Chapitre 3 Exponentielles. Table des matières. Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page -1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 3 Exponentielles. Table des matières. Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page -1"

Transcription

1 Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page - Chapitre 3 Exponentielles Table des matières I Exercices I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I-0

2 Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page I I I I I I I I I I I-2 II Cours II- Les fonctions exponentielles x q x (q > 0) II- a Définition II- b Représentations graphiques II- c Propriétés de calcul II- d Propriétés de la fonction définie par f(x) = q x II-2 2 La fonction exponentielle x e x II-3 2a Définition et propriétés II-3 2b Dérivée de x e u(x) II-3

3 Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I- I Exercices Les fonctions exponentielles x q x (q > 0). On considère les suites géométriques (u n ) et (v n ) définies pour tout entier naturel n par u n =, 5 n et v n = 0, 7 n. Pour chacune de ces deux suites, répondre aux questions suivantes.. Donner le premier terme de cette suite et sa raison. 2. Quelle est le sens de variation de cette suite? Justifier. 3. Calculer les 5 termes suivants (du 2 e au 6 e ). Arrondir au dixième près. 4. Placer ci-dessous les six points de la représentation graphique et joindre ces points par une courbe continue. On admettra que ces deux courbes continues sont les représentations graphiques des fonctions f et g définies sur IR par f(x) =, 5 x et par g(x) = 0, 7 x. suite (u n ) suite (v n ) Nous allons par la suite étudier des fonctions comme celles définies par f(x) =, 5 x ou g(x) = 0, 7 x. Le problème qui se pose pour l instant est que nous ne savons pas ce que signifie, 5 x ou 0, 7 x lorsque x n est pas un nombre entier, par exemple que veut dire, 5 3, ou 0, 7 4? 2 Nous allons étudier la fonction f définie par f(x) = 3 x. Pour l instant, nous savons ce que veut dire 3 n quand n est entier. Compléter le tableau suivant (donner les valeurs exactes) x x

4 Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-2 2. Nous allons étudier un premier cas où l exposant n est pas entier. (a) En appliquant les règles sur les puissances, calculer ( 3 2 ) 2. (b) Que veut donc dire 3 2? 3. Si on applique les règles de calculs sur les puissances, on a : = = ( 3 2 Que veut donc dire 3 5 2? Rappels : a n = a n (a n ) p = a np 3 Avec la calculatrice, déterminer les arrondis au millième de : () 5 4 (2) (3) 2, 4 3,6 (4) 0, Résoudre les équations suivantes sur [0 ; + [ (c est à dire, ne donner que les solutions positives) : () x 2 = 7 (2) x 3 = 5 (3) x 6 =, 2 (4) x 2 = 2, 5 5 Écrire sous la forme d une seule puissance. () (2), 3 0,5 0 0,5 (3) 73,8 7 4,5 (4) ( 0,43 ) 0 (5) 6 Écrire sous la forme d une seule puissance. () 7 2x 7 x x+5 (2) (3) (7 x ) 3 49 x 7 x 7 Les fonctions f, f 2, f 3, f 4, sont définies par : f (x) =, 8 x f 2 (x) = 0, 7 x f 3 (x) = 0, 5 x f 4 (x) =, 5 x, 82,4 3 2,4 Quelles sont les courbes de chacune de ces fonctions parmi les courbes ci-dessous? ) 5 C C 2 4 C 3 C Quels sont les sens de variations des fonctions définies par : ( ) 2 x () f (x) =, 4 x (2) f 2 (x) = (3) f 3 (x) = 5 x (4) f 4 (x) = 0, x 3 9 Un capital de 8 000eest placé à intérêts composés à 3 % par an. Calculer le montant du capital après 7 ans et 5 mois. Indication : 5 mois = 5 2 d année.

5 Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I esont placés à 3,2 % l an à intérêts composés. Calculer le montant du capital () après 7 ans et demi ; (2) après 6 ans et 7 mois Une action était côtée 50eet a augmenté de 80 % en 4 ans. 2. Calculer son prix après 4 ans. 2. Cette action a augmenté d un taux annuel moyen t. Calculer t. La consommation d eau minérale est passée de 33,7 L par personne en 998, à 5,5 L par personne en Calculer le taux d évolution T de 998 à 2008 (taux global). 2. Calculer le taux annuel moyen t de 998 à Si ce taux annuel reste le même après 2008, estimer la consommation en 205. Un article a baissé de 30 % en un an. Calculer le taux mensuel moyen t.

6 Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-4 Manuel Déclic Math TES, Hachette 202, page 83 Fonctions définies sous la forme f(x) = a q x, modélisant différentes évolutions.

7 Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-5 La fonction exponentielle x e x. Rappel pour une fonction dérivable Le coefficient directeur de la tangente à la courbe d une fonction f au point d abscisse a est le nombre dérivé de f en a et on l écrit f (a). On peut le calculer approximativement à la calculatrice : math 8 et compléter ainsi nbredérivé(f(x),x,a) 4 Les fonctions f et g représentées graphiquement ci-dessous sont définies par : f(x) = 2 x et g(x) = 4 x.. (a) Sur la courbe C f, placer le point A d abscisse 0. (b) Calculer f (0) à la calculatrice comme cela est indiqué ci-dessous : math 8 et compléter ainsi nbredérivé(2 X,X,0) Arrondir au dixième près. (c) Tracer la tangente à la courbe C f au point A, sachant que cette droite passe par le point A et que son coefficient directeur est f (0). 2. Mêmes consignes (a), (b), (c) pour la fonction g. 3. On veut trouver une fonction h définie par h(x) = a x telle que h (0) =. (a) Quel nombre a faut-il choisir pour qu on ait h (0) =? Faire des essais à la calculatrice pour obtenir un arrondi au centième de a. (b) Compléter ce tableau de valeurs en utilisant la commande table. Arrondir au dixième. x 2, 5 0, 5 0 0,5,5 2 2,5 3 h(x) = (c) Tracer la courbe de la fonction h dans le troisième repère ci-dessous. 4 C f 4 C g 4 C h La fonction f est définie par f(x) = e x À l aide de la calculatrice, dresser le tableau de variations de f sur [ 5 ; 5]. 2. Dresser le tableau de signe de f sur [ 5 ; 5]. 3. Répondre à ces deux questions en faisant quelques essais à la calculatrice. (a) Comment évolue e x lorsque x tend vers +? (b) Comment évolue e x lorsque x tend vers?

