APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE

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1 APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE I. Calculs d'angles et de longueurs 1) Calculs d'angles Méthode : Déterminer un angle à l'aide du produit scalaire Vidéo " Calculer la mesure de l'angle AB;CD On a : " AB.CD = AB CD cos AB;CD " = cos AB;CD = 50 cos( AB;CD) " = 130 cos AB;CD 5 " On a également : AB 1 et CD, donc : AB.CD = 5 x (-) + (-1) x (-) = -6 On a ainsi : 130 cos AB " ;CD = Et donc : cos AB " ;CD 105,3 Et : AB " ;CD = = 3 130

2 ) Théorème de la médiane Propriété : Soit deux points A et B et I le milieu du segment [AB]. Pour tout point M, on a : MA + MB = MI + AB Démonstration : MA + MB = MA + MB = MA + MB " = ( MI + IA) " + ( MI + IB) " " " = MI + MI.IA + IA + MI + MI.IB " " " " = MI + MI. IA + IB + IB + IA " = MI + MI AB = MI + AB Exemple : + 1 AB Vidéo " + IB On souhaite calculer la longueur de la médiane issue de C. D'après le théorème de la médiane, on a : CA + CB = CK + AB, donc : CK = 1 CA + CB AB = = 1 Donc : CK = 1.

3 3) Théorème d'al Kashi Théorème : Dans un triangle ABC, on a, avec les notations de la figure : a = b + c bccos A Démonstration : AB.AC = AB AC cos # A = bccos # A et AB.AC = 1 ( AB + AC BC ) = 1 ( b + c a ) donc : 1 b + c a soit : a = b + c bccos A = bccos A Vidéo A Samarkand, le savant perse Jemshid ibn Massoud al Kashi (1380 ; 130) vit sous la protection du prince Ulugh- Beg (139 ; 19) qui a fondé une Université comprenant une soixantaine de scientifiques qui étudient la théologie et les sciences. Dans son Traité sur le cercle (1), al Kashi calcule le rapport de la circonférence à son rayon pour obtenir une valeur approchée de π avec une précision jamais atteinte. Il obtient 9 positions exactes en base 60 soit 16 décimales exactes : π 6, II. Equation de droite et équation de cercle On se place dans un repère orthonormé O;i; j du plan.

4 1) Equation de droite de vecteur normal donné Définition : Soit une droite d. On appelle vecteur normal à une droite d, un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de d. Exemple : Soit la droite d d'équation cartésienne x 3y 6 = 0. Un vecteur directeur de d est : u( 3; ). Un vecteur normal n a;b.n = 0 de d est tel que : u Soit : 3a + b = 0. a = - et b = 3 conviennent, ainsi le vecteur n ;3 est un vecteur normal de d. Propriétés : - Une droite de vecteur normal n a;b admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 où c est un nombre réel à déterminer. - Réciproquement, la droite d d'équation cartésienne ax + by + c = 0 admet le vecteur n a;b pour vecteur normal. Démonstrations : - Soit un point A( x A ; y A ) de la droite d. est un point de d si et seulement si AM M x; y " " Soit : AM.n = 0 Soit encore : a x x A ax + by ax A by A = 0. + b( y y A ) = 0 " x x A a y y A et n b - Si ax + by + c = 0 est une équation cartésienne de d alors u b;a directeur de d. sont orthogonaux. est un vecteur

5 a Le vecteur n b vérifie : b a + a b = 0. Donc les vecteurs u orthogonaux. et n sont Méthode : Déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal Vidéo Dans un repère orthonormé O;i; j point A 5; du plan, on considère la droite d passant par le et dont un vecteur normal est le vecteur n( 3; 1). Déterminer une équation cartésienne de la droite d. Comme n 3; 1 forme 3x y + c = 0. Le point A 5; est un vecteur normal de d, une équation cartésienne de d est de la appartient à la droite d, donc : 3 ( 5) + c = 0 et donc : c = 19. Une équation cartésienne de d est : 3x y + 19 = 0. ) Equation de cercle Propriété : Une équation du cercle de centre A x A ; y A ( x x A ) + ( y y A ) = r et de rayon r est : Démonstration : Tout point M ( x; y) appartient au cercle de centre A( x A ; y A ) et de rayon r si et seulement AM = r. Méthode : Déterminer une équation d'un cercle Vidéo Dans un repère orthonormé O;i; j et passant par le point B( 3;5). A ; 1 Déterminer une équation du cercle C. du plan, on considère le cercle C de centre

