Programme Mathématiques 4e S. ROUSTIT CLG F.RABELAIS L HOPITAL (57490)

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1 Programme 2008 Mathématiques 4e S. ROUSTIT CLG F.RABELAIS L HOPITAL (57490)

2 4 E N1 NOMBRES RELATIFS - VOCABULAIRE 5 I QU EST CE QU UN NOMBRE RELATIF? 5 II PARENTHESES ET SYMBOLE «- E5 III OPPOSE D UN NOMBRE RELATIF 6 IV INVERSE D UN NOMBRE RELATIF 6 4 E N2 NOMBRES RELATIFS - OPERATIONS 7 I ADDITION (ET SOUSTRACTION) 7 A REGLES DE CALCUL 7 B PROPRIETES 7 II MULTIPLICATION 8 A PROPRIETES 8 B REGLE DE CALCUL 8 III DIVISION 9 A REGLE DE CALCUL 9 B PROPRIETES 9 4 E N3 ECRITURES FRACTIONNAIRES - ECRITURE 10 I ECRITURE FRACTIONNAIRE ET SIGNE «E10 II QUOTIENTS EGAUX OIMPLIFICATIONS 10 A REGLE FONDAMENTALE 10 B APPLICATIONS 10 III QUOTIENTS EGAUX ORODUITS EN CROIX 11 A REGLE 11 B APPLICATION 11 4 E N4 ECRITURES FRACTIONNAIRES - OPERATIONS 12 I ADDITION ET SOUSTRACTION 12 III MULTIPLICATION 13 IV DIVISION 14 4 E N5 PUISSANCES 15 I NOTATION DU TYPE A 10 n 15 A NOTATIONS DU TYPE A 10 n 15 B NOTATION SCIENTIFIQUE D UN NOMBRE DECIMAL 15 II PUISSANCES DE A DEFINITION 16 B OPERATIONS SUR LES PUISSANCES DE IV AUTRES PUISSANCES 17 A DEFINITIONS 17 B CALCULS AVEC DES PUISSANCES 18 4 E N6 RESOLUTION DE PROBLEMES EQUATIONS 19 I DIFFERENTES METHODES POUR RESOUDRE UN PROBLEME 19 II DEFINITIONS 20 III PROPRIETES 21 IV RESOUDRE UNE EQUATION A UNE INCONNUE 22 V METTRE UN PROBLEME EN EQUATION 23 4 E N7 ORDRE ET OPERATIONS 24 I COMPARAISON 24 A DEFINITIONS ET NOTATIONS 24 B COMPARAISON DES NOMBRES RELATIFS 25 II TRONCATURE, ARRONDI, ENCADREMENT 26 III SIGNE D UNE DIFFERENCE 27

3 IV INEGALITES ET OPERATIONS 27 A ADDITION (ET SOUSTRACTION) 27 B MULTIPLICATION (ET DIVISION) 27 4 E F1 CALCUL LITTERAL 29 I CALCULER LA VALEUR D UNE EXPRESSION LITTERALE 29 II FACTORISER UNE EXPRESSION LITTERALE 29 III REDUIRE UNE EXPRESSION LITTERALE 30 IV DEVELOPPER UNE EXPRESSION LITTERALE 30 A REGLE DE LA DISTRIBUTIVITE 30 B SUPPRESSION DES PARENTHESES DERRIERE UN SIGNE «+» OU «-» 30 C DOUBLE DISTRIBUTIVITE 31 4 E - F2 PROPORTIONNALITE - GENERALITES 32 I GRANDEURS PROPORTIONNELLES 32 A DEFINITIONS 32 B PROPRIETE DES PRODUITS EN CROIX 32 II COMPLETER UN TABLEAU DE PROPORTIONNALITE 34 III REPRESENTATIONS GRAPHIQUES 35 4 E F3 PROPORTIONNALITE - APPLICATIONS 36 I AGRANDISSEMENTS ET REDUCTIONS - UCHELLE 36 II POURCENTAGES 37 4 E F4 STATISTIQUES 38 I VOCABULAIRE 38 II REPRESENTATIONS GRAPHIQUES 39 A DIAGRAMME EN BATONS/EN TUYAUX D'ORGUE ET HISTOGRAMME 39 B DIAGRAMME EN BANDES/DIAGRAMME CIRCULAIRE 40 III MOYENNES 42 4 E - G1 THEOREME DE PYTHAGORE 43 I TRIANGLE RECTANGLE ET THEOREME DE PYTHAGORE 43 A VOCABULAIRE 43 B THEOREME DE PYTHAGORE 43 II COMMENT RECONNAITRE UN TRIANGLE RECTANGLE? 45 4 E G2 TRIANGLES ET PARALLELES 46 I DROITE DES MILIEUX 46 II MILIEU ET PARALLELE 47 4 E G3 COSINUS D UN ANGLE AIGU 50 I DEFINITIONS 50 A COTES D UN TRIANGLE RECTANGLE 50 B COSINUS 50 II APPLICATIONS 51 A CALCUL D ANGLES 51 B CALCUL DE LONGUEURS 52 4 E G4 TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE 53 I CERCLE CIRCONSCRIT A UN TRIANGLE RECTANGLE 53 A PROPRIETE 53 B CONSEQUENCES 53 II TRIANGLE INSCRIT DANS UN CERCLE 54 A PROPRIETE 54 B CONSEQUENCES 54

4 4 E G5 DISTANCE D UN POINT A UNE DROITE 55 I DEFINITION ET PROPRIETE 55 A DEFINITION 55 B PROPRIETE 55 II TANGENTE A UN CERCLE EN L UN DE SES POINTS 56 A DEFINITION 56 B PROPRIETE 56 III BISSECTRICES 57 4 E G6 PYRAMIDES ET CONES DE REVOLUTION 59 I PYRAMIDES 59 A GENERALITES ET DEFINITIONS 59 B CAS PARTICULIER : LES PYRAMIDES REGULIERES 60 II PATRONS DE PYRAMIDES 60 III CONE DE REVOLUTION 62 4 E GM1 VITESSE 63 I VITESSE MOYENNE 63 II CALCUL DE DISTANCES ET DE DUREES 64 A CALCUL D UNE DISTANCE 64 B CALCUL D UNE DUREE 64 III UNITES DE VITESSE 65 4 E GM2 AIRES ET VOLUMES 66 I AIRES 66 A AIRES USUELLES 66 B AIRES D UN SOLIDE 66 II VOLUMES 67 A PRISMES ET CYLINDRES 67 B PYRAMIDES ET CONES 67

5 4 e N1 NOMBRES RELATIFS - VOCABULAIRE I Qu est ce qu un nombre relatif? Un nombre relatif est un nombre composé : - d un signe : + ou ; - d une partie numérique : sa distance à zéro. La distance à zéro d un nombre relatif est le nombre relatif sans son signe. Exemple : ( 5) est un nombre négatif ; sa distance à zéro est 5 (+ 8,6) est un nombre positif ; sa distance à zéro est 8,6. L abscisse d un point est le nombre relatif qui permet de repérer ce point sur une droite graduée. La distance à zéro d un nombre relatif est la distance entre l origine de la droite graduée et le point qui a pour abscisse ce nombre II Parenthèses et symbole «-» Les ( ) sont obligatoires pour séparer un signe opératoire du signe d un nombre relatif. Exemple : On doit écrire 4 (- 5) et non 4-5 On peut écrire 4 - (+ 5) mais pas On utilise souvent l écriture simplifiée des nombres relatifs. Exemple : On écrit 89 à la place de (+ 89) et 2,8 3 à la place de (+ 2,8) (+ 3) ou de (+ 2,8) + ( 3) Le symbole «-» n est pas toujours le symbole de la soustraction. Il peut aussi être le signe d un nombre relatif négatif. Exemples : Dans l écriture (+ 3) (+8), le signe «-» symbolise la soustraction. Dans l écriture le signe «-» est le signe du nombre relatif (- 5). Dans l écriture 4 (- 8), le premier «-» symbolise la soustraction et le deuxième «-» est le signe du nombre relatif (- 8). Dans l écriture 4 8, le signe «-» peut symboliser : soit une soustraction : on enlève 8 à 4 ; soit le signe du nombre relatif (- 8) : on ajoute (- 8) à 4 ; mais il ne peut pas symboliser les deux en même temps.

6 III Opposé d un nombre relatif L écriture «a» désigne l opposé du nombre «a» (c est à dire le nombre qui a la même distance à zéro que «a», mais qui a le signe contraire de «a»). Remarque : - a n est pas toujours un nombre négatif. Exemples : L opposé de 5 est 5. Si a = 5, alors a = 5 L opposé de 2,3 est 2,3. Si a = 2,3, alors a = 2,3 IV Inverse d un nombre relatif Définition 1: L inverse d un nombre relatif «a» non nul est le nombre qui multiplié par «a» donne 1. C est le nombre «1 a». On note «a -1» l inverse de a. Remarque : Zéro n a pas d inverse car le produit de zéro par n importe quel nombre donne toujours zéro. Exemples : L inverse de 5 est 1. C est donc 0, L inverse de 100 est 100 ou L inverse de 3 est 1 3 car = 1. L inverse de 3 n a pas d écriture décimale. Propriété : Un nombre et son inverse ont le même signe. Exemple : L inverse de 2 est 1/2 ; l inverse de 2 est 1 2 ou 1 2. Remarque : Attention à ne pas confondre «inverse» et «opposé» Exemple : 2 a pour inverse 1 2 et pour opposé 2.

