Présentation comparée des programmes 2001 et 2012 de mathématiques de terminale S Enseignement obligatoire

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1 Présentation comparée des programmes 2001 et 2012 de mathématiques de terminale S Enseignement obligatoire Francis CORTADO 1 er mars 2012 Table des matières 1 Analyse Suites Limites de fonctions Continuité sur un intervalle.théorème des valeurs intermédiaires Calculs des dérivées :compléments Fonctions sinus et cosinus Fonction exponentielle Fonction logarithme népérien Intégration Nombres complexes et géométrie Nombres complexes Droites et plans Produit scalaire Probabilités et statistiques Conditionnement, indépendance Notion de loi à densité à partir d exemples Intervalle de fluctuation Estimation Récapitulation des notions hors du programme de terminale Analyse Nombres complexes et géométrie Probabilités et statistiques

2 Conventions typographiques En Rouge : Tout ce qui est maintenant hors-programme. Ces notions sont du programme de première, ou ne sont plus au programme des classes de lycée. En bleu : Tout ce qui est nouveau dans le programme 2012 par rapport au programme Précédées du symbole et écrites en penché : Les démonstrations exigibles. Précédées du symbole et écrites en penché : Les activités algorithmiques. Précédées du symbole AP et écrites en penché : Les activités proposées en accompagnement personnalisé. Précédées du symbole et écrites en penché : Les activités interdisciplinaires. En italique : Les commentaires officiels du programme. En penché : Mes commentaires personnels «à vérifier» : Signifie que la notion correspondante figurait de façon explicite dans le programme officiel de 2001, mais que le programme 2012 n en fait plus mention. Cependant, il se pourrait que ces notions puissent encore être étudiées sous diverses formes. Le programme transitoire, valable pour l année scolaire ne rentre pas dans cette étude. Références : Programme 2001 B.O n 4 du 30 aout 2001 Hors-série. Programme transitoire B.O n 18 du 6 mai 2010 Programme 2012 B.O spécial n 8 du 13 octobre Francis cortado 2 G.R.E.M Liban

3 1 Analyse 1.1 Suites Raisonnement par récurrence. Savoir mener un raisonnement par récurrence. Ce type de raisonnement intervient tout au long de l année et pas seulement dans le cadre des suites. Limite finie ou infinie d une suite. Dans le cas d une limite infinie, étant donnés une suite croissante (u n ) et un nombre réel A, déterminer par un algorithme un rang à partir duquel u n est supérieur à A On présente des exemples de suites qui n ont pas de limite. Limites et comparaison. On démontre que si une suite est croissante et admet pour limite l, alors tous ses termes sont inférieurs ou égaux à l. Démonstration du fait que si une suite (u n ) est minorée a.p.c.r par une suite (v n ) qui tend vers + lorsque n tend vers +, alors (u n ) tend également vers +, lorsque n tend vers +. Théorème des gendarmes.(admis) Règles opératoires sur les limites Somme, produit, quotient de deux suites. Comportement asymptotique des suites géométriques. On démontre par récurrence que pour a réel strictement positif et tout entier naturel n : (1+a) n 1+na Démonstration que la suite (q n ), avec q > 1, a pour limite +. Déterminer la limite éventuelle d une suite géométrique. Exemples de situations où intervient la limite de la somme des premiers termes d une suite géométrique. Suites majorées, minorées, bornées. Utilisation du théorème de convergence des suites croissantes majorées (admis). Démonstration du fait qu une suite croissante et non majorée tend vers +. Exemples de suites récurrentes, en particulier arithmético-géométriques. Des activités algorithmiques sont menées dans ce cadre. AP Approximation de réels, π, e, le nombre d or etc.. En 1S, l introduction de la notion de limite d une suite n est qu intuitive et expérimentale. Les règles opératoires et la convergence des suites géométriques n est pas au programme de 1S La notion de suites adjacentes. Étude numérique sur un ou deux exemples de la rapidité de convergence d une suite vers sa limite l. Francis cortado 3 G.R.E.M Liban

