Suites - Récurrence 10X. 2 quiselit:sommedes 2 pouriallantde1à10vaut:

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1 Suites - Récurrence 1. Définitions - Rappels 1.1.Modes de définition d une suite La suite 0 =0 1 = =4 3 =6 peut être définiededeuxmanières: Définition explicite : ½ = Définition récurrente : 0 =0 +1 = + Faites l essai, vous verrez que ces deux définitions mènent à la même suite. Remarque : pour une définition par récurrence la donnée du premier terme 0 est fondamentale. La même relation de récurrence avec 0 =1donnerait la suite des nombres impairs!!! 1. Suite monotone Une suite () est croissante (resp décroissante) à partir de 0 si et seulement si : 0 +1 (resp +1 ). Dans les deux cas elle est dite monotone. Etudier les variations d une suite, c est chercher si elle est croissante croissante ou décroissante La méthode la plus fréquente est l étude du signe de +1.Sicettedifférence est toujours positive, la suite est croissante, si elle est toujours négative, ele est décroissante, si elle change de signe, la suite n est pas monotone. 1.3 Suite majorée - minorée Une suite ( ) est majorée par M (resp minorée par m) si et seulement si N (resp ) Une suite qui est à la fois majorée et minorée est dite bornée. 1.4 La notation Sigma Cette notation sert à éviter les points de suspension : = = c est àdire = 385. Raisonnement par récurrence 10X =1 quiselit:sommedes pouriallantde1à10vaut: Il s agit d un mode de raisonnement qui ne se démontre pas (axiome). Soit une propriété dépendant d un nombre entier. Si la propriété est vraie à l ordre on notera vraie. L axiome de récurrence s utilise de la manière suivante : Si0 est vraie (la propriété est vraie à l odre 0 ). C est l initialisation Si supposant la propriété vraie à l ordre on arrive à démontre qu elle est encore vraie à l ordre +1(hérédité) C est à dire si vraie +1 vraie Alors, la propiété est vraie pour tout 0. En effet,elleestvraiepour 0, étant héréditaire, elle est encore vraie pour 0 +1, puis pour 0 +, etc.. Exemple classique : démontrons que la somme des premiers entiers ( 1) vaut : démontré d une autre manière en première (démonstrtion de première due à Gauss). Soit ( ) la propriété : = = Initialisation : 1 =1et 1 (1 + 1) =1 La propriété est donc vraie pour =1 1. Vous l avez en principe

2 Supposons vraie, c est à dire : = = Alors : +1 = ( +1)= +( +1) ³ +1 Donc d aprèsl hypothèse de récurrence : +1 = +( +1) +1 =( +1) en factorisant par +1 µ + ( +1)( +) Puis en réduisant au même dénominateur : +1 =( +1) = qui prouve que +1 est vraie. Conclusion : la propriété est vraie pour =1; la supposant vraie à l ordre, elle l est encore à l ordre +1.D après l axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout suérieur ou égal à Limite d une suite 3.1. Limite infinie d une suite : Une suite ( ) tend vers + si et seulement si, pour tout nombre A si grand soit il, à partir d un certain rang, tous les termes de la suite sont supérieurs à A. Une telle suite n est évidemment pas majorée. Une suite qui tend vers +

3 3.. Limite finie d une suite : Une suite ( ) tend vers une limite finie si et seulement, à partir d un certain rang 0 les éléments de la suite peuvent être rendus aussi voisins de qu on le désire, (c est à dire à une distance aussi petite qu on le veut de ) La traduction mathématique (qui est limite, voire hors programme) est : 0 0 N, telque 0, + est la distance aussi petite qu on veut, 0 le rang à partir duquel les sont à une distance de inférieure à 3.3. Suite convergente - divergente : Une suite qui admet une limite finie est dite convergente. Dans le cas contraire elle est dite divergente. Une suite peut diverger de deux manières : en tendant vers l infini enrestantfinie mais "sans stabilisation". C est le cas de la suite =( 1) qui prend les valeurs etc Limites et opérations : Limite d une somme : + + FI FI + + Limite de + Limite d un produit : FI 0 FI 0 0 FI FI + + Limite de Limite d un quotient : FI 0 0 FI 0 + FI FI FI Limite de 3

4 3.5 Théorèmes de comparaison - théorème des gendarmes : Théorème 1 Si ( ) et ( ) sont deux suites telles que : ( lim + =+ à partir d un certain rang : Théorème Si ( ) et ( ) sont deux suites convergentes telles que : lim = + lim + = 0 à partir d un certain rang : Alors, lim =+ + Alors, 0 (observez l inégalité large ici et stricte au dessus) Théorème des gendarmes Si ( ) ( ) et ( ) sonttroissuitestellesque: lim = lim = + + à partir d un certain rang : Alors, lim = + w n v n u n Illustration du théorème des gendarmes 3. Théorème de la convergence monotone : Théorème Une suite croissante et majorée (resp décroissante et minorée) converge. Attention, ce théorème assure l existence d une limite finie mais ne donne aucune indication sur la valeur de celle-ci. La limite n est en particulier pas forcément le majorant ( ou le minorant ). Exemple : =1 1 est croissante majorée par, donc convergente ( pas vers mais vers 1). Sa limite est effectivement 1 puisque 1= 1 qui tend vers 0 Le graphe ci-dessous le visualise. 4

5 = Théorème du point fixe : A l inverse du précédent, ce théorème ne prouve pas la convergence d une suite. Il permet par contre, après avoir prouvé qu une suite était convergente, de déterminer sa limite. Théorème Soit ( ) une suite définie par récurrence par +1 = ( ). Si cette suite converge, sa limite est forcément solution de l équation = ().Autrement dit, sa limite vérifie = (). Soit ( ) une suite définie par récurrence par +1 = ( ). Si cette suite converge, sa limite est forcément solution de l équation = ().Autrement dit, sa limite vérifie = (). Remarque : ce théorème n est plus au programme, mais il est tellement simple et naturel qu il serait stupide de s en priver. 5

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