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1 Fichier : _SLCI_performances. Définitions.. Stabilité Il existe plusieurs définition de la stabilité : Pour une entrée e(t) constante, la sortie s(t) du système doit tendre vers une constante. Un système est stable si et seulement si sa réponse impulsionnelle tend vers 0 quand t tend vers l infini. Après une perturbation un système stable doit revenir à son état permanent.2. Précision Un système est dit précis si la sortie suit l entrée en toute circonstance. On quantifie la précision par l écart entre la sortie désirée et la sortie réelle..3. Rapidité Un système a une rapidité satisfaisant s il se stabilise à son niveau constant en un temps jugé satisfaisant. 2. Stabilité Stabilité interne : Un système est stable si et seulement si sa réponse impulsionnelle tend vers 0 quand t tend vers l infini. Pour une entrée e(t) finie, la sortie s(t) du système doit être finie. Ces deux définitions sont équivalentes pour un système linéaire. Système stable Performances des SLCI, page /5

2 Système instable Système stable Système instable 2.. Conditions de stabilité Soit un système linéaire de fonction de transfert N(p) = b.p + b.p b.p + b D(p) = a.p + a.p a.p + a m m m m 0 n n n n 0 Performances des SLCI, page 2/5 N(p) H(p) = avec : D(p) On appelle zéros de la fonction de transfert les racines de N(p) et pôles les racines de D(p). Un système linéaire est stable si et seulement si tous ses pôles sont à partie réelle strictement négative. Démonstration : Dans le cas d une réponse impulsionnelle, la sortie est la transformée inverse de la fonction de transfert. Ai Si on décompose cette dernière en éléments simples, on obtient des termes en (a i p ai Bi étant un pôle réel) et des termes en ( a 2 ( ) 2 i ± jb i étant une paire de pôles p ai + bi complexes conjugués). at i Après application de la transformée inverse, les pôles réels donnent des termes en e et a.t i e sin b.t+ ϕ. les pôles complexes donnent des termes en ( ) La condition de stabilité étant que la sortie tende vers 0 quand t tend vers +, il s ensuit at i que les e doivent tendre vers 0. Il faut donc que les a i soient strictement négatifs. L équation D(p) = 0 est appelée équation caractéristique du système.

3 2.2. Critère de Routh La détermination des racines d un polynôme de degré élevé n étant pas toujours aisée, il est intéressant de pouvoir étudier la stabilité sans avoir à résoudre l équation caractéristique. A partir du dénominateur D(p) de la fonction de transfert on forme le polynôme D (p) tel que : n n D'(p) =± D(p) = a n.p + a n.p a.p + a0 = 0 avec a n > 0 Puis on forme le tableau suivant : p n γ n 4= a n 4 α n = a β n n 2 = a n 2 a 0 p n- n n α = a β n 3 = a n 3 γ n 5= a n 5 a α. β α. β α = n n 2 n n 3 p n-2 n 2 αn α. γ α. γ β n 4 = α n n 4 n n 5 n α β α β α = n 2 n 3 n n 4 p n-3 n 3 αn 2 α. γ α. γ β n 5 = α n 2 n 5 n n 6 n 2 p 0 α 0 Le système est stable si tous les a n sont présents et supérieurs à 0 et si tous les termes de la première colonne sont strictement positifs. Le nombre de changement de signes est égal au nombre de pôles à parties réelles positives. Exemple : Soit l équation caractéristique suivante : p + 5p + 9p + 0p + p + 0p+ 3= ,57 7, , , Il y a deux changements de signe dans la première colonne : de 3,57 à 6,4 et de 6,4 à 9,53. Il y a donc deux pôles à parties réelles positives. Performances des SLCI, Page 3/5

