Fonction de Weierstrass et séries d Eisenstein

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1 Fonction de Weierstrass et séries d Eisenstein Benoît Pointet, benoit.pointet@unifr.ch October 4, Motivations Nous avons, dans l exposé précédent, découvert les fonctions (complexes) double-périodiques et elliptiques. Or nous n avons pas encore rencontré beaucoup de fonctions elliptiques! Nous allons donc finir d en produire une, la fonction de Weierstrass, puis en étudier certaines propriétés et composants remarquables, ce qui nous mènera à nous intéresser à une famille de fonctions sur le réseau de périodes seul, les séries d Eisenstein, et à leurs propriétés. Nous découvrirons alors le discriminant et la fonction de Klein J. Finalement, le développement de Fourier de ces fonctions nous mènera à d étonnantes rencontres arithmétiques, alors que nous pensions naviguer en pleine analyse fonctionelle. La fonction (pé) de Weierstrass Nous avons étudié dans l exposé précédent la fonction f(z) = ω Ω (z ω) 3 ; Ω = Zω + Zω 2 () qui est elliptique de périodes ω, ω 2 et possède un pôle d ordre 3 en chaque ω = mω + nω 2. f est proche de la fonction elliptique avec double pôle d ordre 2 recherchée par Weierstrass. On la transforme (et intègre) pour obtenir une série aux propriétés voulues, la fonction de Weierstrass pour le réseau Ω : (z) = z 2 + ( (z ω) 2 ) ω 2 (2) ω Ω,ω 0 La fonction possède les propriétés suivantes:. est une fonction paire, 2. est de périodes ω, ω 2, 3. est analytique sauf en chaque période ω, pôle d ordre 2.

2 2 SÉRIES D EISENSTEIN, INVARIANTS G 2, G 3, ET 2 Preuve (idée) : La parité est quasi-évidente car la sommation se fait sur l ensemble du réseau (infini), et l ensemble des différences z Ω est en bijection avec z Ω. Si l on dérive (z) on obtient 2f(z), qui possède les périodes ω, ω 2 ; (z) est donc également de période ω, ω 2. L analyticité découle d un lemme présenté précédemment.. et les fonctions elliptiques pour un réseau Ω L ensemble des fonctions elliptiques paires pour un réseau donné forme un corps, où de par sa construction quasi-canonique, joue un rôle de générateur à partir duquel on construit des fonctions elliptiques de mêmes périodes. Propositions :. Toute fonction elliptique paire g est une fonction rationnelle de, t.q. les périodes de sont comprises dans celles de g. 2. Toute fonction elliptique h peut être écrite sous la forme h(z) = R [ (z)] + (z)r 2 [ (z)] (3) où R et R 2 sont des fonctions rationelles; h de mêmes périodes que. Preuves in [FB, p.27].2 Développement de Laurent de autour de l origine Soit : r = min{ ω ; ω Ω; ω 0} D r = {z C; z < r}, dans lequel (z) est holomorphe. Alors : z D r, z 0, (z) = z 2 + (2n + )z 2n G 2n+2 (4) n= où G l est une série d Eisenstein (déf. ci-dessous). Preuve (idée) : Développer (z ω) 2 en série entière (indice n), que l on permute avec la sommation sur Ω, et utiliser la parité de. 2 Séries d Eisenstein, invariants g 2, g 3, et Le développement de Laurent de fait apparaître clairement l importance des facteurs G 2n+2 qui jouent un rôle de pondération déterminant pour la convergence de la série. Observons-les de plus près : 2. Séries d Eisenstein et invariants g 2, g 3 l > 2, la série G l := ω 0 ω l = (m,n) Z 2 \0 (mω + nω 2 ) l (5)

