NOM : DERIVATION 1ère S

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1 Exercice Dériver les fonctions suivantes : f(x) = x g(x) = 3x x 3 + 5x h(x) = ( x ) x k(x) = x + 5 x + D. LE FUR /??

2 Exercice Dériver les fonctions suivantes : f(x) = x 3x + g(x) = (x + 3)(3x 7) h(x) = x + 3x pour x 3 k(x) = (x + 3x + ) D. LE FUR /??

3 Exercice 3 n considère la fonction définie par f(x) = x x. n note sa courbe représentative. n considère également la fonction g définie par g(x) = 3 x. n note (D) sa représentation graphique. ) Calculer la dérivée f de f. ) Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe au point d abscisse x =. 3) Résoudre par le calcul l équation g(x) = f(x). ) Préciser les coordonnées des points d intersections de et (D). 5) Tracer sur un même repère les droites (T ), (D) et la courbe A (D) D. LE FUR 3/??

4 Exercice Soit f la fonction définie sur R\{} par : f(x) = x + 3 x. n note sa courbe représentative. ) Calculer la dérivée f de f. ) Soit A le point d intersection de avec l axe des abscisses. Calculer les coordonnées de A, puis une équation de la tangente (T A ) à la courbe au point A. 3) Soit B le point d intersection de avec l axe des ordonnées. Calculer les coordonnées de B, puis une équation de la tangente (T B ) à la courbe au point B. ) Tracer sur un même repère (T A ), (T B ) et A 3 B D. LE FUR /??

5 Exercice 5 n considère les deux fonctions f et g définies sur R par : f(x) = x 3x g(x) = x 3 3x ) Etude de f. a) Calculer la dérivée f de f. b) Etudier le signe de la dérivée f. c) En déduire le tableau de variations de la fonction f. ) Etude de g. a) Calculer la dérivée g de g. b) Etudier le signe de la dérivée g. c) En déduire le tableau de variations de la fonction g. 3) Comparaison des deux fonctions. a) Graphiques. i. Tracer soigneusement, dans un même repère, les courbes et (C g ) représentant les fonctions f et g. n se limitera à l intervalle [ ; ]. ii. A l aide du graphique, essayer de répondre aux questions suivantes : A. Combien y a-t-il de points d intersections entre et (C g )? B. Quelles sont leurs coordonnées? b) Pour avoir plus de précision, on se propose de retrouver ces résultats par le calcul. i. Résoudre l équation f(x) = g(x). ii. En déduire, par calcul, les coordonnées des points A et B d intersection de et (C g ). 3 (C g ) 3 D. LE FUR 5/??

6 Exercice 6 n considère la fonction f définie par f(x) = ) Démontrer que f est une fonction paire. ) Calculer la dérivée f de f. 3) Quel est le signe du dénominateur de f (x)? ) Résoudre l inéquation f (x). x x sur R. + 5) Dresser le tableau de variations de la fonction f en précisant la valeur M de son maximum et la valeur m de son minimum. 6) Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonction f sur l intervalle [ ; ]. 3 3 D. LE FUR 6/??

7 Exercice 7 n considère les deux fonctions f et g définies sur R\{} par : ) Etude de f. a) Calculer la dérivée f de f. b) Etudier le signe de la dérivée f. f(x) = x g(x) = x x c) En déduire le tableau de variations de la fonction f. ) Etude de g. a) Calculer la dérivée g de g. b) Etudier le signe de la dérivée g. c) En déduire le tableau de variations de la fonction g. 3) Comparaison des deux fonctions. a) Graphiques. i. Tracer soigneusement, dans un même repère, les courbes et (C g ) représentant les fonctions f et g. n se limitera à l intervalle [ 3 ; 5]. ii. A l aide du graphique, essayer de répondre aux questions suivantes : A. Combien y a-t-il de point(s) d intersection(s) entre et (C g )? B. Quelles sont leurs coordonnées? b) Pour avoir plus de précision, on se propose de retrouver ces résultats par le calcul. i. Résoudre l équation f(x) = g(x). ii. En déduire, par calcul, les coordonnées des points A et B d intersection de et (C g ) (C g ) D. LE FUR 7/??