4 1.2 Limites de fonctions Limite finie ou infinie d une fonction à l infini. Le travail réalisé sur les suites est étendu aux fonctions, sans formalisation excessive. L objectif essentiel est de permettre aux élèves de s approprier le concept de limite, tout en leur donnant les techniques de base pour déterminer des limites dans les exemples rencontrés en terminale Limite infinie d une fonction en un point. Limites d une somme d un produit, d un quotient ou d une composée de deux fonctions. La composée de deux fonctions est rencontrée à cette occasion, mais sans théorie générale. Limites et comparaison. Détermination de limites par majoration, minoration et encadrement Asymptote parallèle à l un des axes de coordonnées. Interpréter graphiquement les limites obtenues. En 1S, seule la notion de limite l en 0 est abordée, et ce intuitivement dans le but d introduire le nombre dérivé. La notion de limite finie en un point, même si elle n est pas explicitement dans le texte, est au programme. Cependant, cette notion ne sera pas d une grande utilité dans la mesure où toutes les fonctions étudiées seront continues. La notion d asymptote oblique. Limites à gauche et à droite en un point.(à vérifier) 1.3 Continuité sur un intervalle. Théorème des valeurs intermédiaires. Continuité sur un intervalle. On se limite à une approche intuitive de la continuité et on admet que les fonctions usuelles sont continues par intervalle. On présente quelques exemples de fonctions non continues, en particulier issues de situations concrètes. Le théorème des valeurs intermédiaires est admis. On convient que les flèches obliques d un tableau de variations traduisent la stricte monotonie et la continuité d une fonction sur l intervalle considéré. On admet qu une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. Utilisation du théorème des valeurs intermédiaires. Exploiter le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas où le fonction est strictement monotone, pour résoudre un problème donné. Ce cas particulier est étendu au cas où f est définie sur un intervalle ouvert ou semiouvert, borné ou non, les limites de f aux bornes de l intervalle étant supposées connues. Activités algorithmiques pour la recherche des solutions de l équation f(x) = k. Francis cortado 4 G.R.E.M Liban

5 Il n y a pas de développements théoriques importants à fournir sur ce thème. Dans les exercices, des références au tableau de variations suffiront à justifier l existence et l unicité de solutions d équations ou le signe d une fonction. La notion de continuité en un point ne sera pas formalisée. 1.4 Calculs des dérivées :compléments Calculer les dérivées des fonctions : x u(x) x (u(x)) n avec n entier relatif non nul. x e u(x) x ln(u(x)). A partir de ces exemples, on met en évidence une expression unifiée de la dérivée de la fonction x f(u(x)), mais sa connaissance n est pas une capacité attendue. Calculer la dérivée de : x f(ax+b) où f est une fonction dérivable, a et b deux nombres réels. Les techniques de calcul sont à travailler mais ne doivent pas être un frein à la résolution de problèmes. On a recours si besoin à un logiciel de calcul formel. AP Exemples de fonctions discontinues ou à dérivées non continues. Les formules donnant les dérivées de x f(ax+b) ainsi que de x (u(x)) n, ne sont plus au programme de 1S, mais à celui de TS La formule donnant la dérivée d une fonction composée. La notion de dérivée successive. L écriture différentielle dy = f (x)dx. La notion d approximation affine. La méthode d Euler. 1.5 Fonctions sinus et cosinus Connaître la dérivée des fonctions sinus et cosinus. On fait le lien entre le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 et la limite en 0 de sinx x. Connaître quelques propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité. En dehors des exemples étudiés, aucun développement n est attendu sur les notions de périodicité et de parité. Connaître les représentations graphiques de ces fonctions. On fait le lien avec les résultats obtenus en utilisant le cercle trigonométrique et les représentations graphiques des fonctions x cos x et x sinx. Francis cortado 5 G.R.E.M Liban