8 Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-6 6 Écrire sous la forme d une seule puissance. () e 0,3 e,4 (2) e2 e 5 (3) (e 4 ) 2 (4) e 2x e x+3 (5) e2x 3 e x (6) (e x ) 3 e 0,5x 7 8. QCM : choisir la bonne réponse parmi les propositions (a), (b), (c). Le nombre réel e x 2 est égal à : (a) ex e 2 (b) e x e 2 (c) e x 2. Justifier par un calcul. Simplifier les expressions A = e6x e 2x B = (e 3x ) 2 e 5 x e 5 9 Justifier par des calculs les affichages ci-contre obtenus avec le logiciel Xcas (exp(x) veut dire e x ). 20 Résoudre l équation (3x 7) e x = 0 2 On considère une fonction f définie sur l intervalle [0 ; 5] et on donne sa courbe représentative C f dans le repère ci-contre. QCM : choisir la bonne réponse parmi les propositions (a), (b), (c). Sur l intervalle [0 ; 5], l équation exp (f(x)) = 0 (a) admet une solution (b) admet deux solutions (c) n admet aucune solution

9 Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-7 22 Dérivée et fonction exponentielle x e x. L objectif de cet exercice est de revoir le calcul de dérivée ; utiliser la dérivée pour tracer des tangentes à la courbe. La fonction f est définie par f(x) = x 2 + 5x 7 sur l intervalle [0 ; 4] et elle est représentée graphiquement ci-dessous par la courbe C f. La fonction f est dérivable sur l intervalle [0 ; 4].. Calculer f (x) 2. Calculer f ( 8), f ( 3), f (0), f (3). 3. Placer sur la courbe C f les points A, B, C, D d abscisses respectives 8, 3, 0, Tracer la droite tangente à la courbe C f en A. On rappelle que cette droite passe par le point A et que son coefficient directeur est f ( 8). 5. Utiliser la même méthode pour tracer les tangentes à la courbe C f en B, en C, en D. 30 C f La fonction f est définie sur l intervalle [ 4 ; 4] par f(x) = e x x 2, et elle est représentée graphiquement ci-contre par la courbe C f. La fonction f est dérivable sur l intervalle [ 4 ; 4].. Calculer f (x) 2. Calculer f ( 2) et f (3). Arrondir à l unité. 3. Placer sur la courbe C f les points A et B d abscisses respectives 2 et Tracer les tangentes à la courbe C f en A et en B C f

10 Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-8 24 Dans la figure ci-dessous se trouve la représentation graphique C f d une fonction f définie et dérivable sur [ 4 ; 7]. L unité du repère est un carreau. Les points A, B, C sont des points de la courbe C f et les droites (DE), (FG), (HK) sont les tangentes à la courbe C f respectivement en A, en B, en C.. Par lecture graphique, déterminer f (). 2. Par lecture graphique, déterminer f ( 3). On rappelle que f ( 3) est le coefficient directeur de la tangente (DE) et que ce coefficient directeur est égal à y E y D x E x D 3. Déterminer de même f (5) D A F E B H C G C f K 25 La fonction f est définie sur l intervalle [ 2 ; 0] par f(x) = 2x 2 5x 7. La fonction f est dérivable sur [ 2 ; 0].. Calculer la dérivée f (x). 2. Compléter le tableau de variations ci-dessous. x 2 0 Signe de f (x) Variations de f 26 Même exercice que l exercice 25 pour la fonction f définie sur l intervalle [ 3 ; 6] par : f(x) = 3x 2 + 9x + 4, et qui est dérivable sur cet intervalle. 27 Les deux repères page suivante ont pour unité carreau. À gauche est représentée une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 6 ; 4] et à droite une fonction g définie et dérivable sur l intervalle [ 6 ; ]. Dresser les tableaux de variation des fonctions f et g sur leurs intervalles de définition (le signe de la dérivée sur la 2 e ligne du tableau et les variations sur la 3 e ligne du tableau).

11 Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-9 C f C g 28 Objectif : calculer des dérivées Calculer les dérivées des fonctions définies par les égalités suivantes. Chacune de ces fonctions est dérivable sur l intervalle I indiqué. () f(x) = x I = IR (2) f(x) = x 2 I = IR (3) f(x) = x + x 2 I = IR (4) f(x) = 5x 2 I = IR (5) f(x) = 4x + 6 I = IR (6) f(x) = x 5 I = IR (7) f(x) = 8x 3 I = IR (8) f(x) = x + x I = ]0 ; + [ (9) f(x) = 0, 5e x + 7 I = IR (0) f(x) = 3x 2 6x + 8 I = IR () f(x) = x 3 + 5x 2 9x + I = IR 29 La fonction f, définie par f(x) = 2x 3 + 9x x 7 est dérivable sur l intervalle [ 5 ; 9].. Calculer la dérivée f. 2. Résoudre l équation f (x) = 0. f (x) est un trinôme du second degré, il faut donc utiliser le discriminant. 3. Compléter le tableau de variations ci-dessous. x 5 9 Signe de f (x) Variations de f 30 Même exercice que l exercice 29 pour la fonction f, définie par f(x) = x 3 + 9x x, dérivable sur l intervalle [ 6 ; ]. 3 Objectif : revoir les résolutions d équations du 2 nd degré. Résoudre les équations suivantes : () 3x x + 36 = 0 (2) 4x 2 + 4x + = 0 (3) 5x 2 3x + 2 = 0 qui est

12 Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-0 32 La fonction f est définie sur l intervalle [ 2 ; 0] par f(x) = (2x 7)e x.. Calculer la dérivée f, et démontrer que pour tout réel, on a : f (x) = (2x 5)e x. 2. Calculer f( 5), f(2, 5), et f(4). Donner les valeurs exactes et les arrondis au centième. 3. Compléter le tableau de variations ci-dessous. x 5 4 Signe de 2x 5 Signe de e x Signe de f (x) Variations de f Avec la calculatrice, tracer la courbe de cette fonction. Utiliser le tableau de variation pour bien régler les valeurs de la fenêtre. 5. (a) Résoudre algébriquement l équation f(x) = 0. (b) Que représente la solution pour la courbe? 6. Calculer les coordonnées du point d intersection de la courbe avec l axe des ordonnées. La fonction f est définie sur l intervalle [ 3 ; 8] par f(x) = ( 3x + 2)e x. 34. Calculer la dérivée f. 2. Dresser le tableau de signes de la dérivée. Même exercice que l exercice 33 pour la fonction f définie sur l intervalle [ 6 ; 4] par : f(x) = (4x + 7)e x. 35 Objectif : calculer des dérivées de sommes, de produit et de quotient Calculer les dérivées des fonctions définies par les égalités suivantes. () f(x) = (5x 2)e x (2) f(x) = e x (3) f(x) = ex + 0 x La fonction f est définie sur l intervalle [0, 2 ; 3] par f(x) = ex x.. Calculer la dérivée f. 37 (4) f(x) = x2 3x x 2 2. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f (signe de f et variations de f), en indiquant les valeurs remarquables. Même exercice que le précédent avec la fonction f est définie sur l intervalle [0 ; 2] par f(x) = ex 2x +.