8 Exercice 8 n considère la fonction f définie sur R par f(x) = x 3 x + x. ) Calculer la dérivée f de f. ) Etudier le signe de la dérivée f. 3) En déduire le tableau de variations de la fonction f. n précisera les éventuels extremums. ) Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonction f sur l intervalle [ ; 3]. 5) Déterminer par le calcul les coordonnées des points d intersection de avec l axe des abscisses D. LE FUR 8/??

9 Exercice 9 ) Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur R par : f(x) = x 3x +. ) Résoudre l équation f(x) = D. LE FUR 9/??

10 Exercice n considère la fonction f définie sur R par : f(x) = x 3 3x 3. n note sa représentation graphique. ) Calculer la dérivée f de f puis étudier son signe. ) Dresser le tableau de variations de la fonction f. 3) Déterminer une équation de la tangente (T ) à au point d abscisse. ) Tracer (T ) et dans un même repère. 5) Démontrer que l équation f(x) = admet une solution unique α dans l intervalle [ ; 3]. 6) Donner une valeur approchée de α, par défaut, à près. 3 3 A D. LE FUR /??

11 Exercice n considère un rectangle dont le périmètre P est égal à m. ) Déterminer ses dimensions (longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à 3 cm. ) n recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale. a) Exprimer S en fonction de l. b) n considère la fonction f définie sur R par f(x) = x( x). Calculer la dérivée f de f puis étudier son signe. Dresser le tableau de variations de la fonction f. Tracer la représentation graphique de la fonction f sur [ ; ]. c) En déduire les dimensons du rectangle dont le périmétre P est égal à m et l aire S est maximale. D. LE FUR /??

12 Exercice ) n considère la fonction f définie sur R par f(x) = x 3 6x + 5x. a) Etudier les variations de f sur l intervalle [ ; ]. Dresser le tableau de variations de f. b) Déterminer une équation de la tangente ( ) à la courbe représentaive de f au point d abscisse. c) Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d intersection de avec l axe des abscisses. d) Tracer ( ) et pour x [ ; ]. ) Un fabriquant envisage la production de briques de lait en carton obtenues en découpant deux bandes de même largeur dans une feuille carrée. Le côté de la feuille mesure 3 cm et on désigne par x la mesure (en centimètres) de la largeur des bandes découpées. n suppose que < x < 5. a) Démontrer que le volume (en cm 3 ) de la boîte est V (x) = x 3 6x + 5x. b) Pour quelle valeur de x le volume V (x) est-il maximal? Préciser la valeur de ce volume maximal en litres. D. LE FUR /??

13 D. LE FUR 3/??

14 Exercice 3 Soit f la fonction définie par f(x) = x 3 x + sur l intervalle [ ; ]. Soit sa courbe représentative. ) Donner, en justifiant, l équation de la tangente (T ) à au point A d abscisse. ) Tracer dans un même repère la courbe et la tangente (T ) sur l intervalle [ ; ] A 3 5 D. LE FUR /??

15 Exercice Soit (P) la parabole définie par la fonction f(x) = x 3x +. Calculer les coordonnées de son sommet S S D. LE FUR 5/??

16 Exercice 5 Un camion doit faire un trajet de 5 km. Sa consommation de gasoil est de 6 + v litres par heure, où v désigne 3 sa vitesse en km.h. Le prix du gasoil est de, 9 e le litre et on paie le chaufeur e par heure. ) Soit t la durée du trajet en heure. Exprimer t en fonction de la vitesse v. ) Calculer le prix de revient P (v) du trajet en fonction de v. 3) Quel doit être la vitesse v du camion pour que le prix de revient P (v) de la course soit minimal? D. LE FUR 6/??

17 Exercice 6 Le but de cet exercice est de calculer la limite suivante : lim h ( + h) 5. h Pour cela, on considère la fonction f définie sur R par f(x) = ( + x) 5. ) Calculer la dérivée f de la fonction f. Calculer f (). ) Calculer l accroissement moyen de la fonction f entre et h. En déduire la limite ci-dessus. D. LE FUR 7/??

18 Exercice 7 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x x +. Soit sa courbe représentative. ) Donner, en justifiant, l équation de la tangente (T ) à la courbe au point A d abscisse. ) Tracer dans un même repère la courbe et la tangente (T ) sur l intervalle [ ;, 5]. 5 3 A 3 D. LE FUR 8/??

