Fonction exponentielle Cours maths Terminale S

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1 Fonction exponentielle Cours maths Terminale S Dans ce module est introduite la fonction exponentielle, en tant que seule fonction ayant pour dérivée elle-même et prenant la valeur 1 en 0. 1/ Définition de la fonction exponentielle Théorème de la fonction exponentielle: Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que pour tout x réel : f ' (x) = f (x) et f (0) = 1 Définition : Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée exp. La dénomination «exponentielle» donnée à cette fonction a la même racine que le mot exposant, nous verrons plus loin pourquoi. Remarques : 1) La démonstration du théorème est admise. (On trouvera dans la plupart des livres de terminale, la démonstration de l unicité). 2) La fonction exponentielle est donc la seule fonction qui ait pour dérivée elle-même et qui prenne la valeur 1 en 0. 3) k étant réel, toute fonction du type : g (x) = k x exp (x) a pour dérivée elle-même. 4) La fonction exponentielle est dérivable sur R donc continue sur R. Propriété de la fonction exponentielle : (admise) Pour tout x de R : exp (x) > 0, la fonction exponentielle est strictement positive sur R. Conséquence : La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

2 En résumé : La fonction exponentielle, notée exp : est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R. pour tout x : exp' (x) = exp (x) pour tout x : exp(x) > 0 exp (0) = 1 2/ Propriétés algébriques de la fonction exponentielle Les propriétés qui suivent seront démontrées dans l exercice n 1 dans votre espace membre qui constitue un R.O.C. Quels que soient a et b réels : conséquences : pour tout entier naturel n :

3 3/ Équations de la fonction exponentielle Théorème de la fonction exponentielle : La fonction exponentielle est une bijection de R sur ] 0 ; [ Démonstration : La fonction exponentielle est strictement croissante et continue sur R donc, d après le théorème de la bijection : elle réalise une bijection de R sur exp(r). Or, dans le prochain module, l étude des limites de la fonction exponentielle nous permettra de montrer que : exp (R) = ] 0 ; [. Donc la fonction exponentielle réalise donc une bijection de R sur ] 0 ; [ Conséquence n 1 : Le fait que la fonction exponentielle réalise une bijection de R sur ] 0 ; [ signifie que pour tout réel y > 0, il existe un et un seul x réel tel que y = exp(x). On peut donc définir la fonction réciproque de la fonction exponentielle, qui à tout réel y strictement positif associe le réel x tel que y = exp(x). Cette fonction, donc définie sur ] 0 ; [ et à valeurs dans R est appelée : fonction logarithme népérien et notée ln. Se lit : «L» «N» de y. La fonction logarithme népérien sera l objet d étude d un futur module. Ce qu il est important de comprendre pour l instant d un point de vue purement pratique, est que : tout nombre réel y strictement positif peut s écrire sous forme exponentielle : y = exp(x) avec x = ln y

4 Autrement dit que : Tout nombre réel y > 0 peut s écrire : y = exp(ln y) Conséquence n 2 : Quels que soient a et b réels :exp(a) = exp(b) a = b Démonstration Sens réciproque : si a = b alors exp(a) = exp(b). Sens direct : Le fait que la fonction exponentielle réalise une bijection de R sur ] 0 ; [ signifie que pour tout réel y > 0, il existe un et un seul x réel tel que exp(x) = y. Soient a et b réels tels que exp(a) = exp(b). exp(a) > 0, posons y = exp(a). Si b a alors il existe deux réels distincts qui ont pour image y par la fonction exponentielle. Ce qui est contraire du fait que exp soit une bijection de R sur ] 0 ; [ donc a = b. Utilisation pratique : Cette équivalence va nous permettre de résoudre des équations du type : exp (x) = k. Si k > 0 alors k peut s écrire k = exp (ln k) et l équation devient : exp (x) = exp (ln k) ; D où : x = ln k, d après l équivalence. Et dans le cas très particulier où k=1, on peut se passer du logarithme népérien : exp (x) = 1 exp(x) = exp (0) x = 0 4/ Inéquations de la fonction exponentielle Quels que soient a et b réels : exp (a) < exp (b) a < b Démonstration Sens réciproque : si a < b, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R : exp(a) < exp(b).

5 Sens direct : Soient a et b réels tels que : exp(a) < exp(b). Montrons par l absurde que a < b. Supposons a > b On aurait alors, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R : exp(a) > exp(b). Ce qui est contraire à l hypothèse : exp(a) < exp(b), donc a < b. Équivalence qui peut être élargie en la combinant à la conséquence n 2 : Quels que soient a et b réels : exp(a) < exp(b) a < b Utilisation pratique : Ces équivalences vont nous permettre, dans certains cas, de résoudre des inéquations faisant intervenir la fonction exponentielle. Si l inéquation est par exemple : exp (x) > 3 3 > 0 donc il peut être écrit : 3 = exp (ln 3) Et l inéquation devient : exp (x) > exp (ln3) x > ln 3 Une valeur approchée de ln3 pouvant être trouvée à la calculatrice si besoin est. 5/ Notation puissance de la fonction exponentielle Le nombre exp(1) est noté e. Une valeur approchée de e est : e 2,718 On a alors pour tout n entier naturel : exp(n) = exp (n x 1) = (exp (1)) n Et l exponentielle de tout entier naturel peut donc être notée sous la forme d une puissance : exp(n) = e n. Cette remarque étant faite sur les naturels, on décide d étendre cette notation puissance à tous les réels : Pour tout x réel, exp(x) peut maintenant être notée : exp (x) = e x Notation ; Nous allons le voir, parfaitement cohérente avec les propriétés algébriques de l exponentielle qui formulées à l aide de cette nouvelle notation deviennent :

6 conséquences pour tout entier naturel n: grâce à cette nouvelle notation, les propriétés de l'exponentielle apparaissent tout simplement comme identiques aux propriétés d'une puissance on peut alors rajouter celle-ci :