4 2.3. Critères graphiques Soit le système suivant : E Performances des SLCI + A(p) S B(p) S(p) A(p) = E(p) + B(p).A(p) L équation caractéristique est : + B(p).A(p) = 0 où B(p).A(p) représente la FTBO soit encore : B(p).A(p) = En régime harmonique, l équation devient : B( j ).A( j ) = B( j ). A(j ) = Arg(B( j )) + Arg ( A( j )) =±π Ceci met en évidence un point particulier du plan complexe appelé point critique. Ce point a pour module et pour argument ±80 ou ±π Dans le plan de Nyquist Critère du revers : Le système est stable en boucle fermée si, en parcourant le lieu de transfert en boucle ouverte dans le sens des croissants, on laisse le point critique (-,0) sur la gauche. Im(H(j)) Point critique - Re(H(j)) Stable Instable Performances des SLCI, page 4/5

5 Dans le plan de Bode Le système est stable si, pour la pulsation -80 (qui correspond à Arg FTBO j = 80 ), la courbe de gain passe en dessous du niveau 0dB. ( ( 80 )) G db Instable Stable ϕ Dans le plan de Black Le système est stable si, en parcourant le lieu de transfert en boucle ouverte dans le sens des croissants, on laisse le point critique (-80, 0) sur la droite. 20Log H(j) Instable Stable -80 ϕ Performances des SLCI, Page 5/5

6 2.4. Marge de gain et marge de phase En général, on adopte comme valeurs pratiques pour satisfaire un degré de stabilité satisfaisant : Mg = 2 db Mϕ = Définition analytique Marge de phase Mϕ : Mϕ = 80 + Arg FTBO j ( ( 0dB) ) 0dB est la valeur de pour laquelle OdB FTBO( j ) = Marge de gain MG db : G est l image de la marge de gain MG = 20 log FTBO ( j ) 80 ( ) db 80 est la valeur de pour laquelle ( ) Arg FTBO(j ) = Représentation dans les différents plans Dans le plan de Nyquist G Im(H(j)) - Re(H(j)) Mϕ Stable Instable G est l image de la marge de gain. On ne peut pas mesurer la marge de gain directement dans le plan de Nyquist. Performances des SLCI, page 6/5

7 Dans le plan de Bode G db 0dB -80 MG db ϕ -80 Mϕ Dans le plan de Black 20Log H(j) Mϕ -80 ϕ MG db Remarque Une augmentation du gain diminue les marges de phase et de gain donc, augmente le risque d instabilité Performances des SLCI, Page 7/5

8 3. Précision Un système est dit précis si la sortie suit l entrée en toute circonstance. On quantifie la précision par l écart entre la sortie désirée et la sortie réelle. Soit le système représenté par le schéma bloc suivant : E(p) + ε(p) A(p) S(p) - B(p) ε(p) représente la transformée de Laplace de ε(t) qui est l erreur entre l entrée et la sortie. Théorème de la valeur finale : lim ε (t) = lim p. ε (p) p 0 ε (p) = E(p) S(p).B(p) S(p) =ε(p).a(p) ε (p) = E(p) ε(p).a(p).b(p) E(p) E(p) ε (p) = = + A(p).B(p) + FTBO(p) Performances des SLCI, page 8/5

9 3.. Classe du système en boucle ouverte E(p) + ε(p) A(p) S(p) - R(p) B(p) La fonction de transfert en boucle ouverte du système représenté ci-dessus est : R(p) T(p) = FTBO = = A(p).B(p) ε(p) La fonction de transfert en boucle ouverte d un système peut se mettre sous la forme : 2 m + c.p + c 2.p c m.p T(p) = avec n > m α 2 n p + d.p + d 2.p d n.p représente le gain statique de la boucle ouverte. α représente la classe du système. La classe du système correspond au nombre d intégrateurs purs Erreur en régime permanent E(p) E(p) E(p) lim ε (t) = lim p = lim p = lim p p 0 + A(p).B(p) p 0 + T(p) p 0 + FTBO(p) Erreur de position (réponse à un échelon) e(t) = Eo.u(t) Eo L( e(t) ) = p Eo lim ε (t) = lim p.. p 0 p + T(p) = lim Eo. p 0 2 m + c.p + c 2.p c m.p + p α d 2 n +.p + d 2.p d n.p α= 0 Eo lim ε (t) = + α> 0 lim ε (t) = 0 Performances des SLCI, Page 9/5