7 4 e N2 NOMBRES RELATIFS - OPERATIONS I Addition (et soustraction) A Règles de calcul Règle 1: Pour additionner deux nombres relatifs de MEME signe : 1) on garde le signe commun 2) on ajoute les «distances à zéro» Règle 2: Pour additionner deux nombres relatifs de signes DIFFERENTS : 1) on garde le signe du nombre dont la distance à zéro est la plus grande. 2) on soustrait les «distances à zéro» (la plus grande la plus petite) Exemples : (+7) + (+5) = (+12) ou = 12 (+7) + (-5) = (+2) ou 7 5 = 2 (-7) + (-5) = (-12) ou -7 5 = -12 (-7) + (+5) = (-2) ou = -2 B Propriétés Propriété 1 : La somme de deux nombres opposés est toujours égale à zéro. Pour tout nombre relatif a on peut écrire a + ( a) = 0 Preuve : L opposé de a est a. On sait aussi que a et a sont de signes contraires et ont la même distance à zéro. Pour calculer a + ( a), on applique la Règle 2. Lorsqu on soustrait les distances à zéro de a et a, on trouve zéro, d où le résultat. Propriété 2 : Soustraire un nombre c est ajouter son opposé. Pour tous nombres relatifs a et b on peut écrire a b = a + ( b) Exemples : (+7) - (+5) = (+7) + (-5) = (+2) (+7) - (-5) = (+7) + (+5) = (+12) (-7) - (-5) = (-7) + (+5) = (-2) (-7) - (+5) = (-7) + (-5) = (-12) (+5) - (+7) = (+5) + (-7) = (-2) Propriété 3: Une somme ne change pas si on change l ordre de ses termes. Pour tous nombres relatifs a et b on peut écrire a + b = b + a Exemple : A = 7 9,8 + 3,7 on additionne les nombres (+7), (-9,8) et (+3,7) A = 7 + 3,7 9,8 on change l ordre des termes : attentions au signe de chaque A = 10,7 9,8 nombre relatif A = 0,9 Propriété 4: La somme d un nombre et de 0 est égale à ce nombre. Pour tout nombre relatif a peut écrire a + 0 = 0 + a = a

8 II Multiplication A Propriétés Propriété 1 : Un produit ne change pas si on change l ordre de ses facteurs. Pour tous nombres relatifs a et b : a b = b a Propriété 3 : Le produit d un nombre par 0 est égal à zéro. Pour tout nombre relatif a, on peut écrire : a 0 = 0 a = 0 Propriété 3 : Le produit d un nombre par 1 est égal à ce nombre. Pour tout nombre relatif a, on peut écrire : a 1 = 1 a = a Propriété 4 : Le produit d un nombre par (- 1) est égal à l opposé de ce nombre. Pour tout nombre relatif a, on peut écrire : a (- 1) = (- 1) a = - a Propriété 5 : Le produit d un nombre PAIR de facteurs négatifs est positif. Le produit d un nombre IMPAIR de facteurs négatifs est négatif. Remarque : Pour connaître le signe d un produit, il suffit de connaître le nombre de facteurs négatifs. Exemples : -2 (-3) (-4) (-5) est positif car il y a 4 facteurs négatifs. -2 (-3) 4 (-5) est négatif car il y a 3 facteurs négatifs. Le produit de 2011 facteurs négatifs est négatif. Le produit de 2012 facteurs négatifs est positif. B Règle de calcul Règle : Pour multiplier deux nombres relatifs : 1) on met le signe «-» si les deux nombres sont de signes différents ou le signe «+» si les deux nombres sont de mêmes signes. 2) on multiplie les «distances à zéro» Exemples : (+3) (-5) = (-15) (-3) (+5) = (-15) (+3) (+5) = (+15) (-3) (-5) = (+15)

9 III Division Le quotient a b d un nombre a par un nombre b (b 0) est le nombre qui multiplié par b donne a. Pour tous nombres relatifs a et b tels que b 0 on peut écrire : a b b = a Exemples : (- 45) : 5 = - 9 car 5 (- 9) = - 45 (- 75) : (- 3) = 25 car (-3) 25 = - 75 (+ 8) : (- 0,5) = - 16 car (- 0,5) (- 16) = 8 A Règle de calcul Règle : Pour calculer le quotient de deux nombres relatifs : 1) on met le signe «-» si les deux nombres sont de signes différents ou le signe «+» si les deux nombres sont de mêmes signes. 2) on calcule le quotient de leurs «distances à zéro». Remarque : Certains quotients n ont pas d écriture décimale, mais on peut toujours trouver une valeur approchée décimale de ces quotients. Exemple : 0,66 est une valeur approchée de 2 3 et - 0,66 est une valeur approchée de 2 3. B Propriétés Propriété 1 : Diviser par un nombre revient à multiplier par l inverse de ce nombre. Pour tous nombres relatifs a et b (avec b 0) on peut écrire : a : b = a 1 b Preuve : On sait que a : b = a b et que a 1 b = a 1 b = a b. On peut donc conclure que a : b = a 1 b. Exemples : Diviser par 0,5 revient à multiplier par 2 (car 2 est l inverse de 0,5). Diviser par - 0,01 revient à multiplier par 100 (car 100 est l inverse de 0,01). Propriété 2 : Le quotient d un nombre par 1 est égal à ce nombre. Pour tout nombre relatif a, on peut écrire a = a 1.

10 4 e N3 ECRITURES FRACTIONNAIRES - ECRITURE I Ecriture fractionnaire et signe Le quotient (- 2) : 3 n a pas d écriture décimale. On peut l écrire sous forme fractionnaire 2 3 ou 2 3. De même, le quotient 2 : (-3) peut s écrire sous forme fractionnaire On peut ainsi constater que 2 3 = 2 3 = ou 2 3. Propriété : Pour tous nombres relatifs a et b tels que b 0, a b = a b = a b II Quotients égaux Simplifications A Règle fondamentale Propriété : Un quotient de deux nombres relatifs ne change pas lorsqu on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par le même nombre non nul. Pour tous nombres relatifs a, b et k avec b et k différents de zéro, on peut écrire a b = a k b k et a b = a : k b : k Exemples : 3 5 = = = 9 : 3 15: 3 = 3 5 = 3 5 B Applications 1. Simplifier une fraction Exemple : = ( 5) 5 ( 5) 8 = Changer le dénominateur d une fraction Exemple : Si on veut écrire avec le dénominateur 28, on fait : 7 = ( 3) = Transformer une écriture fractionnaire en fraction Exemple : 2,5 ( 2,5) 10 = =

11 III Quotients égaux Produits en croix A Règle Propriété : Soient a, b, c et d des nombres relatifs avec b et d différents de zéro. Dire que a b = c, c est dire que a d = b c. d Exemples : Les fractions et 221 sont-elles égales? = et 15 (- 221) = On constate que les produits en croix sont égaux donc = Les fractions et sont-elles égales? = et = On constate que les produits en croix sont différents donc B Application Exemple : Trouver le nombre n tel que = 21 n = 21 donc 56 n = soit 56 n = 315 n d où n = 315 : 21 = 5,625

12 4 e N4 ECRITURES FRACTIONNAIRES - OPERATIONS I Addition et soustraction Règle: Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire : 1) on réduit les fractions au même dénominateur 2) on ajoute (ou on soustrait) les numérateurs obtenus 3) on garde le dénominateur commun. Exemples : = = = = 1 12 (6 est à la fois dans la table de 2 et dans la table de 3) (On essaie de trouver le dénominateur commun le plus petit possible) = = = = 44 21

13 III Multiplication Règle : Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour tous nombres a, b, c et d avec b 0 et d 0, on peut écrire : a b c d = a c b d Propriété 1 : Pour tous nombres a, c et d avec d 0, on peut écrire : a c d = a c d Preuve : a c d = a 1 c d = a c 1 d = a c d Propriété 2 : Pour tous nombres a, b et c avec b 0 et d 0, on peut écrire : a b b d = a d Preuve : a b b d = a b b d = a b d b = a d Remarque 1 : Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on ne réduit pas au même dénominateur. Remarque 2 : Penser à simplifier au fur et à mesure Exemples : = = 10 7 /4 3 7 /4 = = = 1 3 Définition : Prendre une fraction a b d une quantité, c est multiplier cette quantité par a b. Exemples : «5 7 de 49» se traduit par «5 7 49» et = = = 35 1 = 35 «2 3 d un nombre est égal à 250» se traduit par «2 3 n = 250» où n est le nombre cherché. Pour calculer n, il faut donc effectuer la division 250 : 2 3.

14 IV Division Propriété : L inverse d une fraction a b c est la fraction b a (avec a 0 et b 0) Exemples : L inverse de 4 3 est 3 4 L inverse de 2 7 est 7 2 ou 7 2 ou 7 2 Règle : Diviser a b par c d, c est multiplier a b par d c avec b 0, c 0 et d 0. a b : c d = a b d c ou a b c d = a b d c Exemples : = = = = = = = = 5 1 = = = = = = = 3 35

15 4 e N5 Puissances I Notation du type a 10 n A Notations du type a 10 n Soit D un nombre décimal. D peut s écrire de plusieurs manières sous la forme a 10 n. Dans cette écriture a est un nombre décimal et n est un nombre entier relatif qui indique le rang du chiffre des unités de a dans D. Exemples : = (5 est le chiffre des milliers de ) -5, = (5 est le chiffre des centaines de 540) -53, = - 0,534 (3 est le chiffre des centièmes de 0,534) 0, = 456, (6 est le chiffre des cent millièmes de 0,004569) B Notation scientifique d un nombre décimal Définition : L écriture scientifique d un nombre décimal D est une écriture de la forme a 10 p dans laquelle : - a est un nombre décimal ayant un seul chiffre, autre que zéro, avant la virgule ; - p est un entier relatif qui permet de repérer le rang de ce chiffre dans l'écriture décimale de D Exemples : A = 36,5 = 3, (3 est le chiffre des dizaines) B = = - 6, (6 est le chiffre des milliers) C = 0,036 = 3, (3 est le chiffre des centièmes) D = 0, =1, (Le chiffre1 occupe le 12e rang après la virgule) E = = 2, (Le chiffre 2 occupe le 7 e rang avant l'unité) Attention! Certaines calculatrices affichent l'écriture scientifique des nombres décimaux en affichant uniquement les nombres a et p de l'écriture a 10 p L'écriture (ou la notation) scientifique d'un nombre décimal permet de donner un ordre de grandeur de ce nombre. Exemple : La France compte environ d'habitants et l écriture scientifique de est La population de la France se compte en dizaines de millions d'habitants ; 10 7 est l'ordre de grandeur de cette population. Remarque : Pour un nombre décimal donné, il existe plusieurs écritures du type a 10 n mais l'écriture scientifique d'un nombre décimal est unique!

