π ε π ε Enoncé : 2 π ε 3a 2 Potentiel : A : 0 B : q E : 1 D : 9 q 2 Champ : A : 0 B : D : j E : i

Transcription

1 Enoncé : Soit un ensemble de 3 charges électriques ponctuelles - 2q, +q, +q disposées aux sommets A, B et C d un triangle équilatéral de coté a, dans l air. 1. Calculer le potentiel V et déterminer le champ E créés par cette distribution de charges au centre de gravité G du triangle (q>0). On appellera le vecteur unitaire dirigé de G vers A d origine G et i le vecteur unitaire tel que (G, ) forme une base orthonormée. Potentiel : A : 0 B : 1 2q π ε 3a C : 1 2q 2 π ε 3a 2 D : 1 π ε q 3 a E : 1 π ε q 3 a Champ : A : 0 B : D : 1 9q 2 1 9q i C : 4π ε a 2 4π ε a 2 1 9q 1 9q E : i 4π ε a 2 4π ε a 2 2. A quelle force F est soumise une charge Q=- 3q placée en G? A : 0 B : 1 9q 2 27 q 2 i C : 4π ε a 2 4π ε a 2 D : 27 q 9 Qq 2 E : 4π ε a 2 4π ε a 2 3. Quelle est l énergie électrostatique de la charge Q placée en G dans le champ électrique résultant des 3 autres charges? A : 0 B : 9 Qq 4π ε a C : 9 q 2 4π ε a D : 9 Qq 4π ε a E : 9 q 2 2 4π ε a

2 Réponses : Figure Calcul du potentiel V Le potentiel est une grandeur scalaire, il suffit donc pour obtenir le potentiel en G, noté V(G), créé par les charges situées en A, B et C de sommer chacune des contributions, soit : V(G)=V(A)+V(B)+V(C) Avec : V(G) le potentiel en G créé par les charges situées en A, B et C V(A), V(B) et V(C) les potentiels créés par les charges A, B et C au point G Remarque : Le centre de gravité G du triangle ABC est le point d intersection des trois médianes. Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.

3 Rappel de cours Le potentiel créé par une charge ponctuelle q, placé dans le vide, en un point M de l espace situé à la distance r de la charge q est donné par : V(M)= 4πε 0 r ε 0 est la permittivité électrique du vide Calcul du potentiel V(A) Le potentiel V(A) est le potentiel créé par la charge située en A (- 2q) au point G, donc : V(A)= 1 2q 4πε AG Avec : AG qui est la distance entre le point A et le point G ε permittivité électrique de l air Remarque : le triangle ABC étant un triangle équilatéral les distances AG, BG, et CG sont égales. On pose alors : AG=BG=CG=r, d ou : V(A)= 1 2q 4πε r Calcul des potentiels V(B) et V(C) Par analogie avec ce qui a été dit précédemment, on a : V(B)= V(C)= 4πε r 4πε r On a alors : V(G)=V(A)+V(B)+V(C) V(G)= 1 2q + 4πε r 4πε r + 4πε r V(G)= 1 1 4πε r -2q+q+q ( )

4 V(G)=0 Le potentiel est nul au centre de gravité du triangle ABC Réponse : A Calcul du champ électrostatique E Le champ électrostatique est une grandeur vectorielle, il est donc nécessaire pour obtenir le champ en G, noté E (G), créé par les charges situées en A, B et C de faire une sommation vectorielle au point G de chacune des 3 contributions, soit : E (A)+ E (B)+ E (C) Avec : E (G) le champ électrostatique en G créé par les charges situées en A, B et C E (A), E (B) et E (C) les champs respectivement créés par les charges A, B et C au point G Rappel de cours Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle q, placé dans le vide, en un point M de l espace situé à la distance r de la charge q est donné par : E (M)= 1 4πε 0 u est un vecteur unitaire généralement choisi dirigé de q vers M (point ou l on veut déterminer le champ). Il sert à indiquer la direction du champ électrostatique ε 0 est la permittivité électrique du vide q r 2 u Calcul du champ E (A) Le champ E (A) est le champ créé par la charge située en A (- 2q) au point G, donc : Avec : E (A)= 1 2q ua u A le vecteur unitaire dirigé de A vers G. La charge en A étant négative (- 2q) le champ créé par A en G est dirigé de G vers A. Le vecteur E (A) est donc «négatif» compte tenue l orientation de u A (cf. Figure 2). ε permittivité électrique de l air

5 Calcul des champs E (B) et E (C) Par analogie avec ce qui a été dit précédemment, on a : Pour E (B) : E (B)= ub Avec : u B le vecteur unitaire dirigé de B vers G. La charge en B étant positive (+q) le champ créé par B en G est dirigé de B vers G. Le vecteur E (B) est donc «positif» compte tenue l orientation de u B (cf. Figure 2). Pour E (C) : E (C)= uc Avec : u C le vecteur unitaire dirigé de C vers G. La charge en C étant positive (+q) le champ créé par C en G est dirigé de C vers G. Le vecteur E (C) est donc «positif» compte tenue l orientation de u C (cf. Figure 2). Figure 2.