6 Commençons par déterminer le carré du rayon du cercle C : r = AB = 3 = ( 1) Une équation cartésienne du cercle C est alors : x + ( y + 1) = 37. Méthode : Déterminer les caractéristiques d'un cercle Vidéo Dans un repère orthonormé O;i; j du plan, on considère l'ensemble Ε d'équation : x + y x 10y + 17 = 0. Démontrer que l'ensemble Ε est un cercle dont on déterminera les caractéristiques (centre, rayon). x + y x 10y + 17 = 0 ( x x) + y 10y + 17 = 0 ( x 1) 1+ ( y 5) = 0 ( x 1) + ( y 5) = 9 L'ensemble Ε est le cercle de centre le point de coordonnées (1 ; 5) et de rayon 3. III. Formules de trigonométrie 1) Formules d'addition Propriété : Soit a et b deux nombres réels quelconques. On a : cos a b = cos acosb + sin asinb = cos acosb sin asinb = sin acosb cos asinb = sin acosb + cos asinb cos a + b sin a b sin a + b

7 Démonstration : - 1 ère formule : On considère un repère orthonormé O;i ; j du plan et le cercle trigonométrique de centre O. u et v sont deux vecteurs de norme 1 tels que : i;u ;v = a et ( i ) = b. cos a cosb On a alors : u sin a et v sin b. Ainsi : u.v = cos acosb + sin asin b. On a également : u.v = u v cos u;v = 1 1 cos b a D'où cos a b - e formule : cos a + b = cos( a b) = cos acosb + sin asinb. = cos a ( b) - 3 e formule : = cos π ( a b ) sin a b = cos acos b π = cos a + b = cos π a cosb sin π a sin b = sin acosb cos asin b + sin asin( b) = cos acosb sin asin b - e formule : = sin a ( b) sin a + b = sin acos b cos asin( b) = sincosb + cos asinb Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules d'addition Vidéo Calculer cos 5π 1 et sin 5π 1.

8 cos 5π 1 = cos π + π 6 sin 5π 1 = sin π + π 6 = cos π cos π 6 sin π sin π 6 = 3 1 = 6 = sin π cos π 6 + cos π sin π 6 = = 6 + ) Formules de duplication Propriété : Soit a un nombre réel quelconque. On a : cos a = cos a sin a = cos a 1 = 1 sin a = cos asin a sin a Démonstrations : Cas particulier des e et e formules d'addition dans le cas où a = b : cos a = cos a sin a = cos asin a sin a On a également : cos a + sin a = 1 donc : cos a sin a = cos a 1 = 1 sin a Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules de duplication Vidéo Calculer cos π 8 et sin π 8. - cos π 8 = π cos 8 1 donc π cos 8 = 1 1+ cos π = 1 1+ = + et donc : cos π 8 = +, car cos π 8 est positif. π - sin 8 = 1 π cos 8 = 1 + et donc : sin π 8 = =, car sin π 8 est positif.

9 Méthode : Résoudre une équation trigonométrique Vidéo Résoudre dans 0;π l'équation cosx = sin x. cosx = sin x soit 1 sin x = sin x. On pose X = sin x, l'équation s'écrit alors : 1 X = X Soit : X + X 1 = 0 Δ = 1 ( 1) = 9 L'équation du second degré possède deux solutions distinctes : X 1 = 1+ 3 = 1 et X = 1 3 = 1 Résolvons donc dans 0;π les équations : sin x = 1 sin x = 1 x = π 6 ou x = 5π 6. sin x = 1 x = 3π. et sin x = 1 : Ainsi : S = π 6 ;5π 6 ; 3π. Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 1-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.