Exemple d'ajustement affine par une méthode graphique, par la méthode des moindres carrés et de problème d'optimisation

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1 Exercice 1 Exemple d'ajustement affine par une méthode graphique, par la méthode des moindres carrés et de problème d'optimisation La société de Werloing a mis au point un nouveau logiciel de gestion destiné aux PME et mène une enquête dans la région de Provence-Alpes-Côte d'azur auprès de cinq cents entreprises déjà équipées de micro-ordinateurs aptes à recevoir ce logiciel, pour déterminer à quel prix chacune de ces entreprises accepterait d'acquérir ce nouveau logiciel. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-après : Prix proposé (en euros) 1 a) Représenter le nuage de point; M i (, y i ). Nombre d'entreprises disposées à acheter le logiciel à ce prix : y i Déterminer une valeur approchée à 10 3 près du coefficient de corrélation linéaire. 3 Déterminer une équation de la forme y = ax + b de la droite de régression de y par rapport à x par la méthode des moindre; carrés. Les coefficients a et b seront donnés par leur valeur approchée respectivement à 10 4 près et à 10 1 près. Tracer sur le graphique. 4 Les frais de conception du logiciel se sont élevés à euros, les frais variables par logiciel vendu sont supposés négligeables. a) Déduire de l'ajustement par la méthode des moindres carrés l'expression du bénéfice théorique réalisé en fonction du prix choisi x et calculer la valeur de x permettant d'obtenir le bénéfice théorique maximal. Quel est ce bénéfice? b) À partir des résultats de l'enquête et sans utiliser de droite d'ajustement, déterminer, parmi la gamme de prix proposés, celui qui permettra de réaliser le bénéfice maximal. Exercice 2 Le «meilleur» coefficient de corrélation Dans cet exercice, tous les résultats numériques seront donnés par une valeur approchée décimale arrondie à 10 3 près. Comme son chiffre d'affaires d'un mois est connu avec retard, une entreprise choisit de l'estimer par l'intermédiaire d'une autre grandeur dont la valeur peut être connue rapidement. Elle choisira celle qui aura, avec le chiffre d'affaires, le plus fort coefficient de corrélation linéaire. On note : X le chiffre d'affaires, mesuré en millions d euros ; Y les sorties de matières premières, mesurées en tonnes ; Z les salaires et primes, mesurés en millions d euros. Les mesures de ces variables ont donné, sur six mois de l'année précédente, les résultats suivants :

2 Numéro du mois X i Y i 0,9 1,2 0,6 0,5 1,4 1,0 Z i 3,9 3,7 3,2 3,1 3,6 3,7 1 Représenter graphiquement ces données : a) Premier graphique : X en abscisses, Y en ordonnées. b) Second graphique : X en abscisses, Z en ordonnées. 2 Calculer les coefficients de corrélation linéaire r 1 entre X et Y et r 2 entre X et Z. 3 Déterminer une équation de la droite de régression de Y en X, puis une équation de la droite de régression de Z en X. Tracer ces deux droites sur les graphiques. 4 Les mesures du mois considéré sont : - consommation de matières premières : 1,105 t ; - salaires et primes versés : 2,99832 M. Donner la meilleure approximation du chiffre d'affaires de ce mois. Exercice 3 : Ajustement affine et recherche d'un maximum Le prix de vente d'une machine Le tableau suivant indique le prix de vente en euros d une machine et le nombre d'exemplaires vendus les quatre dernières années. Rang de l'année Prix de vente (en euros) Nombre y i d exemplaires vendus Représenter le nuage des points M i de coordonnées ( ; y i ) dans le plan muni d'un repère orthogonal O ; i, j. On prendra pour origine du repère le point de coordonnées (1 400 ; 160), pour unités, 1 cm pour100 sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées;. Vérifier qu'un ajustement affine paraît justifié. 2 Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage. Le placer sur la figure. 3 a) Déterminer une équation de la droite D de régression de y en x par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront déterminés à 10 3 près. b) Construire cette droite de régression sur le graphique du 1. 4 En quelle année a-t-on eu le chiffre d'affaires le plus élevé? Quel est ce chiffre d'affaires? 5 On suppose maintenant que, chaque année, le nombre d'exemplaires vendus y et le prix de vente x suivent la relation : y = 0,08x On note S(x) le chiffre d'affaires réalisé en vendant y machines valant chacune x euros. a) Exprimer S(x) en fonction de x. b) Etudier les variations de la fonction S définie sur [1 400, 2 500] par x S(x). c) En déduire le prix de vente d'une machine l'année de rang 5 si l'on veut que la somme encaissée S(x) soit maximale. Quel sera le nombre d'exemplaires vendus, à une unité près? Quelle sera alors la somme encaissée? Exemples d'ajustements se ramenant à un ajustement affine Exercice 4 : Consommation d'une voiture La consommation d'une voiture, z, est donnée en fonction de sa vitesse, x, par le tableau suivant : x (en km/h) z (en litres/100 km) 4 5 6, La consommation est-elle proportionnelle à la vitesse? Justifier rapidement votre réponse. 2 Compléter le tableau ci-dessus par une ligne y = ln z, dont on donnera les valeurs approchées à 6 décimales (les meilleures possibles). 3 Dans un repère d'origine O (x O = 70 ; y O = 1,30), en prenant comme unités 1 cm pour 10 km/h en abscisse et 1 cm pour 0,10 en ordonnée, représenter le nuage de 5 points (x ; y = ln z ).