13 Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I- 38 Calculer la dérivée de chacune des fonctions définies ci-dessous. () f(x) = e 3x (2) f(x) = e 0,7x (3) f(x) = e x2 (4) f(x) = 4e 8x (5) f(x) = 5x 2 + e 6x (6) f(x) = x 3 + 7x e x (7) f(x) = x + 9 2e 0,5x (8) f(x) = 0, 3e 0,3x e 0,3x La fonction f est définie sur l intervalle [ 6 ; 6] par f(x) = (4x + 3)e 5x. 40. Calculer la dérivée f en utilisant les indications ci-dessous : on pose : u(x) = 4x + 3 v(x) = e 5x w(x) = 5x ; calculer u (x) et w (x) ; calculer v (x), pour cela il faut utiliser la formule de dérivée de e w ; calculer f (x), sachant que f(x) = u(x) v(x). Calculer la dérivée de chacune des fonctions définies ci-dessous. () f(x) = ( x + 3)e 0,7x (2) f(x) = (x + )e x (3) f(x) = 6 + (3 x)e x (4) f(x) = 2 (x + 5)e x 4 QCM : choisir la bonne réponse parmi les propositions (a), (b), (c). La fonction g définie sur l ensemble des nombres réels IR par g(x) = xe x est la dérivée de la fonction G définie sur IR par : (a) 42 G(x) = x2 2 ex (b) G(x) = (x + )e x (c) G(x) = (x )e x Calculer les dérivées des fonctions définies sur IRpar : () f(x) = (4x 7)e x (2) f(x) = 4ex (3) f(x) = e x2 (4) f(x) = 5(x 3)e 2x e x + (5) f(x) = (6 + x)e x 3 (6) f(x) = (3x x 2 )e x 6 43 La fonction f est définie pour tout réel par f(x) = e 5x Parmi les fonctions ci-dessous, laquelle a pour dérivée la fonction f? () F(x) = e 5x (2) F(x) = 5 e5x + 3 3) F(x) = 5e 5x Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = ( x + 2)e x.. L équation f(x) = 0 : (a) n admet aucune solution dans IR (b) admet une seule solution dans IR (c) admet deux solutions dans IR 2. L équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse 0 est : (a) y = 3x + 2 (b) y = x + 2 (c) y = x Le minimum de f sur IR est : (a) (b) (c) e 3 e 3 e 3

14 Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-2 45 Bac Réunion, juin 200. Suite à un accident industriel, un gaz se répand dans un local d usine. L évolution du taux de gaz dans l air peut être modélisé grâce à la fonction f définie sur l intervalle [0 ; + [ par : f(x) = 2xe x où x est le nombre de minutes écoulées depuis l accident et f(x) le taux de gaz dans l air exprimé en parties pour million (ppm) (a) On admet que la fonction f est dérivable sur l intervalle [0 ; + [ et on note f sa fonction dérivée. Calculer f (x) et étudier son signe pour x élément de l intervalle [0 ; + [. (b) Donner le tableau complet des variations de la fonction f sur l intervalle [0 ; + [. (c) Après combien de minutes le taux de gaz est-il maximum? Quel est ce taux maximum? Justifier. 2. On admet que le taux de gaz dans l air est négligeable lorsqu il est inférieur ou égal à 0, 08 ppm. y (a) Calculer f(6) et arrondir le résultat au centième près. (b) Justifier que l équation f(x) = 0, 08 admet une unique solution α dans l intervalle [ ; 6]. (c) À l aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de α d amplitude 0, 00 Le plan est muni d un repère orthogonal. La courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [0 ; 7] est donnée ci-dessous. O x

15 Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-3 Manuel TES mathématiques, Déclic, Hachette 202. Exercices 30 p 96, 36 p 98, 4 p 00.

16 Chapitre 3 Exponentielles II COURS page II- II Cours Les fonctions exponentielles x q x (q > 0). a Définition q est nombre réel strictement positif. Si l on représente graphiquement la suite géométrique (q n ), on obtient une série de points (voir exercice sur fiche n o ). La représentation graphique de la fonction définie sur IR par f(x) = q x est obtenue en reliant ces points par une ligne continue et régulière. Cette fonction est appelée fonction exponentielle de base q. b Représentations graphiques Le programme de TES précise qu un élève doit connaître l allure de la représentation graphique de la fonction x q x selon les valeurs de q. Selon que 0 < q < ou que q >, nous obtenons donc ci-dessous deux types de courbes. 0 < q < q > y y y = q x y = q x q q O x O x c Propriétés de calcul Propriété Les règles de calcul sur les puissances étaient déjà connues pour des exposants entiers. Ces règles (ci-dessous) restent vraies pour des exposant non entiers. Pour tous nombres réels q et r strictement positifs, et pour tous nombres réels x et y x = q x = q x q y = q x+y q x q x q = y qx y (qr) x = q x r x q x ( ) q x r = (q x ) y = q xy x r Exemples 5,2 5 2,4 = 5,2+2,4 = 5 3,6 328, ( ) = = ,