19 Exercice 8 ) Dériver les fonctions f et g définies ci-dessous : f(x) = ) Calculer f (6) et g (). x x + sur ] ; + [ g(x) = x ( ) 3 sur R\{ } + x D. LE FUR 9/??

20 Exercice 9 n considère la fonction f définie sur R par f(x) = x + x. ) Calculer la dérivée f et étudier son signe. ) Dresser le tableau de variations de la fonction f. 3) Tracer la représentation graphique de la fonction f sur [ ; [ ] ; ]. 8 6 B 6 A D. LE FUR /??

21 Exercice Soit la représentation graphique de la fonction f définie sur R\{} par : f(x) = x + ax + b x a, b R. ) Déterminer f (x). ) Déterminer a et b tels que la droite d équation y = 8 soit tangente à au point d abscisse 3. 3) Déterminer les limites suivantes : lim f(x) x + lim f(x) x lim f(x) x x> lim f(x) x x< ) Déduire de la question précédente que admet une asymptote dont on précisera une équation. 5) Question facultative : déterminer l abscisse de l autre point de où la tangente est horizontale A B D. LE FUR /??

22 Exercice Question préliminaire : factoriser le polynôme P (x) = x + x 3. n considère les fonctions f et g définies sur R par : f(x) = x + et g(x) = x 3 3x +. ) Etudier la parité des fonctions f et g. ) Etudier les limites en et en + des fonctions f et g. 3) Calculer les dérivées f et g. Etudier leur signe. ) Dresser les tableaux de variations des fonctions f et g. 5) Tracer les courbes représentatives et (C g ) des fonctions f et g. n se limitera à l intervalle [ 3 ; 3]. 6) Résoudre, par le calcul, l inéquation f(x) g(x). n pourra utiliser la question préliminaire. 6 (C g ) D. LE FUR /??

23 Exercice n considère la fonction f définie sur R\{} par : f(x) = x 3x + 6. x ) Etudier les limites de la fonction f en, + et par valeurs inférieures et supérieures. Préciser les éventuelles asymptotes horizontales et verticales. ) Calculer la dérivée f et étudier son signe. 3) Dresser le tableau de variations de la fonction f. ) Le but de cet question est de démontrer que la courbe admet une asymptote oblique ( ). a) Déterminer trois réels a, b et c tels que : f(x) = ax + b + c x. b) En déduire que la droite ( ) d équation y = x est une asymptote oblique à la courbe en + et en. 5) Tracer et ses asymptotes D. LE FUR 3/??

24 Exercice 3 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x +. ) Montrer que f est dérivable en. ) Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe représentant f au point d abscisse A D. LE FUR /??

25 Exercice n considère la fonction f définie sur R\{ } par : f(x) = 3 x + +. n note la courbe représentative de f dans un repère orthogonal ( ; i, j ). ) Etudier les limites de f en, + et en par valeurs inférieures et supérieures. Préciser les équations des éventuelles asymptotes. ) Calculer la dérivée f de la fonction f et préciser son signe. 3) Dresser le tableau de variations complet de la fonction f. n n oubliera pas d y reporter les limites calculées à la question ) ainsi que la valeur interdite... ) Tracer la courbe avec ses éventuelles asymptotes. Conseil : tracer d abord les asymptotes, s il y en a D. LE FUR 5/??

26 Exercice 5 n considère la fonction f définie sur R\{} par : f(x) = x + 3. n note la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( ; i, j ). ) Etudier les limites de f en et en +. ) Etudier les limites de f en par valeurs inférieures et supérieures. 3) Calculer la dérivée f de la fonction f. Quel est son signe? ) Dresser le tableau de variations complet de la fonction f. 5) Déterminer l équation de la tangente (T ) à la courbe au point d abscisse 3. 6) Tracer la tangente (T ), la courbe avec ses éventuelles asymptotes. 7) Résoudre graphiquement l inéquation f(x) A D. LE FUR 6/??

27 Exercice 6 n considère la fonction f définie sur ] ; + [ par : f(x) = x 3x +. x n note la courbe représentative de f dans un repère ( ; i, j ). ) Résoudre l équation f(x) =. ) Vérifier que f(x) = x 3 + x. 3) Etudier la limite de f quand x tend vers. En déduire que admet une asymptote (D) dont on précisera une équation. ) Etudier la limite de f quand x tend vers +. 5) Calculer lim [f(x) (x 3)]. x + En déduire que admet une asymptote oblique ( ) en + dont on précisera l équation. Quelle est la position de par rapport à ( )? 6) Calculer la dérivée f de f et montrer que l on a : f (x) = (x + )(x ) x. 7) Etudier le signe de f puis en déduire le tableau de variations de f D. LE FUR 7/??