6 [SPC] Ondes progressives sinusoïdales, oscillateur mécanique. La fonction tangente n est plus au programme, mais elle peut être étudiée en exercice, comme quotient de sin et cos La fonction tangente. 1.6 Fonction exponentielle Fonction x exp(x). Démontrer l unicité d une fonction dérivable sur R, égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0 La fonction exponentielle est présentée comme l unique fonction f dérivable sur R telle que f = f et f(0) = 1. Relation fonctionnelle, notation e x. Démontrer que lim e x = + et que lim e x = 0 x + x Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture. Connaître le sens de variation et la représentation graphique de la fonction exponentielle. e x Connaître et exploiter : lim x + x et lim x xex. On fait le lien entre le nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0 et la limite en 0 de ex 1. On étudie des exemples de fonctions de la forme x exp( kx) ou x x exp( kx 2 ) avec k > 0 qui sont utilisées dans des domaines variés. [PC et SVT] Radioactivité AP Étude de phénomènes d évolution. Le programme recommande de présenter en premier lieu, et tôt dans l année, la fonction exponentielle, puis la fonction logarithme népérien. La construction de la fonction exponentielle avec la méthode d Euler. Approximation affine de h e h en 0 Extension du théorème d existence et d unicité pour l équation f = kf. Équations différentielles y = ay +b. 1.7 Fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien Connaître le sens de variation les limites aux bornes et la représentation graphique de la fonction logarithme népérien. Francis cortado 6 G.R.E.M Liban

7 Relation fonctionnelle, dérivée. Utiliser, pour a réel strictement positif et b réel, l équivalence lna = b a = e b. Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture. Connaître et exploiter lnx x = 0 On peut introduire la fonction logarithme népérien grâce aux propriétés de la fonction exponentielle ou à partir de l équation fonctionnelle. On fait le lien entre le nombre dérivé de la fonction logarithme en 1 et la limite de ln(1+x) en 0. x On souligne dans les cadres algébrique et graphique la réciprocité entre les fonction exponentielle et logarithme népérien. Tout développement théorique sur les fonctions réciproques est exclus. On évoque la fonction logarithme décimal pour son utilité dans les autres disciplines. [SPC] Intensité sonore, magnitude d un séisme, échelle des ph. AP Équations fonctionnelles. Approximation affine au voisinage de a de h ln(1+h) Fonction x x α avec α réel et fonction racine n-ième Fonction x a x pour a > 0 Croissances comparées des fonctions logarithme, exponentielles et puissances entières. Rapport du logarithme décimal avec l écriture décimale des nombres. 1.8 Intégration Définition de l intégrale d une fonction continue et positive sur [a, b] comme aire sous la courbe. On s appuie sur la notion intuitive d aire rencontrée au collège et sur les propriétés d additivité et d invariance par translation et symétrie. Notation b a f(x)dx Illustration par un calcul approché d aires (parabole, hyperbole, etc.) Théorème : Si f est continue et positive sur [a,b], alors F(x) = x est dérivable sur [a,b] et a pour dérivée f. a f(t)dt Principe de la démonstration dans le cas où f est positive et croissante. Primitive d une fonction continue sur un intervalle Déterminer des primitives par lecture inverse du tableau des dérivées. Connaître et utiliser les primitives de u e u, u u n (n Z,n 1) et pour u strictement positive, u u et u u. Francis cortado 7 G.R.E.M Liban

8 Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. Il est intéressant de démontrer ce théorème dans le cas d un intervalle fermé borné, en admettant que la fonction a un minimum. On admet le cas général. On fait observer que certaines fonctions comme x exp( x 2 ) n ont pas de primitive «explicite» Intégrale d une fonction continue de signe quelconque. Calculer une intégrale. La formule b a f(x)dx = F(b) F(a), établie pour une fonction continue et positive, est étendue au cas d une fonction continue de signe quelconque. Utiliser le calcul intégral pour déterminer une aire. Encadrer une intégrale. Pour une fonction monotone positive, mettre en œuvre un algorithme pour déterminer un encadrement d une intégrale. Linéarité, positivité, et relation de Chasles. Utilisation du calcul intégral pour déterminer une aire. Valeur moyenne. La notion de valeur moyenne d une fonction est illustrée par des exemples issus d autres disciplines. [SPC] Mouvement uniformément accéléré. AP Calcul du volume d un solide. Approximation d une aire par deux suites adjacentes. Exemple où la fonction intégrée est en escalier.(à vérifier) Faire apparaître l intégrale comme limite de sommes.(à vérifier) Intégration par parties. Inégalité de la moyenne.(à vérifier) Expression intégrale de la distance parcourue sur une droite par un point mobile Expression intégrale du volume d un solide.figure en AP Francis cortado 8 G.R.E.M Liban

