Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie

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1 Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie A) Définition et propriétés de base 1) Historique Les nombre complexes ont été inventés au départ en 1545 par le mathématicien italien Jérôme Cardan (Girolamo Cardano), puis étudiés plus rigoureusement par Raphaël Bombelli en Au départ, le but était de trouver une expression mathématique, qui ne pouvait pas être un nombre réel, pour les solutions de l'équation x² + 1 = 0. Cette invention a permis d'exprimer aussi les solutions des équations du second degré avec un discriminant négatif. En effet, l'invention d'un nombre imaginaire i tel que i² = -1 permet d'exprimer par exdemple la racine carrée de -9 comme étant 3i, celle de -13 par i 13 etc... On trouve ainsi le moyen d'exprimer tout polynôme comme le produit de polynômes de degré 1, ce qui fait de l'ensemble des complexes un ensemble "algébriquement clos". 2) Définition a) On note C l'ensemble des nombres complexes. Un nombre complexe s'écrit z =a bi, où a et b sont des réels et i est le nombre imaginaire tel que i² = -1. Cette écriture est dite "forme algébrique" du nombre complexe. a est la partie réelle, et b la partie imaginaire de z. b) Cas particuliers Si b = 0, z est un nombre réel. On peut ainsi considérer l'ensemble des réels comme une partie de l'ensemble des complexes : R C. Si a = 0, z est dit "imaginaire pur". 4, -15, 1/3 sont des réels 1 i ; 3 2i sont des complexes i ; -i ; 5i ; -3i sont des imaginaires purs. c) Conjugué d'un complexe On appelle complexe conjugué, ou conjugué de z=a bi, et on note z, que l'on prononce "z barre" le nombre z=a bi. 3) Égalité de deux complexes Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales. Soient z = a + b i et z' = a' + b' i : on aura : z = z' <=> a = a' et b = b' a + b i = a + b' i <=> a = a et b = b Page 1/9

2 B) Opérations sur les complexes 1) Addition et soustraction Les règles sont les mêmes qu'en calcul littéral habituel, comme si on remplaçait i par x : Exemples Calculer : a) (2 3 i) + (3 2 i) b) (1 + 2 i) (13 12 i) c) (13 12 i) + ( i) d) (1 + 2 i) - ( i) (a + bi) + (a + b i) = (a + a ) + (b + b )i (a + bi) - (a + b i) = (a - a ) + (b - b )i Cas particuliers: Quand on additionne ou soustrait deux complexes conjugués z = a + b i et z = a b i : z+ẕ = 2a z = 2 3 i : calculer z + z et z z. z ẕ = 2 b i 2) Multiplication Les règles sont aussi les règles habituelles, mais quand on trouve i², on le remplace par -1, puisque par définition, i² = -1. Donc, (a + bi) (a + b i) = a a' + a b' i' + b i a' + b i b' i = a a' + b a' i + a b' i + a' b i + b b' i² = a a' + (a b' + a' b) i b b' = (a a' b b') + (a b' + a' b) i Exemples Calculer : a) (2 3 i) * (3 2 i) b) (1 + 2 i) * (13 12 i) c) (13 12 i) * ( i) d) (1 + 2 i) * ( i) (a + b i) (a + b i) = (a a - b b ) + (a b + a b)i Cas particuliers: Quand on multiplie deux complexes conjugués z = a + b i et z = a b i : z z = (a + b i) (a - b) i = a² (b i)² = a² b² i² = a² + b² : c'est un réel positif. Calculer z z : a) z = 3 2 i b) z = 2 i c) z = 12 + i z z = a² + b² Page 2/9

3 3) Division Le problème est ici de se "débarrasser" de la partie imaginaire qui figure au dénominateur. Pour cela, on multiplie en haut et en bas par le complexe conjugué du dénominateur : a +b i (a+b i)(a' b' i) ' b' i) = =(a+bi)(a a' +b' i (a'+b ' i)(a' b' i ) a' ²+b' ² Calculer les quotients suivants : 1 3i a) 2+i 2+1 c) 1 i 1 e) 1 i C) Représentation géométrique 1) Définition b) 1+i 1 1 d) 2 7i 7 i f) 1 2 3i Un nombre complexe est totalement défini par deux nombres réels, sa partie réelle et sa partie imaginaire. Or dans un plan à repère orthonormé, un point est totalement défini par son abscisse et son ordonnée, deux nombres réels aussi. On peut donc faire correspondre à chaque complexe un point et vice-versa. On dit alors que le point a pour affixe ce complexe, et que ce point est le point image du complexe. De même, on peut assimiler un vecteur (vecteur image) dans le plan à un complexe, puisque un vecteur aussi est caractérisé par ses deux coordonnées. Dans un repère orthonormé (O, A, B) placer les points : C d'affixe c =2 i, D (d = i), E (e = i 1) Trouver l'affixe de O, A, B et celles de I, milieu de [AB] et J milieu de [CD]. 2) Affixe d'un vecteur Si A a pour affixe z A et B a pour affixe z B, alors AB a pour affixe z A z A. Avec les données de l'exemple précédent, calculer les affixes de : OC, CD, OA et OB. 3)Points particuliers Les points images des nombres réels sont tous sur l'axe des abscisses, à gauche pour les négatifs et à droite pour les positifs. Les points images des nombres imaginaires purs sont tous sur l'axe des ordonnées, en haut pour les parties imaginaires négatives et à droite pour les positives. Les complexes conjugués ont des points images symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Page 3/9

