3) Regulation en temps discret

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1 ) Regulation en temps discret Table des matières Classification des signaux Régulation en temps discret. Comparaison régulation analogique régulation numérique Conversion Analogique vers Numérique Définition Processus Retard de groupe Quantification Conséquence de l échantillonnage Choix de la fréquence d échantillonnage Conversion Numérique vers Analogique Schéma complet de la régulation numérique Transformée en Z. Introduction Table des transformées en Z Discrétisation d un correcteur C(p) Fonction de transfert du couple échantillonneur / bloqueur d ordre.... Calcul de C(z)

2 ) Regulation en temps discret Classification des signaux Un signal à temps continu fournit une image dans l ensemble des réels, quel que soit l instant, d une grandeur physique X qui évolue dans le temps. Un signal à temps discret fournit une image dans l ensemble des entiers à des instants ti définis, d une grandeur physique X qui évolue dans le temps. Ces instants sont séparés d une période fixe T e, appelée période d échantillonnage. Les valeurs numériques qui définissent le signal sont appelées des échantillons. Signal à temps continu Signal à temps discret Signaux en % Signaux en % P mps en s mps en s, Régulation en temps discret nsion en v. Comparaison régulation analogique régulation numérique... Comparaison régulation analogique régulation numérique Homme/Machine Commande/Système commande opérative Homme Dans un système automatisé, on peut séparer trois éléments. Entre chaque élément, il existe une interface, pour convertir les ordres et les informations. L interface homme machine a pour rôle de convertir les informations fournies par la commande et des ordres donnés par l utilisateur. Dans un système analogique, il n y a pas de problèmes de conversion entre le système et la commande, car ils sont de même nature. Par contre, dans une régulation numérique, il faut une interface entre la commande et le système. Cette interface va convertir les signaux analogiques en signaux numériques et viceversa. Dans un système automatisé, on peut séparer trois éléments. Entre chaque élément, il existe une interface, pour convertir les ordres et les informations. L interface hommemachine a pour rôle de convertir les informations fournies par la commande et des ordres donnés par l utilisateur... Problème lié à la conversion analogique > numérique (CAN ADC) Dans un système analogique, il n y a pas de problèmes de conversion entre le système et la... L'échantillonnage commande, car ils sont de même nature. Par contre, dans une régulation numérique, il faut une... Définition interface entre la commande L échantillonnage et consiste le système. à transformer un signal Cette analogique interface en un signal numérique. va convertir les signaux analogiques en signaux numériques et viceversa, conformément au schéma fonctionnel cidessous : Exemple : Un radar de surveillance aérienne ne détecte la position de l objectif qu à chaque passage du faisceau, espacé d une période de rotation de l antenne.... Processus d échantillonnage Échantillonneur idéal (théorique) : e(t) Z(p) e*(t) Hz(p) W(z) C(z) Y(z) CNA H(p) H(p) mps mps Un échantillonneur idéal est un contacteur qui se ferme en un temps nul tous les. Le signal de sortie e*(t) est constitué d une suite de valeurs discrètes. L impossibilité physique X(z) de prélever le signal de manière X(p) instantanée conduit à une variation de l amplitude du signal pendant l échantillonnage. On est donc contraint de faire une estimation moyenne de l amplitude sur un CAN P.Gatt Regulation numerique page sur cira.com /