9 2 Nombres complexes et géométrie 2.1 Nombres complexes Forme algébrique, conjugué. Somme, produit quotient, calculs algébriques. Effectuer des calculs algébriques avec les nombres complexes. On introduit dans ce chapitre des éléments lui donnant une dimension historique. Équation dans C du second degré à coefficients réels. Résoudre dans C une équation du second degré à coefficients réels. Représentation géométrique Le plan est muni d un repère orthonormé (O, u, v ). Représenter un nombre complexe par un point ou un vecteur. Affixe d un point, d un vecteur. Déterminer l affixe d un point ou d un vecteur. Forme trigonométrique : - Module et argument, interprétation géométrique dans un repère orthonormé direct - Notation exponentielle. Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement. La notation exponentielle est introduite après avoir montré que la fonction θ cosθ+isinθ vérifie la même relation fonctionnelle que la fonction exponentielle. Connaître et utiliser la relation zz = z 2. Effectuer des opérations sur les nombres complexes écrits sous différentes formes. Les nombres complexes permettent de mémoriser les formules trigonométriques d addition et de duplication vues en première. Interprétation géométrique de z z = z +b avec b C Interprétation géométrique de z z = k(z ω)+ω avec ω C et k R Interprétation géométrique de z z = e iθ (z ω)+ω avec ω C Équation paramétrique d un cercle sous la forme z = z ω +re iθ On utilisera les nombres complexes pour traiter des exemples simples de configurations et résoudre des problèmes faisant intervenir des translations, des rotations, des homothèties. Module et argument d un produit d un quotient.(à vérifier) Le repérage polaire n est plus au programme de la classe de première. Tout ce qui avait attrait à une motivation géométrique des nombres complexes a disparu du programme. Les nombres complexes sont présentés comme un ensemble de nombres avec ses opérations propres. Cette première prise de contact n est qu une introduction dans la perspective d un approfondissement lors d une poursuite d études. Francis cortado 9 G.R.E.M Liban

10 2.2 Droites et plans. Position relative de droites et plan dans l espace :intersection et parallélisme. Étudier les position relatives de droites et de plans. Le cube est une figure de référence pour la représentation des positions relatives de droites et de plans. Orthogonalité : - de deux droites ; - d une droite et d un plan. Établir l orthogonalité d une droite et d un plan. On étudie quelques exemples de sections planes du cube. Ce travail est facilité par l utilisation d un logiciel de géométrie dynamique. Géométrie vectorielle On étend à l espace de la notion de vecteur et des opérations associées. Caractérisation d un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires. On fait observer que des plans dirigés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles. Il est intéressant de présenter la démonstration du théorème «du toit». Vecteurs coplanaires. Décomposition d un vecteur en fonction de trois vecteurs non coplanaires. Choisir une décomposition pertinente dans le cadre de la résolution de problèmes d alignement ou de coplanarité. On fait percevoir les notions de liberté et de dépendance. Utiliser les coordonnées pour : traduire la colinéarité ; caractériser l alignement ; déterminer de la décomposition d un vecteur. On ne se limite pas à des repères orthogonaux. Représentation paramétrique d une droite de l espace. La caractérisation d un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires conduit à une représentation paramétrique de ce plan. 2.3 Produit scalaire. Produit scalaire de deux vecteurs dans l espace : définition, propriétés. On étend aux vecteurs de l espace la définition du produit scalaire données dans le plan. Vecteur normal à un plan. Équations cartésiennes d un plan. Déterminer si un vecteur est normal à un plan. On Caractérise vectoriellement l orthogonalité de deux droites, et on introduit la notion de plans perpendiculaires. Caractériser les points d un plan de l espace par une relation : ax+by +cz +d = 0 avec a, b, c trois nombres réels non tous nuls. Francis cortado 10 G.R.E.M Liban