10 s(t) e(t) Classe > 0 Classe = 0 ε(t) = Eo + t Erreur de traînage (réponse à une rampe) e(t) = a.r(t) Eo p ( ) = 2 L e(t) a lim ε (t) = lim p.. p p T(p) a = lim. p 0 p + c.p + c.p c.p + p α + d.p + d.p d.p α= 0 lim ε (t) = α= a lim ε (t) = α= 2 lim ε (t) = 0 2 m 2 m 2 n 2 n α= α=2 ε(t)= a α=0 Performances des SLCI, page 0/5

11 Récapitulation Echelon Eo Rampe a.t Parabole b.t² Classe 0 Eo + Pas d intégration Classe 0 a intégration Classe b 2 intégration Erreur de position Erreur statique Erreur en vitesse (traînage) Erreur en accélaration 4. Rapidité Conclusion Pour diminuer l erreur en régime permanent, il faut augmenter la classe du système (nombre d intégrateurs purs dans la boucle) et/ou augmenter le gain. Attention : une augmentation du gain diminue la marge de stabilité. Un système a une rapidité satisfaisante s il se stabilise à son niveau constant en un temps jugé satisfaisant. Un système est d autant plus rapide que son temps de réponse est court. Performances des SLCI, Page /5

12 4.. Système du premier ordre Performances des SLCI 4... Influence d un retour unitaire E(p) + ε(p) A(p) S(p) - R(p) E(p) = A(p) = R(p) +τ p E(p) +τ p = = = + S(p) p τ + + +τ + p +τ p + τ Posons = et τ = + + tr 5% = 3τ τ tr5%(bo) = 3τ et tr5%(bf) = 3τ = 3 < 3τ + Conclusion : La fait d introduire un retour unitaire augmente la rapidité, mais l erreur statique augmente : Eo Eo ε s(bf) = >ε s(b0) = < Système du deuxième ordre H(p) = = ξ p + 2ξτ 0p+τ0p + p+ 2 o 0 o = pulsation nturelle τ 0 = constante de temps = o ξ = Coefficient d'amortissement Θ =.Tr = temps de réponse réduit (Tr = temps de réponse) r o Performances des SLCI, page 2/5

13 4.2.. Temps de réponse à 5% des systèmes du deuxième ordre Systèmes à pôles réels ξ= Tr 5τ <ξ,34 Tr 5ξτ, 34 <ξ 2 5ξτ Tr 6ξτ ξ> 2 Tr 6ξτ Systèmes à pôles complexes Le meilleur temps de réponse est obtenu pour ξ = 0,69 y(t) ζ = t Influence de ξ sur le temps de réponse réduit Θr Echelle log lgθr = lg 3 - lg ζ lgθr = lg 6 + lg ζ ,25 0,69 2 ζ Performances des SLCI, Page 3/5

14 5. Bande passante La plupart des systèmes physiques, s ils ne comportent pas d intégrateurs purs, se comportent dans Bode selon le diagramme de gain ci-dessous. Ce sont des filtres «passe-bas», en effet à partir d une certaine fréquence, le gain est atténué, pour devenir nul en db à partir de c. GdB 0dB c 20 Log 5.. Définition On peut définir une bande de fréquences pour lesquelles le signal n est atténué que d une certaine valeur. On distingue en automatisme pour les systèmes avec résonance deux bandes passantes : une bande passante à 3dB pour laquelle H(j ) 2 >. Pour = c, le signal 2 est atténué de 3 db une bande passante à 6dB pour laquelle H(j ) >. Pour = c, le signal est 2 atténué de 6 db GdB -3dB -6dB 0dB Bande passante à 3dB Bande passante à 6dB Performances des SLCI, page 4/5

15 Pour les systèmes sans résonance on définit une bande passante à 3dB GdB -3dB 0dB Bande passante à 3dB c 5.2. Exercice Déterminer la bande passante d un système dont la fonction de transfert est : H(p) = + p Performances des SLCI, Page 5/5

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