16 II Puissances de 10 A Définition L écriture représente le nombre 14 millions qui s écrit ou Cela signifie que = On en déduit donc que 10 6 = De même, représente le nombre 152 centièmes qui s écrit 1,52 ou 152 0,01 On en déduit donc que = 152 0,01 et donc que 10-2 = 0,01 Propriété : Pour tout entier n positif on a : 10 n = 10 0 et 10 n = 0, n zéros n zéros Définition : Pour tout entier n tel que n 2, 10 n est le produit de n facteurs égaux à 10 ( 10 n = ) 10 1 = = 1 n facteurs Pour tout entier n 1, 10 n = 1 10 n Exemples : 10 2 = = 100 ; 10 3 = = = 10 = = 0,1 ; = 10 = = 0,0001 B Opérations sur les puissances de 10 1 Produit Propriété : Le produit de deux puissances de 10 est une puissance de 10 dont l'exposant est égal à la somme des exposants des facteurs. Pour tous nombres relatifs m et n, on a : 10 m 10 n = 10 m+n Exemple : = = = = = = Inverse Propriété : Pour tout nombre relatif n, 10 n est l'inverse de 10 n ou encore 10 n = 1 10 n Exemple : L'inverse de 10 4 est 10 4 L'inverse de 10 3 est 10 3

17 3 Quotient Propriété : Le quotient de deux puissances de 10 est une puissance de 10 dont l'exposant est égal à la différence entre l'exposant du numérateur et l'exposant du dénominateur. Pour tous nombres relatifs m et n, on a : 10m 10 n = 10m n Exemple : = = = = = = = = = = Puissance de puissance Propriété : Pour tous entiers m et n, on a ( 10 m ) n = 10 m n Preuve : On suppose m et n entiers positifs : ( 10 m ) n = 10 m 10 m = (10 10) (10 10 ) = 10 m n n facteurs m facteurs m facteurs m n facteurs10 (Si m ou n est négatif on admet le résultat en 4 e ) Exemple : ( 10 3 ) 2 = 10 3 ( 2) = 10 6 ( (10 3 ) 2 = 1 (10 3 ) 2 = 1 (10 3 ) (10 3 ) = = 106 ) IV Autres puissances A Définitions Définition 1 : Pour tout nombre relatif a non nul et pour tout entier n tel que n 2, on a : a n = a a ; a 1 = a a 0 = 1 n facteurs

18 Définition 2 : Pour tout nombre relatif a non nul et pour tout entier n positif, on a: a n = 1 a n Pour tout nombre n strictement positif, 0 n = 0. Remarques : se lit «a puissance n» ou «a exposant n» a 2 se lit «a puissance 2» ou «a exposant 2» ou «a au carré» a 3 se lit «a puissance 3» ou «a exposant 3» ou «a au cube» a n est l inverse de a n et en particulier a 1 = 1 a Exemples : 2 5 = = = = 1 8 = 0, = = 1 Attention aux signes «-»! : (-2) 4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = = = -16 B Calculs avec des puissances 1,2 2 1,2 3 = (1,2 1,2) (1,2 1,2 1,2) = 1, = = 3 2 a n a m = a n+m = = = = 2 4 ou = = = 2 4 a a m = an m 4 8 = = 4 13 n Propriété : Pour tous nombres décimaux a et b, on a ( ab) 2 = a 2 b 2 Preuve : ( ab) 2 = ab ab = a b a b = a a b b = a 2 b 2 Exemples : 0, = (0,25 4) 2 = 1 2 = 1 (2x) 2 = 2 2 x 2 = 4 x 2 = 4x 2

19 4 e N6 RESOLUTION DE PROBLEMES EQUATIONS I Différentes méthodes pour résoudre un problème Exemple : On veut partager une somme de 60 entre Arthur et Bertrand, sachant que Bertrand obtiendra 8 de plus qu Arthur. Méthode par essais successifs On essaie : - si on donne 20 a chacun des deux garçons et 8 de plus à Bertrand, on aura distribué 48, ce qui n est pas assez ; - si on donne 30 à chacun des deux garçons et 8 de plus à Bertrand, on aura distribué 68, ce qui est trop ; - si on donne 25 à chacun des deux garçons et 8 de plus à Bertrand, on aura distribué 58, ce qui n est pas assez ; - si on donne 26 à chacun des deux garçons et 8 de plus à Bertrand, on aura distribué 60, on peut donc conclure qu il faut donner 26 à Arthur et 34 à Bertrand. Remarque : On peut effectuer les essais sur un tableur : Méthode arithmétique Bertrand obtient 8 de plus qu Arthur : on donne déjà 8 à Bertrand et on partage équitablement les 60 8 = 52 qui restent. Arthur aura donc 52 : 2 = 26 et Bertrand aura = 34 A l aide d un schéma Sur le schéma, on voit que la part d Arthur est (60-8 ) : 2 = 26 et que celle de Bertrand est alors = 34. En résolvant une équation Si on appelle x la part reçue par Arthur, on peut écrire l égalité x + x + 8 = 60 ou 2x + 8 = 60. On peut alors écrire que 2x = 60 8 soit 2x = 52 puis que x = 52 : 2 soit x = 26. On en conclut qu Arthur obtient 26 et que Bertrand obtient 34, ce qui correspond bien à un total de 60.

20 II Définitions Vérifier une égalité, c est calculer SEPAREMENT chaque membre de cette égalité et comparer les résultats obtenus. Exemple 1 : Vérifier l égalité x 2 3x (x + 2x 2 ) = 3x 2 4x pour x = 0 puis pour x = 1. Pour x = 0 : x 2 3x (x + 2x 2 ) = ( ) = 0 3x 2 4x = = 0 L égalité x 2 3x (x + 2x 2 ) = 3x 2 4x est donc vraie pour x = 0. Pour x = 1 : x 2 3x (x + 2x 2 ) = ( ) = 1 3 (1 + 2) = = 5 3x 2 4x = = 3 4 = 1 L égalité x 2 3x (x + 2x 2 ) = 3x 2 4x est donc fausse pour x = 1. Exemple 2 : Vérifier l égalité x 2 3x (x + 2x 2 ) = -x 2 4x pour x = 0, pour x = 1 et pour x = -1. Pour x = 0 : x 2 3x (x + 2x 2 ) = 0 (cf exemple 1) -x 2 4x = = 0 L égalité x 2 3x (x + 2x 2 ) = -x 2 4x est donc vraie pour x = 0. Pour x = 1 : x 2 3x (x + 2x 2 ) = 5 (cf exemple 1) -x 2 4x = = -1 4 = 5 L égalité x 2 3x (x + 2x 2 ) = -x 2 4x est donc vraie pour x = 1. Pour x = -1 : x 2 3x (x + 2x 2 ) = (-1) 2 3 (-1) - (-1+ 2(-1) 2 ) = (-1 + 2) = = 3 -x 2 4x = - (-1) 2 4 (-1) = = 3 L égalité x 2 3x (x + 2x 2 ) = -x 2 4x est donc vraie pour x = -1. Remarques : Si on arrive à trouver une valeur de x pour laquelle l égalité est fausse, cela suffit à dire que l égalité n est pas toujours vraie. Par contre, si l égalité est vraie pour chaque valeur de x testée cela ne permet pas de dire que l égalité est toujours vraie.

21 Définitions : Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu généralement représenté par une lettre. Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs possibles de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie. Chacune de ces valeurs est appelée solution de l équation. Exemple : x + 5 = 14 2x est une équation d inconnue x. x + 5 est le premier membre de cette équation. 14 2x est le deuxième membre de cette équation. Si x = 2,9 : Premier membre : 2,9 + 5 = 7,9 Deuxième membre : ,9 = 14 5,8 = 8,2 L égalité n est pas vérifiée pour x = 2,9 donc 2,9 n est pas solution de l équation x + 5 = 14 2x Si x = 3 : Premier membre : = 8 Deuxième membre : = 14 6 = 8 L égalité est vérifiée pour x = 3 donc 3 est solution de l équation x + 5 = 14 2x III Propriétés Propriété 1 : On ne change pas une égalité si on ajoute (ou retranche) un même nombre à chacun de ses deux membres. Pour tous nombres a, b et c on peut écrire : a = b est la même égalité que a + c = b + c a = b est la même égalité que a c = b c Exemple : x = - 3 est la même égalité que x + 2 = ou encore x = -1 Propriété 2 : On ne change pas une égalité si on multiplie (ou divise) les deux membres de cette égalité par un même nombre non nul. Pour tous nombres a, b et c (c 0) on peut écrire : a = b est la même égalité que a c = b c a = b est la même égalité que a c = b c Exemple : 3x = 9 est la même égalité que 3x 3 = 9 3 ou encore x = 3

22 IV Résoudre une équation à une inconnue Pour résoudre une équation, on transforme l égalité de manière à isoler l inconnue. Méthode : (On suppose que l inconnue s appelle x) 1. Développer et réduire chaque membre. On obtient une égalité du type ax + b = cx + d. 2. On rassemble les termes en x dans le premier membre et les termes constants dans le deuxième membre. On obtient une égalité du type ax = b. 3. On divise les deux membres de l équation par a (appelé le coefficient de x). On trouve alors la valeur de l inconnue. 4. On vérifie que la valeur trouvée est bien solution de l équation. 5. On conclut. Exemple : On veut résoudre l équation 2(x + 1) + 5 = 3x 2 1. On développe et réduit : 2(x + 1) + 5 = 3x 2 2x = 3x 2 2x + 7 = 3x 2 2. On regroupe : 2x + 7 = 3x 2 2x 3x = 2 7 x = 9 3. On divise : x = 9 x 1 = 9 1 x = 9 4. On vérifie : Premier membre : 2 (9 + 1) + 5 = = = 25 Deuxième membre : = 27 2 = 25 Les deux membres sont bien égaux pour x = On conclut : La solution de l équation est 9.