11 Déterminer une équation cartésienne d un plan connaissant un point et un vecteur normal. Déterminer un vecteur normal à un plan défini par une équation cartésienne. Démontrer qu une droite est orthogonale à toute droite d un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Choisir la forme la plus adaptée entre équation cartésienne et représentation paramétrique pour : déterminer l intersection d une droite et d un plan; étudier la position relative de deux plans. AP Perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires. Intersection de trois plans. Expression en repère orthonormal de la distance d un point à un plan dans l espace et d un point à une droite dans le plan. Inéquation définissant un demi-espace. Projection orthogonale sur une droite ou sur un plan.(à vérifier) Caractérisation barycentrique d une droite, d un plan, d un segment, d un triangle. Étude des systèmes d équations linéaires et exemples de situations s y ramenant.(à vérifier) La notion de barycentre n est plus au programme des classes de lycée de même que les homothéties et rotations. 3 Probabilités et statistiques 3.1 Conditionnement, indépendance. Conditionnement par un événement de probabilité non nulle. Notation P A (B) Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée. On représente une situation à l aide d un arbre pondéré ou d un tableau. On énonce et justifie les règles de construction et d utilisation des arbres pondérés. Exploiter la lecture d un arbre pondéré pour déterminer des probabilités. Calculer la probabilité d un évènement connaissant ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l Univers. Un arbre pondéré correctement construit constitue une preuve. Le vocabulaire lié à la formule des probabilités totales n est pas un attendu du programme, mais la mise en œuvre de cette formule doit être maîtrisée. Indépendance de deux événements. Montrer que si deux événements A et B sont indépendants, il en est de même de A et B. Cette partie du programme se prête particulièrement à l étude de situations concrètes. Francis cortado 11 G.R.E.M Liban

12 Des activité algorithmiques sont menées dans ce cadre, notamment pour simuler une marche aléatoire. [SVT] Hérédité, génétique, risque génétique. La formule des probabilités totales. 3.2 Notion de loi à densité à partir d exemples Loi à densité sur un intervalle. Les exemples étudiés s appuient sur une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d une probabilité. On définit alors une variable aléatoire X, fonction de Ω dans R, qui associe à chaque issue un nombre réel d un intervalle I de R. On admet que X satisfait aux conditions qui permettent de définir la probabilité de l événement {X J} comme l aire du domaine : {M(x,y);x J et 0 y f(x)} où f désigne la fonction de densité de la loi et J un intervalle inclus dans I. Toute théorie générale des lois à densité et des intégrales sur un intervalle non borné est exclue. Loi uniforme sur [a,b]. Connaître la fonction de densité de la loi uniforme sur [a, b]. L instruction «nombre aléatoire»d un logiciel ou d une calculatrice permet d introduire la loi uniforme sur [0, 1]. Le programme 2001, ne mentionnait que la loi uniforme sur [0,1] Espérance d une variable aléatoire suivant une loi uniforme. La notion d espérance d une variable aléatoire à densité f sur [a, b] est introduite à cette occasion par E(X) = b a tf(t) dt. On note que cette définition constitue un prolongement dans le cadre continu de l espérance d une variable aléatoire discrète. AP Méthode de Monte-Carlo Lois exponentielles. Calculer une probabilité dans le cadre d une loi exponentielle. On démontre qu une variable aléatoire T suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement : pour tout réels t et h positifs, P T t (T t+h) = P(T h) Espérance d une variable aléatoire suivant une loi exponentielle. Démontrer que l espérance d une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ est 1 λ L espérance est définie comme la limite quand x tend vers + de où f est la fonction de densité de la fonction exponentielle considérée. x 0 tf(t) dt Francis cortado 12 G.R.E.M Liban