3 commande opérative ) Regulation en temps discret. Conversion Analogique vers Numérique Homme Dans un système automatisé, on peut séparer trois éléments. Entre chaque élément, il existe une interface, pour convertir les ordres et les informations. L interface homme machine a pour rôle de convertir les informations fournies par la commande et des ordres donnés par l utilisateur. Dans un système analogique, il n y a pas de problèmes de conversion entre le système et la commande, car ils. Conversion Analogique vers Numérique.. Définition L échantillonnage sont de même nature. consiste Par contre, à transformer dans une régulation un numérique, signal analogique il faut une interface enentre unla signal commande numérique. et le Exemple système. : UnCette radar interface de surveillance va convertir les signaux aérienne analogiques ne détecte en signaux lanumériques positionet de viceversa. l objectif qu à chaque passage du.. faisceau, Problème espacé lié à d une la conversion périodeanalogique rotation > numérique de l antenne. (CAN ADC).. Processus... L'échantillonnage Un échantillonneur... idéal Définition est un contacteur qui se ferme en un temps nul tous les T e. Le signal de L échantillonnage consiste à transformer un signal analogique en un signal numérique. sortie e*(t) est constitué d une suite de valeurs discrètes. L impossibilité physique de prélever le signal de Exemple manière : Un radar instantanée de surveillance conduit aérienne àne une détecte variation la position de l objectif l amplitude qu à chaque du signal passage du pendant l échantillonnage. faisceau, espacé On d une est donc période contraint de rotation de de l antenne. faire une estimation moyenne de l amplitude sur un court intervalle de temps.... Processus d échantillonnage Échantillonneur idéal (théorique) : e(t) e*(t) mps mps Un échantillonneur idéal est un contacteur qui se ferme en un temps nul tous les. Le signal de sortie e*(t) est constitué d une suite de valeurs discrètes. L impossibilité court intervalle physique de temps. de prélever le signal de manière instantanée conduit à une variation de l amplitude du signal Le modèle pendant mathématique l échantillonnage. généralement On est admis donc et contraint le suivant de : faire une estimation moyenne de l amplitude sur un P.Gatt e(t) Regulation numerique e*(t) page sur Le modèle mathématique généralement admis et le suivant :! = mps mps Signal Peigne de Dirac Signal échantillonné... Retard de groupe L échantillonnage n est jamais instantané. Il faut tenir compte de la durée de conversion du CAN et du temps d exécution des calculs avant restitution du signal par le CNA. L ensemble revient à introduire un retard de groupe. L échantillonneur pourra être représenté dans un schéma fonctionnel pas l élément suivant :.. Retard de groupe L échantillonnage n est jamais instantané. Il faut tenir compte de la durée de conversion du CAN et du temps d exécution des calculs avant Signal restitution du signal par le CNA. L ensemble Signal échantillonné revient à introduire un retard de groupe. e!tp L échantillonneur pourra être représenté dans un schéma fonctionnel pas l élément cidessous : T représente le retard de groupe. Dans la pratique, si l on choisit une période d échantillonnage telle que la signal signal échantillonné durée d acquisition et de traitement soit de quelques % de (ce qui ramène à la conclusion précédente) on pourra considérer que l échantillonnage e rp est instantané.... Quantification L opération de quantification consiste à associer à chaque valeur discrète un nombre entier représentant l amplitude. L effet de cette quantification peut être représenté par une fonction non linéaire en escalier. r représente le retard de groupe. Dans la pratique, si l on choisit une période d échantillonnage telle que la durée d acquisition et de traitement soit de quelques % de T e, on pourra considérer que l échantillonnage est instantané. Valeurs numériques / cira.com

4 L échantillonneur pourra être représenté dans un schéma fonctionnel pas l élément suivant : Dans le cas d un q signal équirépartie, le rapport signal/bruit est de : Pour un signal de type [S,S] : R sb (en db) = log( n ) " n L échantillonneur pourra être représenté dans un schéma fonctionnel pas ) Regulation en temps discret. Conversion Analogique vers Numérique q Signal.. Quantification Signal échantillonné e!tp L opération de quantification consiste à associer à chaque valeur discrète un nombre entier Signal Exemple représentant : pour l amplitude. un lecteur CD L effet (échantillonnage de cette quantification peut être représenté par une fonction sur bits), le rapport signal/bruit est de e!tp db. non linéaire en escalier. Les conséquences de la quantification... Fréquence peuvent d échantillonnage être modélisées par Exemple : pour un lecteur de CD (échantillonnage sur bits), le rappo une source de bruit blanc [q/ ; q/], avec q le quantum... qui représente Effet de l échantillonnage la plus petite variation du signal d entrée Spectre qui entraîne signal S le changement... Fréquence d échantillonnage d étatsdu bit de poids le plus faible. Pour des signaux plus grands que q, on peut considérer que ce bruit est négligeable. Spectre signal S... Effet de l échantillonnage Valeurs analogiques s.. Conséquence de l échantillonnage Soit un signal S, dont le spectre est le cicontre : Valeurs numérique Le spectre du signal échantillonnée S* à la fréquence devient : Spectre signal S échantillonné à la fréquence s Spectre signal S échantillonné à la fréquence s Lorsque Théorème l on échantillonne de Shannon un signal, : On son ne spectre... perdsubit pas Spectre une d informations modification replié représentée en échantillonnant cidessus. un signal, si la fréquence d échantillonnage Si le est signal supérieure échantillonné à comporte deux fois des lafréquences supérieures la plus à grande F/, chaque contenue période du spectre «débord... Théorème de Shannon dans le spectre du signal. la suivante. Tous se passe comme si le spectre était «!replié!» à la fréquence F/. On ne perd pas d informations en échantillonnant un signal, si la Spectre fréquence signal d échantillonnage S* est supérieure à deux fois la fréquence la plus grande contenue dans le spectre Lorsque du l on signal. échantillonne un signal, son spectre subit une modification Dans le cas contraire, si le signal échantillonné s Spectre replié = partie droite spectre s... Théorème de partie Shannon gauche spectre s P.Gatt comporte des fréquences supérieures Regulation à /, numerique page sur chaque période du spectre «déborde» sur la sui On ne perd pas d informations en échantillonnant un signal, si la fréque deux fois la fréquence la plus grande contenue dans le spectre du signal. vante. Tout se passe comme si le spectre était «replié» à la fréquence F/. P.Gatt Regulation numerique.. Choix de la fréquence d échantillonnage... Choix de la fréquence d échantillonnage Dans la réalité, on ne peut pas être sûr de la présence de fréquences en dehors d une bande définie. D Dans la réalité, on ne peut pas être sûr de la présence de fréquences en dehors d une bande mesure du possible, on placera avant l échantillonneur un filtre passebas appelé filtre entireplie définie. Dans la mesure du possible, permettant onde placera limiter l apparition avant l échantillonneur de fréquences fantôme. un filtre Une passebas fréquence d échantillonnage appelé égale à filtre antirepliement, permettant bande de passante limiter du l apparition signal est généralement de fréquences utilisée. fantômes. Ainsi, pour les Une processus fréquence suivants on peut choisir d échantillonnage égale à quinze que!: fois la bande passante du signal est généralement utilisée. Processus Période d'échantillonnage en s Régulation de pression à Régulation de débit à Régulation de niveau à Régulation de température à Séchage à Distillation à Réactions catalytiques à Fabrication de ciment à cira.com /

