BAC BLANC mathématiques TSTI2D - Février 2015

Transcription

1 BAC BLANC TSTID BAC BLANC mathématiques TSTID - Février 0 Note.../0 Ce sujet comporte pages numérotées de à. Calculatrice autorisée. L'élève doit traiter les quatre exercices. L'élève est invité à faire gurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.

2 BAC BLANC TSTID Exercice points Au cours de son évolution, une tornade se déplace dans un corridor de quelques centaines de mètres de large sur quelques kilomètres de long. Document : L'échelle de Fujita est une échelle servant à classer les tornades par ordre de gravité, en fonction des dégâts qu'elles occasionnent. Une partie de cette échelle est présentée dans le tableau ci-dessous. Catégorie Vitesse des vents en km.h Dégâts occasionnés F0 0 à 0 Dégâts légers : dégâts sur cheminées, arbres, fenêtres, F 0 à 80 Dégâts modérés : automobiles renversées, arbres déracinés, F 80 à 0 Dégâts importants : toits arrachés, hangars et dépendances démolis, F 0 à 0 Dégâts considérables : murs extérieurs et toits projetés, maisons et bâtiments de métal eondrés, forêts abattues, F 0 à 0 Dégâts dévastateurs : murs eondrés, objets en acier ou en béton projetés comme des missiles, F 0 à 0 Dégâts incroyables : maisons rasées ou projetées sur de grandes distances, murs extérieurs et toits arrachés sur de gros bâtiments, Document : À partir des mesures relevées lors d'observations de phénomènes semblables, des météorologues ont admis la règle suivante : "la vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de 0 % toutes les minutes". On appelle " durée de vie " d'une tornade le temps nécessaire, depuis sa formation, pour que la vitesse des vents devienne inférieure à 0 km.h. Lors de la formation d'une tornade, on a mesuré la vitesse des vents par un radar météorologique et on a trouvé une vitesse initiale de 0km.h. L'objectif de ce problème est d'estimer la durée de vie de cette tornade. Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 0km.h. ) a) Cinq minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est de 78km.h. Vérier que ce résultat correspond à la règle admise. À quelle catégorie appartient la tornade à ce moment là? b) Vérier que, quinze minutes après la mesure initiale, cette tornade occasionne des dégâts classés comme "dégâts considérables". ) Pour déterminer la durée de vie de cette tornade, un étudiant propose de modéliser le phénomène par une suite géométrique de raison q. Il commence à élaborer l'algorithme ci-dessous.

3 BAC BLANC TSTID Variables n : un nombre entier naturel v : un nombre réel q : un nombre réel Initialisation Aecter à n la valeur 0 Aecter à v la valeur 0 Aecter à q la valeur 0,9 Traitement Tant que Fin Tant que Sortie Acher n a) Justier la valeur 0,9 dans la phrase " Aecter à q la valeur 0,9 ". b) Donner le premier terme et la raison de la suite géométrique proposée par l'étudiant. c) Dans l'algorithme ci-dessus, des pointillés indiquent des parties manquantes. Recopier la partie relative au traitement et la compléter pour que l'étudiant puisse déterminer la durée de vie de cette tornade. d) Expliquer l'instruction " Acher n" proposée par l'étudiant. ) On désigne par (v n ) la suite géométrique proposée par l'étudiant. Exprimer v n en fonction de n. ) Déterminer la durée de vie de cette tornade au sens déni dans le document. Exercice points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justication n'est demandée. Aucun point ne sera enlevé en cas de réponse incorrecte ou d'absence de réponse. ) f est une fonction dénie sur l'intervalle ]0; + [ par f(x) = x ln(x), a. lim f(x) = + ; x + b. lim x + f(x) = 0 c. lim f(x) = x + d. lim x + f(x) =

4 BAC BLANC TSTID ) La fonction f est dénie sur l'intervalle ]0 ; + [ par f(x) =. Sa courbe x représentative est donnée sur le gure en face : 0 e Le domaine du plan déni comme l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) qui vérient x e et x y a pour aire (exprimée en unité d'aire) : a) ln b) c) e d) ) La tangente au point d'abscisse ]0 ; + [ par f(x) =, a pour équation : x à la courbe représentative de la fonction f, dénie sur l'intervalle a) y = x + b) y = x + c) y = x d) y = x ) Trouver une primitive H de la fonction h dénie sur [; + [ par : h(x) = x +. a) H(x) = x b) H(x) = 0 (x + ) c) H(x) = ln(x + ) d) H(x) = ln(x). Exercice On considère une fonction f : - dénie, continue et dérivable sur l'intervalle [ ; + [ ; - strictement croissante sur l'intervalle [0 ; ] ; - strictement décroissante sur les intervalles [ ; 0] et [ ; + [. On note f la fonction dérivée de f et F la primitive de f sur l'intervalle [ ; + [ qui s'annule en 0. A 7 D E C f 0 B G points

5 BAC BLANC TSTID La courbe C f, tracée ci-dessous, représente la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal. Elle passe par les points A( ; ), B(0 ; ), D( ; ) et E( ; ). Elle admet au point D une tangente passant par le point G(0 ; ). Elle admet au point B et au point E une tangente horizontale. ) Déterminer f () et f (). Justier les réponses. ) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point D. ) Parmi les trois courbes suivantes, C, C, C, préciser, en justiant la réponse, celle qui représente F, et celle qui représente f Courbe C Courbe C Courbe C 0 Exercice 7 points f est une fonction dénie et dérivable sur l'intervalle ]0 ; + [. f désigne la fonction dérivée de f C f T

6 BAC BLANC TSTID C f est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormal. T est la tangente à C f au point de coordonnées ( ; ). T passe par le point de coordonnées (0 ; ). PARTIE A : ) a) Par lecture graphique, déterminer f(). b) Déterminer f (). c) Donner une équation de T. ) On sait que f(x) est de la forme f(x) = ln x + a + b où a et b sont des nombres réels. x a) Calculer f (x). b) Déterminer alors les valeurs de a et b. PARTIE B : Soit la fonction f dénie et dérivable sur ]0 ; + [ par f(x) = ln x + x. ) a) Déterminer lim x + f(x). b) On admet que lim x 0 f(x) = +. Que peut-on en déduire graphiquement? ) a) Pour tout nombre réel x appartenant à ]0 ; + [, vérier que b) Étudier le signe de f (x) sur ]0 ; + [. f (x) = x x. ) Établir le tableau de variations de f sur ]0 ; + [. ) En précisant votre démarche, donner le nombre de solution(s) de l'équation f(x) = 0, pour x appartenant à ]0 ; + [. ) a) Donner le signe de f(x) pour x appartenant à [ ; ]. b) On admet que la fonction F dénie pour x appartenant à ]0 ; + [ par est une primitive de f. F (x) = (x + ) ln x 7x Déterminer l'aire A du domaine limité par la courbe C f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = et x = en unités d'aires. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 0 près de A.