3 4 Indiquer une équation d'une droite d'ajustement pour les cinq points de coordonnées (x, y) du nuage, par la méthode des moindres carrés. Donner cette équation sous la forme y = Bx + A, avec les valeurs approchées de B et A (les meilleures possibles) à 3 décimales obtenues à la calculatrice programmable. 5 Estimer y pour une vitesse de 140 km/h. Estimer la consommation aux 100 km pour cette vitesse de 140 km/h, à 0,5 L près comme dans le tableau initialement donné. Exercice 5 : Coût d'entretien et de réparation Dans cet exercice, tous les résultats numériques seront donnés par leur valeur approchée à 10 3 près. L'étude du coût annuel d'entretien et de réparation C d'un équipement d'âge t, durant les cinq dernières années, a conduit à établir le tableau suivant : Age t i (en année) Coût C i (en k ) 13,3 14,2 16,1 18,9 23,6 1 On pose D i = ln C i, où ln désigne le logarithme népérien. a) Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant : t i 1 D i 2,588 b) Représenter le nuage de points M(t i, D i ) dans un repère orthogonal du plan. Peut-on envisager un ajustement affine de ce nuage? 2 a) Déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique de variables t et D. Le résultat obtenu confirme-t-il l'observation faite au 1 b)? b) Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de D en t. c) Déduire du b) une expression de C en fonction de t. d) En admettant que l'évolution du coût constaté pendant cinq ans se poursuive les années suivantes, donner une estimation du coût d'entretien et de réparation de l'équipement lorsqu'il aura 7 ans. Exercice 6 : Le coût unitaire d'une fabrication Une entreprise fabrique un produit A. 1 Le prix de revient théorique de fabrication se répartit en b euros de frais fixes et a euros par unité produite, soit b + na pour n unités. Exprimer, en fonction du nombre n d'unités produites, le prix de revient théorique y d'une unité. 2 Dans la pratique, on a relevé les chiffres suivants : Nombre d unités n i Prix unitaire y i a) Représenter le nuage statistique (n i, y i ) : - abscisses : 1 cm pour 1 unité ; - ordonnées : 1 cm pour 100. Un ajustement affine vous paraît-il justifié? Pourquoi? b) On pose = 1 n i ; calculer les valeurs des à 10 2 près par défaut, puis représenter le nuage (, y i ) sur le même schéma (abscisses 1 cm pour 0,1 unité). c) Déterminer une équation de la droite de régression de y en x (le coefficient directeur et le terme constant seront déterminés à l'unité près). d) En déduire les coefficients a et b de la question 1 (on admettra que les conclusions statistiques concordent avec le modèle théorique). Exercice 7 : Un problème de maintenance Dans cet exercice tous les résultats seront donnés par leur valeur approchée à 10 3 près. On a étudié la durée de vie d'un certain nombre d'équipements bureautiques identiques. Dans le tableau suivant, t i représente la durée de vie exprimée en heures et R(t i ) le pourcentage d'équipements encore en service à la date t i (par exemple, pour t i = 100,il reste 80 % d'équipements en service, et R(t i ) = 0,80.

