GÉNÉRATEURS DU GROUPE SPÉCIAL LINÉAIRE & CONNEXITÉ PAR ARCS DE GROUPES CLASSIQUES

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1 GÉNÉRATEURS DU GROUPE SPÉCIAL LINÉAIRE & CONNEXITÉ PAR ARCS DE GROUPES CLASSIQUES RAPPELS & NOTATIONS SoitK R oucet soient n N et p N. On désigne parm n,p K l enseble des atrices à n lignes et p colonnes, à coefficients éléents dek, et on pose :M n K M n,n K. On désigne par GL n K l enseble des atrices dem n K qui sont inversibles, et par SL n K l enseble des atrices dem n K de déterinant. Si A M n,p K, si i, 2,..., n, et si j, 2,..., n, on désigne par A ij le coefficient de la ligne i, colonne j, de la atrice A. On note I n la atrice-unité dem n K. Soit n 2. Pour k, 2,..., n, soit L k la k-èe ligne d une atrice A M n,p K. Pour tout K, tout k, 2,..., n, et tout h, 2,..., n, avec k h, on désigne par t k,h, l opération éléentaire sur les lignes de la atrice A, notée L k L k L h, qui consiste à replacer la ligne L k de cette atrice par L k L h.. a. Déteriner les coefficients de la atrice T k,h, t k,h, I n.. b. Si A M n,p K, déontrer : t k,h, A T k,h, A. 2. a. Soit une atrice A M n K dont la preière colonne n est pas nulle. Déontrer qu au oyen d un nobre fini d opérations éléentaires du type t k,h, on peut transforer la atrice A en une atrice dont la preière colonne est : 2. b. Soit une atrice A GL n K. Déontrer que, au oyen d un nobre fini d opérations éléentaires du type t k,h,, on peut transforer la atrice A en une atrice D Diag,,...,, K. 2. c. Déontrer dét A. 3. Déontrer que toute atrice A SL n K est le produit d un nobre fini de atrices du type T k,h,. 4. Déontrer que SL n K est connexe par arcs. 5. a. Soit GL n R (resp. GL n R) l enseble des atrices A M n K telles que : det A 0 (resp. det A 0). Déontrer que GL n R et GL n R sont connexes par arcs, ais que GL n R ne l est pas. 5. b. Déontrer que GL n C est connexe par arcs. 0 0.

2 2. a. La atrice T k,h, t k,h, I n est définie par : T k,h, i,j si i j, T k,h, i,j si i k et j h, et T k,h, i,j 0 dans les autres cas. La atrice T k,h, se présente ainsi : ligne k T k,h,. colonne h On a : T k,h, I n E k,h, où E kh est la atrice dem n K dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui de la ligne k, colonne h, lequel est égal à. Pour k, 2,..., n, h, 2,..., n, i, 2,..., n, et j, 2,..., n, on a : E kh ij ki hj (sybole de Kronecker). La faille E k,h kn,hn est la base canonique duk-espace vectorielm n K. x x x 2 x 2. b. Si X x k K n, alors : T k,h, X x k x h, x h x h x n soit : T k,h, X t k,h, X. Si C j est la j-èe colonne de la atrice A M n K, alors la j-èe colonne de la atrice T k,h, A est : T k,h, C j t k,h, C j. Il en résulte : T k,h, A t k,h, A. x n a a 2 2. a. Soit a k la preière colonne de la atrice A. a n