5 ) Regulation en temps discret. Conversion Numérique vers Analogique Ainsi, pour les processus suivants on peut choisir T e tel que : Processus Période d échantillonnage en s Régulation de pression à Régulation de débit à Régulation de niveau à Régulation de température à Séchage à Distillation à Réactions catalytiques à Fabrication de ciment à Asservissement électrique. Conversion Numérique vers Analogique Le rôle du CNA est de reconstituer un signal analogique (donc continue) à partir d échantillons de celuici. Il doit permettre de fournir la valeur du signal entre deux échantillons. Cette fonction peut être réalisée à l aide du bloqueur d ordre zéro. Le bloqueur d ordre zéro maintient constant le signal réglant pendant l intervalle de temps T e par mémorisation de la valeur de l échantillon précédent. On l appelle bloqueur d ordre zéro, car il interpole le signal par des polynômes d ordre zéro. Signal numérique Signal analogique En simplifiant les choses, on peut considérer que le bloqueur d ordre zéro amène un retard à T e/. Ce retard modifie le comportement en boucle fermée du système et sa stabilité. Plus T e est grand, plus la marge de phase diminue et plus le système est instable.. Schéma complet de la régulation numérique Si on tiens compte de tous les éléments vues avant, une régulation numérique peut être modélisée par le schéma fonctionnel suivant : Z(p) Hz(p) W(z) C(z) Y(z) B (p) H(p) H(p) X(z) e rp X(p) / cira.com

6 ) Regulation en temps discret Transformée en Z. Introduction La transformée en Z est relative aux signaux numériques. Elle permet le traitement des signaux et systèmes numériques et échantillonnés comme la transformée de Laplace pour les signaux et systèmes continus. Le processus d échantillonnage revient à multiplier le signal analogique d entrée par une série d impulsions unité. x(t) x*(t) x (t) = x(t) δ(t kt e) = x(kt e) δ(t kt e) k= k=. Table des transformées en Z Fonction Allure f(t) avec a R et n N Z[f(t)] Dirac δ(t) Retard δ(t kt e) z k Échelon Rampe Exponentielle Premier ordre u(t) t u(t) t n u(t) ( e at ) u(t) z T e z ( z ) z e at e ( e at e )z ( z )( z e at e ) On rappelle que Z[b f(t)] = b Z[f(t)]. Remarques : les blocs «analogiques» disponibles dans un SNCC le sont sous forme d une équation récurrente exacte ou approchée. Les transformées en Z fournies dans le tableau sont exprimées en fonction de z et non z. En effet, lors de la conversion d une équation en z en équation récurrente, l opérateur z correspond à l échantillon précédent. Exemple : S(z) = z E(z) S n = E n cira.com /

7 ) Regulation en temps discret. Discrétisation d un correcteur C(p). Discrétisation d un correcteur C(p) W(z) Régulateur numérique Y*(z) C(z) B (p) W(p) Régulateur analogique Y(z) C(p) X(z) X(p) X(z) X(p).. Fonction de transfert du couple échantillonneur / bloqueur d ordre Pour le calcul de cette fonction de transfert, on observe la valeur de Y (t) en réponse à une impulsion de Y (z). On a alors B(p) = L (Y (t))., Y*,,,,,, Y mps,,,,,,, mps On a B(p) = e T e p p.. Calcul de C(z) e p e T C(z) = Z[C(p) B(p)] = Z[C(p) ] = Z[ C(p) p p ] ( z ) C(z) = Z[ C(p) p ] ( z ) / cira.com