17 Chapitre 3 Exponentielles II COURS page II-2 Propriété : le cas particulier de q n Si on applique les règles de calculs précédentes, avec q > 0 et n entier, n > 0 on a : ( ) n q n = q n n = q = q On retiendra donc ce qui suit. Soit q un nombre réel strictement positif et n un nombre entier strictement positif. Alors ( q n ) n = q q n est le nombre strictement positif dont la puissance n ième est égale au nombre q. Exemples 7 2 = 7 2, , c est la racine carrée de , est le nombre positif dont le cube est égal à 7, c est la racine cubique de 7 Propriété Le cas de la racine carrée Pour tout nombre réel q strictement positif, et pour tout nombre réel x, q 2 = q et q x 2 = q x. d Propriétés de la fonction définie par f(x) = q x Propriété Sens de variation Pour un nombre réel q, si 0 < q < la fonction définie par f(x) = q x est strictement décroissante ; si q > la fonction définie par f(x) = q x est strictement croissante. Propriété Signe de q x Pour un nombre réel q strictement positif, et pour tout nombre réel x, q x est strictement positif. Représentation graphique : voir plus haut, paragraphe b,. Propriété Pour un nombre réel q > 0, et pour tous nombres réels x et y, q x = q y x = y Propriété Relation fonctionnelle D après les propriétés de calcul du paragraphe c, on sait que, si q est un réel q strictement positif, alors pour tous réels x et y, q x+y = q x q y Pour la fonction f définie par f(x) = q x, la propriété précédente signifie que pour tous réels x et y, f(x + y) = f(x) f(y). Propriété Continuité Pour tout réel q > 0, la fonction f définie par f(x) = q x est continue sur IR. Propriété Dérivabilité Pour tout réel q > 0, la fonction f définie par f(x) = q x est dérivable sur IR.

18 Chapitre 3 Exponentielles II COURS page II-3 2 La fonction exponentielle x e x Le programme de TES précise qu un élève doit connaître la dérivée, les variations et la représentation graphique de la fonction exponentielle ; savoir utiliser les propriétés de calcul pour transformer une écriture. 2a Définition et propriétés À l aide d un logiciel ou d une calculatrice, on peut observer que parmi les fonctions définies sous la forme f(x) = q x, il y en a une seule telle que f (0) =. On remarque que, dans ce cas q 2, 78. On appelle e la valeur exacte de ce nombre, on a donc e 2, 78. Parmi les fonctions définies sous la forme f(x) = q x, la fonction définie par f(x) = e x est celle telle que f (0) =. On l appelle la fonction exponentielle. Propriété La fonction exponentielle est strictement croissante. Propriété Pour tout réel x, e x > 0 Représentation graphique Propriétés de calculs Pour tous réels x et y, e x+y = e x e y e x 2 = e x e x = e x e x y = ex e y (e x ) y = e xy On admet la propriété suivante. Propriété Dérivée de la fonction exponentielle La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée. Autrement dit : si f(x) = e x, alors f (x) = e x 2b Dérivée de x e u(x) Le programme de TES précise qu un élève doit savoir calculer la dérivée d une fonction définie sous la forme f(x) = e u(x). Propriété Si la fonction u est dérivable sur un intervalle, alors la fonction définie par f(x) = e u(x) est dérivable sur cet intervalle et sa dérivée est donnée par : (e u ) = u e u

I Exercices I I I I I I I I I I I I I-4

I Exercices I I I I I I I I I I I I I-4 Chapitre 6 Logarithme TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 6 Logarithme Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1 2................................................

Plus en détail

Sujets de bac : Exponentielle

Sujets de bac : Exponentielle Sujets de bac : Exponentielle Sujet : Polynésie septembre 2002 On considère la fonction définie sur par ) Etudier la parité de. 2) Montrer que pour tout,. 3) Déterminer les ites de en et en. Donner l interprétation

Plus en détail

EXPONENTIELLES. I Fonction exponentielle de base q. Exercice 01. Exercice 02

EXPONENTIELLES. I Fonction exponentielle de base q. Exercice 01. Exercice 02 EXPONENTIELLES I Fonction exponentielle de base q Exercice 0 Les lois de Moore sont des conjectures énoncées par Gordon Moore (un des trois fondateurs d Intel). En 965, Moore postulait que la complexité

Plus en détail

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0 Savoir calculer avec des logarithmes Simplifier les expressions suivantes : Fonction logarithme : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com a) ln 6 ln 2 b) ln e 2 c) ln 1 e x d) e ln

Plus en détail

Si f est décroissante sur un intervalle, alors f (x 0 ) <0 sur cet intervalle. ) = 0 et f change de signe en x 0

Si f est décroissante sur un intervalle, alors f (x 0 ) <0 sur cet intervalle. ) = 0 et f change de signe en x 0 Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle de IR, C la courbe représentative de f et x un élément de I. Si f est croissante sur un intervalle, alors f (x )> sur cet intervalle. Si f est décroissante

Plus en détail

Exercices sur la fonction exponentielle

Exercices sur la fonction exponentielle Exercices sur la fonction exponentielle Exercice : Simplifier les écritures suivantes : A = (e x ) e x ; B = (ex + e x ) (e x e x ) ; C = e x Exercice : Résoudre les équations et inéquations suivantes.

Plus en détail

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1 Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com Calculer avec la fonction exponentielle Simplifier les expressions suivantes où x est un réel quelconque : a) e1+x

Plus en détail

Sachant que pour tout réel ( q>0 ) et. Pour tous entiers relatifs m et p, f(m) f(p)=q m q p = q m+p = f(m+ p)

Sachant que pour tout réel ( q>0 ) et. Pour tous entiers relatifs m et p, f(m) f(p)=q m q p = q m+p = f(m+ p) Lcée JANSON DE SAILLY 7 novembre 06 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES CONSTRUCTION EXPÉRIMENTALE DE LA FONCTION f : x q x, AVEC q>0 Soit q>0 un réel strictement positif. (u n ) est la suite géométrique définie

Plus en détail

FONCTIONS. représente une fonction. ne représente pas une fonction

FONCTIONS. représente une fonction. ne représente pas une fonction FONCTIONS Activité de recherche : Stratégie d entreprise Une entreprise fabrique des ballons de rugby. Sa production quotidienne peut varier de à 000 ballons. Le coût total, en centaines d euros, pour

Plus en détail

I Exercices I I I I I I I I I I I I I

I Exercices I I I I I I I I I I I I I Chapitre 5 Dérivée TABLE DES MATIÈRES page - Chapitre 5 Dérivée Table des matières I Exercices I-................................................ I-................................................ I-................................................

Plus en détail

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ;

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ; Sujets de bac : Ln Sujet n 1 : extrait de Liban juin 2004 Partie A Soit la fonction définie sur 0; par 2 ln. 1) Etudier les variations de sur 0; et préciser ses ites en 0 et en. a. Montrer que l équation

Plus en détail

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités Chapitre 5 Généralités sur les fonctions numériques 5.1 Généralités Définition 5.1 Une fonction numérique permet d associer à chaque nombre x d un ensemble D un autre nombre que l on note f(x). On note

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE Ph DEPRESLE 29 juin 205 Table des matières Propriétés algébriques 2 2 Nouvelle notation 2 3 Étude de la fonction exponentielle 2 3. Variations et ites........................................