4 t i R (t i ) 0,80 0,64 0,52 0,40 0,32 0,28 0, 0,12 0,04 1 On pose y i = ln R (t i ) où ln désigne le logarithme népérien. Représenter le nuage de points M i de coordonnées (t i, y i ) dans le plan muni d'un repère orthogonal. 2 Peut-on envisager un ajustement affine du nuage précédent? Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique de variables t et y. 3 Déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite de régression de y en t. En déduire qu'il existe deux nombres réels positifs k et λ,tels que pour tout élément t de [100, 1 500] : R (t) = ke λt. 4 Dans cette question on prend k = 1 et λ = 0,002. a) Déterminer le pourcentage d'équipements encore en service au bout de 900 heures de fonctionnement. b) Déterminer la date t 0 à laquelle 36,78 % des équipements sont encore en service. Le grand prix de formule BTS... Au cours d'une séance d'essai, un pilote d'automobile doit, quand il reçoit un signal sonore dans son casque, arrêter le plus rapidement possible son véhicule. Au moment du top sonore, on mesure la vitesse de l'automobile, puis la distance nécessaire pour arrêter le véhicule. Pour six expériences, on a obtenu les résultats suivants : Vitesse en km/h : v i Distance d'arrêt en m : y i 6,8,5 35,9 67,8 101,2 135,8 Le nuage de points associé ne peut être ajusté linéairement de manière correcte (ce résultat sera admis). On pose pour les six valeurs de v i, 2 = v i et on considère la série double ; y i,.1 i 6 1 Compléter le tableau : y i 2 Dans un repère orthogonal, construire le nuage de points associé à cette nouvelle série double : les en abscisses avec 1 cm pour ; les y i en ordonnées avec 1 cm pour a) Déterminer à l'aide de votre calculatrice l'équation de la droite de régression de y en x sous la forme y = mx + p (m et p étant arrondis à 10-2 près). Tracer cette droite dans le repère précédent. b) À l'aide de cette équation, déterminer la valeur estimée de x correspondant à une distance d'arrêt de 180 m, puis la vitesse correspondante du véhicule. c) Quelle est la distance d'arrêt estimée correspondant à une vitesse de 150 km/h? d) Le manuel du code de la route donne, pour calculer la distance d'arrêt (en mètre), la méthode suivante : «Prendre le carré de la vitesse exprimée en dizaines de kilomètres par heure.» Comparer le résultat obtenu au c) à celui que l'on obtiendrait par cette méthode. Exemple d'utilisation d'un lissage par la méthode des moyennes mobiles avant ajustement affine Les chiffres d'affaires trimestriels, pour les douze derniers trimestres, d'une entreprise fabriquant du matériel électronique sont donnés dans le tableau suivant : Rang du trimestre : Chiffre d'affaires (en M ) : y i Représenter graphiquement le nuage de points M i (, y i ) dans le plan muni d'un repère orthogonal. On prendra pour unités 1 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm pour 100 M sur l'axe des ordonnées. 2 a) Le nuage obtenu au 1 présente des écarts à peu près réguliers de part et d'autre d'une droite d'ajustement tracée au jugé. On effectue souvent dans ce cas un lissage du nuage en remplaçant les points par des points moyens. On peut utiliser la méthode des moyennes mobiles en remplaçant la série statistique précédente par la série des moyennes mobiles des ventes obtenue en calculant les moyennes sur quatre trimestres consécutifs et en les attribuant au quatrième trimestre. Etablir la série des moyennes mobiles de l'entreprise de matériel électronique en complétant après l'avoir reproduit le tableau suivant :

5 Rang du trimestre : 4 5 Chiffre d'affaires (en M ) : z i b) Représenter sur la figure du 1 le nuage de points N i (, z i ). Les irrégularités du nuage des points M i ont été atténuées. (Utiliser deux conventions différentes pour représenter les points M i et N i par exemple) 3 On considère la série des chiffres d'affaires obtenus après lissage à la question 2 a). a) Déterminer la valeur approchée à 10-2 près du coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variables x et z. b) Déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite de régression D de z en x. On donnera une équation de la forme z = ax + b dans laquelle a est une valeur approchée à 10-2 près et b une valeur approchée à une unité près. c) On admet que la tendance observée pendant les trimestres de rang 4 à 12 se poursuit. Donner le chiffre d'affaires prévisionnel pour les trimestres de rangs 13 et 14. Exercice Les teneurs en nitrate d un ruisseau d une commune en Côte d Or ont été mesurées. Depuis 1996, les résultats annuels moyens sont les suivants : Année Rang de l année : Teneur en unité/l : y i 0,8 0,82 0,9 1,0 1,2 1,3 1,6 Tous les résultats seront arrondis à 10-3 près. 1. Construire le nuage de points de la série (, y i ) dans un plan muni d un repère orthogonal O ; i, j. On prendra 2 cm pour une unité sur l axe des abscisses et 1 cm pour 0,1 unité sur l axe des ordonnées. 2. On pose pour 1 i 7, t i = ln et z i = ln y i, où ln désigne la fonction logarithme népérien. Construire le tableau de la série (t i, z i ). 3. Déterminer les coefficients de corrélation linéaire des variables statistiques : X et Y X et Z T et Z 4. Pour la suite de l exercice, on retient la série (xi, zi). Justifier ce choix. 5. Déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d ajustement de Z en X. 6. Pour 1 i 7, on note zˆi les estimations de z i calculées à partir de l ajustement obtenu à la question précédente et e i les écarts z i z ˆi. Calculer les différents e i. En faire la somme. r r 7. Construire le nuage de points de la série (, e i ) dans un repère orthogonal ( O, i, j ). On prendra 2 cm pour une unité sur l axe des abscisses et 2 cm pour 0,1 unité sur l axe des ordonnées. 8. Est ce que cette représentation graphique confirme le choix de l ajustement proposé? 9. Déduire de la question 4 une expression de Y en fonction de X de la forme y = ax ke, où k et a sont des nombres réels. Exercice 1 Sur un échantillon de vingt individus x 1, x 2,..., x n, appartenant à une même tranche d'âge, on a étudié les caractères taille t i en mètre et pointure des chaussures p i, Les résultats obtenus sont les suivants : t i =34,28 p i =848 t 2 i =58,8614 p 2 i =35996 t i. p i =1455,18 Dans ce qui suit, tous les résultats numériques seront donnés à 10 2 près, 1. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique en les variables t et p. Que peut-on en déduire? 2. Déterminer par la méthode des moindres carrés la droite de régression de p en t permettant d estimer la pointure d un individu en fonction de sa taille. Quelle pointure peut-on estimer pour un individu mesurant 1,83 m?