28 Exercice 7 n considère la fonction f définie par : f(x) = x x. n note sa représentation graphique dans un repère orthonormé ( ; i, j ). ) Déterminer le domaine de définition D f de la fonction f. ) Etudier les limites de f en et en +. 3) Etude de la fonction f sur [ ; [. a) Etudier de la dérivabilité de la fonction f au point d abscisse x =. b) Calculer la dérivée f (pour x > ). Etudier le tableau de variations de f sur l intervalle [ ; + [. c) Tracer la courbe représentant f sur l intervalle [ ; ] D. LE FUR 8/??

29 Exercice 8 Sur le graphique ci-dessous sont représentées la courbe de la fonction f définie sur R par : f(x) = ainsi que la tangente (T ) à au point d abscisse x =. ( x ) ) Donner, par lecture graphique, et sans justifications, la valeur du nombre f (). ) Déterminer, à l aide du calcul de la dérivée de f, la valeur du nombre f (3). 6 5 (T) D. LE FUR 9/??

30 Exercice 9 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x 3 3x + 9x. ) Calculer la dérivée f et étudier son signe. ) Dresser le tableau de variations de la fonction f D. LE FUR 3/??

31 Exercice 3 Soient f et g deux fonctions dérivables sur l intervalle I = [ ; ] telles que : f() = g() et f g sur I. Démontrer que f g sur I. n pourra étudier les variations de g f. D. LE FUR 3/??

32 Exercice 3 n considère la fonction f définie sur R\{ } par : f(x) = x + 7x +. x + n note sa représentation graphique dans un repère orthonormal ( ; i, j ). ) Calculer f(). En déduire les coordonnées du point d intersection de la courbe avec l axe des ordonnées. ) Déterminer les coordonnées des éventuels points d intersection de la courbe avec l axe des abscisees. 3) Déterminer les réels a, b et c tels que : f(x) = ax + b + c pour tout x R\{ }. x + ) Etudier les limites de f en par valeurs inférieures et supérieures. En déduire que la courbe admet une asymptote verticale (D) dont on précisera l équation. 5) Etudier les limites de f en + et en. La courbe admet-elle une asymptote horizontale? 6) Démontrer que la droite ( ) d équation y = x + 6 est asymptote oblique à la courbe en + et en. Préciser la position relative de et de ( ). 7) Calculer la dérivée f de f puis étudier son signe. En déduire le tableau de variations de f. 8) Déterminer une équation des tangentes (T A ) et (T B ) aux points A et B de d abscisses respectives et 3. 9) Tracer dans le repère (D), ( ),(T A ), (T B ) et. n se limitera à [ ; [ ] ; 6]. 6 B 8 A D. LE FUR 3/??

33 Exercice 3 Ci-dessous est donnée la courbe représentant une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ ; 7]. ) Par lecture graphique, donner sans justifier la valeur de : f(3) ; f (3) ; f(6) ; f (6). ) Le graphique ne permet pas la lecture de f (). Préciser néanmoins son signe. Expliquer D. LE FUR 33/??

34 Exercice 33 Un fermier décide de réaliser un poulailler de forme rectangulaire le long d un mur de sa maison. Ce poulailler devra avoir une aire de 39 m. Le but du problème est de savoir où placer les piquets A et B pour que la longueur de la clôture soit minimale. La figure ci-dessus représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. n appelle x la distance séparant chaque piquet au mur et y la distance entre les piquets A et B. n a donc x > et y >. ) Sachant que l aire du poulailler est 39 m, exprimer y en fonction de x. ) Démontrer que la longueur l(x) du grillage est : l(x) = x x 3) Calculer la dérivée l de l. En déduire le tableau de variations de l. ) En déduire les dimensions x et y pour lesquelles la clôture a une longueur minimale. Préciser cette longueur D. LE FUR 3/??