3 2 SÉRIES D EISENSTEIN, INVARIANTS G 2, G 3, ET 3 est appelée série d Eisenstein d ordre l du réseau Ω; elle converge absolument. Preuve par un lemme précédent. Définissons deux séries d Eisenstein importantes : sont les invariants liés à Ω. g 2 = 60G 4 ; g 3 = 40G 6 (6) Les invariants proviennent de la différentiation du développement de Laurent de autour de 0, qui nous livre par ailleurs une équation différentielle particulière: 2.2 Equation différentielle algébrique de est solution de l équation différentielle : (z) 2 = 4 3 (z) g 2 (z) g 3 (7) Preuve (idée) : Depuis la forme de Laurent (4) de (z), on calcul (z) 2 3 (z), qui ne possède plus de pôle en 0 ni dans un parallalélogramme de périodes, et est donc constante. 2.3 Discriminant Considérons le membre de droite de l équation différentielle comme un polynôme cubique : 4 3 g 2 g 3. Il possède alors des racines distinctes ssi son discriminant est non-nul, avec = g g 3 2 (8) 2.4 Valeurs aux demi-périodes : e, e 2, e 3 Nommons e, e 2, e 3 les valeurs de aux demi-périodes : e = ( ω 2 ), e 2 = ( ω 2 2 ), e 3 = ( ω + ω 2 ) (9) 2. e, e 2, e 3 sont les racines de (z), i.e. z C (z) 2 = 4 3 (z) g 2 (z) g 3 = 4( (z) e )( (z) e 2 )( (z) e 3 ) (0) 2. Les valeurs aux demi-périodes e, e 2, e 3 sont distinctes (i.e. 0) Idée de preuve : est paire, est donc impaire, et de mêmes périodes que ; donc les demi-périodes sont soit des pôles soit des zéros de. Or ne possède pas de pôles aux demi-périodes, donc ce sont des zéros. On s intéresse alors aux fonctions (z) e i dont le comportement aux demi-périodes garantit que les trois valeurs e, e 2, e 3 sont distinctes, donc que le polynôme cubique possède des zéros distincts, i.e. 0.

4 3 FONCTION J DE KLEIN homogénéité Toute série d Eisenstein G l peut être vue comme une fonction de (ω, ω 2 ) : G l (ω, ω 2 ), et donc aussi g 2 (ω, ω 2 ), g 3 (ω, ω 2 ), et (ω, ω 2 ). Il est facile de voir que g 2, g 3 et sont des fonctions homogènes de degrés -4, resp -6 et -2, i.e. λ C : 3 Fonction J de Klein g 2 (λω, λω 2 ) = λ 4 g 2 (ω, ω 2 ) () g 3 (λω, λω 2 ) = λ 6 g 3 (ω, ω 2 ) (2) (λω, λω 2 ) = λ 2 (ω, ω 2 ) (3) Définition : la fonction J de Klein est donnée par J(ω, ω 2 ) := g 2 3 (ω, ω 2 ) (ω, ω 2 ), ω 2 /ω C \ R (4) C est une fonction rationnelle homogène de degré 0 : J(λω, λω 2 ) = J(ω, ω 2 ) 4 Passage au demi-plan supérieur L homogénéité nous permet d opérer le passage à un seul argument complexe, le rapport des périodes τ := ω 2 /ω. Nous nous restreindrons par convention à des couples de périodes (ω, ω 2 ) de rapport τ avec im(τ) > 0 i.e. τ H, où H est l hémisphère supérieur du plan de Gauss. g 2 (τ) := g 2 (, τ) = g 2 ( ω, ω 2 ) = ω 4 g 2 (ω, ω 2 ) ω ω (5) g 3 (τ) :=... = ω 6 g 3 (ω, ω 2 ) (6) (τ) :=... = ω 2 (ω, ω 2 ) (7) J(τ) := J(τ, ) = J(ω, ω 2 ) (8) Toute série d Eisenstein passée au plan supérieur est une fonction de τ de période, de la forme suivante : G l (τ) = (m,n) Z 2 \0 (m + nτ) l, l > 2 (9) 4. Invariance de J(τ) par transformation unimodulaire On a vu que si (ω, ω 2 ) est de rapport non-réel, alors ce couple de périodes est équivalent à tout couple (ω, ω 2), en particulier si ( ) ( ) ( ) a b ω A = SL(2, Z), t.q. 2 ω2 c d ω = A (20) ω