23 V Mettre un problème en équation Méthode : 1) Choisir et nommer l'inconnue 2) Exprimer toutes les données de l'énoncer en fonction de l'inconnue choisie 3) Ecrire l'équation obtenue et la résoudre 4) Vérifier la cohérence du résultat trouvé 5) Conclure avec les mots de l'énoncé Exemple 1 : On dispose de 88 jetons de trois couleurs différentes : jaune, rouge et bleu. Il y a 12 jetons jaunes de plus que de jetons bleus et trois fois plus de jetons rouges que de jetons jaunes. Combien y a-t-il de jetons bleus? 1) Soit x le nombre de jetons bleus. x doit être un nombre entier positif. 2) Il y a 12 jetons jaunes de plus que de jetons bleus, il y en a donc x + 12 Il y a trois fois plus de jetons rouges que de jetons jaunes, il y a donc 3 (x + 12) ou 3x + 36 jetons rouges. 3) Il y a 88 jetons au total. On obtient donc l équation x + x x + 36 = 88. 5x + 48 = 88 ; 5x = ; 5x = 40 ; 5x 5 = 40 5 ; x = 8 4) 8 est un entier positif. S il y a 8 jetons bleus, il y a = 20 jetons jaunes et 3 20 = 60 jetons rouges = 88. La réponse trouvée est donc cohérente. 5) On peut conclure qu il y a 8 jetons bleus (20 jetons jaunes et 60 jetons rouges) Exemple 2 : Au début de sa séance, un professeur d EPS partage une classe de 24 élèves en deux groupes : le groupe A et le groupe B. Après 15 minutes, il demande à quatre élèves du groupe B de passer dans le groupe A. Il y a alors trois fois plus d élèves dans le groupe A que dans le groupe B. Combien y avait-il d élèves dans chaque groupe au début de la séance. 1) Soit x le nombre d élèves dans le groupe A au début de la séance. x doit être un nombre entier positif 2) Il y a 24 élèves, donc au début de la séance il y a 24 x élèves dans le groupe B Après 15 minutes, il y a x + 4 élèves dans le groupe A et 24 x 4 = 20 x élèves dans le groupe B. 3) Après 15 minutes, il y a trois fois plus d élèves dans le groupe A que dans le groupe B. On obtient donc l équation x + 4 = 3 (20 x). x + 4 = 60 3x ; x x = 60 3x 4 3x ; 4x = 64 ; 4x 4 = 56 4 ; x = 14 4) 14 est un entier positif. Si, au début de la séance, il y a 14 élèves dans le groupe A, il y en a 10 dans le groupe B. Après 15 minutes, il y a alors 18 élèves dans le groupe A et 6 dans le groupe B. 18 est bien le triple de 6. La réponse trouvée est donc cohérente. 5) On peut conclure qu il y avait 14 élèves dans le groupe A au début de la séance.

24 4 e N7 ORDRE ET OPERATIONS I Comparaison A Définitions et notations Comparer deux nombres, c est dire lequel de ces deux nombres est le plus grand, le plus petit ou s ils sont égaux. a < b se lit «a est strictement inférieur à b» a > b se lit «a est strictement supérieur à b» Ce sont des inégalités au sens strict. a b se lit «a est inférieur ou égal à b» et signifie a < b ou a = b ; a b se lit «a est supérieur ou égal à b» et signifie a > b ou a = b. Ce sont des inégalités au sens large. Exemples : Les valeurs entières de x pour lesquelles x < 2 sont 0 et 1. Les entiers relatifs a qui vérifient 3 a < 2 sont 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 et 1. Les nombres y qui vérifient y > 3 sont tous les nombres qui sont supérieurs à 3, 3 exclu. Cas particuliers : x < 0 se lit aussi «x est strictement négatif» x > 0 se lit aussi «x est strictement positif» x 0 se lit aussi «x est négatif ou nul» x 0 se lit aussi «x est positif ou nul» Définition : Une inégalité compare deux nombres à l aide d un des symboles <, >, ou. Exemples : 0,5 < 1 et x 1 3 sont des inégalités. 2-2 n est pas une inégalité. Cela signifie que la proposition «2 = - 2» est fausse.

25 B Comparaison des nombres relatifs 1. Ecriture décimale Règle 1 : Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif. Exemple : 53,6 < 0,2 Règle 2 : Deux nombres négatifs sont rangés dans le sens contraire de leurs opposés. Exemple : 2,35 > 2,349 et 2,35 < 2, Ecriture fractionnaire Règle : Pour comparer deux nombres en écriture fractionnaire : - Soit on transforme les écritures de manière à obtenir le même dénominateur positif puis on compare les numérateurs - Soit on utilise la calculatrice pour comparer des valeurs approchées des deux nombres. Exemple 1 : Comparer 3 7 et = 9 21 et 2 3 = Comme 9 < 14, on a donc 9 21 < On en conclut que : 3 7 < 2 3. Exemple 2 : Comparer 9 23 et ,39. et ,38 Comme 0,39 > 0,38, on en conclut que 9 23 > 5 13.

26 II Troncature, arrondi, encadrement Définition : Encadrer un nombre, c est trouver une valeur inférieure et une valeur supérieure à ce nombre. Lorsqu on cherche la troncature ou l arrondi d un nombre, on commence par trouver un encadrement de ce nombre à la précision demandée : A l unité : on cherche deux nombres entiers consécutifs. Au dixième : on cherche deux nombres n ayant qu un seul chiffre après la virgule et dont la différence est 0,1. Au centième : on cherche deux nombres n ayant que deux chiffres après la virgule et dont la différence est 0,01. A la dizaine : on cherche deux dizaines consécutives A la centaine : on cherche deux centaines consécutives Une fois l encadrement trouvé, on peut déterminer la troncature et l arrondi : Le nombre inférieur est la troncature. Le nombre le plus proche (entre le nombre inférieur et le nombre supérieur) est l arrondi. Par convention, si les deux nombres formant l encadrement sont à égale distance du nombre dont on cherche l arrondi, on décide de prendre le nombre supérieur. Exemple : On considère le nombre 596,3475 Un encadrement de ce nombre à la dizaine est 590 < 596,3475 < 600 La troncature à la dizaine est 590, l arrondi à la dizaine est 600. Un encadrement de ce même nombre au dixième est 596,3 < 596,3475 < 596,4 La troncature au dixième est 596,3, l arrondi au dixième est 596,3. Un encadrement au millième du même nombre est 596,347 < 596,3475 < 596,348 La troncature au millième est 596,347, l arrondi au millième est 596,348. Remarques : Pour trouver la troncature d un nombre, il suffit de le «couper» juste après le chiffre demandé (unité, dixième, centième, ) et de conserver la partie de gauche. Exemple : La troncature au dixième de 5,639 est 5,6 Pour trouver l arrondi d un nombre (à l unité, au dixième, au centième ), il suffit de regarder «le chiffre qui suit» : - s il s agit de 0 ; 1 ; 2 ; 3 ou 4 on arrondit «en dessous» - s il s agit de 5 ; 6 ; 7 ; 8 ou 9 on arrondit «au dessus» Exemples : L arrondi au dixième de 5,69 est 5,7 L arrondi au centième de 3,873 est 3,87

27 III Signe d une différence Propriété : Soient a et b deux nombres relatifs. Dire que a < b, c est dire que a b < 0 ou dire que a b est négatif (strictement) Dire que a > b, c est dire que a b > 0 ou dire que a b est positif (strictement) Remarque : Cette propriété reste vraie avec les inégalités au sens large. Exemples : Dire que 3 < 5 c est dire que 3 5 < 0 ou que - 2 > 0 Dire que - 2 > - 6 c est dire que - 2 (- 6) > 0 ou que 4 >0 Dire que x 2 > 0, c est dire que x > 2 Dire que 8 a 0, c est dire que 8 a IV Inégalités et opérations A Addition (et soustraction) Propriété 1 : a, b et c désignent trois nombres relatifs Les nombres a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b. Si a < b, alors : a + c < b + c. «Soustraire un nombre, c est ajouter son opposé» On peut donc aussi écrire la propriété suivante : Propriété 2 : a, b et c désignent trois nombres relatifs Les nombres a c et b c sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b. Si a < b, alors : a c < b c. Exemples : 56 > 42 et 16 > 2 (On a soustrait 40 aux deux membres de l'inégalité) Si y 13-2 alors y ou encore y 11 B Multiplication (et division) Propriété 1 : Soient a, b et c trois nombres relatifs. Si c > 0, alors a c et b c sont rangés dans le même ordre que a et b. Si a < b et si c > 0 alors a c < b c ; Si c < 0, alors a c et b c sont rangés dans l ordre contraire de a et b. Si a < b et si c < 0 alors a c > b c. «Diviser par un nombre, c est multiplier par son inverse» Comme un nombre et son inverse ont le même signe, on peut aussi écrire la propriété suivante : Propriété 2 : a, b et c désignent trois nombres relatifs Si c > 0, alors a : c et b : c sont rangés dans le même ordre que a et b. Si a < b et si c > 0 alors a : c < b : c ; Si c < 0, alors a : c et b : c sont rangés dans l ordre contraire de a et b. Si a < b et si c < 0 alors a : c > b : c.

