MODELES DE LA COURBE DES TAUX Université d Evry Séance 7. Moez Mrad / Philippe Priaulet

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Marie-Claude Goudreau
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1 MODELES DE LA COURE DES AUX Univié d Evy Séanc 7 Moz Mad / Phili Piaul

2 PLAN Ral u l modèl d aux cou Modèl d Hah-Jaow-Moon Modèl HJM makovin. Inoducion. Modèl d Ho & L. Modèl d Hull & Whi.4 Modèl d Richkn & Sankaaubamanian.5 Modèl à n acu 4 Imlémnaion du modèl d Hull & Whi à l aid d ab combinan

3 Ral u l modèl d aux cou Diuion du aux cou d µ d Modèl à Sucu à m ain Kan 99 Dui Si Si µ μ μ Alo l ix zéo-couon égal à : Φ

4 Avanag L ayo d oion u zéo-couon on ux mêm d oncion du aux cou L aux cou un ocu d Makov Poibilié d uili la héoi d Makov ou évalu d odui déivé d aux acabilié : Uiliaion d chniqu d ab ou d dicéiaion d EDP Obnion d omul mé ou luiu odui déivé. Inconvénin L mouvmn d la coub d aux n u ê xliqué a un ul vaiabl. C modèl on incomaibl avc la coub d aux au coman. La coélaion n l aux zéo-couon n a idniqumn égal à.

5 Modèl d Hah-Jaow-Moon Noaion L ix n du zéo-couon d mauié : L ix n du zéo-couon owad n : / L aux zéo-couon n : R ln L aux zéo-couon owad n imé n : R ln L aux inanané owad d mauié : ln L aux cou ou l aux inanané : L aci non iqué : β x d

6 Rlaion n l ix zéo-couon l aux inanané owad d x Mu maingal iqu-nu Conidéon un ac ilé F P F Ω un maché d aux donné. La mu di mu maingal iqu-nu i ou ou ixé l ocu : Z β un -maingal. d F E F E / / β β

7 Suoon qu il xi un mu maingal iqu-nu. Suoon qu la dnié d a ao à P donné a : d dp F x d P La dynamiqu du ix ZC ou donné a : d d La dynamiqu du ix ZC ou P donné a : d d P m d P

8 L aux inanané owad Sou la obabilié P : P P d d m d Sou la obabilié : d d

9 HJM99 Conidéon un ac ilé F P F P Ω oi w un mouvmn bownin d dimnion ini u c ac la ilaion F la ilaion naullmn ngndé P a w. Pou ou la diuion du aux inanané owad donné a d α d ob P Où ou ou α on dux ocu adaéi. F -muabl

10 AOA-HJM Il xi mu maingal iqu-nu i ulmn i il xi un ocu adaé d dimnion ini véiian l dux oiéé uivan : L xonnill d Dolan D P ε w x d P un P-maingal Pou ou on a : α d

11 Dynamiqu ou un mu maingal iqu-nu Suoon qu AOA-HJM véiié oi donc un mu ll qu a dnié a ao à P donné a : d dp F x d P La dynamiqu du aux inanané owad donné a : d d ob d P Rmaqu : La dynamiqu du aux inanané owad dénd uniqumn d la coub o ob d la ucu d volailié

12 Coub d aux n oncion d condiion iniial Pix zéo-couon Dynamiqu d ZC ou d d d d d d x..x x

13 aux zéo-couon d R R aux inanané owad u u ob u du d u u 4 aux cou u u ob u du d u u

14 Dynamiqu du aux cou ob u u u ddu u u d dd Rmaqu : L aux cou n a océmn makovin

15 Modèl HJM makovin. Inoducion On vu qu l mouvmn d la coub oi guidé a un nomb ini d vaiabl d éa oman un yèm makovin : L vcu Z makovin i. : Φ Z Ψ Z dz a Z d b Z avaux d ök Svnon Exml : C A

16 . Modèl d Ho & L HL986 HW99 Pou ou aux cou d d Modèl gauin calibé a ao à la coub d aux iniial

17 Pix ZC x aux ZC R R 4 aux inanané owad d d L déomaion d la coub d aux on généé a un ul acu

18 . Modèl d Hull & Whi99 Pou ou aux cou d d Modèl d Vaick généalié calibé a ao à la coub d aux iniial

19 Pix ZC 4 x aux ZC R R 4 4 aux inanané owad d d L déomaion d la coub d aux on généé a un ul acu

20 .4 Modèl d Richkn & Sankaaubamanian 995 Pou ou x b u du aux cou d dφ b. φ { } b φ d d φ x b u du d

21 Pix ZC [ ] d du u b β x Avc x φ β β aux ZC R R φ β β

22 .5 Modèl HJM makovin à n acu Inui Kiima998 n n du u b du u b x x M Vaick énduel Kaoui & Laco 99 Hull & Whi99 Cavhill 994 n n x x M

23 4 Imlémnaion du modèl d HW à l aid d ab combinan Diuion du aux cou d d θ d d Pix ZC x 4 Payo d un oion d mauié u un ZC d mauié θ θ ψ φ

24 Conucion n dux éa Pmiè éa Suoon qu θ on a d d Conui un ab inomial combinan ou can la moynn l éca y d la diuion ci-du. Duxièm éa Démin θ ou qu l ab coll à coub d aux iniial

25 Pmiè éa Dicéiaion d la diuion d :. N x x On a donc : [ ] [ ] Va E Un nœud caacéié a i ; i i M M Condiion d abilié A C D E F G H I

26 Schéma nomal Schéma acndan Schéma dcndan P P P P P P P P P

27 Exml d ab iniial. a. an E F A C G D H I Noud A C D E F G H I.%.7%.% -.7%.464%.7%.% -.7% -.464% u m d

28 Duxièm éa : Calibag a ao à la coub d aux iniial On o : α Pou chaqu nœud i on cu un aumn : i α avc i n M i i i M i * * On dio d la coub iniial On connaî la laion

29 D och n och * α α * ln * α * α α n-ièm éa n * n * α ln ln * M n M n k n α * n M k M n n n n α n ln * n * n ln n n M M k M n M n n k n n

30 Exml d ab inal E F G A C D H I Nod A C D E F G H I.84% 6.97% 5.5%.47% 9.76% 7.984% 6.5% 4.5%.788% u m d

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