13 Cette partie du programme se prête particulièrement à l étude de situations concrètes, par exemple sur la radioactivité ou la durée de fonctionnement d un système non soumis à un phénomène d usure. Loi normale centrée réduite N(0,1) Connaître la fonction de densité de la loi normale centrée réduite N(0, 1) et sa représentation graphique. Théorème de Moîvre-Laplace (admis) Démonstration de l existence et de l unicité d un réel positif u α tel que, pour α ]0,1[, on ait P( u α X u α ) = 1 α lorsque X suit une loi normale N(0,1). Connaître les valeurs approchées u 0,05 1,96 et u 0,01 2,58. Pour introduire la loi normale N(0, 1), on s appuie sur l observation des représentations graphiques de la loi de la variable aléatoire Z n = X n np np(1 p) où X n suit la loi binomiale B(n,p), et cela pour de grandes valeurs de n et une valeur de p fixée entre 0 et 1. Le théorème de Moivre-Laplace assure que pour tous réels a et b, P(Z n [a,b]) tend vers b a 1 2π e x2 2 dx lorsque n tend vers + L espérance d une variable aléatoire suivant la loi N(0,1) est définie par lim x 0 x y tf(t)dt+ lim tf(t)dt y + 0 où f désigne la densité de cette loi. On peut établir qu elle vaut 0. On admet que la variance, définie par E ( (X E(X)) 2), vaut 1. Loi normale N(µ,σ 2 ) d espérance µ et d écart type σ Utiliser une calculatrice ou un tableur pour calculer une probabilité dans le cadre d une loi normale N(µ,σ 2 ) Une variable aléatoire X suit une loi N(µ,σ 2 ) si X µ suit la loi normale N(0,1). σ On fait percevoir l information apportée par la valeur de l écart type. [SPC] Mesures physique sur un système réel en essai. Francis cortado 13 G.R.E.M Liban

14 Connaître une valeur approchée de la probabilités des événements : {X [µ σ,µ+σ]} {X [µ 2σ,µ+2σ]} {X [µ 3σ,µ+3σ]} lorsque X suit la loi normale N(µ,σ 2 ) La connaissance d une expression algébrique de la fonction de densité de la loi N(µ,σ 2 ) n est pas un attendu du programme. On illustre ces nouvelles notions par des exemples issus des autres disciplines. 3.3 Intervalle de fluctuation Démontrer que si X n suit la loi binomiale B(n,p), alors, pour tout α dans ]0,1[ on a : { } [ ] lim P Xn p(1 p) p(1 p) n + n I n = 1 α avec I n = p u α,p+u α n n Connaître l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% : [ ] p(1 p) p(1 p) p 1,96,p+1,96 n n où p désigne la proportion dans la population. Avec les exigences usuelles de précision, on pratique cette approximation dès que n 30, np 5 et n(1 p) 5 En majorant 1,96 p(1 p), on retrouve l intervalle de fluctuation présenté en seconde. La problématique de la prise de décision, déjà rencontrée, est travaillée à nouveau avec l intervalle de fluctuation asymptotique. 3.4 Estimation Intervalle de confiance ( ). Estimer par intervalle une proportion inconnue à partir d un échantillon. Les attendus de ce paragraphe sont modestes et sont à exploiter en lien avec les autres disciplines. Niveau de confiance. Déterminer une taille d échantillon suffisante pour obtenir, avec une précision donnée, une estimation d une proportion au niveau de confiance 0,95. [ Il est intéressant de démontrer que, pour une valeur de p fixée, l intervalle F n 1,F n + 1 ] contient, pour n assez grand, la proportion p avec une n n probabilité au moins égale à 0,95. Francis cortado 14 G.R.E.M Liban