28 Remarque : Pour transformer une inégalité, on peut ajouter ou soustraire ce que l'on veut mais on ne peut multiplier ou diviser que par un nombre non nul dont on connaît le signe. Exemples : 2,5 12,5 et On a multiplié les deux membres par 4 qui est positif, l ordre est conservé. -2,5 > - 12,5 mais 10 < 50 On a multiplié les deux membres de l'inégalité par 4 qui est négatif, l ordre est inversé. Si 5x - 10, alors 5x : 5-10 : 5 ou encore x - 2 On a divisé les deux membres de l'inégalité par 5 qui est positif, l ordre est conservé. Si m 3 < 2, alors m (-3) > 2 (-3) ou encore m > On a multiplié les deux membres de l'inégalité par (- 3) qui est négatif, l ordre est inversé. Remarque : Les opposés de deux nombres relatifs sont rangés dans l ordre contraire de ces nombres : «Si a et b sont deux nombres relatifs tels que a < b alors - a > - b.»

29 4 e F1 CALCUL LITTERAL I Calculer la valeur d une expression littérale Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont désignés par des lettres. Pour calculer une expression littérale, il faut remplacer chaque lettre de cette expression par une valeur numérique. Rappel : Le signe n est pas toujours écrit devant une lettre ou une parenthèse. Exemple : A = x 2 3x + 1 et B = 4(3x + 3) sont des expressions littérales. Calculer A pour x = - 4 et B pour x = - 5 signifie qu il faut remplacer x par (- 4) dans l expression A et qu il faut remplacer x par (- 5) dans l expression B. Pour x = - 4, A = (- 4) 2 3 (- 4) + 1 A = A = 29 Pour x = - 5, B = 4 (3 (- 5) + 3) B = 4 ( ) B = 4 (- 12) B = - 48 Remarque : Il faut penser à réécrire le symbole lorsqu on remplace les lettres par des valeurs numériques. II Factoriser une expression littérale Une somme algébrique est une expression dans laquelle ne figure pas de parenthèses. Factoriser une expression littérale, c est transformer une somme algébrique en un PRODUIT de facteurs. Factoriser une expression n est pas toujours possible, mais si chaque terme de la somme algébrique comporte un facteur commun, cela est possible Propriété : Pour tous nombres relatifs k, a et b on peut écrire : k a + k b = k (a + b) Remarques : On écrit aussi ka + kb = k(a + b) On dit que «k» est un facteur commun à «ka» et à «kb» Exemples : - 2y 14 = - 2 y + (- 2) 7 = (- 2) (y + 7) = - 2(y + 7) 3x 3y = 3 x + 3 (- y) = 3 (x + (-y)) = 3(x y) -2a 5a = a (- 2 5) = a (- 7) = -7a

30 III Réduire une expression littérale Réduire une expression littérale, c est l écrire avec le moins de termes possibles. Pour cela, «on regroupe par familles» Remarque : On ne réduit pas un produit. Exemples : 3x + 4x = 7x (3 + 4 = 7) 4x 2 7x 2 + x 2 = - 2x 2 ( = - 2) x + 3x + y + x 2 3y + 5-2x = - x 2 + 4x 2y + 14 a + 3ab 5ba 2a + b 2 = b 2 a 2ab (car ba = ab) IV Développer une expression littérale Développer une expression, c est la transformer en somme algébrique (c est l écrire "sans parenthèses" en ayant effectué toutes les multiplications possibles ) A Règle de la distributivité Propriété : Pour tous nombres relatifs a, b et k, on peut écrire : k (a + b) = k a + k b Remarques : On écrit aussi k(a + b) = ka + kb On a aussi (a + b) k = k a + k b ou (a + b) k = ka + kb On dit que l on distribue «k» à «a» et à «b» Exemples : - 3(x + 7) = - 3 x + (- 3) 7 = - 3x 21 (7 + y) (- 4) = (- 4) 7 + (- 4) y = y (3x 7) 5 = 5 3x + 5 (- 7) = 15x x(- 2x 8) = 4x (-2x) + 4x (- 8) = - 8x 2 32x B Suppression des parenthèses derrière un signe «+» ou «-» Propriété 1 ; Ajouter une somme algébrique revient à ajouter chacun de ses termes. Propriété 2 ; Soustraire une somme algébrique revient à soustraire chacun de ses termes ce qui revient aussi à ajouter l opposé de chacun de ses termes. Remarques : Quand des parenthèses (non suivies de ou ) sont précédées du signe «+», on peut les supprimer en conservant les signes intérieurs aux parenthèses. Avoir un «+» devant une parenthèse, c est comme multiplier cette parenthèse par 1 Quand des parenthèses (non suivies de ou ) sont précédées du signe «-», on peut les supprimer en changeant les signes intérieurs aux parenthèses. Avoir un «-» devant une parenthèse, c est comme multiplier cette parenthèse par -1

31 Exemples : a + (- b + c d) = a b + c d a + (b + c d) = a + b + c d a (- b + c d) = a + b c + d a (b + c d) = a b c + d - (x 5) = x + 5 3x + (5 + x) = 3x x 3 (5 x) = x C Double distributivité Propriété : Pour tous nombres relatifs a, b, c et d on peut écrire : (a + b)(c + d) = a c + a d + b c + b d Exemples : A = (3x 5)(-2x + 4) A = 3x (-2x) + 3x 4 + (-5) (- 2x) + (-5) 4 A = - 6x x + 10x 20 A = - 6x x 20 B = (7 + y)(2y 8) B = 7 2y + 7 (-8) + y 2y + y (- 8) B = 14y y 2 8y B = 2y 2 + 6y 56

32 4 e - F2 PROPORTIONNALITE - GENERALITES I Grandeurs proportionnelles A Définitions On dit que deux grandeurs «X» et «Y» sont proportionnelles si la grandeur Y s obtient en multipliant la grandeur X toujours par un même nombre «a» appelé coefficient de proportionnalité. Un tableau est un tableau de proportionnalité si tous les quotients des nombres de la deuxième ligne par les nombres de la première ligne qui leur correspondent sont égaux. Le quotient commun est le coefficient de proportionnalité. Remarque : Pour savoir si deux grandeurs sont proportionnelles, il faut chercher s il existe un coefficient de proportionnalité. Exemple : On remplit un réservoir à l aide d un tuyau d arrosage. On mesure le volume d eau contenu dans le réservoir en fonction de la durée de remplissage. Les deux grandeurs sont le «volume d eau» et la «durée de remplissage». On obtient le tableau suivant : Durée de remplissage (en min) 3, Volume d eau (en L) On calcule les quotients : 20 3,5 = ,5 2 = 40 7 ; = = 40 7 ; = = 40 7 On constate que tous les quotients sont égaux à Le volume d eau est donc proportionnel à la durée de remplissage. Le coefficient de proportionnalité est Remarques : - La durée de remplissage est aussi proportionnelle au volume d eau. - Le coefficient de proportionnalité est alors B Propriété des produits en croix Propriété : Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. a b Dire que c d est un tableau de proportionnalité, c est dire que c b = a d

33 Preuve : a b «Dire que est un tableau de proportionnalité, c est dire que c a = d c d b» (par définition). Or : «Dire que c a = d b, c est dire que c b = a d» (Propriété des fractions égales) a b Donc : «Dire que est un tableau de proportionnalité, c est dire que c b = a d.» c d Pour savoir si un tableau est un tableau de proportionnalité, on peut calculer les produits en croix et les comparer : - soit ils sont égaux : il y a proportionnalité ; - soit ils sont différents : il n y a pas proportionnalité. Exemple 1 : 1,77 2,4 est-il un tableau de proportionnalité? 4,2775 5,8 1,77 5,8 =10,266 et 4,2775 2,4 = 10,266. Les produits en croix sont égaux, c est donc un tableau de proportionnalité. 3,6 7,3 Exemple 2 : 5 10 est-il un tableau de proportionnalité? 3,6 10 = 36 et 5 7,3 = 36,5. Les produits en croix sont différents, ce n est donc pas un tableau de proportionnalité. Remarque : Quand le tableau comporte plusieurs colonnes, il faut vérifier que tous les produits en croix sont égaux pour conclure que c est un tableau de proportionnalité. Exemple 1 : est-il un tableau de proportionnalité? 2 4 1,5 3 1 ère et 2 e colonne : 6 4 = 24 et 12 2 =24 donc les produits en croix sont égaux 3 e et 4 e colonne : 8 3 = 24 et 16 1,5 = 24 donc les produits en croix sont égaux mais pour la 2 e et le 3 e colonne : 12 1,5 = 18 et 4 8 = 32, les produits en croix sont différents. Le tableau n est donc pas un tableau de proportionnalité ,5 15 Exemple 2 : est-il un tableau de proportionnalité? 2 4 1,5 5 1 ère et 2 e colonne : 6 4 = 24 et 12 2 =24 donc les produits en croix sont égaux. 2 e et le 3 e colonne : 12 1,5 = 18 et 4 4,5 = 18 donc les produits en croix sont égaux. 3 e et 4 e colonne : 4,5 5 = 22,5 et 15 1,5 = 22,5 donc les produits en croix sont égaux Le tableau n est donc pas un tableau de proportionnalité.