Plus en détail

Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions

Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions les fonctions LPO de Chirongui - Exercices : Savoir Faire (livre)- Déterminer une ite Interprétation graphique Livre Indice BORDAS - Page 45 Exercice 34, 35, 36 et 37 page 56 - Limite finie à l infini

Plus en détail

Fonctions de référence 1

Fonctions de référence 1 Fonctions de référence Les fonctions sinus et cosinus. Définitions Le plan étant muni d un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail

TES/TL spé maths Eléments de correction du Bac Blanc n 1 Jeudi 18 décembre 2014

TES/TL spé maths Eléments de correction du Bac Blanc n 1 Jeudi 18 décembre 2014 TES/TL spé maths Eléments de correction du Bac Blanc n Jeudi 8 décembre 4 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Exercice. (5 points) Le barème est noté sur points. Partie : Fonctions

Plus en détail

Sujet abordé : exponentielle (lecture graphique) Exercice 1 (BAC ES national 2010). Classe de terminale ES Mathématiques

Sujet abordé : exponentielle (lecture graphique) Exercice 1 (BAC ES national 2010). Classe de terminale ES Mathématiques Classe de terminale ES Mathématiques Sujet abordé : exponentielle (lecture graphique) Exercice (BAC ES national ). Un nouveau modèle de mini-ordinateur portable est mis sur le marché. Soit x la quantité

Plus en détail

Effectifs. (Aires proportionnelles aux effectifs) Duree en min.

Effectifs. (Aires proportionnelles aux effectifs) Duree en min. Durée en minutes x i [0; 20[ [20; 0[ [0; 40[ [40; 60[ [60; 90[ Nombre n i 4 10 14 6 6 TAB. 1 Traitement des dossiers. Effectifs. (Aires proportionnelles aux effectifs). 0 10 20 0 40 50 60 70 80 90 Duree

Plus en détail

Terminale ES. Les fonctions exponentielles

Terminale ES. Les fonctions exponentielles Terminale ES 1 x q x avec q > 0 I Fonction exponentielle de base q Propriété - Définition q désigne un nombre réel strictement positif. On considère le nuage de points représentatif de la suite (q n ).

Plus en détail

Dérivation Continuité

Dérivation Continuité Dérivation Continuité Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Nombre dérivé Fonction dérivé 2 1.1 Nombre dérivé.......................................... 2 1.2 Fonction dérivée.........................................

Plus en détail

FONCTION LOGARITHME. ln = a.

FONCTION LOGARITHME. ln = a. FONCTION LOGARITHME I. DEFINITION DU LOGARITHME a) Définition Problème : Soit a un réel strictement positif. Démontrer que l équation e x = a admet une solution unique α dans IR. (théorème des valeurs

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2014 Correction de l'épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2014 Correction de l'épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2014 Correction de l'épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l'indice

Plus en détail

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3 LOGARITHME Ph DEPRESLE 9 juin 5 Table des matières Fonction logarithme népérien. Définition............................................... Conséquences............................................ 3 Propriétés

Plus en détail

3. En donner une interprétation graphique. 3 [ par f(x) = ln(-2x + 3) + 2x.

3. En donner une interprétation graphique. 3 [ par f(x) = ln(-2x + 3) + 2x. T ES Mathématiques DS 5 le 18/01/01 Exercice 1 (5,5 POINTS ) On considère une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [- ; 4]. On note f la fonction dérivée de la fonction f. La courbe C f, tracée

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Limite d une fonction à l infini. Limite finie à l infini Définition : Dire qu une fonction f a pour ite le nombre réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant

Plus en détail

I. Fonction de référence

I. Fonction de référence I. Fonction de référence Fonction x x 2 x x 3 x x x x Nom Domaine de définition x 3 2,5 2,5 0,5 0 0,5,5 2 2,5 3 Tableau de valeurs x² x 3 x /x Graphes Extremum Eléments de symétrie de la courbe Fonctions

Plus en détail

Exemple : déterminer la dérivée f de la fonction f définie sur [1 ; + [ par : f(x) = 5x 2.

Exemple : déterminer la dérivée f de la fonction f définie sur [1 ; + [ par : f(x) = 5x 2. Chapitre III : Dérivées de fonctions composées et primitives I. Dérivées de fonctions composées a) Formule Propriété : g est une fonction dérivable sur un intervalle J. u est une fonction dérivable sur

Plus en détail

DST 3 Corrigé. b) B : «les 2e et 3e sondages sont négatifs». et d après l énoncé ; D où :

DST 3 Corrigé. b) B : «les 2e et 3e sondages sont négatifs». et d après l énoncé ; D où : DST 3 Corrigé Exercice 1 (4 points) Avant le début des travaux de construction d une autoroute, une équipe d archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés

Plus en détail

Correction du bac blanc N 1

Correction du bac blanc N 1 Exercice I : QCM. ( 4 points ) Correction du bac blanc N 1 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre

Plus en détail

Session avril 2015 BACCALAUREAT BLANC. Série : S. Épreuve : Mathématiques ( candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité )

Session avril 2015 BACCALAUREAT BLANC. Série : S. Épreuve : Mathématiques ( candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité ) BACCALAUREAT BLANC Session avril 2015 Série : S Épreuve : Mathématiques ( candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité ) Durée de l'épreuve : 4 heures coefficient : 7 MATERIEL AUTORISE OU NON

Plus en détail

Mathématiques. préparation à la Terminale ES

Mathématiques. préparation à la Terminale ES Mathématiques préparation à la Terminale ES Le programme de Terminale ES est chargé et est la continuité de celui de 1 ère ère ES. Les nouvelles notions sont nombreuses et le rythme de progression est

Plus en détail

Sujet Asie 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Probabilités

Sujet Asie 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Probabilités Sujet Asie 203 EXERCICE. [5 pts] Probabilités Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième. Partie A Une grossiste achète des boîtes de thé chez deux fournisseurs. Il achète 80% de