15 On énonce alors que p est élément de l intervalle [ f 1,f + 1 ] n n avec un niveau de confiance de plus de 95%, où f désigne la fréquence observée sur un échantillon de taille n. Avec les exigences usuelles de précision, on utilise cet intervalle dès que : n 30, np 5 et n(1 p) 5. La simulation de sondages sur tableur permet de sensibiliser aux fourchettes de sondage. Il est important de noter que, dans d autres champs, on utilise l intervalle [ ] f(1 f) f(1 f) f 1,96,f +1,96 n n qu il n est pas possible de justifier dans ce programme. [SVT] Analyse de graphiques où les données sont fournies par des intervalles de confiance. AP Prise de décision lors de la comparaison de deux proportions (par exemple lors d un essai thérapeutique). ( ) Avec les notations précédentes : Un intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F n au seuil 1 α est un intervalle déterminé à partir d ep et de n et qui contient F n avec une probabilité d autant plus proche de 1 α que n est grand. Un intervalle de confiance pour une proportion p à un niveau de confiance 1 α est la réalisation, à partir d un échantillon, d un intervalle aléatoire contenant la proportion p avec une probabilité supérieure ou égale à 1 α, intervalle aléatoire déterminé à partir de la variable aléatoire fréquence F n qui, à tout échantillon de taille n, associe la fréquence. Les intervalles de confiance considérés ici sont centrés en la fréquence observée f. Combinaison, factorielle, formule du binôme Loi de Bernoulli, loi binomiale ; espérance et variance de ces lois. Adéquation de données expérimentales à une loi équirépartie. La notion de combinaison intervient en première sous la forme des coefficients binomiaux, et il en est de même de la loi binomiale. La variance et l écart type d une loi binomiale ne sont pas au programme de première ni de terminale. Le programme de terminale ne traite plus les lois de probabilités discrètes. Francis cortado 15 G.R.E.M Liban

16 4 Récapitulation des notions hors du programme de terminale 4.1 Analyse La notion de suites adjacentes. Étude numérique sur un ou deux exemples de la rapidité de convergence d une suite vers sa limite l. La notion d asymptote oblique. Limites à gauche et à droite en un point.(à vérifier) La formule donnant la dérivée d une fonction composée. La notion de dérivée successive. L écriture différentielle dy = f (x)dx. La notion d approximation affine. La méthode d Euler. La fonction tangente. La construction de la fonction exponentielle avec la méthode d Euler. Approximation affine de h e h en 0 Extension du théorème d existence et d unicité pour l équation f = kf. Équations différentielles y = ay +b. Approximation affine au voisinage de a de h ln(1+h) Fonction x x α avec α réel et fonction racine n-ième Fonction x a x pour a > 0 Croissances comparées des fonctions logarithme, exponentielles et puissances entières. Rapport du logarithme décimal avec l écriture décimale des nombres. Approximation d une aire par deux suites adjacentes. Exemple où la fonction intégrée est en escalier.(à vérifier) Faire apparaître l intégrale comme limite de sommes.(à vérifier) Intégration par parties. Inégalité de la moyenne.(à vérifier) Expression intégrale de la distance parcourue sur une droite par un point mobile Expression intégrale du volume d un solide. Figure en AP Francis cortado 16 G.R.E.M Liban

17 4.2 Nombres complexes et géométrie Interprétation géométrique de z z = z +b avec b C Interprétation géométrique de z z = k(z ω)+ω avec ω C et k R Interprétation géométrique de z z = e iθ (z ω)+ω avec ω C Équation paramétrique d un cercle sous la forme z = z ω +re iθ On utilisera les nombres complexes pour traiter des exemples simples de configurations et résoudre des problèmes faisant intervenir des translations, des rotations, des homothéties. Module et argument d un produit d un quotient.(à vérifier) Expression en repère orthonormal de la distance d un point à un plan dans l espace et d un point à une droite dans le plan. Inéquation définissant un demi-espace. Projection orthogonale sur une droite ou sur un plan.(à vérifier) Caractérisation barycentrique d une droite, d un plan, d un segment, d un triangle. Étude des systèmes d équations linéaires et exemples de situations s y ramenant.(à vérifier) 4.3 Probabilités et statistiques La formule des probabilités totales. Combinaison, factorielle, formule du binôme Les coefficients binomiaux sont au programme de première. Loi de Bernoulli, loi binomiale ; espérance et variance de ces lois. La loi binomiale et son espérance est du programme de première. Adéquation de données expérimentales à une loi équirépartie. Francis cortado 17 G.R.E.M Liban