4 4) Correspondances des opérations L'addition des complexes correspond à l'addition des vecteurs. En effet on additionne ensemble les parties réelles et les parties imaginaires, ce qui veut dire pour les vecteurs additionner les abscisses ensemble et les ordonnées ensemble. Donc, si u a pour affixe z u et v a pour affixe z v, u+ v aura pour affixe z u + z v. Avec les données de l'exemple précédent, calculer les affixes de : OC+ CD, DE+ EC et OA+ OB. 5) Longueur d'un vecteur et module d"un complexe On sait que si u a pur coordonnées (x ; y), la longueur de u, u, est égale à x 2 + y 2. On sait aussi que pour tout complexe z = x + y i, z z = x² + y². Si z est l'affixe de u, on aura donc : u = z ẕ. On appelle cette valeur le module de z, que l'on notera z. Avec les données de l'exemple précédent, calculer les longueurs de : CD, DE et AB. 6) Distance entre deux points Comme la distance entre deux points A et B est égale à la longueur du vecteur AB, on peut en conclure si l'affixe de A est z A et celle de B est z B, l'affixe de AB sera zb z A, et que la longueur de AB sera AB= AB = x 2 + y 2 en posant z b z A = x + y i. Avec les données de l'exemple précédent, calculer les distances entre : A et B, D et E et C et D. 7) Affixe d'un milieu Soient deux points A et B où l'affixe de A est z A et celle de B est z B, l'affixe du milieu I du segment [AB] sera z I = z A+z B 2. Avec les données de l'exemple précédent, calculer l'affixe du milieu de A et B, D et E et C et D. 8) Applications a) Soit les complexes a = -2 i, b = 3 + i, c = 6 + 4i et d = i. Montrer par les complexes que ABCD est un parallélogramme (A d'affixe a, B d'affixe b etc...). b) Soit de plus e = 1 : montrer que E(e) est le milieu de [AB]. c) Trouver l'affixe f d'un point F tel que ABF soit un triangle équilatéral (2 solutions). Page 4/9

5 Chapitre 4 Les nombres complexes : 2ème Partie D) Forme trigonométrique 1) Définition On a vu que tout nombre complexe correspond de façon unique à un point dans un plan rapporté à un repère orthonormal O, u, v. Si z = a + ib, a sera l abscisse du point et b son ordonnée. De même, tout vecteur représente un nombre complexe et un seul, suivant le même système. Un point M étant défini entièrement par sa distance à l origine ρ = OM et par la mesure de l angle entre u et le vecteur OM, θ = u, OM, un nombre complexe est aussi défini par ces deux données, qu on appelle alors le module (noté z ) et l argument (noté Arg(z)). On écrit alors z = [ρ ; θ]. Ceci s'appelle la forme trigonométrique. Remarques : - Le nombre O n a pas d argument. - L'argument d'un complexe est seulement défini à 2kπ près! On choisit généralement pour l'argument la mesure principale de l'angle θ. - Le point d'affixe z est le symétrique du point d'affixe z par rapport à l'axe des abscisses. Le module de z est donc le même, et son argument est l'opposé de celui de z. 2) Passage d une forme à l autre z = a + bi ρ = a² +b² Calcul de θ : On cherche cos -1 (a/ ρ), c'est la bonne réponse si b>0, sinon, on change son signe. z = [ρ ; θ] a = ρ cos(θ) et b = ρ sin(θ), soit z = ρ(cos(θ) + i sin(θ)) 3) Différence de deux complexes et distance de deux points Si z 1 représente M 1 (et donc OM 1 ), et z 2 représente M 2 (et donc OM 2 ), la différence z 2 z 1 représentera OM 1 OM 2 = OM 1 + M 2 O = M 1 M 2. En particulier, la distance M 1 M 2 vaudra z 2 z 1. C) Calculs sous forme trigonométrique 1) Addition et soustraction Malheureusement, il n'y a pas de formule simple : il faut passer par la forme algébrique... 2) Produit Le produit de z = [ρ ; θ] par z' = [ρ' ; θ'] est : z z' = [ρ ρ' ; θ + θ']. Autrement dit, les modules se multiplient et les arguments s ajoutent. (Démontrer) Page 5/9

