant à la médiatrice de [] il est équidistant de et de ; de même, O appartenant à la médiatrice de [C] il est équidistant de et C, donc O = O = OC ce qui prouve bien que le cercle de centre O et de rayon O passe aussi par et C. De plus comme O = OC, le point O est équidistant de et C, ce qui prouve que O appartient à la médiatrice de [C] et par suite que les trois médiatrices sont concourantes en O. C C O fig.1 O fig.2 C O fig.3 Remarques : si tous les angles du triangle sont aigus, alors le centre de son cercle circonscrit est à l intérieur du triangle (fig.1) ; si le triangle a un angle obtus, alors le centre du cercle circonscrit est à l extérieur du triangle (fig.2) ; dans le cas d un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse (fig.3) Hauteurs (rappel) Définition : Dans un triangle, une hauteur est une droite issue d un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Théorème : Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle. Preuve : En traçant par, et C les parallèles respectives aux côtés C, C et ont construit les points, et C. lors, par construction, les quadrilatères C, C et CC sont des parallélogrammes. Ceci permet d affirmer que C = = C, donc que est le milieu de [ C ] ; de même et C sont les milieux respectifs de [C ] et [ ]. Par suite les hauteurs du triangle C sont aussi les médiatrices du triangle C dont on a montré qu elles sont concourantes : le centre du cercle circonscrit au triangle C est aussi l orthocentre du triangle C. F.onomi 25/28 prog 2007 C H C

26 Maths 4 e 12. Triangles Remarques : l orthocentre d un triangle qui n a d angle obtus est à l intérieur du triangle ; si le triangle a un angle obtus, alors l orthocentre est à l extérieur du triangle ; dans le cas d un triangle rectangle, l orthocentre est le sommet de l angle droit Médianes (rappel) Définition : Dans un triangle, une médiane est une droite qui joint un sommet au milieu du côté opposé. Théorème : Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle ; de plus le centre de gravité se trouve sur chaque médiane aux deux-tiers de sa longueur depuis le sommet dont elle est issue, ce qui s écrit (voir figure) : G = 2 3, G = 2 3 et CG = 2 3 CC ou encore G = G = CG CC = 2 3 Preuve : Soit G l intersection des médianes issues de et de C. Soit D le symétrique de par rapport à G, alors (GC) passant par les milieux des côtés [] et [D] du triangle D et (G) passant par les milieux des côtés [C] et [D] du triangle CD, le quadrilatère GDC est un parallélogramme. Or les diagonales de GDC se coupent en leur milieu donc G étant le milieu de [D], G est aussi situé sur la médiane issue de et aux deux-tiers de sa longueur depuis. Remarque : Par construction le point de concours des médianes est toujours intérieur au triangle. C G D C 12.4 issectrices Définition : Le cercle inscrit dans un triangle est le plus grand cercle intérieur au triangle. Théorème : Les trois bissectrices des angles d un triangle sont concourantes au centre du cercle inscrit dans le triangle ; le centre du cercle inscrit est équidistant des trois côtés du triangle, donc le cercle inscrit est tangent simultanément aux trois côtés du triangle. Preuve : Tout point de la bissectrice d un angle est équidistant des côtés de l angle (la bissectrice d un angle est un axe de symétrie C de l angle). lors dans le triangle C le point d intersection des bissectrices issues de et de est équidistant des trois côtés du triangle. Par suite, ce point étant équidistant de [C] et de [C], il appartient bien à la troisième bissectrice : les trois bissectrices sont concourantes en un point équidistant des trois côtés du triangle ; ce point est donc le centre du cercle inscrit dans le triangle et tangent aux trois côtés du triangle. C Remarque : Par construction le point de concours des bissectrices est toujours intérieur au triangle. F.onomi 26/28 prog 2007