3 3 Preier cas. Si les coefficients a 2, a 3,..., a n ne sont pas tous nuls, supposons a k 0. On cherche tel que : a a k, soit : a a k, et l on effectue l opération éléentaire t,k, : L L L k. On a alors une nouvelle atrice A avec A,. Alors, la suite des opérations éléentaires : L i L i A i, L, i 2,..., n, donne le résultat voulu. Second cas. Si les coefficients a 2, a 3,..., a n sont tous nuls, alors nécessaireent a 0. L opération éléentaire L 2 L 2 L nous raène au preier cas. 2. b. Soit une atrice A GL n K. Supposons que par une suite finie d opérations éléentaires du type prescrit, on ait transforé les p preières colonnes de A pour obtenir une atrice de la fore suivante : colonne p ligne p. Cette suite d opérations éléentaires effectuées transfore la atrice inversible A en une atrice inversible. Le vecteur-colonne constitué de coefficients de la colonne nuéro p, et des lignes p à n, n est donc pas nul (sans quoi la colonne C p serait cobinaison linéaire des colonnes précédentes, et la faille des vecteurs-colonnes ne serait pas libre). On peut donc appliquer à cette "sous-colonne" la éthode qui a servi à réduire la preière, si elle coporte au oins deux teres, et cela ne odifiera pas les p preières colonnes précédeent traitées. On donnera ainsi au coefficient A p,p la valeur et la valeur 0 à tous les coefficients situés au-dessous. Une fois que A p,p, on peut annuler les coefficients situés au-dessus par des opérations éléentaires du type prescrit, toujours sans odifier les p colonnes précédentes déjà traitées. Ce qui prouve que l on peut réduire la p -èe colonne. Mais ceci n est possible que si p n. Si p n, la p -èe colonne est la dernière, et se présente ainsi :, avec 0. On peut donc annuler chaque coefficient A in, i n, par l opération : L i L i A in L n. Mais on ne peut toucher au coefficent A nn sans altérer le traiteent des colonnes précédentes, parce qu il n y a pas de coefficient situé au-dessous de lui. 2. c. Si l on désigne par r, r 2,..., r, r la suite des opérations éléentaires qui, effectuées dans cet ordre, transforent la atrice A en la atrice D, alors on a : D r r... r 2 r A. Si R q r q I n, il vient d après la question. b : D R R... R 2 R A. Les atrices R q, étant du type T k,h, avec k h, sont triangulaires (inférieures ou supérieures), et leur déterinant est égal au produit de leurs coefficients diagonaux, soit. On en déduit :

4 4 det D det R q det A det A, ce qui confire qu aucune opération éléentaire du q type t k,h, ne saurait changer ce final en si la atrice donnée A n est pas de déterinant. 3. Justeent, si A SL n K, autreent dit si dét A, alors : D I n, et le calcul de la question 2. c peret d affirer que : I n R R... R 2 R A, où les atrices R q sont du type T k,h,. On en déduit : A R R 2... R. Or il est clair que : T k,h, T k,h,. Il est ainsi prouvé que toute atrice A SL n K est le produit d un nobre fini de atrices du type T k,h,. 4. Soient k, 2,..., n, h, 2,..., n, k h, K. L application : t T k,h,t t colonne h ligne k, derdans SL n K, est continue car elle est lipschitzienne. Si A SL n K, alors : A T ki,h i, i, avec k i, 2,..., n, h i, 2,..., n, k i h i, i i K. Pour tout t R, soit : Mt T ki,h i, i t, d où : det Mt. On définit ainsi une application continue t Mt, de i R dans SL n K, qui vérifie : M0 I n et M A. Si A SL n K et A 2 SL n K, il existe donc une application continue t t, der dansm n K, qui vérifie : 0 A et A 2. Ceci signifie que SL n K est connexe par arcs. 5. a. Soit A GL n R, et det A 0. On a : A T ki,h i, i D. On cherche coe à la question précédente à relier cette atrice A à la atrice-unité I n par un arc qui soit une iage continue de 0,, et qui soit inclus dans GL n R. Pour ce faire, on cherche une fonction affine t t telle que : D 0 I n Diag,,..., D et D D, soit : 0,. Il est clair que : t t. Pour tout t 0,, on a : t 0 (ce qui ne serait pas le cas si 0). Si l on pose : Mt T ki,h i, i td t, alors on a : det Mt t 0 pour i t 0,, et l on définit donc une application continue t Mt, de 0, dans GL n R, telle i

5 5 que : M0 I n et M A. Ce qui prouve coe à la question 4 que GL n R est connexe par arcs. Soit A GL n R, et det A 0. On a : A T ki,h i, i D. On cherche désorais à relier cette atrice A à la atrice : Diag,,..., D par un arc qui soit une iage continue de 0,, et qui soit inclus dans GL n R. Pour ce faire, on cherche une fonction affine t t telle que : 0,. Il est clair que : t t, et que pour tout t 0,, on a : t 0. Si l on pose : Mt T ki,h i, i td t, alors on a : det Mt t 0 pour t 0,, l on définit donc une i application continue de 0, dans GL n R, telle que : M0 D Diag,,..., et M A. Ce qui prouve encore que GL n R est connexe par arcs. L enseble GL n R n est pas connexe par arcs car l iage de GL n R par la fonction continue det estr, qui n est pas connexe par arcs. 5. b. Soit A GL n C, et det A 0. On a : A T ki,h i, i D. On cherche toujours à relier cette atrice A à la atrice-unité I n par un arc qui soit une iage continue de 0,, et qui soit inclus dans GL n C. Pour ce faire, on cherche une fonction continue t t, de 0, dans C C\0, telle que : 0,. Une telle fonction existe parce quec est connexe par arcs. François CHAURIEN 9/0/200 chaurien92@gail.co i i