6 3) Puissances d un complexe soit, si z = [ρ ; θ], z n = [ρ n ; n θ] Exemple : z = [3 ; π/4] 4) Inverse d un complexe soit : z n = z n et Arg(z n ) = n Arg(z) z 5 = [3 5 ; 5π/4] = [243 ; -3π/4] 1 z = 1 z [ρ ; θ] n = [ρ n ; n θ] et Arg ( 1 )= Arg (z) z 1 [ ρ ; θ ] = [ 1 ρ ; θ ] Remarque : On peut retrouver ce résultat en faisant n = -1 dans le 2) ci-dessus. z = [3 ; π/4] z = [2 ; -π/3] 5) Quotient de deux complexes soit encore : z = [3 ; π/4] z' = [2 ; -π/3] Devoir : Exercice 46 page 257 z z ' = z z' D) Equations du second degré 1/z = [1/3 ; -π/4] 1/z = [1/2 ; π/3] et Arg z = Arg z Arg z ' z ' [ ρ ; θ ] [ ρ ' ; θ ' ] = [ ρ ρ' ; θ θ '] z z' [ = 3 2 ; π 4 ( π 3 ] [ ) = 3 2 ; 7 π 12 ] 1) Résolution des équations du second degré à discriminant négatif Prenons une équation du second degré quelconque. Si on applique la méthode connue pour b²- 4 ac > 0, on trouve x 1 = b b2 4 ac et x 2 = b b2 4 ac. Quand le discriminant b² - 4ac est négatif, ces solutions n existent pas dans R, mais existent dans C, car la racine carrée d'un nombre négatif y est possible : par exemple (2i)² = 4i² = 4(-1) = -4! Page 6/9

7 Ainsi, si b² 4ac < 0, on remplacera b² 4ac par i 4ac b². On trouve donc deux solutions dans C lorsque b² 4ac < 0, à savoir b i x 1 = 4 ac b² b+i et x 2 = 4 a c b². Grâce à cela, on peut dire que : Toute équation du second degré du type ax² + bx + c = 0 à coefficients réels admet deux solutions, réelles ou complexes, distinctes ou confondues. Si l une des solutions n est pas réelle, les deux solutions seront des complexes conjugués. Plus généralement, toute équation de degré n admet n solutions, réelles ou complexes, distinctes ou confondues (Théorème fondamental de l algèbre). Résoudre les équations : x² + 1 = 0 8x² + 4x + 3 = 0 x² -6x + 10 = 0 Exercices : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 page 252 puis 8, 10, 16, 35, 36 page 253 Page 7/9

8 Complexes : Fiche de révision 1 partie Forme algébrique : z = a + b i où i est le nombre complexe tel que i² = -1. Formules en format algébrique : a + b i = c + d i <=> a = c et b = d (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i (a + b i) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i² a+b i c+d i = (a c b d) + (a d + b c) i i)(c d i) i )(c d i ) =(a+b =(a+b (c+d i)(c d i) c 2 +d 2 z ẕ = a² +b² z+ẕ = 2a z ẕ=2 b i Le point M d'affixe z = a + b i a pour coordonnées a et b : M(z) = M(a ; b). La longeur OM vaut Module de z= z = a 2 +b 2 et l'affixe du vecteur OM est z. Remarquons que a² + b² est toujours la somme de deux nombres réels positifs ou nuls, car ce sont les carrés de deux réels (pas de i là-dedans!). Soient M 1 (z 1 ) et M 2 (z 2 ) : L'affixe du vecteur M 1 M 2 sera z 2 z 1. Sa longueur sera : M 1 M 2 = M 1 M 2 = z 2 z 1 (module de z 2 - z 1 ) =( L'affixe du milieu I du segment [M 1 M 2 ] est : z z 1+z 2 ) I 2 Page 8/9

9 Complexes : Fiche de révision 2 partie Forme trigonométrique : z = [ρ ; θ] avec : θ = Arg(z) (argument de z) et ρ = z (module de z) Passage d une forme à l autre : Algébrique Trigonométrique z = a + b i z = [ρ ; θ] : Calcul du module : z = ρ = a² b² Calcul de l argument : Arg(z) = θ = cos -1 (a/ ρ) si b > 0 Arg(z) = θ = - cos -1 (a/ ρ) si b < 0 Trigonométrique algébrique z = [ρ ; θ] z = a + b i : a = ρ cos(θ) et b = ρ sin(θ), soit z = ρ cos(θ) + i ρ sin(θ) Formules en format trigonométrique : [ρ ; θ] x [ρ ; θ ] = [ρ x ρ' ; θ + θ'] [ρ ; θ] n = [ρ n ; n θ] 1 / [ρ ; θ ] = [1 / ρ' ; θ'] [ρ ; θ] / [ρ ; θ ] = [ρ / ρ' ; θ θ'] Formules d Euler : sin(θ) = e i θ e i θ 2 i cos(θ) = e i θ + e i θ 2 Formule de Moivre : (cos(θ) + i sin(θ)) n = cos(nθ) + i sin(nθ) Solutions complexes des équation du second degré avec Δ = b² 4 a c < 0 : z 1 = b i 4 a c b² 2a et z 2 = b+i 4 a c b² Page 9/9

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