35 Exercice 3 n considère la fonction f définie sur R par : ) n s intéresse à la dérivabilité de f en. f(h) f() a) Calculer le rapport. h f(x) = x + x. b) En déduire que f est dérivable en. Que vaut ce nombre dérivé? c) Déterminer une équation de la tangente (T ) à en. ) Tracer la droite (T ) et la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [ 8 ; 8] D. LE FUR 35/??

36 Exercice 35 Une parabole (P) admet dans un repère ( ; i, j ) une équation du type : y = ax + bx + c (a ). Déterminer les coefficients a, b et c sachant que (P) coupe l axe des abscisses au point A d abscisse 3, l axe des ordonnées au point B d ordonnée et qu elle admet en ce point la droite d équation y = x + pour tangente. Indiquer l abscisse du second point d intersection de (P) avec (x) B A D. LE FUR 36/??

37 Exercice 36 Soit f la fonction définie sur R\{ } par f(x) = x + 3x + 3. x + n appelle sa courbe représentative dans un repère ( ; i, j ). ) Déterminer les réels a, b et c tels que f(x) = ax + b + c x +. ) Calculer la dérivée de f et étudier les variations de f. Dresser son tableau de variations. 3) Montrer que le point I( ; ) est le centre de symétrique de B I 3 A D. LE FUR 37/??

38 Exercice 37 ) Etudier le sens de variation de la fonction f définie sur R par : f(x) = x( x). ) En déduire un encadrement de f(x) sur [ ; ]. 3 D. LE FUR 38/??

39 Exercice 38 n considère la fonction f définie sur R par : f(x) = x 3 3x +. n appelle sa courbe représentative. ) Etudier les variations de f. ) a) Déterminer l équation réduite de la tangente (D) à la courbe au point d abscisse. b) Vérifier que (x ) 3 = x 3 3x + 3x. En déduire la position relative de par rapport à (D). 3) La courbe a-telle un centre de symétrie? Justifier A D. LE FUR 39/??

40 Exercice 39 9 La courbe représentée ci-contre est une partie de 8 la représentation graphique de la fonction f définie sur 7 R par 6 f(x) = ax + b + c 5 x A où les coefficients sont à déterminer. B ) Déterminer graphiquement f(), f (), f() et f (). ) Déterminer f (x) en fonction de a, b et c. a + b + c = 3) Montrer que les réels a, b et c vérifient le système : a c = 3 a c = ) Déterminer l expression de f(x).. D. LE FUR /??

41 Exercice n considère la fonction f définie sur R par f(x) = ) Calculer les limites de f en + et en. ) Calculer la dérivée f de f et étudier son signe. 3) Dresser le tableau de variation de la fonction f. x x +. B A D. LE FUR /??

42 Exercice 6 n considère la fonction f définie par : 5 f(x) = ax + bx + c 3 A B dont la parabole passe par les points A( ; ) et B( ; 3). Les tangentes en A et B se coupent au point C( ; ). ) Déterminer une équation des tangentes à. En déduire f () et f (). ) Exprimer f (x) en fonction de a, b et c. 3) A l aide des valeurs de f (), f () et f(), trouver trois équations vérifiées par a, b et c puis déterminer l expression algébrique de la fonction f. 3 C D. LE FUR /??

43 Exercice Tout comme on a pu définir la fonction dérivée d une fonction f, on peut aussi définir la dérivée seconde de la fonction f que l on note f. f est la fonction dérivée de la fonction f. Soit n un entier naturel fixé et t un nombre positif. Le but de l exercice est de prouver l inégalité de Bernoulli : ) Vérifier que l inégalité est vraie pour n = et n =. ( + t) n + nt. ) n suppose n et on considère sur [ ; + [ la fonction φ définie par : a) Calculer φ (t) et φ (t). b) Montrer que pour tout t, on a φ (t). c) En déduire l inégalité. φ(t) = ( + t) n nt. 3) Conclure et faire une interprétation graphique de ce résultat pour quelques valeurs de n. D. LE FUR 3/??

44 Exercice 3 D. LE FUR /??

45 Exercice D. LE FUR 5/??

46 Exercice 5 D. LE FUR 6/??

47 Exercice 6 D. LE FUR 7/??

48 Exercice 7 D. LE FUR 8/??

49 Exercice 8 D. LE FUR 9/??

50 Exercice 9 D. LE FUR 5/??

51 Exercice 5 D. LE FUR 5/??

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