34 II Compléter un tableau de proportionnalité Pour compléter un tableau de proportionnalité, il faut connaître (au moins) deux valeurs non nulles qui se correspondent. Méthode 1 : Utiliser le coefficient de proportionnalité Exemple : x Coefficient de proportionnalité : 12 : 4 = 3 x = 7 3 = 21 Méthode 2 : Utiliser les propriétés de la proportionnalité Exemple : ,6 x 45 est le triple de 15 x est donc le triple de 84,6 : x = 3 84,6 = 253,8 Méthode 3 : Utiliser la «règle de trois» (appelé aussi le «retour à l unité») Exemple : x 4 correspond à 10 donc 1 correspond à 10 : 4 = 2,5 x = 7 2,5 = 17,5 Méthode 4 : Utiliser les «produits en croix» Exemple : x x 5 = 7 4 x = 7 4 = 5,6 5

35 III Représentations graphiques Propriété 1 : Une situation de proportionnalité se traduit graphiquement par des points alignés sur une droite qui passe par l origine du repère. Propriété 2 : Une droite passant par l origine du repère traduit une situation de proportionnalité. Remarque : Deux conditions doivent être remplies pour qu un graphique traduise une situation de proportionnalité : le graphique doit être une droite ; cette droite doit passer par l origine du repère. Exemples : Situation de proportionnalité Situations de non proportionnalité

36 4 e F3 PROPORTIONNALITE - APPLICATIONS I Agrandissements et réductions - Echelle Définition : La réduction (ou l agrandissement) d un objet est un objet plus petit (ou plus grand) que l objet de départ mais qui a la même forme que l objet de départ. Propriété 1 : Les longueurs de la réduction (ou de l agrandissement) sont proportionnelles aux longueurs de l objet de départ. Propriété 2 : Les angles de la réduction (ou de l agrandissement) sont égaux aux angles de l objet de départ. Exemples : Lorsque deux triangles sont en «situation de Thalès» le petit triangle est une réduction du grand triangle. On peut aussi dire que le grand triangle est un agrandissement du petit triangle. Remarques : Lorsqu on effectue un agrandissement, on multiplie les longueurs par un nombre strictement supérieur à 1. Lorsqu on effectue une réduction on multiplie les longueurs par un nombre compris entre 0 et 1. On appelle échelle le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des dimensions de l'objet aux dimensions de la reproduction, exprimées dans la même unité. Echelle = dimension sur la reproduction dimension correspondante de l'objet réel Même Exemple 1 : Sur une photographie, 1 cm représente 0,2 mm. Il s agit d un agrandissement. Comme 1 cm = 10 mm, l échelle de la photographie sera : 10 0,2 = 50 ou Exemple 2 : Sur une carte, 25 km sont représentés par 1,6 cm. Il s agit d une réduction. Comme 25 km = m = cm, l échelle de cette carte sera : 1 L échelle sera donc 0, ou (On peut utiliser la touche 1/x ou l écriture fractionnaire de la calculatrice) 1,

37 II Pourcentages Exemple 1 : Une classe comporte 20 filles et 10 garçons, soit 30 élèves. Lors d un contrôle, 65% des filles et 50% des garçons ont obtenu la moyenne. Quel est le pourcentage d élèves ayant eu la moyenne à ce contrôle? Pour calculer ce pourcentage, il faut d abord connaître le nombre d élèves qui ont obtenu la moyenne. Filles : = 13 Garçons : = 5 Total : = 18 18/30 des élèves ont obtenu la moyenne soit x/100. On a donc : = x On effectue un produit en croix : x = = Conclusion : 60% des élèves de la classe ont obtenu la moyenne à ce contrôle. Exemple 2 : Un article coûte 175, son prix augmente de 3%. Quel est son nouveau prix? Un article qui coûtait 100 coûte maintenant 103. On a donc le tableau de proportionnalité : Ancien prix Nouveau prix 103 x On effectue un «produit en croix» : x = = 180, Conclusion : Le prix de l article après augmentation est 180,25. Exemple 3 : Un article coûte 42,50 après une diminution de 15%. Quel était son ancien prix? Un article qui coûtait 100 coûte maintenant 85. On a donc le tableau de proportionnalité : 42,5 100 On effectue un «produit en croix» : x = = Conclusion : Le prix de l article avant diminution était 50. Ancien prix 100 x Nouveau prix 85 42,50 Exemple 4 : Un article coûtait 750, il coûte maintenant 810. Quel est le pourcentage d augmentation? On a le tableau de proportionnalité : Ancien prix Nouveau prix x On effectue un «produit en croix» : x = = Un article qui coûtait 100 coûte maintenant 108 Conclusion : L augmentation a été de 8%.

38 4 e F4 STATISTIQUES I Vocabulaire Lorsqu'on mène une enquête, on s'intéresse à une population d'individus. («Qui» interroge-ton?) On étudie une propriété commune de cette population : cette propriété commune s'appelle un caractère («A quoi» s intéresse t-on?) Les réponses recueillies s appellent les données. (Il y a autant de données que d individus dans la population) Un caractère peut prendre plusieurs valeurs (Quelles sont les «différentes réponses»?) Un caractère peut être quantitatif (il peut être mesuré) ou qualitatif. Exemple : On a interrogé les élèves d une classe de quatrième sur leur taille et leur sport favori. La population est «des élèves de 4 e» Deux caractères sont étudiés : «la taille» et «le sport favori» Le caractère «taille» est un caractère quantitatif : ses valeurs sont des nombres Le caractère «sport favori» est un caractère qualitatif : ses valeurs ne sont pas des nombres. L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît. L'effectif total est le nombre d'individus de la population étudiée. Remarque : L'effectif total est aussi la somme des effectifs de chaque valeur. La fréquence d une valeur est le quotient de l effectif de cette valeur par l effectif total fréquence d une valeur = effectif de la valeur effectif total Remarques : Une fréquence peut s'exprimer par un nombre décimal, un quotient (une proportion) ou un pourcentage. Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1 (0% et 100%) La fréquence est proportionnelle à l'effectif. Lorsque les données numériques sont nombreuses, on les regroupe en classes pour faciliter leur interprétation. Exemple : Voici les âges des judokas sélectionnés pour un tournoi : Dans cette liste d'âge, il y a 32 nombres. L'effectif total est 32. Il y a 13 valeurs différentes :

39 On retrouve 1 fois la valeur 17 ; 4 fois la valeur 18 ; On peut dresser le tableau des effectifs suivant : Age Total Effectif La fréquence des judokas ayant 20 ans est = 0,09375 = 9, 375 % 32 On peut regrouper les valeurs de cette série en cinq classes d égale amplitude : les ans ; les ans ; les ans ; les ans et les ans. II Représentations graphiques A Diagramme en bâtons/en tuyaux d'orgue et Histogramme Pour représenter un caractère quantitatif, on utilise un diagramme en bâtons. Les valeurs sont représentées par des bâtons. Pour représenter un caractère qualitatif, on utilise un diagramme en tuyaux d orgue. Les valeurs sont représentées par des rectangles de même largeur (qui ne se touchent pas). Pour représenter un ensemble de données regroupées en classes, on utilise un histogramme. Les valeurs sont représentées par des rectangles accolés. Dans ces différentes représentations, la hauteur de chaque barre est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence) qu'elle représente. Exemples : Diagramme en bâtons Histogramme

40 Diagramme en tuyaux d orgue : B Diagramme en bandes/diagramme circulaire Un diagramme en bande ou un diagramme circulaire permet de représenter la répartition des valeurs d un caractère qualitatif ou d un regroupement en classes. Dans un diagramme en bandes de largeur fixée, la longueur de chaque rectangle est proportionnelle à l effectif (ou à la fréquences) qu il représente. Dans un diagramme circulaire (ou semi-circulaire), chaque secteur angulaire est proportionnel à l'effectif (ou à la fréquence) qu'il représente. Pour construire un diagramme en bandes ou un diagramme circulaire (ou semi-circulaire), on fait d abord un tableau de proportionnalité. Exemple 1 : diagramme en bande Carburant utilisé Gazole Sans plomb Gaz naturel Total Fréquence Longueur 7,2 cm 7,5 cm 0,3 cm 15 cm = 0,06 (coefficient de proportionnalité) 120 0,06 = 7,2

41 Exemple 2 : diagramme circulaire Age (a) en années 17 a <19 19 a <22 22 a < a < a < 31 Total Effectif Angle = 11,25 (coefficient de proportionnalité) 5 11,25 = 56,25

42 III Moyennes Définition 1 : La moyenne d une série de données est égale à la somme de ces données divisée par l effectif total. Définition 2 : La moyenne pondérée d une série de valeurs est égale à la somme des produits de chaque valeur par son effectif divisée par l effectif total. Exemple 1 : Exemple 2 : Mélissa a obtenu les résultats suivants en Mathématiques : 14,5 ; 10 ; 19 ; 19,5 et 14,5. Elle calcule sa moyenne : (14, ,5 + 14,5) : 5 = 77,5 : 5 =15,5. Mais lorsque le prof lui donne sa moyenne, cela ne correspond pas à son calcul car elle a oublié les coefficients donnés à chaque devoir : coefficient 1 pour les devoirs 1, 3 et 4 et coefficient 3 pour les devoirs 2 et 5. Cela signifie que les devoirs 2 et 5 comptent triple. Le calcul de sa moyenne est donc ((L effectif total est 9 car = 9) : (14, ,5 + 14,5 3) : 9 = 126,5 : 9 14 Lors d un contrôle de Mathématiques les résultats se répartissent de la manière suivante : Note sur ,5 11, ,5 18,5 20 Effectif L effectif total est : = 26 La moyenne de la classe sur ce contrôle se calcule ainsi : ( , , , , ) : 26 = ( , ) : 26 = 363,5 : 26 14

43 4 e - G1 THEOREME DE PYTHAGORE I Triangle rectangle et théorème de Pythagore A Vocabulaire Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Le côté opposé à l angle droit s appelle l hypoténuse du triangle rectangle. L hypoténuse est aussi le côté le plus long d un triangle rectangle. Côtés de l angle droit Hypoténuse B Théorème de Pythagore Théorème: Dans un triangle rectangle, le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Autrement dit : Si on sait que ABC est un triangle rectangle en A (et donc que l hypoténuse est BC) Alors le théorème de Pythagore permet d écrire : BC 2 = AB 2 + AC 2. Hypoténuse Côtés de l angle droit L égalité BC 2 = AB 2 + AC 2 est appelée Egalité de Pythagore Le théorème de Pythagore ne s utilise que dans un triangle rectangle. Il permet alors de calculer la longueur d un côté lorsqu on connaît la longueur des deux autres côtés de ce triangle.