Plus en détail

Fonction exponentielle TD Année

Fonction exponentielle TD Année Fonction exponentielle TD Année 009-010 Exercice 1 Sans l aide de la calculatrice, simplifier les nombres suivants : 1. ln(e 5 ) 3. ln( 5. eln+ln3. e ln7 4. e ln4 1 ) e 3 Exercice En utilisant notamment

Plus en détail

5. f(x) = x x en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = 1. (plus difficile) Aide

5. f(x) = x x en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = 1. (plus difficile) Aide de la ère S à la TS. I Exercices Dérivabilité Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes au point demandé. f(x) = x 2 en x = 3 (Revenir à la définition du nombre dérivé) 2. f(x) = x en x =. 3. f(x)

Plus en détail

BTS domotique 1 -Équations différentielles

BTS domotique 1 -Équations différentielles BTS domotique -Équations différentielles Premier ordre 4. Déterminer la solution ϕ de l équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale ϕ() =. Exercice BTS (E) : y 2y = xε x où y est une

Plus en détail

TES BAC BLANC 2013 durée 3h. f(x) = 100xe x + 1

TES BAC BLANC 2013 durée 3h. f(x) = 100xe x + 1 TES BAC BLANC 2013 durée 3h Exercice 1 ( 4,5 points ) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.

Plus en détail

Exercice corrigé application de la dérivée. 1 er décembre 2010

Exercice corrigé application de la dérivée. 1 er décembre 2010 application de la dérivée 1 er décembre 2010 Enoncé On considère la fonction f définie sur R par : f : x 6x 3 3x 2 + 1 2 x + 24 1 Étudier les variations de f. 2 Justifier que l équation f(x) = 0 admet

Plus en détail

TS - Maths - D.S.4 - Correction Spécialités : SVT - Physique

TS - Maths - D.S.4 - Correction Spécialités : SVT - Physique TS - Maths - D.S. - Correction Spécialités : SVT - Physique Samedi 05 Décembre 05 - h Exercice ( points) Commun à tous les candidats Une usine produit de l eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de

Plus en détail

Chapitre 9. La fonction exponentielle

Chapitre 9. La fonction exponentielle Chapitre 9. La fonction exponentielle Le chapitre sur la fonction exponentielle est quasiment indissociable du chapitre suivant sur la fonction logarithme népérien. I. Définition de la fonction exponentielle

Plus en détail

Exercices supplémentaires Second degré

Exercices supplémentaires Second degré Exercices supplémentaires Second degré Partie A : Forme canonique, équations, inéquations, factorisation Mettre sous forme canonique les trinômes suivants 8 ; 3 1 ; 5 ; 3 4 Exercice On considère : 5 6

Plus en détail

Fonction dérivée 3 ème

Fonction dérivée 3 ème Fonction dérivée 3 ème Mathématiques Exercice 1 Déterminer dans chaque cas la fonction dérivée de la fonction indiquée tout en précisant le domaine de dérivabilité de. = 3 +2 5 ;= 3 1 2+1 ; +3 1 = +1 ;

Plus en détail

(C f )

(C f ) BAC BLANC -.3.9 - Terminales ES, Lycée Newton Exercice 1 - Amérique du Sud 8 6 points On admettra que les fonctions considérées dans cet exercice sont dérivables sur l intervalle ] ; + [. Soit la fonction

Plus en détail

Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction. Table des matières. Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction. Table des matières. Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 8 Dérivée et variations d une fonction Table des matières I Eercices I-1 1................................................

Plus en détail

Epreuve commune maths terminales S 8 décembre 2015

Epreuve commune maths terminales S 8 décembre 2015 Exercice 1 6 points ) On considère la fonction f définie et dérivable sur l ensemble R des nombres réels par fx) = x+1+ x e x On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé O; i ; ) j 1 Soit

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles-Guyane 19 juin 2012

Baccalauréat ES Antilles-Guyane 19 juin 2012 Baccalauréat ES Antilles-Guyane 19 juin 2012 Exercice 1 On donne le prix moyen en euros d un litre de gasoil en France, entre 1998 et 2007 : Année 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Rang

Plus en détail

j a sa courbe y= f (a) (x a)+ f(a) f définie sur... f(x) f (x) f dérivable sur... Ê x n nx n 1 Ê pour n entier n 2 1 x 2 n x n+1 Ê pour n entier n 1

j a sa courbe y= f (a) (x a)+ f(a) f définie sur... f(x) f (x) f dérivable sur... Ê x n nx n 1 Ê pour n entier n 2 1 x 2 n x n+1 Ê pour n entier n 1 Lcée JNSON DE SILLY 5 septembre 06 DÉRIVTION, ÉTUDE DE FONCTIONS T le STID I TNGENTE À UNE COURBE Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie 13 septembre 2012

Baccalauréat ES Polynésie 13 septembre 2012 Baccalauréat ES Polynésie 13 septembre 01 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points Le tableau ci-dessous représente l évolution de l indice du PIB de la Chine de 1985 à 005, base 100 en 1985 année

Plus en détail

Correction du bac blanc spécialtité N 1

Correction du bac blanc spécialtité N 1 Correction du bac blanc spécialtité N 1 Exercice I : QCM. ( 4 points ) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Pour chacune des questions posées, une

Plus en détail

BAC TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES - GÉNIE

BAC TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES - GÉNIE 1 sur 8 http://www.ilemaths.net/maths_t-sujet-bac-05-sti-electro-optique-co... BAC TECHNOLOGIQUE 2005 - SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES - GÉNIE ÉLECTRONIQUE - GÉNIE ÉLECTROTECHNIQUE - GÉNIE OPTIQUE

Plus en détail

Modélisation à l aide de fonction

Modélisation à l aide de fonction Exemples d exercices de type «bac» Série ST2S Modélisation à l aide de fonction EXERCICE 1 7 points On étudie le nombre de bactéries contenues dans un organisme à la suite d une infection. Il est donné,

Plus en détail

APPLICATIONS DE LA DERIVATION

APPLICATIONS DE LA DERIVATION APPLICATIONS DE LA DERIVATION 1 I. Sens de variation d une fonction ; extréma : 1) Cas d une fonction constante : On a vu que si f est une fonction constante définie sur un intervalle I de IR alors f (x)

Plus en détail

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ TRINÔME DU SECOND DEGRÉ On appelle fonction polynôme, toute fonction f définie sur IR pour laquelle, il existe un entier naturel n et des réels a 0 ; a ; a 2 ;... ; a n avec a n 0 tels que : f(x) = a 0

Plus en détail

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction On dit qu une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle est définie sur I et admet en chaque point de I un nombre dérivé.