6 On a alors : E (A)+ E (B)+ E (C) Donc : E 1 2q (G)= ua + ub + uc ( 2u A + u B + u C ) Le champ électrostatique E (G) dépend du choix des vecteurs unitaires u A, u B et u C, par conséquent pour faciliter l expression du champ E (G) on l exprimera dans la base cartésienne orthonormée (G, i, ) (cf. Figure 3). Pour cela il suffit de proeter les vecteurs unitaires u A, u B et u C dans (G, i, ). Proection de u A dans (G, i, ) Le vecteur unitaire u A a une seule composante sur, tel que : u A = Proection de u B dans (G, i, ) La proection du vecteur unitaire u B sur ( i, ) s écrit : u B = u B cos α 2 ( ) i + u B sin( α 2) avec u B qui est la norme du vecteur unitaire u B, et comme u B est un vecteur unitaire alors sa norme est égale à 1, donc : u B = cos α 2 Proection de u C dans (G, i, ) ( ) i + sin( α 2) La proection du vecteur unitaire u C sur ( i, ) s écrit : u C = u C cos( α 2) i + u C sin( α 2) avec u C qui est la norme du vecteur unitaire u C, et comme u C est un vecteur unitaire alors sa norme est égale à 1, donc : u C = cos α 2 ( ) i + sin( α 2) Le champ électrique E (G) s écrit alors dans la base (G, i, ) : 2 cos α 2 ( ( ) i + sin( α 2) + cos( α 2) i + sin( α 2) ) 2 + 2sin α 2 ( ( ) )

7 Le triangle ABC étant équilatéral, l angle α est égal à 60 ou π/3 rad, donc α/2=30 ou π/6 rad, d ou sin( α 2) = 1 2. on a alors : 3 q Figure 3. Enfin pour déterminer l expression du champ en fonction des données du problème on exprime r en fonction de a (cf. Figure 3). On a : cos α 2 on a : cos α 2 ( ) = a 2r, d ou : r = a 2cos( α 2) ( ) = cos π 6 On obtient donc : = 3 2, donc : r = a 3 9 q 4πε a 2

8 9 q 4πε a 2 Le champ résultant E( G) = 9 q 4πε a 2 E G ( ) est dirigé suivant, sa norme est : Réponse : D Remarque : Grace aux des symétries du problème nous aurions immédiatement puis en déduire que le champ électrostatique résultant au point G, E ( G), avait une seule et unique composante sur l axe des. Les composantes des champ élémentaires s annulant 2 à 2 suivant l axe des i 2. Force subit par la charge Q=- 3q placée en G Rappel de cours Une charge ponctuelle q placée dans un champ électrostatique électrostatique de la forme : F=q E E subit une force Au point G le champ est électrostatique est : E( G) = 9 q 4π ε a 2 La charge Q, placée en G, est donc soumise à une force électrostatique du type : F=Q E G d ou : ( ) F=Q 9 q 4π e a 2 on a Q=- 3q, donc : F= 27 q 2 4π ε a 2 F= 27 q 2 4π ε a 2 La force électrostatique que subit la charge Q=- 3q placé en G est dirigée suivant la direction -, sa norme est : F = 27 q 2 4π ε a 2 Réponse : C

9 3. Energie potentielle électrostatique de la charge Q placée en G Rappel de cours Une charge ponctuelle q placée dans un champ de potentiel, acquière une énergie potentielle électrostatique, ou plus simplement énergie électrostatique, Ep, de la forme : Ep=qV L énergie est une grandeur scalaire. Au point G, le potentiel électrostatique est V(G)=0. L énergie électrostatique acquise par la charge Q étant de la forme : Ep=Q V(G), on a : Ep=0. Ep=0 L énergie électrostatique acquise par la charge Q placée en G est donc nulle. Réponse : A