44 Exemple 1 : Calcul de l hypoténuse (on connaît les deux côtés de l angle droit) Soit ABC un triangle rectangle en B tel que : AB = 3 cm et BC = 4 cm. Calculer AC. On sait que : ABC est rectangle en B (l hypoténuse est donc AC) AB = 3 cm et BC = 4 cm On peut appliquer le théorème de Pythagore : AC 2 = AB 2 + BC 2 On a donc : AC 2 = AC 2 = AC 2 = 25 D où AC = 25 = 5 Conclusion : AC = 5 cm. A 3 B 4? C Exemple 2 : Calcul d un côté de l angle droit (on connaît l hypoténuse et l autre côté) Soit EFG un triangle rectangle en F tel que : EG = 10 cm et EF = 6 cm. Calculer FG. On sait que : EFG est rectangle en F (l hypoténuse est donc EG) EG = 10 cm et EF = 6 cm On peut appliquer le théorème de Pythagore : EG 2 = EF 2 + FG 2 On a donc : 10 2 = FG = 36 + FG 2 FG 2 = FG 2 = 64 D où FG = 64 = 8 Conclusion : FG = 8 cm. E 6 F? 10 G

45 II Comment reconnaître un triangle rectangle? Pour utiliser cette méthode, il faut avoir un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés. Pour savoir si un triangle est ou n est pas rectangle, on compare le carré du côté le plus long avec la somme des carrés des deux autres côtés. Soit les nombres trouvés sont égaux, l égalité de Pythagore est vérifiée : le triangle est rectangle ; Soit les nombres trouvés sont différents, l égalité de Pythagore n est pas vérifiée : le triangle ne peut pas être rectangle. Exemple 1 : Soit EFG un triangle rectangle en F tel que EF = 10 cm, FG = 5 cm et EG = 8,5 cm. Ce triangle est-il rectangle? Le côté le plus long est EF. EF 2 = 10 2 =100 FG 2 + EG 2 = ,5 2 = ,25 = 97,25 On constate que EF 2 FG 2 + EG 2. L égalité de Pythagore n étant pas vérifiée, on conclut que le triangle EFG ne peut pas être rectangle. Exemple 2 : Soit ABC un triangle rectangle en B tel que AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm. Ce triangle est-il rectangle? Le côté le plus long est BC. BC 2 = 5 2 = 25 AB 2 + AC 2 = = = 25 On constate que BC 2 = AB 2 + AC 2. L égalité de Pythagore étant vérifiée, on peut conclure que ABC est rectangle en A.

46 4 e G2 TRIANGLES ET PARALLELES I Droite des milieux Propriété des milieux 1: Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. Autrement dit : Soit un triangle ABC. Si : I est le milieu de [AB] J est le milieu de [AC], Alors : (IJ) // (BC) Cette propriété des milieux permet de prouver que deux droites sont parallèles. Propriété des milieux 2 : Dans un triangle, la longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. Autrement dit : Soit un triangle ABC. Si : I est le milieu de [AB] J est le milieu de [AC], Alors : IJ = ou BC = 2 IJ Cette propriété des milieux permet de calculer une longueur. Exemple : ABCD est un parallélogramme de centre O tel que : AB = 5 cm et BC = 3 cm. K est le milieu de [BC]. Prouver que (OK) // (DC). Déterminer la mesure de OK. Recherche : Quelle propriété peut-on utiliser pour prouver que deux droites sont parallèles? côtés d un parallélogramme (il faut un parallélogramme dont les côtés sont portés par les droites (OK) et (DC) : il y a un parallélogramme, mais ses côtés ne sont pas intéressants) deux droites perpendiculaires à une même troisième (il faut deux angles droits : il n y a aucun angle droit ici)

47 droite des milieux (il faut un triangle dont on connaît les milieux de deux côtés : dans le triangle BCD, K est le milieu de [BC] et on peut démontrer que O est le milieu de [BD] Quelle propriété peut-on utiliser pour déterminer une longueur? côtés d un parallélogramme (il faut un parallélogramme dont l un des côtés est [OK] : il y a un parallélogramme, mais ses côtés ne sont pas intéressants) utiliser le théorème de Pythagore (il faut un triangle rectangle : il n y en a pas!) droite des milieux (il faut un triangle dont on connaît les milieux de deux côtés : dans le triangle BCD, K est le milieu de [BC] et on aura démontré que O est le milieu de [BD] Rédaction : On sait que O est le centre du parallélogramme ABCD. Comme les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu, on en déduit que O est le milieu de [BD]. Dans le triangle BCD, on sait que K est le milieu de [BC] et O est le milieu de [BD] Or : «Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.» Donc : (OK) // (CD) Dans le triangle BCD, on sait que K est le milieu de [BC] et O est le milieu de [BD] Or : «Dans un triangle, le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième côté.» Donc : OK = cm. II Milieu et parallèle La propriété suivante sert à prouver qu un point est le milieu d un segment. Propriété: Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d un côté et qui est parallèle à un second côté coupe le troisième côté en son milieu. Autrement dit : Soit un triangle ABC. Si : I est le milieu de [AB] d est une droite parallèle à (AC) et I d, Alors : d coupe [BC] en son milieu.

48 Exemple : Sur cette figure : I est le milieu de [OA] T est le milieu de [IA] (IB) // (TC) // (AR) Prouver que : B est le milieu de [OR] D est le milieu de [IR] C est le milieu de [BR] Recherche : Il faut dans chaque cas trouver le triangle dans lequel appliquer la propriété. Pour prouver que B est le milieu de [OR], il faut trouver un triangle dont [OR] est un côté : il y en a deux (ORA et ORI). Il faut aussi trouver une droite passant par le point B et par le milieu d un segment, cette droite étant parallèle à une autre droite : B (BI), I étant le milieu du côté [OA] et (BI) étant parallèle à (RA). On travaille donc dans le triangle ORA. Pour prouver que D est le milieu de [IR], il faut trouver un triangle dont [IR] est un côté : il y en a trois (IRA et IRO et IRB). Il faut aussi trouver une droite passant par le point D et par le milieu d un segment, cette droite étant parallèle à une autre droite : D (TC), T étant le milieu du côté [IA] et (TC) étant parallèle à (RA). On travaille donc dans le triangle IRA. Pour prouver que C est le milieu de [BR], il faut trouver un triangle dont [BR] est un côté : il n y en a qu un seul : BRI. La droite (TC) passe par C et D, elle est parallèle à (BI) et on aura démontré que D est le milieu de [IR]. On pourra donc travailler dans le triangle BRI. Rédaction : Dans le triangle ORA, on sait que I est le milieu de [OA] et que (BI) // (AR), I (BI). Or : «Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d un côté et qui est parallèle à un second côté coupe le troisième côté en son milieu.» Donc : (BI) coupe [OR] en son milieu. Comme (BI) coupe [OR] en B, on peut conclure que B est le milieu de [OR]. Dans le triangle IRA, on sait que T est le milieu de [IA] et que (TC) // (AR), T (TC). Or : «Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d un côté et qui est parallèle à un second côté coupe le troisième côté en son milieu.» Donc : (TC) coupe [IR] en son milieu Comme (TC) coupe [IR] en D, on peut conclure que D est le milieu de [IR]. Dans le triangle BRI, on sait que D est le milieu de [RI] et que (TC) // (BI), D (TC). Or : «Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d un côté et qui est parallèle à un second côté coupe le troisième côté en son milieu.» Donc : (TC) coupe [BR] en son milieu. Comme (TC) coupe [BR] en C, on peut conclure que C est le milieu de [BR].

49 III Théorème de Thalès (simplifié) Le théorème de Thalès permet de calculer la longueur d un côté d un triangle dans certaines configurations où deux triangles sont emboîtés. Propriété : Dans un triangle ABC, si M est un point de [AB], N est un point de [AC] et si (MN) // (BC) alors les côtés des triangles ABC et AMN sont proportionnels. Théorème de Thalès (simplifié): Dans un triangle ABC, si : - M [AB] et N [AC] - (MN) // (BC) alors : AM AB = AN AC = MN BC A M N B C Exemple : RST est un triangle rectangle en S tel que RS = 8 cm et ST = 6 cm. F est le point de [RS] tel que RF = 5 cm. La droite perpendiculaire à (RS) passant par F coupe [RT] en L. Calculer LF. Recherche : Il y a des triangles rectangles, on peut penser à utiliser le théorème de Pythagore mais il manque des mesures. On pense alors au théorème de Thalès : il faut avoir des triangles emboîtés et des côtés parallèles. On remarque que les triangles RLF et RST sont emboîtés et on peut prouver que (LF) // (ST) en remarquant que (LF) et (ST) sont perpendiculaires à (RS) Rédaction : On sait que : (LF) (RS) par construction (ST) (RS) puisque RST est rectangle en S Or : «Lorsque 2 droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors elles sont parallèles» Donc : (LF) // (ST) On sait maintenant que : RST et RLF sont 2 triangles emboîtés (F [RS] ; L [RT]) (LF) // (ST) On peut appliquer le théorème de Thales : RL RT = RF RS = LF TS Conclusion : LF = 3,75 cm. On utilise : 5 8 = LF 6 d où RL RT = 5 8 = LF 6 d où LF = =3,75