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie septembre 2006

Baccalauréat ES Polynésie septembre 2006 Baccalauréat ES Polynésie septembre 006 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des huit questions, trois réponses sont proposées ; une

Plus en détail

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES Terminales S - S2 N. Chiffot S. Coursaget J. Giovendo Durée : 4 heures. Nombre de pages : 7. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Corrigé TS - TS2

Plus en détail

Bac blanc 2015 Mathématiques - Série ES - durée : 3 heures Sujet pour les élèves n ayant pas suivi la spécialité maths

Bac blanc 2015 Mathématiques - Série ES - durée : 3 heures Sujet pour les élèves n ayant pas suivi la spécialité maths Bac blanc 2015 Mathématiques - Série ES - durée : 3 heures Sujet pour les élèves n ayant pas suivi la spécialité maths Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat est invité à faire figurer

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Nord 2 juin 2015

Baccalauréat ES Amérique du Nord 2 juin 2015 Baccalauréat E Amérique du Nord 2 juin 201 EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre

Plus en détail

NOM : DERIVATION 1ère S

NOM : DERIVATION 1ère S Exercice Dériver les fonctions suivantes : f(x) = x g(x) = 3x x 3 + 5x h(x) = ( x ) x k(x) = x + 5 x + D. LE FUR /?? Exercice Dériver les fonctions suivantes : f(x) = x 3x + g(x) = (x + 3)(3x 7) h(x) =

Plus en détail

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle Chapitre 4 Fonction exponentielle Objectifs du chapitre : item références auto évaluation propriétés numériques de la fonction exponentielle propriétés de la fonction exponentielle calculs de ites avec

Plus en détail

Dérivées : Rappels et compléments

Dérivées : Rappels et compléments Dérivées : Rappels et compléments I) Rappels ) Dérivabilité en un point Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative dans un repère ( O;

Plus en détail

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S I Notion de continuité 1) Fonctions continues Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Remarques : On dit que f est continue en a si lim f(x) = f(a) On dit que f est

Plus en détail

CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES

CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES Exercice n. x si x Soit f la fonction numérique définie par : f( x) = 5 x si x > f est-elle continue sur son ensemble de définition? x pour x Mêmes questions avec : f (

Plus en détail

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours Analyse re année IUT GEA Notes de cours Jean-Marie Favreau Année 200 20 Remarque : l introduction de ce cours, présentée en quelques minutes, de manière interactive, permet de placer quelques rappels simples,

Plus en détail

Terminale ES Contrôle de mathématiques (2 heures) Mardi 21 septembre 2004

Terminale ES Contrôle de mathématiques (2 heures) Mardi 21 septembre 2004 Terminale ES Contrôle de mathématiques ( heures) Mardi septembre 004 La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.

Plus en détail

Pour démarrer la classe de terminale S. Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S. Paul Milan

Pour démarrer la classe de terminale S. Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S. Paul Milan Pour démarrer la classe de terminale S Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S Paul Milan 8 novembre 015 Table des matières 1 Second degré 7 1 Forme canonique............................. 7 Racines du

Plus en détail

Novembre 2008 Nouvelle Calédonie

Novembre 2008 Nouvelle Calédonie Novembre 2 Nouvelle Calédonie Pondichéry Avril 2 Centres étrangers Juin 2 Amérique du nord juin 2 Inde Pondichéry avril 2ds vos annales p 6) Sujets : Novembre 2 Nouvelle Calédonie PARTIE A On considère

Plus en détail

1 S DEVOIR DE MATHEMATIQUES N 4 SUJET A 5/04/ H

1 S DEVOIR DE MATHEMATIQUES N 4 SUJET A 5/04/ H S DEVOIR DE MATHEMATIQUES N SUJET A 5/0/0 H Nom prénom Exercice : Soit q un réel différent de,prouver l égalité : points + q + q + q 3 +...q n = qn+ q Exercice :. Calculer la somme des 00 premiers multiples

Plus en détail

DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE. a) Tangente et nombre dérivé. Ch2 : Dérivation (TES)

DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE. a) Tangente et nombre dérivé. Ch2 : Dérivation (TES) DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE a) Tangente et nombre dérivé Aux origines la dérivation, était un problème purement géométrique : il s'agissait de connaître le coefficient directeur ou pente

Plus en détail

Ch.8 Fonctions convexes

Ch.8 Fonctions convexes T le ES - programme 2012 mathématiques ch.8 cahier élève Page 1 sur 14 1 NOTIONS DE CONVEXITÉ, DE CONCAVITÉ 1.1 Introduction Ch.8 Fonctions convexes Considérons une fonction f croissante sur [a ; b], on

Plus en détail

Dérivation et fonctions trigonométriques

Dérivation et fonctions trigonométriques Dérivation et fonctions trigonométriques 1. Compléments sur la dérivation Théorème. Soit une fonction à valeurs positives dérivable sur un intervalle. Alors est dérivable sur et. Soit. La fonction est

Plus en détail

CORRECTION DU DEVOIR N 2 DE MATHEMATIQUES

CORRECTION DU DEVOIR N 2 DE MATHEMATIQUES EXERCICE N 1 (5 points) QCM CORRECTION DU DEVOIR N 2 DE MATHEMATIQUES =2 1) La suite définie par = vérifie : = = = 2) La suite définie pour tout entier par =6 1 est : arithmétique géométrique arithmétique

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie 16 novembre 2016

Corrigé du baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie 16 novembre 2016 Corrigé du baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie 16 novembre 016 EXERCICE 1 (4 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie juin 2007

Baccalauréat ES Polynésie juin 2007 Baccalauréat ES Polynésie juin EXERCICE Commun à tous les candidats points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule

Plus en détail

Dérivation, cours, terminale S

Dérivation, cours, terminale S Dérivation, Dérivation, 27 septembre 2016 Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Dire que f est dérivable en a de nombre dérivé f (a), signifie que le taux d accroissement

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Sud 14 novembre 2012

Baccalauréat ES Amérique du Sud 14 novembre 2012 Baccalauréat ES Amérique du Sud 14 novembre 1 L utilisation d une calculatrice est autorisée. EXERCICE 1 3 points QCM Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses proposées est exacte.