5 5 DÉVELOPPEMENTS DE FOURIER 5 i.e. (ω, ω 2 ) et (ω, ω 2) génèrent le même ensemble de périodes Ω, et donc g 2,3 (ω, ω 2) = g 2,3 (ω, ω 2 ), (ω, ω 2) = (ω, ω 2 ), J(ω, ω 2) = J(ω, ω 2 ). Soit : τ = aτ + b cτ + d ; ad bc = ; im(τ ) > 0; a, b, c, d Z (2) Alors : ( ) aτ + b J(τ ) = J( = J(τ) (22) cτ + d i.e. J est invariante par transformation unimodulaire. L ensemble de ces transformations forment le groupe modulaire. ( ) De cela, on obtient facilement que J(τ + ) = J( = J(τ), et τ+ 0τ+ donc que J(τ) est de période. J(τ) est notre premier specimen de fonction modulaire. 4.2 Analyticité dans H Théorème: Les fonctions g 2 (τ), g 3 (τ), (τ) et J(τ) sont analytiques dans H. Preuve (Esquisse): L analycité de (τ) et J(τ) découle de celle de g 2 (τ) et g 3 (τ). Il suffit donc de prouver la convergence absolue dans H des séries qui définissent g 2 (τ) et g 3 (τ), et qui sont de la forme (9). Preuve analogue à celle du Lemme, Exposé. 5 Développements de Fourier g 2 (τ), g 3 (τ), (τ) et J(τ) étant des fonctions de τ H périodiques de période, ll est intéressant d en produire une expression simple en série de Fourier. L analyse des coefficients entiers obtenus révèle alors quelques surprises arithmétiques. 5. Série de Fourier de J(τ) Théorème: J(τ) possède une représentation en série de Fourier absolument convergente : J(τ) = n= a n e 2πinτ (23) Preuve (Idée): Par le changement de variable x = e 2πiτ on transforme H en le disque unité pointé D \ 0 dans lequel tout x possède une infinité de préimages dans H. On vérifie que f(x) := J(τ) est analytique dans D \ 0 et on produit son développement de Laurent, avant de rechanger de variable.

6 5 DÉVELOPPEMENTS DE FOURIER Développements de Fourier de g 2 et g 3 En préparation, calculons le développement de Fourier pour les simples sommations sur m (fixant n) : Lemme : τ H, n > 0 m= (m + nτ) 4 = 8π4 3 r 3 e 2πirnτ (24) r= m= (m + nτ) 6 = 8π6 5 r 5 e 2πirnτ (25) Preuve (idée) : La preuve est bien sûr similaire pour les deux invariants. On passe vers D la fonction πcot(πτ), dont on connaît la décomposition partielle. Ce changement de variable fait apparaître une série que l on dérive jusqu au degré nécessaire (3 pour g 2, 5 pour g 3 )... puis on effectue un passage de τ à nτ. r= g 2 (τ) = 4π4 3 g 3 (τ) = 8π6 27 ( ( ) σ 3 (k)e 2πikτ k= ) σ 5 (k)e 2πikτ k= (26) (27) où σ α (k) = d k dα, α N Preuve (idée) : On utilise les résultats du lemme pour transformer la double sommation, que l on oriente (par symétrie des termes) vers une double sommation à indices positifs. 5.3 Développements de Fourier de et J (τ) = (2π) 2 n= τ(n)e 2πinτ (28) 2 3 J(τ) = e 2πiτ c(n)e 2πinτ (29) où τ(n) est la fonction tau de Ramanujan, abordée plus tard dans ce proséminaire, et c(n) une fonction de comptage vers Z. Preuves in [A, pp. 20-2]. n=