50 4 e G3 COSINUS D UN ANGLE AIGU I Définitions A Côtés d un triangle rectangle A On considère un triangle ABC rectangle en B. L angle BAC a pour côtés [AB) et [AC). Le côté [AC] est l hypoténuse du triangle ABC. Le côté [AB] est appelé côté adjacent à l angle BAC B C De même, on dira que le côté [CB] est le côté adjacent à l angle BCA. B Cosinus Définition 1: Le cosinus d un angle aigu est le coefficient de proportionnalité qui relie la longueur de l hypoténuse d un triangle rectangle au côté adjacent à l angle aigu de ce triangle. Définition 2 : Dans un triangle rectangle, le cosinus d un angle aigu est égal au quotient : longueur du côté adjacent à l 'angle aigu longueur de l 'hypoténuse A Côté adjacent à B Hypoténuse Côté adjacent C cos A = AB AC cosc = CB CA à Remarque 1 : Le cosinus d un angle aigu est un nombre (sans unité) qui est toujours compris entre 0 et 1. Remarque 2 : Sur la calculatrice, il faut se mettre en mode DEGRE

51 II Applications Le «cosinus» s utilise obligatoirement dans un triangle rectangle et permet de calculer : - la mesure d un angle aigu de ce triangle, si on connaît les deux côtés de cet angle ; - la longueur d un côté d un angle aigu de ce triangle, si on connaît l angle aigu et l autre côté de cet angle aigu. A Calcul d angles Pour calculer la mesure d un angle, on utilisera la touche cos -1 de la calculatrice. Exemple : On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 3 cm et BC = 4 cm. Calculer la mesure de ABC (à 0,1 près). En déduire une valeur approchée de la mesure de ACB au dixième près. C 4 cm Calcul de ABC A 3 cm B Dans le triangle ABC rectangle en A, [BA] est le côté adjacent à B et BC est l hypoténuse. On a donc : cos ABC = BA BC = 3 4 = 0,75 d où ABC = cos -1 (0,75) 41,4096 Conclusion : ABC 41,4 Calcul de ACB «La somme des angles d un triangle est toujours égale à 180.» On a donc : ACB ( ,4 ) ,4 48,6 Conclusion : ACB 48,6

52 B Calcul de longueurs Pour calculer la longueur d un segment, on utilisera la touche cos de la calculatrice. Exemple : On considère un triangle DEF rectangle en E tel que DE = 4 cm et EDF = 75. Calculer DF (à 0,1 cm près) En déduire EF (à 0,1 cm près) F Calcul de DF E 75 4 cm D Dans le triangle EFD rectangle en E, [DE] est le côté adjacent à D et DF est l hypoténuse. On a donc : cos D côté adjacent à D = hypoténuse 4 d où : DF = cos 75 15,45 ; cos D = DE DF ; cos (75 ) = 4 DF Conclusion : DF 15,5 cm Calcul de EF Dans le triangle EFD rectangle en E, DF est l hypoténuse, ED = 4 cm et EF 15,5 cm. D après le théorème de Pythagore on a alors : FD 2 = ED 2 + EF 2 15, EF 2 EF 2 15, EF 2 240,25 16 EF 2 224,25 d 'où : EF 224,25 14,97 Conclusion : EF 15 cm

53 4 e G4 TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE I Cercle circonscrit à un triangle rectangle A Propriété Propriété : Si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de son hypoténuse. Propriété : Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse. Si : ABC est un triangle rectangle en A, alors : - le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse ; - ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [BC] B B A C A // O // C B Conséquences Conséquence 1 : Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l hypoténuse. Si : ABC est un triangle rectangle en A, alors : AO = BC 2 (O étant le milieu de BC) B B A C A // // O // C

54 Conséquence 2 : Si ABC est un angle droit, alors le point B appartient au cercle de diamètre [AC]. A A // // B C B C II Triangle inscrit dans un cercle A Propriété Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle Propriété : Si un M est un point du cercle de diamètre [AB] (M étant distinct de A et de B) alors le triangle AMB est rectangle en M B B // M A M A B Conséquences Conséquence 1 : Dans un triangle, si la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté. Conséquence 2 : Dans un triangle, si le milieu d un côté est équidistant de ses trois sommets alors ce triangle est rectangle. B A // // // C B A C

55 4 e G5 DISTANCE D UN POINT A UNE DROITE I Définition et propriété A Définition On appelle distance du point A à la droite (d) la plus petite de toutes les longueurs possibles entre le point A et un point quelconque de la droite (d) Dans le cas particulier où A est un point de la droite (d), la distance du point A à la droite (d) est égale à zéro. B Propriété Propriété : La distance d un point A à une droite (d) est la distance entre le point A et le point H, intersection de la droite (d) avec la perpendiculaire à (d) passant par A. Pour tout point M de (d), on a alors MA > AH. M 1 A < AH ; M 2 A < AH ; M 3 A < AH ;

56 II Tangente à un cercle en l un de ses points A Définition On considère un cercle (C) et un point A de ce cercle. La tangente au cercle (C) en A est la droite dont le seul point commun avec le cercle (C) est le point A. La tangente au cercle (C) en A «touche» le cercle (C) au point A. B Propriété Propriété : Soit (C) un cercle de centre O et A un point de ce cercle. Dire que la droite (d) est tangente à (C) en A, c est dire que (d) est perpendiculaire à (OA). Remarque : La distance du centre d un cercle à une tangente à ce cercle est égale au rayon du cercle Exemple : Soit C un cercle de centre O et de rayon 4 cm. Soit d la tangente à C en A. On peut affirmer que : - d (OA) - OA = 4 cm - La distance entre O et d est 4 cm. C Construction Méthode : Soit C un cercle de centre O et A un point de C. Pour construire la tangente en A au cercle C : - on trace le rayon [OA] ; - on trace la perpendiculaire à (OA) passant par A.

57 III Bissectrices Définition : La bissectrice d un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Propriété 1 : La bissectrice d un angle est son axe de symétrie. Remarque : On peut construire la bissectrice d un angle avec la règle et le compas : Propriété 2 : Si un point appartient à la bissectrice d un angle alors ce point est à équidistance des deux côtés de cet angle. Autrement dit : Soit un angle BMC et d sa bissectrice. Si A d, alors la distance entre A et (MB) est la même que la distance entre A et (MC) Illustration : Si alors Propriété 3 : Si un point est à équidistance des deux côtés d un angle alors ce point appartient à la bissectrice de cet angle. Autrement dit : Soit un angle BMC et d sa bissectrice. Si la distance entre A et (MB) est la même que la distance entre A et (MC), alors A d. Illustration : Si alors

58 IV Cercle inscrit dans un triangle Propriété 1 : Les bissectrices des trois angles d un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit au triangle. Propriété 2 : Le cercle inscrit à un triangle est tangent à chacun des trois côtés du triangle. Méthode : Pour construire le cercle inscrit dans un triangle donné : - Construire deux bissectrices de ce triangle : leur point d intersection est le centre I du cercle inscrit ; - Tracer la perpendiculaire à un côté, passant par I; - Le cercle inscrit est le cercle de centre I, tangent à ce côté.

59 4 e G6 PYRAMIDES ET CONES DE REVOLUTION I Pyramides A Généralités et définitions Une pyramide est un solide obtenu en joignant chacun des sommets d un polygone à un point situé en dehors du plan contenant ce polygone. Une pyramide est un solide dont : - une face est un polygone, appelé base de la pyramide - toutes les autres faces, appelées faces latérales, sont des triangles ayant un sommet en commun : le sommet de la pyramide. Remarque : Il y a autant de faces latérales (et d arêtes latérales) que de côtés (ou sommets) de la base. La hauteur d une pyramide de sommet S est le segment [SH] où H est le point du plan de base tel que (SH) est perpendiculaire à ce plan de base. (Toutes les droites de la base passant par H sont perpendiculaires à (SH).) Remarque : La longueur SH est aussi appelée hauteur de la pyramide.

60 B Cas particulier : les pyramides régulières Une pyramide est dite régulière lorsque : - le polygone de base est un polygone régulier (c est un polygone dont tous les angles ont la même mesure et tous les côtés ont la même longueur, il est de plus inscriptible dans un cercle) - la hauteur de la pyramide passe par le centre du polygone de base. Exemples : Base : Triangle Base : Carré Base : Hexagone équilatéral régulier Remarque 1 : Toutes les faces latérales d une pyramide régulière sont des triangles isocèles identiques de sommet principal le sommet de la pyramide. Remarque 2 : Une pyramide formée de quatre triangles équilatéraux est appelée tétraèdre régulier. II Patrons de pyramides Un patron de pyramide est constitué d un polygone (qui représente la base) et de triangles (qui représentent les faces latérales) Remarque : Il y a plusieurs patrons possibles pour une même pyramide. Perspective cavalière Patron 1 Patron 2 Patron 3 Pour construire le patron d une pyramide, on commence généralement par construire sa base. Toutes les autres faces sont des triangles dont on aura préalablement précisé la nature et/ou les dimensions. Il est souvent préférable de faire un schéma avant de construire le patron en vraie grandeur.

61 Exemple : Soit SABC une pyramide de hauteur [SA] et de base le triangle ABC rectangle en A tel que : AS = 7,2 cm ; AB = 4,8 cm et AC = 3,6 cm Le triangle ABC est rectangle en A. La hauteur d une pyramide étant toujours perpendiculaire à la base, on a alors : [SA] [AB] et [SA] [AC] car [AB] et [AC] sont des côtés de la base passant par A. Les triangles ABS et ACS sont donc aussi rectangles en A. Après avoir construit les trois triangles rectangles précédents, le triangle SBC s obtient en reportant les longueurs BS à partir du triangle ABS et CS à partir du triangle ACS.

62 III Cône de révolution Un cône de révolution est un solide engendré par un triangle rectangle effectuant un tour complet autour d un des côtés de l angle droit. La base d un cône est un cercle. Un cône de révolution est un solide constitué : - d un disque, appelé base du cône, - d une surface courbe appelée face latérale, - d un point appelé sommet du cône. La hauteur d un cône de révolution est le segment qui joint son sommet au centre de sa base. Remarque 1: La longueur de ce segment est aussi appelée hauteur du cône de révolution. Remarque 2 : La hauteur d un cône de révolution est perpendiculaire à chaque rayon de sa base.