Plus en détail

Bac blanc - Mathématiques spécialité Terminales ES-L, , Lycée Newton

Bac blanc - Mathématiques spécialité Terminales ES-L, , Lycée Newton Bac blanc - Mathématiques spécialité -04-04-13- Terminales ES-L, 2012-2013, Lycée Newton Exercice 1. pour les élèves ayant suivi l enseignement de spécialité 6 points Dans une grande entreprise, tous les

Plus en détail

/1 point n, c est-à-dire que

/1 point n, c est-à-dire que Externat Notre Dame Devoir n Tle S) Samedi 5 octobre 204 Proposition de corrigé Exercice : / point Restitution organisée de connaissances Dans cet exercice n désigne un entier naturel. On définit une suite

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série : ES DURÉE DE L ÉPREUVE : 3 heures COEFFICIENT : 5 Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7 Ce sujet nécessite l utilisation d une feuille de

Plus en détail

NOM : SECOND DEGRE 1ère S

NOM : SECOND DEGRE 1ère S Exercice 1 Dans un triangle ABC rectangle en A, on place les points D et E respectivement sur [AC] et [AB] tels que AD = BE = x. Déterminer x pour que l aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle

Plus en détail

Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014

Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014 Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 014 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. 1. La durée de vie, exprimée

Plus en détail

EXERCICE 1 (4 points)

EXERCICE 1 (4 points) EXERCICE 1 4 points) Pour chaque question de cet exercice, plusieurs réponses sont proposées. Parmi elles, une seule est exacte. Le candidat devra choisir l une des réponses et justifier son choix. 1.

Plus en détail

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative

Plus en détail

Correction DC1. Exercice 1: (5 points) 1. Conservation du volume total d eau du circuit : Pour tout entier naturel n,

Correction DC1. Exercice 1: (5 points) 1. Conservation du volume total d eau du circuit : Pour tout entier naturel n, Correction DC1 Exercice 1: (5 points) 1. Conservation du volume total d eau du circuit : 00. Pour tout entier naturel n, 10 100 15 100 90 100 15 100 00 3 4 330 3 4 330 3. L algorithme ci-dessous permet

Plus en détail

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie I) PRELIMINAIRES Voir activité II) LIMITE D UNE FONCTION EN + et ) Limite infinie en + et Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

Terminales ES BACCALAUREAT BLANC

Terminales ES BACCALAUREAT BLANC Terminales ES jeudi 9 février 009 BACCALAUREAT BLANC Epreuve de Mathématiques (3 H) Elèves ayant suivi l'enseignement de spécialité L'usage de la calculatrice est autorisé. Le candidat doit traiter les

Plus en détail

[ 9;7 ] et représentée graphiquement. Contrôle du 16 octobre (durée : 2h ) Sujet A /20. Nom : Prénom : Terminale S T08 Appréciation :

[ 9;7 ] et représentée graphiquement. Contrôle du 16 octobre (durée : 2h ) Sujet A /20. Nom : Prénom : Terminale S T08 Appréciation : Nom : Prénom : Terminale S T08 Appréciation : Contrôle du 16 octobre (durée : 2h ) Sujet A /20 Evaluation des compétences : Lecture graphique Limites Lecture graphique Dérivée Tracer une courbe, ses tangentes

Plus en détail

FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES

FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES Maths FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES I. LA FONCTION LOGARITHME DECIMAL (log) a) Découverte de la fonction Nous allons utiliser la touche log de la calculatrice. Par exemple : log 3 = (Arrondir

Plus en détail

Baccalauréat ES Centres étrangers 11 juin 2010

Baccalauréat ES Centres étrangers 11 juin 2010 Durée : 3 heures Baccalauréat ES Centres étrangers 11 juin 2010 EXERCICE 1 On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal du plan 4 points ( O, ı, j ), la courbe ( ) C f représentative d une fonction f

Plus en détail

TES DS4 fonction exponentielle

TES DS4 fonction exponentielle TES DS4 fonction exponentielle 2013-20 NOM : Prénom : Exercice 1 : Le glacier d Aletsch, classé à l UNESCO, est le plus grand glacier des Alpes. Situé dans le sud de la Suisse, il alimente la vallée du

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Nord 31 mai 2007

Baccalauréat ES Amérique du Nord 31 mai 2007 Baccalauréat ES Amérique du Nord mai 2007 EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L exercice consiste àa cocher la réponse exacte sans justification.

Plus en détail

Terminale ES. La fonction logarithme népérien

Terminale ES. La fonction logarithme népérien Terminale ES La fonction logarithme népérien 1 I Liens avec la fonction exponentielle Définition On sait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur et à valeurs dans ]0;+ [. Ainsi, pour

Plus en détail

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES EXAMEN PREMIÈRE SESSION - Janvier 01 - heures Les exercices sont indépendants et peuvent

Plus en détail

MATH Pratique des Fonctions Numériques. Livret d exercices III Chapitres 3 & 4 : Continuité - Dérivabilité

MATH Pratique des Fonctions Numériques. Livret d exercices III Chapitres 3 & 4 : Continuité - Dérivabilité UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Première année - Semestre 1 MATH 101 - Pratique des Fonctions Numériques Livret d exercices III Chapitres 3 & 4 : Continuité - Dérivabilité

Plus en détail

Exercice 1 (4 points)

Exercice 1 (4 points) Exercice (4 points) Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification

Plus en détail

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION 1) Du sens de variation au signe de la dérivée Théorème (admis) : soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. o Si f est une fonction croissante sur I,

Plus en détail

DERIVATION. ou f'(x 0 ) = lim. h 0

DERIVATION. ou f'(x 0 ) = lim. h 0 DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE a) Tangente et nombre dérivé Aux origines la dérivation, était un problème purement géométrique : il s'agissait de connaître le coefficient directeur ou pente

Plus en détail

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : montrer qu une fonction est continue en un point

Plus en détail

Etude de la fonction bénéfice B telle que B(x) = -9x² + 450x 4050 pour un prix des places x variant de 0 à 50 : x [0 ; 50]

Etude de la fonction bénéfice B telle que B(x) = -9x² + 450x 4050 pour un prix des places x variant de 0 à 50 : x [0 ; 50] Fonctions du second degré - Exemple d étude d un problème. Activité. La recette R(x) d un spectacle dépend du prix x de la place suivant la relation R(x) = 450x 9x². Pour chaque spectacle, les frais fixes

Plus en détail